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专题突破卷 10 导数与不等式证明
1.简单不等式的证明
1．证明：当 时， ．
【答案】证明见解析
【分析】构造函数 ，利用导数求函数的最值，即可证明.
【详解】由题设，要证 ，只需证 即可，
令 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故 ，即 在 上恒成立，
∴ ， 得证．
2．证明以下不等式：
学科网（北京）股份有限公司 1(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）令 ，利用导数求得函数 的单调性，得到 ，即可证得
；
（2）令 ，利用导数求得函数 的单调性，得到 ，即可
证得 ；
（3）由（1）得 ，由（2）得 ，结合①式与②式取等号的条件不同，即可证得
.
【详解】（1）解：令 ，则有 .
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 单调递减， 上单调递增，
所以 ，即 .
所以 .
（2）解：令 ，则 .
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 2所以 在 单调递增， 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 .
（3）解：由（1）得 ，所以 （当且仅当 时取等号）①.
由（2）得 ，所以 （当且仅当 时取等号）②
因为①式与②式取等号的条件不同，所以 .
3．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】构造新函数，转化成证明函数最小值非负即可解决.
【详解】证明：令 ，则
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增
则 在 时求得最小值 ，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立
4．证明： .
【答案】证明见解析
【分析】构造函数 ，求导，根据函数的单调性求解最值，即可求证.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
学科网（北京）股份有限公司 3故当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
故当 时， 取极小值也是最小值，
故 ，因此 .
5．（多选）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【分析】利用构造函数法，结合导数的性质逐一判断即可.
【详解】A：构造新函数 ，所以 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以当 时，函数有最大
值，最大值为： ，
即 ，因此本选项不等式成立；
B：构造新函数 ，所以 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以当 时，函数有最
小值，最小值为： ，
即 ，因此本选项不等式成立；
C：设 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时，函数有最小值，最小值为： ，
学科网（北京）股份有限公司 4即 ，因此本选项不等式成立；
D：设 ，
因为 ，所以 单调递减，所以当 时，
有 ，即 ，因此本选项不等式成立，
故选：ABCD
6．（多选）下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】首先构造函数利用导数求出最值，即可判断A，B正确，利用特殊值即可判断C，D错误.
【详解】对选项A，设 ， ，
当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
所以 ，即 ，故A正确.
对选项B，设 ， ，
当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 ，即 ，故B正确.
对选项C，当 时， ，此时 ，故C错误.
对选项D，当 时， ，故D错误.
故选：AB
学科网（北京）股份有限公司 52.直接法
7．已知函数 ， ，函数 与函数 的图象在交点
处有公共切线.
（1）求 、 的值；
（2）证明： .
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由 为函数 与函数 图象的交点，所以有 ，又在交点
处有公共切线，根据导数的几何意义有 ，联立即可求解.
（2）构造函数 ，利用导数判断单调性并根据单调性求出最大值，求得 即可
证明.
【详解】解：（1） ， ，
由题意得 解得 ， ；
（2）证明：令 ，
则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 ，
所以 ，即 .
8．已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司 6(1)求 的图象在点 处的切线方程；
(2)求证：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）将所证不等式变形为 ，再构造函数，利用导数证明即可.
【详解】（1） ，
， ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 .
（2）当 时，要证 ，即要证 ，只要证 ，
设 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 ，所以当 时， ，即 .
故原不等式成立.
9．已知函数 ，
(1)若 在区间 上恰有一个极值点，求实数 的取值范围；
(2)求 的零点个数；
(3)若 ，求证：对于任意 ，恒有 ．
学科网（北京）股份有限公司 7【答案】(1) ；
(2)1；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数 的极值点作答.
（2）利用导数探讨函数 的单调性，结合零点存在性定理判断作答.
（3）把 代入，对所证不等式作等价变形，再构造函数，利用导数推理作答.
【详解】（1）函数 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
因此 是 的极小值点，依题意， ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 得 ，由 得 ，于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而当 时， ，即有 ，因此 在 上没有零点，
显然 ，即函数 在 上存在1个零点，
所以函数 的零点个数为1.
（3）当 时， ， ，
于是要证 ，即证 ，只需证 ，
令函数 ，求导得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，即 在 上递减，在 上递增，
因此 ，则 ， ，即 ，
所以对于任意 ，恒有 .
学科网（北京）股份有限公司 810．已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，当 时，证明： .
【答案】（1）见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）首先对函数求导，对式子进行因式分解，结合函数的定义域，对参数的范围进行讨论，从
而利用导数的符号确定出函数的单调区间；
（2）构造新函数 ，对函数求导，得到函数的单调性，从而得到函数的
最值，根据函数的最小值大于等于零，从而证得结果.
【详解】（1）
当 时， ，
当 时， ，
∴ 时， 在 上递减，在 递增
时， 在 上递增，在 递减
（2）设
则
， 时， ， 递减
， 递增，
设 ， ,则
时， 时， 递增，
时， ， 递减
，
，即
【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数单调性，注意
分类讨论思想的应用，应用导数证明不等式恒成立，注意构造新函数，结合最值得到结果.
11．设函数f(x)＝alnx＋ ，a∈R.
学科网（北京）股份有限公司 9（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当a＝1且x 1时，证明： x2－x＋3 f(x).
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出导函数 ，分类讨论确定 的正负，得 的单调性；
（2）不等式移项变形为一边为0，然后引入新函数，由导数确定单调性后，由函数单调性可证结论成立．
【详解】（1） 定义域是 ，
，
时，则 ， 在 上单调递减；
时， 时， ， 时， ，
所以 在 上是减函数，在 上是增函数；
（2） 时，不等式 x2－x＋3 f(x)化为 ，
设 ，
，因为 ，所以 ， 是增函数．
所以 时， ，原不等式成立．
12．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先对函数求导，然后分 ， ， 和 四种情况讨论导数的正负，从而可求
出函数的单调区间；
学科网（北京）股份有限公司 10（2）要证 ，只需证 ，而 ，所以换元后构造
函数 ，然后利用导数求其最大值小于等于 即可.
【详解】（1）由 ，得
① 时， ，当 ，当 ，
所以 增区间为 ，减区间为 ，
② 时， 得 ，
若 ，即 时， 恒成立，所以 为R上的增函数
若 ，即 时，由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以 增区间为 ， ，减区间为
若 ，即 时，由 得 或 ，由 得 ，
所以 增区间为 ， ，减区间为
综上得： 时， 增区间为 ，减区间为 ；
时， 增区间为 ；
时， 增区间为 ， ，减区间为 ；
时， 增区间为 ， ，减区间为 .
