第1章第02讲幂的乘方与积的乘方（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）_北师大初中数学_7下-北师大版初中数学_7下-初中数学北师大版（2025春季新版）持续更新_4.专项讲练

第 02 讲 幂的乘方与积的乘方 课程标准 学习目标 ①幂的乘方 1.理解并掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则； ②积的乘方 2.掌握幂的乘方与积的乘方法则的推导过程并能灵活运用. 知识点01 幂的乘方法则 (am)n amn m, n 幂的乘方法则： (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. ((am)n)p amnp a0 m,n, p 要点诠释：公式的推广： ( ， 均为正整数) 【即学即练1】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： ． 【即学即练2】（24-25七年级上·上海松江·期中）计算： ． 知识点02 幂的乘方法则逆用公式 amn   amn   anm 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， 从而解决问题. 【即学即练1】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）已知 那么 的值为 ． 【即学即练2】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）当 ，则 的值为 ． 知识点03 积的乘方法则 (ab)n anbn n 积的乘方法则： (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把 所得的幂相乘. (abc)n anbncn n 要点诠释：公式的推广： ( 为正整数). 【即学即练1】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【即学即练2】（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： ． 知识点04 积的乘方法则逆用公式 anbn abn 积的乘方法则逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数 时， 10 10 1 1  210  2 1.     2 2  计算更简便.如： 【即学即练1】（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【即学即练2】（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据下列条件回答问题 (1)已知 ，求n的值； (2)已知 ， ，求 的值． 题型01 幂的乘方运算例题：（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）计算： ； （2）计算： ． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）计算： (1) ； (2) ； 题型02 幂的乘方的逆用 例题：（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）计算 (1)已知 ，求 的值； (2)已知 ，求 的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）计算： (1)若 ， ，求 的值． (2)若 ，求x的值． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）将幂的运算逆向思维可以得到 ， ， ，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易， 使问题巧妙获解． (1)若 ， ，求 的值． (2)若 ，求x的值． 题型03 利用幂的乘方比较大小 例题：（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题， 对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形 式，请阅读下列材料：若 ， ，则 的大小关系是 ______ （填“ ”或“ ”．） 解： ， ，且 ，， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较 的大小； (3)比较 与 的大小； (4)已知 ， ， ．求 之间的等量关系． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）比较大小： （填“ ”、“ ”或“ ”）． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较 和 的大小． 解：因为 ， 所以 ，即 ． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较 和 的大小． 解：因为 ， 所以 ，即 ． 小结：底数相同（底数大于1）的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． (1)比较 的大小； (2)比较 的大小； (3)已知 ，比较 的大小（ 均为大于1的数）． 题型04 积的乘方运算 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ； (2) ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东滨州·期中）计算： (1) ； (2) ． 2．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：(1) ； (2) ． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 题型05 积的乘方的逆用 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）（1）已知 ，求 的值． （2）已知 ，求x的值． （3）计算 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式： ， ， …… (1)发现规律： ______， ______． (2)应用规律： ①填空： ______， ______； ②计算： ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答 下列问题． 东东的作业 计算： ． 解：原式 ． (1)计算： ① ； ② ； (2)若 ，请求出n的值．一、单选题 1．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州黔南·阶段练习）计算： ，其中，第一步运算的依 据是（ ） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 3．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）若 成立，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 4．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ） A．14 B．126 C．24 D．128 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ， ，比较 、 、 的大小（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算 的结果为 ． 7．（24-25八年级上·吉林四平·期末）计算： ． 8．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知 ，则 的值为 ． 9．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）我们定义：三角形 ，四边形 ；若 ，则 ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）已知 ，则代数式 的值为 ． （2）若 均为正整数，且 ，则 的值为 ．三、解答题 11．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算 (1) (2) 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2) ． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) ； (3) （m为正整数）． 14．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）（1） ， ，求 的值； （2）若 ， ，求 ． 15．（24-25八年级上·广东汕头·期中）（1）计算： ； （2）已知 ，求 的值． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）若 （ 且 ， ， 是正整数），则 ．利用上述 结论，解决下列问题． (1)若 ，求 的值； (2)请比较 ， ， 的大小，并说明理由． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）（1）若 ，求 的值； （2）已知 ，求 的值； （3）若 ， ，求 的值． 18．（24-25八年级上·山西临汾·期中）下面是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列 问题． 东东的作业 计算： 解：原式 计算：(1) (2)若 ，请求出n的值 19．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）解答下列问题： (1)若 ，求 的值； (2)已知 为正整数，且 ，求 的值； (3)若 ， ，用含 的代数式表示 ． 20．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较 和 的大小． 解：∵ ，且 ∴ ，即 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小 材料二：比较 和 的大小 解：∵ ，且 ∴ ，即 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 【方法运用】 (1)比较 、 、 的大小 (2)比较 、 、 的大小 (3)已知 ， ，比较a、b的大小