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第 10 讲 解题技巧专题：整式运算中含参数及新定义型问题
目录
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】
【考点一 利用单项式乘法求字母或代数式的值】
例题：（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式 与 的积为 ，则 的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
2．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式 与 的积为 ，那么 （ ）
A．11 B．5 C．1 D．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）若 ，则 的值为 ．
5．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
【考点二 利用单项式乘多项式求字母的值】
例题：（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若 ，则a的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．8
2．（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）已知 ，当x为任意数时该等式都
成立，则 的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
3．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）若 对任意 都成立，则 ．
【考点三 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25八年级上·河南驻马店·期中）若 的乘积中不含 项和 项，则
．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知 的计算结果中不含 项，则 的值为
．
2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若 的积中不含 项和 项．求：
(1)p、q的值；
(2)代数式 的值．
3．（23-24六年级下·山东青岛·阶段练习）已知 与 的积与 是同类项．
(1)求 的值，
(2)先化简，再求值： ．
4．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若 的积中不含 与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
5．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）若 的积中不含x项与 项．
(1)求p，q的值；
(2)求代数式 的值．
【考点四 多项式乘多项式与图形面积中无关型问题】
例题：（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图1，有足够多的边长为 的小正方形（A类），长为 、宽
为 的长方形（ 类）以及边长为 的大正方形（ 类）卡片，发现利用图1中的三种卡片各若干可以拼
出一些长方形来解释某些等式．
例如图2可以解释的等式为 ．(1)图3可以解释的等式为 ；
(2)要拼成一个长为 ，宽为 的长方形，那么需用A类卡片 张， 类卡片 张， 类卡片
张；
(3)用5张 类卡片按图4的方式不重叠地放在长方形内，未被遮盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设
右下角与左上角的阴影部分的面积之差为S， ，若S的值与 无关，试探究 与 的数量关系，并
说明理由．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割成 部分，除阴影图形
外，其余 部分为形状和大小完全相同的小长方形 ，其中小长方形 的宽为 ．
(1)计算：小长方形 的长 ________，小长方形 的周长 ________；（用含 的代数式表示）；
(2)小明发现阴影图形 与阴影图形 的周长之和与 值无关，请你通过计算对他的发现作出合理解释．
2．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，长为 ，宽为 的大长方形被分割为7小块，除阴
影 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为 ．
(1)从图可知，每个小长方形的较长边的长是 （用含 的代数式表示）；
(2)分别计算阴影 的周长（用含 的代数式表示），并说明阴影 与阴影 的周长差与 的取值无
关；
(3)当 时，比较阴影 面积的大小
3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）【知识回顾】
七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式 的值与x的取值无关，求a的
值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，
所以含x项的系数为0，即原式 ，所以 ，则 ．
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m值；
【能力提升】
(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形 内，大长方形中
未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为 ，左下角的面积为 ，当 的长变化
时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
4．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）［知识回顾]
有这样一类题：
代数式 的值与x的取值无关，求a的值；
通常的解题方法；
把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即
原式 ，所以 ，即 ．
［理解应用]
(1)若关于x的多项式 的值与x的取值无关，求m的值；
(2)已知 的值与x无关，求y的值；
(3)（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在
大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为 ，左下角
的面积为 ，当AB的长变化时， 的值始终保持不变，求a与b的等量关系．
【考点五 完全平方式中的字母参数问题】
例题：（24-25八年级上·吉林·期末）若式子 是一个完全平方式，则k= ．
【变式训练】1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若 是一个完全平方式，则常数k的值为 ．
2．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）如果 是一个完全平方式，那么 的值是 ．
3．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值
为 ．
4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如果关于 的整式 是某个整式的平方，那么
的值是 ．
5．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某个多项式
的平方，则M为 ．
【考点六 整式的运算中的新定义型问题】
例题：（24-25七年级上·上海虹口·期中）定义：整式 乘以整式 ，得到整式 ，如果整式 的项数正
好比整式 的项数多1，那么我们称整式 是整式 的“相邻增项式”．
(1)如果 ， ，判断 是否是 的“相邻增项式”，并说明理由；
(2)已知 ， 都是关于 的整式且 、 均为不等于0的有理数．
①填空：当 时，如果 是 的“相邻增项式”，那么 的值为_____；
②设 ， ，如果关于 的整式 中不含 的二次项，且整式 是整式 的“相邻
增项式”，求 的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读材料：
在学习多项式乘以多项式时，我们知道 的展开结果是一个多项式，并且最高次项为
，常数项为 ． 那么一次项是多少呢？
要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数． 通过观察，我们发现一次项系数就是：
，即一次项为 ．
参考材料中用到的方法，解决下列问题：
(1)求 展开所得多项式中的一次项系数；
(2)已知 展开所得多项式中不含x的二次项，求a的值．
2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）用“ ”定义一种新运算：对于任意有理数 和 ，规定
．如： ．解答下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)化简： ；
(3)若 ， ，判断 与 的大小关系，并说明理由．3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于一组多项式： ， ， (a，b，c都是非零常
数)，当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差除以x是一个常数m时，称这样的三个多项
式是一组和谐多项式，m的值是这组和谐多项式的和谐值．例如：对于多项式 ， ， ，因为
，所以 ， ， 是一组和谐多项式，和谐值为 .
(1)小明发现多项式 ， ， 是一组和谐多项式，求其和谐值；
(2)若多项式 ， ， (p为非零常数)是一组和谐多项式，求p的值．
4．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数
式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 （a、b是整
数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为 ，所以5是“完美数”．
(1)若29是“完美数”，将它写成 （a、b是整数）的形式________；
(2)若 可配方成 （m、n为常数），则 ＝________；
(3)已知 （x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个
k值，并说明理由；
(4)已知 满足 ，求 的最大值．
5．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些
问题．我们定义：一个整数能表示成 （ 、 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 （ 、 是整数）的形式______；
（2）已知 ，则 ______；
探究问题：
（3）已知 （ 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件
的一个 值，并说明理由；
拓展结论：
（4）已知实数 、 满足 ，求 的最值．