（2） 时，要证 ，
即证 ，即证
学科网（北京）股份有限公司 11因为
令 ，（ ），
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 递增， 递减，
所以 最大值为 ，
所以 ，得证
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不
等式，第（2）问解题的关键是将问题转化成证 ，令 ，只要证 ，再
构造函数 ，利用导数求其最大值小于等于 即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难
题.
3.构造函数
13．已知函数 ．
(1)求函数在 处的切线方程；
(2)求 在 的最大值和最小值，并说明函数零点个数；
(3)求证：曲线 在抛物线 的上方．
【答案】(1)
(2)最大值为 ,最小值为 ，函数有2个零点．
(3)证明见解析
【分析】（1）由函数在某点处的切线求解.
学科网（北京）股份有限公司 12（2）求导，利用导数研究函数的单调性、最值及零点个数.
（3）令 ，只需证明 即可.
【详解】（1） ，切点
，
切线方程为 ．
（2） ，令 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，
所以函数的最大值为 ；最小值为 ．
， ，所以函数有2个零点．
（3）证明：由题意只要证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
则 单调递增， ， ，
所以 在 内有唯一解，设为 ，即 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 13故 ， ，
根据二次函数的性质可知，对称轴 ，
所以二次函数在 单调递减，
，
故曲线 在抛物线 的上方．
14．已知函数 ， ，证明： ．
【答案】证明见解析
【分析】将不等式化为证明 ，构造函数分别证明即可.
【详解】证明：要证 ， ，即证 ．
设 ， ，则 ，
在区间 上单调递减，
则 ，即 ．
设 ， ，则 ，
在区间 上单调递增，则 ，
即 ．
综上，当 时， ，即 ．
15．已知函数 有两个零点．
(1)求a的取值范围；
(2)设 ， 是 的两个零点，证明： ．
学科网（北京）股份有限公司 14【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导确定函数的单调性，即可根据最大值 求解，
（2）构造函数 ，利用导数求解单调性，即可求解.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上递增， 至多一个零点，不符合题意，舍去；
当 时，令 得 ，所以 在 上递增，
当 ，此时 在 上递减，
所以 的极大值也是最大值 ，∴ ．
又 时， ； 趋向于 时， 趋向于 ．
所以， 有两个零点，a的取值范围为 ．
（2）不妨设 ，由 ，则 ．
构造函数 ，
，
因为， ，∴ ，即 ，所以 在 是递增，又 ，所以
，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 15∴ ．
又 ，∴ ．
而 ， ， 在 上递减，所以， ，即 ，所以， ．
16．已知函数 ，且 恒成立 ．
(1)求实数 的值；
(2)证明： ．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）令 ，求得 ，设 ，利用导数判断
单调递增，进而求得 ，设 ，利用导数判断函数的单调性，结合
，即可求解.
（2）方法一：由（1）转化为 ，即证 ，设
，利用导数得到单调性，转化为 ，令
，利用导数求得函数的单调性，结合 ，即可求解；
方法二：令 ，得到 ，判断 的单调性，结合
，利用作差比较法，即可求解.
【详解】（1）令 ，
学科网（北京）股份有限公司 16则 ，
设 ，则 对任意 恒成立，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以存在唯一实数 ，
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 ，
因为 ，
所以 ，且 ．
所以 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，
所以 ，而依题意必有 ，所以 ，此时 ，
所以若不等式 恒成立，则正实数 的值为1．
（2）方法一：由（1）知，当 时， 对任意 恒成立．
所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，
所以要证明 ，
学科网（北京）股份有限公司 17只需证 ，
即证 ．
设 ，则 ，
则 在 上单调递增， 上单调递减，
所以 ，即 ，
又由 在 恒成立， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以要证 ，
只需证 ，即 ，
令 ，可得 ，
则 在 上单调递减， 上单调递增，
所以当 时， ，
即 恒成立，
所以 ．
方法二：令 ，则 ，
则 在 上单调递增， 上单调递减，
所以 ，即 ，
在 恒成立， 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司 18所以 ，即 ，
要证 ，
只需证 ，即 ，
令 ，可得 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 ，函数 取得极小值，也为最小值，所以 ，
所以 恒成立，
所以 ．
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4.隐零点代换
17．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： .
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）把 代入，求出 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程作答.
（2）根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数单调性、最值情况推理作答.
【详解】（1）当 时， ，求导得 ，则 ，而 ，
学科网（北京）股份有限公司 19则切线方程为 ，即 ，
曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）当 时，令 ， ，求导得 ，
显然函数 在 上单调递增，令 ， ， ，
即函数 在 上单调递增，而 ，
则存在唯一 ，使得 ，即 ，因此存在唯一 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，因此函数 在 上递减，在 上递增，
当 时， ，则 ，
（当且仅当 即 时，取等号，故式子取不到等号）
所以当 时， .
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、
极(最)值问题处理.
18．（ 2023秋·山东枣庄·高三统考期末）已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)当 时，求证 在 上存在极值点 ，且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当 时，先证明 在 上递增，注意到 ，然后利用单调性解不等式；
（2）先根据零点存在定理，说明 存在正数解 ，然后利用 ，用 表示 后，构造函数，证
学科网（北京）股份有限公司 20明 即可.
【详解】（1） 时， ， ，令 ，则 ，于是
时， ， 递增， 时， ， 递减，
故 在 处取得最小值，即 ，于是 ，故 在 上递增，注
意到 ，
故 ，结合单调性，于是 ，即 ，解得 ，
不等式的解集为 .
（2） ，则 ，令 ， ，由 可知，
时， ， 递增， 时， ， 递减， 在 处取得最小值，
而 ，又记 ， ，
故 在 上单调递减，故 ，于是 ，即 ；
，令 ， ，记 ，则
，则 在 单增， ，
故 在 上递增， ，取 ，则 ；
记 ， ，于是 时， ， 递减， 时， ， 递增，故 在 处
取得最大值，
故 ， 取得等号，于是 . 于是，
由 和零点存在定理可知， ，使得 ，且 ，
， ， ，所以 是极小值点；
学科网（北京）股份有限公司 21由 可得， ，令 ，代入 ，整理
， ，
于是 时， ， 递减， 时， ， 递增，故 在 处取得最大值，故
，取 ，故 ，原命题得证.
