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第 06 讲 平方差公式
课程标准 学习目标
①平方差公式的推导 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用；
②平方差公式的运算 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；
③平方差公式的应用 3.会用几何图形平方差公式的意义，体会数形结合的思想方法.
知识点01 平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
【即学即练1】（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（
）A． B．
C． D．
【即学即练2】（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【即学即练3】（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）简便计算
(1)
(2)
题型01 判断是否可用平方差公式运算
例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
题型02 运用平方差公式进行运算
例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）运用平方差公式计算：
(1) ；(2)
【变式训练】
1．（23-24七年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）利用乘法公式计算下列各题：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型03 利用平方差公式进行简便运算
例题：（24-25七年级上·上海·期中）简便计算： ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期中）简便方法计算： ．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）利用平方差公式计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
(3)
题型04 与平方差公式有关的化简求值
例题：（2025·湖南·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
．
2．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
3．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）化简求值：求代数式 的值，其中
．
题型05 平方差公式在几何图形中的应用
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为 的大正方形中有一个边长为
的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴
影部分面积，可以得到乘法公式： （用含 的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知 ， ，则 的值为 ；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图
形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算： ；(3)【拓展】计算： ．
2．（24-25八年级上·全国·期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩
余部分拼成一个长方形（如图②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A． B．
C．
(2)若 ， ，求 的值．
(3)计算： ．
一、单选题
1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）为了运用平方差公式计算 ，下列变形正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·河南开封·期中）如果 ，则 的值为（ ）
A．4 B．16 C．24 D．325．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）数学活动课上，小华将正方形纸片中间剪去一个小正方形，剩余部
分沿虚线剪开（如图①），拼成新的图形（如图②），通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证一个
乘法公
式，这个乘法公式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ．
7．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）一个长方形的长为 ，宽为 ，则长方形的面
积为 ．
8．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）已知 ，则代数式 的值为
．
9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若 ， ， ，则 、
、 的大小关系是 （用“ ”连接）．
10．（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样
分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是 米，
请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米．
三、解答题
11．（2024八年级上·全国·专题练习）运用平方差公式计算．
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
13．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）简便方法计算：
(1)
(2) ．
14．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）简便运算
(1) ；
(2) ．
15．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）先化简再求值： ，其中
， ．
16．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，某小区有一块长为 米，宽为 米的长方形地
块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
(1)用含有 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
(2)当 ， ，求绿化的总面积；
(3)在（ ）的条件下，开发商找来甲、乙两绿化队完成此项任务．已知甲队每小时可绿化 平方米，乙队每小时绿化 平方米，若根据施工队的工期需要，甲队的工作时间比乙队的工作时间少 小时，则甲、乙
两队各工作多少小时？
17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图1），然
后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．
B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ， ，求 的值．
②计算：
18．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】（1）如图①，边长为 的大正方形中有一个边长为 的
小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影
部分面积，可以得到乘法公式： （用含 的等式表示）；
【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题：
①已知 ， ，则 的值为 ；
②计算： ．
【拓展】（3）计算： ．
