文档内容
北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
问题解决的策略：反思
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 问题解决的策略：反思 课时 1
让学生“想得到”（合情推理与转化）、“证得清”（演绎推理与逻辑）、“说得明”（数学
课标 表达），通过一章节的学习，学生建立的不仅是三角形的公理化体系，更是面对复杂的问题时，化
要求 繁为简，由表及里。严谨求证的思维习惯。
在北师大版2024新教材中，“问题解决的策略”单元被赋予了更重的素养导向。本课时聚焦
教材 于“反思”，旨在打破学生“解完题即扔”的习惯。反思不是简单的检查答案，而是对解题过程
分析 的回顾、对策略优劣的评估、对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳。
八年级学生已经具备了一定的数学基础（如一次函数、全等三角形、方程等），但在解决问题时往
学情 往急于求成，缺乏深度思考。他们能听懂老师讲的方法，但自己很难想出多种解法，也不善于总
分析 结规律。
1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。
核心
2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。
素养
目标 3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。
教学 掌握反思的三个维度——结论检验、策略优化、模型推广。
重点
教学 如何引导学生跳出具体题目，提炼出通性通法，并进行有效的变式推广。
难点
教学
准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动 思考问题如何 情景引入导入新课
也是1米吗？ 解决。
二、探究 探究1： 1、小组探究 设计一个梯子靠在
一、理解问题： 一个梯子靠在 墙上，梯子顶端下
AO=8m,AC=1m,AB=CD=10m,AO⊥OB 墙上，梯子顶 滑1米，梯子底端
求BD=? 端下滑1米， 滑动多少米；证明
二、拟定计划： 梯子底端滑动 等腰三角形两腰上
现实生活问题数学化，墙面、地面和梯子构成直 多少米？ 的中线相等；三角
角三角形，已知直角三角形的斜边和直角边，求另一条 2、自学第 42 形两边中线相等的
直角边。所以利用勾股定理先求出OB、OD, BD=OD-OB 页内容。 三角形是等腰三角
三、实施计划： 3、小组合作 形的证明。使学生
1完成三角形两 围绕“理解问题、
边中线相等的 拟定计划、实施计
三角形是等腰 划、回顾思考”四
四、回顾反思：
三角形的证 个环节进行。重点
一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动
明。 使回顾思考环节，
不是1米。
打破学生“解完题
需要通过数学知识通过计算或证明才能得到正确答案。
即扔”的习惯。反
探究2：
思不是简单的检查
证明等腰三角形两腰上的中线相等
答案，而是对解题
一、理解问题：
过程的回顾、对策
在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别
略优劣的评估、对
是AC、AB的中线，求证BD=CE
数学模型的提炼以
二：拟定计划
及对通法通解的归
证明线段相等的常用方法：1、全
纳
等三角形对应边相等；2、角平分
线上的点到两边的距离相等；3、线段的垂直平分线到
两个端点的距离相等。
找出线段 BD、CE 所在的三角形；△ABD 和△ACE、
△BCE和△CBD、
三、实施计划：
证法一
∵AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线。
∴AE=AD
在△ABD和△ACE中
AD=AE,∠A=∠A,AB=AC
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
证法二
∵AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线。
∴BE=CD，∠ABC=∠ACB
在△BCE和△CBD中
CD=BE,∠ABC=∠ACB,BC=BC
∴△BCE≌△CBD(SAS)
∴BD=CE
四、回顾反思：
1、除了等腰三角形两腰的中线相等外，你还能得到什
么结论？比如，等腰三角形两腰上的高线、角平分线。
小组交流，交流结果记录在学习单上。
2、等边三角形具有以上性质吗？小组交流，交流结果
记录在学习单上。
探究二
2等腰三角形两腰上的 中
线相等的逆命题是：
三角形两边中线相等 的
三角形是等腰三角形
一、理解问题：
在△ABC中，BD=CE, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证
AB=AC
二：拟定计划
利用三角形全等的对应边相等，或证明∠ABC=∠ACB,根
据等角对等边证明AB=AC。
三、实施计划：
连接DE ,延长BC至F使CF=ED
∵E、D是AB、AC的中点，
∴ED∥BC
∴EDFC是平行四边形，DF∥EC,DF=EC=BD
∴∠DFC=∠ECB=∠DBC
在△BCE和△CBD中
BD=CE,∠ECB=∠DBC,BC=BC
∴△BCE≌△CBD(SAS)
∴∠EBC=∠DCB
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形
四、回顾反思：
还有其他方法可以证明吗：
证明△BOE≌△COD，得到BE=CD,由于E、D
是AB、AC的中点，得到AB=AC
自己写出完整的证明过程。
三、尝试 基础达标： 学生完成课堂 引导学生能够在课
1．直角三角形的两直角边长分别是3cm，4cm，则斜边上 练习 堂练习的完成过程
的中线长为（ C ） 中对要点知识加深
A．5cm B．2.4cm C．2.5cm D．5cm或 cm 巩固，有效应用。
2．已知等腰三角形两边长是10 cm和5 cm，那么它的
腰长是( D )
A．25cm B．15cm C．10 cm或5 cm D．10 cm
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
C ）
A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等
3C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则
∠DAC等于 25° ．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中
点，CD＝6cm，则AB的长为 1 2 cm．
第4题 第5题
6．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分
线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为 64° ．
第6题 第
7题
能力提升：
7.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC
的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠
后与点O重合，则∠OEC的度数是 108° ．
【解答提示】:连接BO，延长AO交BC与G
根据等腰三角形三线合一，可证△BOC是等腰三角形，
即BO=CO,等边对等角得到∠OBC=∠BCO
综合角平分线性质和垂直平分线性质，可求出
∠OBC=36°，根据翻折性质∠OCE=∠COE=36°，
在△COE中其内角和180°，继而求出∠OEC=108°
拓展迁移
8.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，
AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF 的形状，
并说明理由．