【点睛】本题第二问的关键有两步，第一，使用零点存在定理时， 这两个点的寻找；第二
证明存在极值点 后，设而不求，用隐零点的方式处理.
19．已知 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 有两个极值点 ，证明： ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用给定的单调性列出不等式，再结合恒成立条件求解作答.
（2）根据给定条件，求出a的取值范围，将 用a表示出，再构造函数并借助导数推理作答.
【详解】（1）函数 定义域为 ，依题意， ， 成
立，
即 ， 成立，而当 时， ，因此 ，
而 时， 不是常数函数，于是得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ， ，因 有两个极值点 ，则 ，即
有两不等正根，
学科网（北京）股份有限公司 22于是得 ，有 ，
，
，令 ， ，
，显然函数 在 上单调递增，而 ，
因此 ，使得 ，即 ，当 时， ，当 时， ，
于是得 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
显然 在 上单调递增，则 ，因此 ，即有 ，
所以 .
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、
极(最)值问题处理，本题的关键点在于转化成新函数的最值问题后，需要通过隐零点代换，进而求出函数
的最值，使问题得到解决.
20．已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数分类讨论 、 、 时的单调性即可.
（2）根据已知条件将证明 转化成证明 （
学科网（北京）股份有限公司 23），运用导数研究 的最大值与0比较即可.
【详解】（1）由题意知， 定义域为 ，
，
令 ，则 ，
①当 时， ， ， 在 上单调递减，
②当 时， ， 的2个根为 ， ，
此时 ，则 ， 或 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递
减，
③当 时， ， 的2个根为 ， ，
此时 ， ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上，①当 时， 在 单调递减；
②当 时， 在 单调递减，在 单调递增，在 单
调递减；
③当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为 有两个极值点 ， ，
所以由（1）可知 ，且 ， ，
所以
学科网（北京）股份有限公司 24要证 ，即证 ，
只需证 ， ，
令 ， ，
则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减，
又 ， ，
由零点存在性定理得， 使得 ，即 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
则 ，
令 ， ，
则当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即 ．
【点睛】隐零点问题求解三步曲：
学科网（北京）股份有限公司 25（1）用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程 ，并结合 的单调性得到
零点的取值范围．
（2）以零点为分界点，说明导函数 的正负，进而得到f(x)的最值表达式．
（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．
21．已知函数 ，其中 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，函数 ，证明： 的极小值恒大于 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导得 ，分 和 讨论即可；
（2）求导得 ，令 ，利用导数和隐零点法得 ，而分析得
，再根据 ，则可证明 的极小值恒大于 .
【详解】（1） ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 .
综上，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ,
（2）当 时， ,
所以 .令 ，则 ,
学科网（北京）股份有限公司 26所以 在 上单调递增，
又 ，
由函数零点存在定理可知存在唯一实数 ,使得 ，
即 ，即 .
当 时， ，即 ，则 单调递减；
当 时， ，即 ，则 单调递增，
所以 .
因为 ，所以 ,
所以 的极小值恒大于 .
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是令 ，从而利用隐零点法得到 ，再分析代
换得 ，最后根据 即可证明原结论.
22．已知函数 ．
(1)若 的最小值为 ，求a的值；
(2)若 ，证明：函数 存在两个零点 ， ，且 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数 的单调性，根据函数 的最小值列等式，再利用函数
的单调性求a的值；
学科网（北京）股份有限公司 27（2）利用导数研究函数 的单调性，结合零点存在定理证明函数有两个零点，结合对数运算寻找函数
的两个零点之间的关系，即可根据基本不等式证明不等式.
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ， ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增．
因为 ，所以 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
即 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增．
所以 ，
所以 ，即 ，
易知 单调递增，且 ， 所以 ，所以 ．
（2）当 时， ， ，显然 单调递增，
又 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，所以
，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
因为 ， ， ，所以 有两个
学科网（北京）股份有限公司 28零点 ， ，
不妨设 ，则 ， ．
因为 ，
所以 ， 所以 也是 的零点，
因为 且 只有两个零点 和 ，所以 ．
所以 .
【点睛】方法点睛：（1）运用导数可以研究函数图象的切线、函数的单调性、函数的最值和极值、函数
的零点，证明不等式等．运用导数解决问题时一定要有定义域优先意识；
（2）本题寻找函数 的两个零点之间的关系较难，故当综合法受阻时，可借助分析法猜测两个零点之
间的关系，再进一步验证.
5.同构法
23．已知 ．
(1)若 的图象在x＝0处的切线过点 ，求a的值；
(2)若 ， ，求证： ．
【答案】(1)a＝1
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数 ，利用 可得 值；
（2）用分析法，不等式 变形化为同构式 ，引入函数
，由导数确定其单调性后，只要证明 ， 时 ，即
学科网（北京）股份有限公司 29，即 ， 时 ，
再引入函数 ，又由导数得其单调性，从而得结论成立．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
因为 的图象在x＝0处的切线过点 ，
所以 ，即a＝1．
（2）要证 ，即证 ，
即证 ，
因为 ， ，所以 ， ，
设 ，则 可化为 ，
因为 ， 在 上是减函数，
所以问题转化为 ， 时 ，即 ，
即 ， 时 ，
设 ，因为 ，则 在 上是增函数，
所以 ，
所以 在 上是增函数，所以 ，
所以 ， 时 ，
学科网（北京）股份有限公司 30即 ， 时 ．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式．证明不等式的方法是分析法，即对不等式进
行变形，寻找不等式成立的条件，难点是首先对不等式同构变形后引入函数，利用函数的单调性再化简不
等式，然后取对数后再引入新函数，确定单调性，利用函数的单调性得出证明．考查了学生逻辑思维能力，
创新意识，属于难题．
24．设实数 ，若对任意的 ，关于x的不等式 恒成立，证明 的最小值为 ．
【答案】证明见解析
【分析】根据对数恒等式及函数的单调性得 在 上恒成立，利用分离参数法得 在
恒成立，再利用导数法求函数的最值即可求解.
【详解】
令 ，
，
，
所以 在 上单调递增；
，即
令 ， ，则
当 时， 在 上单调递减；
当 时，函数 取的最大值为
，即 ，
即证，实数 的最小值为 ．
【点睛】解决此类问题运用同构原理，根据对数恒等式及单调性，再结合解决函数横成立的问题的方法即
学科网（北京）股份有限公司 31可.
25．已知 ， （n为正整数， ）．
(1)当 时，设函数 ， ，证明： 有且仅有1个零点；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）对 进行二次求导，根据二阶导数的单调性，确定一阶导数的正负，从而判断原函数的
单调性，结合零点存在定理，即可求证.
（2）根据题意，只需证 即可，结合 结合同构函数，即可容易证明.
【详解】（1）当 时，
记 ，则
所以 在区间 上单调递增
而 ，
所以存在 ，使得 ，即
当 时， ， 单调递减
当 时， ， 单调递增
又 ， ，
所以 在 上没有零点，在 上有一个零点，
综上所述，函数 在 内只有一个零点.
（2）当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 32要证 ，
即证 ，
令 ，则 ，
所以 在 单调递减， ，即 ，
要证 只需证 ，
令 ，则 ，
∴ 在 单调递减，在 单调递增，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
所以 成立，
∴原命题得证.
【点睛】本题考查利用导数证明函数的零点个数，以及利用导数证明不等式恒成立，解决第二问的关键是
利用 进行放缩，以及利用同构 构造函数进行证明，属综合困难题.
26．已知函数 ．
(1)证明：当 时， ；当 时， ；
(2)若关于x的方程 有两解 ，证明：
① ；
② ．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，根据其正负判断函数的单调性，从而证明结论；
（2）①根据 有两解可得 有两零点，利用其导数求得其最小值，根据条件
学科网（北京）股份有限公司 33列出相应不等式，求得参数范围，即证明结论；
②根据由 ，推出 ，结合 和（1）的结论，得 ，
即 ，同理可得 ，从而同构函数
，结合一元二次方程根的分布求得其根的范围，即可证明结论.
【详解】（1）证明：设 ，则 ，仅当 时取等号，
所以 是增函数，且 ，当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．
综上，当 时， ；当 时， ．
（2）证明：①由题意，得 ， ，
则 ， ．
令 ，则 ， ．
因为 时， ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 是 的极小值点，也是最小值点，且 ．
要有两个不同的零点，首先必须 ，即 ，
而当 时， ，所以需满足 ，
则当 时， 在区间 内有一个零点 ；
又 ，则 在区间 内又有一个零点 ．
学科网（北京）股份有限公司 34综上，若关于x的方程 有两解 ，则 ．
②由①可知 ，由 ，得 ，
即 ，即 ．
因为 ，所以由（1），得 ，
即 ，整理，得 ①．
因为 ，所以同理可得 ②
由①②，同构函数 ，则 ， ．
因为 ， ， ，所
以方程 有两个不等正实根，
设 ，则 且 ，则有 ， ，
所以 ，即 ．
【点睛】难点点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性和解决零点问题以及证明不等式，综合性
加强，难度较大，解答的难点在于证明 ，要结合方程 两解情况，同构函数，
进而判断其根的分布范围，进而证明结论.
27．已知函数 ， ．
(1)求证： 存在唯一零点；
(2)设 ，若存在 ，使得 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
学科网（北京）股份有限公司 35【分析】（1）二次求导，得到 在 上单调递减，在 上单调递增．因为 ，所以
有唯一零点；
（2）利用同构得到 ，故不等式变形为 ，
构造 ，二次求导，结合特殊点的函数值，得到 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 ，从而证明出结论.
【详解】（1）证明：由题意，得 ．
记 ，则 ．
因为 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
因为 ，所以 在 上恒小于0，在 上恒大于0，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，所以 有唯一零点x=1．
（2）由 ，得 ．
记 ，故 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
则 ，
设
则 ，令 ，
学科网（北京）股份有限公司 36则 ．
因为 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，注意到 ，
所以 的解集为 ， 的解集为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
又因为 ，所以 ．
【点睛】关键点点睛：导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，
本题难点是将 变形为 ，从而构造 ，得到
，从而双元变单元，进行求解.
28．已知函数 ，当 时，证明： ．
【答案】证明见解析
【分析】先化简得到 ，再构造 ，利用导函数得到其单调性，从而求
出 ，从而得到 的单调区间和最值，不等式得到证明.
【详解】 ，设 ，
则 ，设 在 上单调递减， 上单调递增，
∴ ，
∴
其中 ， ，
因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 37令 得： ，令 得： ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
在 处取得极小值，也是最小值，
∴ ，
∴
即 ．
【点睛】同构法对函数进行变形，常用的变形有 ， ， ，
等.
6.巧用放缩法
29．已知函数 ， ．
(1)设 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得；
（2）根据已知对函数 进行放缩，然后利用导数求最值可证.
【详解】（1）当 时， ，
∴
，∴
学科网（北京）股份有限公司 38曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）∵ ，∴
∴当 时，
令 ， ，
令 ，易知令 在 上单调递增
又∵
∴当 时， ，则 ，∴ 单调递减
当 时， ，则 ，∴ 单调递增
，即
∴当 时，
30．已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)．
(1)讨论f(x)极值点的个数；
(2)若x 是f(x)的一个极小值点，且f(x)>0，证明：f(x)>2(x－ )．
0 0 0 0
【答案】(1)当a≤0时，f(x)无极值点，当a>0时，f(x)有一个极值点；
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数 求导，讨论 的不同的范围求出函数极值点的情况
（2）由（2）可得 ，将 值代入 ，构造函数 ，可得它的单调
性，进而求出 的范围，再构造函数 ，求导，求出其单调性可得 ，放缩可得
．
【详解】（1） ， ，
学科网（北京）股份有限公司 39①当 时 ， 在 单调递增，不存在极值
②当 ，令 ，则 ，令 ， ， 单调递增，
又因为 ， （a） ，
必存在 ，使 ，
， ， ， 单调递减，
， ， ， ， 单调递增，
所以 是 的极小值点，
综上所述：当 ， 无极值点，
时， 有一个极值点．
（2）证明：由（2） ，即 ，
所以 ，所以 ， ，
由 ， ，可得 ，
令 ， ，显然 在 单调递减，
而 （1） ，由 （1），所以 ，
令 ， ， ， ，函数 单调递增， ， ， 单
调递减，
所以 （1） ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
，
学科网（北京）股份有限公司 40两式相乘可得 ，
所以 ，
即证 ．
【点睛】本题解题的关键是利用“隐零点”的解法得到函数的最值 ，进而利用放缩
及构造证明不等关系.