证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE ＋ EF ＝ CF ＋
EF，
即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
4∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
9．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB
于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º.
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变，
再求∠NMB的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识
是否需要加以修改？
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B＝ （180°-∠A）=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°.
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B＝ （180°-∠A）=55°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°.
（3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半，
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B= （180°-∠A），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90 °- （180°-∠A）=∠A
即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半.
5(4):将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍
有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边的延长
线相交所成的锐角等于顶角的一半．
四、提升 问题解决的策略：反思 引导学生进行 引导学生从知识内
1、理解问题（已知条件是什么？目标是什么？将条件 课堂总结 容、研究方法以及
标注到图形中） 运用过程三个方面
2、拟定计划（需要运用什么知识点，题中已知条件和所 总结自己的收获，
求问题有什么联系，整理思路，准备解答） 让学生全面把握本
3、实施计划（解答实施阶段，注意思维的严谨性，书写 节课的重点和难
的规范性） 点，并启发学生用
4、回顾反思（对解题过程的回顾、对策略优劣的评估、 类比或迁移的方法
学习后续课程。
对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳）
板书设计 解决问题的策略：反思 利用简洁的文字、
1、理解问题 符号、图表等呈现
2、拟定计划 本节课的新知，可
3、实施计划 以帮助学生理解掌
握知识，形成完整
4、回顾反思
的知识体系。
作业设计 基础达标：
（课外练 1．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6 和 4 或 5 和 5 ．
习） 2．在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠B= 40° .
3．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 50° 和 80° 或 65° 和 65° ．
4. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝
30° 或 75° 或 120° 时，△AOP为等腰三角形．
第4题 第5
题 第6题
5．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( C
)
A．48 B．60 C．76 D．80
6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的
周长等于（ B ）
A．17厘米 B．18厘米 C．19厘米 D．13.5厘米
能力提升：
7. 如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被直线分成两个小等腰三角形的是( D )
6A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A
＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ 米时，
有DC ＝AE ＋BC .
解答提示：在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半,得
到AC=12米。设AE=x,CE=12-X,在Rt△CED中DE=2,利用勾股定
理求出CD，再根据DC ＝AE ＋BC .列出方程求解。
拓展迁移：
9. 如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之
间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：
A B 20元， A C 25元
A D 16元, B D 12元
C D 9元
为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路， 请 按
上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价是 1 5 元．
10.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在
∠AOB的平分线上．
证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，
如图，
在△MOE和△NOD中，OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE
＝OD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴S△MOE＝S△NOD，
∴S△MOE－S 四边形 ODCE＝S△NOD－S 四边形
ODCE，
∴S△MDC＝S△NEC.
∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE.
∴CG＝CF.又
∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上
11.已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重
合，它的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.
(1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE；
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若
成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
7解：(1)根据ASA证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE
(2)成立．如图，过点C作CH⊥AO于点H，CG⊥OB于点G，
∵OM平分∠AOB，∴CG＝CH.
∵∠AOG＝90°，∴∠HCG＝90°，
∴∠HCD＋∠DCG＝90°,∠DCG＋∠GCE＝90°，
∴∠HCD＝∠GCE.
又∵∠CHD＝∠CGE＝90°，
∴△CHD≌△CGE(ASA)，
∴CD＝CE
教学反思
8