31．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)当 时，求证： .
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，极小值为 ，没有极大值
(2)证明见解析
【分析】(1)求f(x)的导数，利用导数即可求f(x)单调区间，根据单调性即可求其极值；
(2)化简要证明的不等式，构造新函数，利用sinx≥－1放缩，转化为已知函数求解.
【详解】（1）易知函数 定义域为R，
∵ ，∴ ，
令 ，解得 ， 在 上单调递增，
，解得 ， 在 上单调递减，
即 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
∴函数 的极小值为 ，没有极大值；
（2）解法一：要证 ，
即证 ，
设 ，要证原不等式成立即证 成立，
学科网（北京）股份有限公司 41∵
∵ ，∴ (当且仅当 ， 时等号成立)，
由(1)知 ( 等号成立)，
∴ ，∴ 在 单调递增，∴
∴当 时， 得证.
解法二：要证 ，
即证
设 ，要证原不等式成立即证 成立，
∵ ，
设 ，
则 ，令m(x)＝ ，
则
∵ ， ，又 ，∴ ，
即 在 单调递增，
∴ ，即 在 单调递增，
∴ ，∴ ，
即 在 单调递增，∴
∴当 时， 得证.
【点睛】本题关键在于利用sinx≥－1对函数进行放缩，将构造的新函数转化为已知的函数求解，(2)问的解
法二关键在于利用多次求导判断函数的单调性求函数的最值.
32．已知函数 ，曲线 在点（1，f(1)）处的切线的斜率为2
学科网（北京）股份有限公司 42(1)设 ，若函数 在[m，＋∞）上的最小值为0，求m的值；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的意义求解得 ，进而得到 ，求导分析 的单调
性可得g(x)在（0，＋∞）上单调递增，结合 求解即可；
（2）由（1）令 ，可得当 时 ，再结合放缩转换为证明
，构造函数 ，再求导分析单调性证明即可
【详解】（1） ，由题得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时． ，h(x)在（0，1）上单调递减；当 时 ，h(x)在（1，＋∞）上单调
递增，
所以 ，所以 ，所以g(x)在（0，＋∞）上单调递增，
又 ，所以 ．
（2）证明：由（1）知 时， 恒成立，
令 ，所以 恒成立，
所以 ，故 ，当且仅当 时等号成立，
学科网（北京）股份有限公司 43所以当 时， ，
要证 ，只需证 ，
由（1）知 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
即证当 时， ，即证 ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 在（0，＋∞）上恒成立，
所以k(x)在（0，＋∞）上单调递增，所以 ，即 ，
所以m(x)在（0，＋∞）上单调递增，所以 ，
即 成立，
所以 成立．
【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用前问结论，放缩证明不等式
恒成立的问题，需要构造函数求导分析函数的单调性与最值，结合三角函数的取值范围分析，属于难题
33．设函数 ．已知当 时，存在 ，使得 ．
(1)讨论 的导函数 的零点个数；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)当 时， 在 上没有零点；当 时， 的在 上有唯一零点.
(2)证明见解析.
【分析】(1)利用导数的单调性和零点存在定理，进而确定零点个数.
(2)利用导数的放缩，得到 ，进而得到 ，再讨论
学科网（北京）股份有限公司 44的单调性，得到 ，即可求解.
(1)
因为 ，所以， ，又因为 ，
当 时， ，此时 没有零点；
当 时，存在 ，使得 ，且令 ，
，得到 在 上单调递增，
即 在 上单调递增，又因为存在 ，使得 ，
又 ，根据零点存在定理以及 的单调性，
可知导函数 的在 上有唯一零点.
(2)
由已知得， ，
因为 ，所以， ，
当 时， ， 单调递减
，当 时， ， 单调递增；
，得 ，所以， ；
则 ，
设 ，得 ，
令 ，此时 ， 时， ，
时， ， ，
，
学科网（北京）股份有限公司 45所以， ，
所以，当 时， ，题目得证.
【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的放缩 ，通过放缩，对不等式进行化简，进而把问
题转化为证明 成立，最后通过讨论 证明不等式，
属于难题.
34．设函数 ， .
(1)求曲线 在点（2，g（2））处的切线方程；
(2)设 ，求h（x）的最小值；
(3)证明： .
【答案】(1)
(2)0
(3)证明见解析
【分析】(1)先根据导函数，求出切线斜率，再根据点斜式，即可求解，
（2）令 ，再求导函数 ，令 ，得 ，所以
在R上为增函数，从而求出 有最小值，即可求解.
(3)根据（2）的结论，题意可转化为证明 ，再由切线放缩，题意可转化为证明
，两边平方，即可证明.
【详解】（1）由 ， ，
即 ，且g（2）＝3，所以曲线y＝g（x）在点（2，g（2））处的切线方程为 ，即
，
学科网（北京）股份有限公司 46（2）由 ，得 ，
令 ，则 ，所以 在R上为增函数，
注意到 ，则当x<0时， ；当x>0时， ，
所以h（x）在 上单调递减，在 上单调递增，
所以x＝0是h（x）的极小值点，也是h（x）的最小值点，
故h（x）的最小值为h（0）＝0.
（3）令 .
由（2）得 ，从而 （当且仅当x＝0时取等号），
所以，要证 ，现只需证明 ，
而曲线 在x＝2处的切线方程为 .
因为 （当且仅当x＝2时取等号），
所以 成立，由此，即证 .
而 （当且仅当x＝2时取等号）.
所以 成立.
综上， ，即 成立.
【点睛】本题考查利用导数证明不等式，要充分利用前面问题的结论，进切线放缩，才可求解。
7.数列不等式
35．已知各项均为正数的数列 ，满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司 47(2)记 ，试比较 与9的大小，并加以证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）利用因式分解推得 ，从而得到 是等比数列，进而求得 ，由此得解；
（2）构造函数 ，利用导数证得 ，令 ，从而推得
，再利用错位相减法即可得证.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为 的各项均为正，所以 ，故 ，即 ，
所以 是以2为公比的等比数列，
因为 ，又公比为2，
所以 ，所以 .
（2） ，证明如下：
令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 ，
设 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 48所以 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即 ，则 ，所以 ，所以 .
36．已知 .
(1)证明： ；
(2)证明： 时， .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，结合函数的单调性求得 的最大值，从而证得结论；
（2）由（1）知 ，从而 ， ， ，…，
，相加即可得证.
【详解】（1）由题意知， 的定义域为 ， ，
令 ，解得 ：令 ，解得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司 49（2）由（1）知 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ， ，…， ，
所以
.
37．已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将问题转化为 恒成立，对参数 进行分类讨论，根据函数的单调性，
即可求解；
（2） 时， ，结合（1）的结果，可得 ，再利用不等式进行适度放缩，结合
裂项求和，即可证明.
【详解】（1） ，可得 .
令 ，其中 ，则 .
①当 时， ，合乎题意；
②当 时，由基本不等式可得 ，
学科网（北京）股份有限公司 50当且仅当 时，等号成立， ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，
所以， 不恒成立，不合乎题意；
③当 时， ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以， ，可得
，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 ；
（2）当 时， ，所以 .
由（1）知： ，即 ，所以 .
令 ，得 ，即 ，所以 .
当 时， ，则 ，显然 ，结论成立；
当 时，
，
结论成立.因此，当 时， 成立.
【点睛】思路点睛：本题第二小问考查的是证明不等式，综合了导数与数列的知识，基本方法应使用不等
学科网（北京）股份有限公司 51式适度放缩，使得左边的和能求出，进而得出结果.
38．已知函数 ，其中 为常数.
(1)若 ，求函数 在其定义域内的单调区间；
(2)证明：对任意 ，都有： ；
(3)证明：对任意 ，都有： .
【答案】(1)单调递增区间为 ；单调递减区间为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对 求导，利用导数与函数单调性的关系求解即可；
（2）令 ，利用导数证得 ，从而令 即可得证；
（3）法一：利用（2）中结论，结合累加法推得 ，再构造函数
，利用导数证得 ，从而得证.
法二：利用（2）中结论，结合累加法推得 ，再构造函数
，利用导数证得 ，从而得证.
【详解】（1）若 ，则 ，
此时 的定义域为 ，
令 得 或 （舍去），
故当 时， ，此时 单调递增；
学科网（北京）股份有限公司 52当 时， ，此时 单调递减；
故 的单调递增区间为 ；单调递减区间为 .
（2）当 时， ，
此时 的定义域为 ， ，
所以当 时， 始终单调递增，
故当 时， ，即 ，即 ，
令 ，得 ，即 ，
所以对于任意的 ，都有 成立.
（3）法一：
由（2）可知，对于任意的 均成立，
所以 ，
则 ，
接下来只需要证 ，
令 ，其中 ，
则 恒小于0，
所以当 时， 单调递减，则 ，
于是，当 时， 恒成立，即 恒成立.
所以 .
法二：
学科网（北京）股份有限公司 53由（2）可知，对于任意的 均成立，
所以 ，
则 ，
接下来只需要证 ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，即 在 上单调递减，
故 ，则 在 上单调递减，
所以当 时， ，
于是当 时， 恒成立，即 恒成立，
所以 .
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
39．已知函数 ，
(1)若 ，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求整数a的最小值；
(3)求证 ，
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司 54(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）求导得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程，
（2）根据恒成立将问题转化为 恒成立，构造函数 求导，利用导数求解单调
性，结合零点存在性定理即可求解，
（3）由（2）的结论可得 ，即可由求和关系，结合等比数列求和公式即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，
（2）由 可得 对任意的 恒成立，
记 则 ，
由于 均为 的单调减函数，故 在 单调
递减，
且
所以存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
当 单调递增，
当 单调递减，
所以当 时， 取极大值也是最大值， ，
学科网（北京）股份有限公司 55由于 均为 的单调递增，且均为正，故 单调递增，
因此 ，所以 ，
当 时，现证明 ，
设 ，
则当 时 单调递减，当 时， 单调递增，
当 ，故
当 单调递增，当 单调递减，所以 ，故 ，
由于 ，所以 ，
所以
综上可知 ，故
所以整数a的最小值为1
（3）由（2）知当 时， 恒成立，即 对任意的 恒成立，
取 ，则 ，
所以 ，
因此
【点睛】关键点点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨
别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的
单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函
学科网（北京）股份有限公司 56数，构造有效的函数往往是解题的关键.
40．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ；
(3)证明：对任意的 且 ，都有： .
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得 ，对参数 进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
（2）构造函数 ，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所求得 ，结合放缩法和累加法即可证明.
【详解】（1）函数 定义域 ，
，
当 时， 恒成立，所以 在 单调递增；
当 时，令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 在 单调递增；
学科网（北京）股份有限公司 57当 时， 在 单调递增，在 单调递减.
（2）当 时， ，
要证明 ，
即证 ，即证 ，
设 ，则 ，
令 得，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
所以 ，即 ，
故 得证.
（3）由（2）可得 ，（当且仅当 时等号成立），
令 ， ，
则 ，
所以
，
即 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数
学科网（北京）股份有限公司 58列和导数的综合，要善于运用转化法，整体代换转化进行放缩证明不等式.
1．已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3)已知函数 ，对任意的 ，求证： .
【答案】(1) 在 上递增，在 上递减；
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再根据导数的正负可求出函数的单调区间；
（2）将问题转化为 恒成立，设 ，对函数求导，分
三种情况讨论 的最值，即可得解；
（3）由题意得 ，求导后可判断 在 上递增，则 ，
令 （ ），则 ，（ ），然后利用累加法可证得结论.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递增，
学科网（北京）股份有限公司 59因为 ，所以当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以 在 上递增，在 上递减；
（2）由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
令 ，
则
，
①若 ，即 时，当 时， ，
所以 在 上递增，而 ，
所以当 时， ，不合题意；
②若 ，即 时，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 和 上递减，
因为 ，所以 当且仅当 ，即 ，
所以当 时， ，
③若 ，即 时， ，
由于 ，所以由②可得 ，
学科网（北京）股份有限公司 60所以当 时， ，
综上， 的取值范围为 ；
（3）
，
则 ，
当 时， ，所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 （ ），则 （ ），
即 （ ），
所以 ，（ ），
所以 ，即 ，
同理得 ， ，…， ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数讨论函数的单调性，考查利用导数解决不等
学科网（北京）股份有限公司 61式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，第（3）问解题的关键是利用导数判断出 在 上递增，
则可得 ，然后令 ，转化为 ，（ ），再给 依次增加
1，得到 个不等式相加可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
2．已知函数 .
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)求证：当 时， .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）转化为 ，即 对 恒成立,再根据函数求出最小值可得结果；
（2）（法一）两次求导得 的最小值，再根据基本不等式可得 .（法二）利用 进行放
缩可证 .
【详解】（1） 的定义域为 , .
依题意得： 对 恒成立,
对 恒成立.
令 ，
则 ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 62故 在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
故 ，即 的取值范围为 .
（2）（法一）当 时，设 ，
由 ，得 在 上单调递增，
又 ， ，
由零点存在定理可得 在 上有唯一零点，
设此零点为 ，则 ，有 ，
两边取对数并整理得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
故
.
即当 时， .
（法二）我们先证明， ，当且仅当 时等号成立.
构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 63故 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
当 时，对 两边同时取对数有 ，
故当 时 ，当且仅当 时等号成立.
所以 ，
两个“ ”中等号成立的条件分别为 和 ，
故当 时， .
当 时， ，又 ，
所以 ；
当 时， ，又 .
综上所述，当 时， .
【点睛】方法点睛：第（2）问，一般地，要证不等式成立，可以通过构造函数，利用导数求出函数的最
值，再证明最值使不等式成立即可.
3．已知函数 ．
(1)证明 ；
(2)关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，求得并化简得到 ，得出函数 的单调区间，结合
，即可可证；
（2）根据题意把不等式转化为 ，根据 为增函数，转化为
学科网（北京）股份有限公司 64恒成立，令 ，求得 ，得出函数 的单调区间和最大值
，即可求解.
【详解】（1）由函数 ，可得 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，即 ．
（2）由不等式 ，可得 ，
因为 为增函数，则 ，即 在 恒成立，
令 ，可得 ，
再令 ，可得 ，所以 单调递减，
又因为 ，
所以当 时， ， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ， ，函数 在 上单调递减，
即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 最大值为 ，所以实数 的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
学科网（北京）股份有限公司 65缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．已知函数 .
(1)若 ，讨论函数 的单调性和极值情况；
(2)若 ，求证：当 时， ；
(3)若 ，求证：当 时， .
【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出 的导数，判断导数取值范围进而确定 的单调性，进而可求极值；
（2）求出 二次导数，判断出 单调递增，代入 求出 在 的取值范围，以此找出
的最小值即可；
（3）在（2）的基础上讨论 的取值范围，将a进行分类讨论，判断出 的单调区间，找出最小值
即可.
【详解】（1） ，则 .
令 ，则 .
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 处取得极小值.
学科网（北京）股份有限公司 66（2）证明：当 时，因为 ，
令 ，则 ，
故 在 单调递增.
当 时， ，
故 在 单调递增，则 .
（3）证明：由（2）可知 在 上单调递增， .
①当 时， ，
故 在 单调递增，
所以 ；
②当 时， .
因为 ，
故存在 使得 （*）.
又因为 在 单调递增，
所以当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
由（*）得 ，代入上式，
学科网（北京）股份有限公司 67得 .
因为 ，令 ，
所以 ， .
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以当 时， ，即 得证.
【点睛】方法点睛：函数零点与参数的变换.
在此题中，当函数的导数存在零点时，函数最小值会随着参数的变化而变化，此时函数中存在两个变量，
不易判断出函数的最小值.解决此问题的方法为假设函数最小值点，也就是假设导函数的零点，在导函数中
代入零点构造方程即可将参数用零点表示出来，再代回原式即可得到只有一个变量的函数解析式.
5．已知函数 .
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若 时， 存在两个极值点 、 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立，
构造函数 ，利用导数可求出 的取值范围，即可得出实数 的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司 68（2）由（1）知： 、 满足 ， ，不妨设 ，则 ，则
，所以只需证 成立，构造函数 ，利用导
数证明出 对任意的 恒成立即可.
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
因为函数 在 上单调递减，则对任意的 ， ，
即 ，可得 ，
设 ，则 ，
当 时， ，所以， 单调递增，则 ，故 ，
即实数 的取值范围是 ．
（2）证明：由（1）知： 、 满足 ，则 ，
不妨设 ，则 ．
则 ，
则要证 ，即证 ，
即证 ，也即证 成立．
设函数 ，则 ，
所以， 在 单调递减，又 ．
学科网（北京）股份有限公司 69故当 时， ，
所以， ，即 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．已知函数 .
(1)若方程 有3个零点，求实数 的取值范围；
(2)若 有两个零点 ，求证： ，且 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将问题转化为 与 有三个不同的交点，利用导数研究函数 的性质，从
而结合图象即可求得实数 的范围；
（2）利用导数求得函数 的单调性，再利用零点存在定理证得 ，再利用零点的定义将问题
，构造函数 ，利用导数证得 即可得证.
【详解】（1）解：令 ，即得 ，即 方程有三个零点，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
学科网（北京）股份有限公司 70可得 ，
所以当 或 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有极小值为 ，
当 时， 有极大值为 ，
当 时， ，且当 时， ，
所以作出函数 的图象如图所示，
所以数形结合可知 ，即实数 的取值范围为 .
（2）解：因为 ，
当 时， 单调递增，不可能有两个零点，所以 ，此时 ，
令 ，得 ，所以当 时， ；
当 时， ，
故 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 71若 有两个零点，则 ，得 ，所以 ，
当 时， ， ， ，
故存在 ，使得 ，
又当 趋向于 时， 趋向于 ，故存在 ，使得 ，
故 ，则满足 ，可得 ，即 ，
要证 ，只需证 ，
两边同乘以 ，可得 ，
因为 ， ，所以 ，
令 ，即证 ，即证 ，
令 ，可得 ，
令 ， ，故 在区间 上单调递增，
故 ，因此 ，所以 在区间 上单调递增，
故 ，因此原不等式成立.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
学科网（北京）股份有限公司 727．已知函数 ．
(1)当 时，求 在区间 上的最值；
(2)若 有两个不同的零点 ， ，求 的取值范围，并证明： ．
【答案】(1)最大值为0，最小值为
(2) 的取值范围为 ，证明见解析
【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负确定单调区间最后求出最值即可；
（2）先根据零点个数求出参数 的范围，再设 ，把二元不等式转化为一元，结合导函数的
性质求解即得.
【详解】（1）当 时， ， ，
．
由 ，得 ；由 ，得 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上
单调递减．
因为 ， ，
，
，
所以 在区间 上的最大值为0，最小值为 ．
（2） ．
学科网（北京）股份有限公司 73当 时， ， 在 上单调递减，不可能有两个零点，舍去；
当 时，所以 ，
由 ，得 ，所以 在 上单调递增；
由 ，得 ，所以 在 上单调递减．
当 时， 取得极大值，极大值为 ．
为满足题意，必有 ，得 ．
又 时， ，
时， ，
所以 的取值范围为 ．
因为 ， 是 的两个不同的零点，
所以 ， ，
两式相减得 ．
设 ，要证 ，
只需证 ，即证 ．
设 ，只需证 ，
学科网（北京）股份有限公司 74设 ，则 ，
∴ 在 上为增函数，从而 ，
所以 成立，从而 ．
【点睛】关键点点睛：解题关键是设 ，把二元不等式转化为一元，结合导函数的性质求解即
得.
8．已知函数 的图象在 处的切线与直线 垂直.
(1)求 的值
(2)已知函数 .求证
【答案】(1)
(2)证明见解答
【分析】（1）求导，由导数的几何意义可得 ，从而可得出 ；
（2）令 ，利用导数研究函数单调性，可得函数最值，从而可证
明结论．
【详解】（1） ，又函数 的图象在 处的切线与直线 垂直
所以 ，解得
（2）证明：构造函数 ，则
令 ，则 ，
因此 在 单调递增.
又因为 ，
学科网（北京）股份有限公司 75故 在 有唯一实根 ，且 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增；
从而当 时， 取得最小值，
由 得， ，即 ，
故
因此 .
9．已知函数 ， ．
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值；
(2)设函数 ，证明： 的图象在 的图象的上方．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义根据题意列方程组可求得答案；
（2）令 ， ，将问题转化为证明对任意的 ， 恒成立，等价于证明当
， 的最小值大于零，然后利用导数求 的最小值即可.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ．
依题设， ， ，且 ．
解得 ， ．
学科网（北京）股份有限公司 76（2）令 ， ，
证明 的图象在 图象的上方，
等价于证明对任意的 ， 恒成立，
等价于证明当 ， 的最小值大于零．
由 ，得 ， ，
令 ，则 ，
且当 时， ．
所以 在区间 上单调递增，
因为 ， ，
所以 在区间 上存在唯一零点 ，
所以 ，即 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ．
因为 ，且 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
故 ．
所以 ．
故对任意的 ， 恒成立，
即 的图象在 图象的上方．
学科网（北京）股份有限公司 77【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数证明不等式，解题
的关键是将问题转化为证明对任意的 ， 恒成立，然后利用导数求 的最小值即可，考查数
学转化思想和计算能力，属于较难题.
10．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证: (其中 是自然对数的底数).
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数 ，再对 分类讨论，分别求出函数的单调
区间；
（2）由题意 ， 是方程 的两个根，即可得到 ，令 则
，则 ，只需证明当 时，不等式 成立即可.
【详解】（1）函数 定义域为 ，
，
当 时 恒成立，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时令 ，解得 或 ，
当 ，即 时 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司 78令 ，解得 ，则 在 上单调递减；
当 即 时，令 ，解得 或 ，则 在 ， 上单调递增，
令 ，解得 ，则 在 上单调递减；
综上可得，当 时 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增；
当 时 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
（2）因为 ，
由题意 ， 是方程 的两个根，
①， ②，
①②两式相加，得 ③，
①②两式相减，得 ④，
联立③④，得 ，
，
设 ， ， ，
， ，
因为 ，所以 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 79若 ，则一定有 ，
只需证明当 时，不等式 成立即可，即不等式 成立，
设函数 ， ，
在 上单调递增，故 时， ，
即证得当 时， ，即证得 ，
，即证得 ，则 ．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
11．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间确定导数值的正负，由此确定函数的单调性；
（2）结合（1）由分析可得要证明原结论只需证明 ，设 ，利用导数求其最
大值即可.
【详解】（1）由 ，得 ，
①当 时， ， 在 上单调递减；
学科网（北京）股份有限公司 80②当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
， ， 单调递减；
（2）由（1）知，当 时， ，
要证：当 时， ，
可证： ，
因为 ，即证： ，
设 ， ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
，所以 ，
即 ，
所以当 时， ．
12．设函数 .
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： .
【答案】(1) 时， 单调递减； 时， 单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系，分类讨论即可求出；
学科网（北京）股份有限公司 81（2）分别说明 时， ，则证明 成立即证 ，利用函数的
性质转化为证明 ，令 ，构造函数 ，求导判
断单调性即可得证.
【详解】（1）当 时， ， ，所以 ，
则 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.
（2） ，则 ，
由题意，知 有两解 ， ，不妨设 ，
要证 ，即证 .
①若 ，则 ；
②若 ，由 知，
在 上单调递减，在 上单调递增，则可设 ，
又 ， ，
两式相减，整理得 ①，由 ，可得 ，于是有
，
综合①②知， ，所以只需证 （*），
学科网（北京）股份有限公司 82将①代入（*）式，得 ，即 .
令 ，即证 .
令 ，则 ，
所以 在其定义域上单调递增，所以 ，
所以 成立.
【点睛】方法点睛：函数双变量不等式（极值点偏移型问题）证明方法：
（1）构造对称函数法：求导，获得 的单调性，极值点 情况，作出 的图象，由
得 的取值范围，构造辅助函数 ，结合 与 单调性即可得证不等式；
（2）比值代换法：利用换元法将双变量转化为单变量，例如可设 ，变形处理将问题化为含 的不等
式，构造函数，结合导数求最值证得结论；
（3）对数均值不等式法：利用 转化证明.
13．已知函数 ， ．当 ， 时，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】根据要证 ，构造新函数 ，利用导数研究在 上单调性，证明
所以 ，即可得出结论.
【详解】证明：要证 ，即证 ，只需证 ，
因为 ，也就是要证 ，令 ，
学科网（北京）股份有限公司 83因为 ，所以 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，所以 得证．
学科网（北京）股份有限公司 84
