文档内容
第 12 讲 章节复习专题：整式的乘法
目录
【考点一 判断整式乘法是否正确】........................................................................................................................3
【考点二 判断是否可用平方差或完全平方公式运算】........................................................................................5
【考点三 幂的混合运算及逆运算】........................................................................................................................7
【考点四 零指数幂、负整数指数幂综合计算】....................................................................................................9
【考点五 用科学计数法表示绝对值小于1的数】...............................................................................................10
【考点六 完全平方式中的字母参数问题】..........................................................................................................11
【考点七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】..............................................................................................12
【考点八 整式乘除混合运算】..............................................................................................................................14
【考点九 整式乘法混合运算——化简求值】......................................................................................................17
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】..............................................................................................................18
【考点十一 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】...........................................................................22
【考点十二 乘法公式中几何图形的应用】..........................................................................................................26
【考点十三 整式的运算中的新定义型问题】......................................................................................................31
知识点01 同底数幂的乘法
aman amn m, n
1.同底数幂的乘法性质： (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
amanap amnp m, n, p
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都
是正整数）.
2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
amn aman m, n
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即 （ 都是正整数）.
知识点02 幂的乘方
(am)n amn m, n
1.幂的乘方法则： (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
((am)n)p amnp a0 m,n, p
要点诠释：公式的推广： ( ， 均为正整数)
amn amn anm
2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变
形，
从而解决问题.
知识点03 积的乘方
(ab)n anbn
n
1.积的乘方法则： (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
(abc)n anbncn
n
要点诠释：公式的推广： ( 为正整数).
anbn abn
2.积的乘方法则逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数
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学科网（北京）股份有限公司时，
10 10
1 1
210 2 1.
2 2
计算更简便.如：
知识点04 同底数幂的除法
m, n
(其中 都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
m, n
（2）逆用公式：即 （ 都是正整数）.
知识点05 零指数幂： （a≠0） 负指数幂： （a≠0，p是正整数）
知识点06 科学记数法
类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成
1≤|a|＜10
a×10-n的形式，其中n是正整数， .
知识点07 单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指
数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
知识点08 单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
知识点09 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
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学科网（北京）股份有限公司多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项
式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个
因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
知识点10 平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
知识点11 完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：① a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-
b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
知识点12 平方差和完全平方差区别
平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍
【考点一 判断整式乘法是否正确】
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（
）
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学科网（北京）股份有限公司（1） （2）
（3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】整式乘法混合运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查整式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据整式的乘除运算法则进行
判断即可．
【详解】解： ，正确；
，正确；
，错误；
，错误；
故选B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算多项式乘多项式、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的
关键．
【详解】解： ，故①计算正确；
，故②计算错误；
，故③计算正确；
，故④计算错误；
，故⑤计算正确；
∴计算正确的有3个，
故选：D．
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】计算多项式乘多项式
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据多项式的乘法法则对各选项进行逐一检验即可．
【详解】A、 ，故该选项正确；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项正确；
D、 ，故该选项正确；
故选：B．
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】整式乘法混合运算
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算
并判断即可．
【详解】解：A、 ，该选项正确，符合题意；
B、 ，该选项错误，不符合题意；
C、 ，该选项错误，不符合题意；
D、 ，该选项错误，不符合题意；
故选A．
【考点二 判断是否可用平方差或完全平方公式运算】
例题：（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． 不能用平方差公式（其中 ）进行计算，故本选项不符合题意；
B． ，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
C． ，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司D． ，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键；
根据平方差公式的结构 逐项分析判断即可．
【详解】解：A、 能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合
题意；
B、 能用平方差公式计算，此项符合题意；
C、 能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意；
D、 能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，解决本题的关键是熟练的掌握完全平方公式，完全平方
公式是 ，根据完全平方公式判断即可．
【详解】解：A选项： ，一项相等，另一项互为相反数， 能用平方差公式不能用完全
平方公式，故A选项不符合题意；
B选项： ，两项都相等， 能用完全平方公式计算，故B选项符合题意；
C选项： ，一项相等，另一项互为相反数， 能用平方差公式不能用完全平方公式，故C
选项不符合题意；
D选项： ，既不能用平方差公式，也不能用完全平方公式计算，故D选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】计算多项式乘多项式、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式，能熟记公式的特点是解答本题的关
键．
根据平方差公式，完全平方公式和多项式乘以多项式法则分别化简各项判断即可．
【详解】解：A、 ，故A选项错误；
B、 ，故B选项错误；
C、 ，故C选项错误；
D、 ，故D选项正确；
故选：D．
【考点三 幂的混合运算及逆运算】
例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）计算：
【答案】
【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项等知识；利用同底数
幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算法则以及合并同类项的知识计算即可．
【详解】解：
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，6
【知识点】幂的混合运算、零指数幂
【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据幂的乘方、同底数幂相乘，零次幂法则进行化简，再合并同类
项，得出 ，然后把 代入 ，进行计算，即可作答．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司把 代入 ，
得
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）（1）已知 ， ，m，n为正整数，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） （2）1
【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、零指数幂
【分析】本题考查了幂的运算，根据已知，选择适当的公式及其公式的逆运算是解题的关键．
（1）根据幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算解答即可．
（2）根据 ，结合 ，计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ， ，
∴ ．
3．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）计算
(1)已知 ， ，求： 的值．
(2) ，求： 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算、同底数幂除法的逆用
【分析】（1）利用同底数幂的除法的法则进行运算即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用同底数幂的乘除法的法则，幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】（1）解： ， ，
；
（2）
，
原式 ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【考点四 零指数幂、负整数指数幂综合计算】
例题：（24-25八年级上·云南昭通·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂．先根据乘方的意义，零指数幂和负整数指数幂的意义计算，
再算加减．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）计算： ．
【答案】5
【知识点】有理数四则混合运算、负整数指数幂、求一个数的绝对值、零指数幂
【分析】本题考查有理数混合运算．熟练掌握零指数幂、负整数指数幂，绝对值运算， 的运算，运算
法则及运算顺序，是解决问题的关键．
根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值运算， 的运算，分别求解后，利用有理数的混合运算法则求解
即可得到结论．
【详解】解：原式
．
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学科网（北京）股份有限公司2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题主要考查零指数幂以及负整数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算
即可．
【详解】解：原式
．
3．（23-24六年级下·山东济南·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】积的乘方的逆用、零指数幂、负整数指数幂
【分析】此题考查了实数的混合运算能力．先计算积的乘方、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加
减．
【详解】解：
．
【考点五 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内
伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据
0.000025用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数
点移动的位数相同．
【详解】解：数据0.000025用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）经测算，一粒芝麻的质量约为 ，将1粒芝麻的质量用
科学记数法表示约为 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 为由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数 由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0的个数所决定．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解： 用科学记数法表示为 ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）科学研究发现某种分子的直径是 米，则数字
用科学记数法表示为
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）疫苗接种，是防范流感的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下
呈现皇冠的形状，它的大小为 毫米， 毫米用科学记数法记作 毫米．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：
故答案为：
【考点六 完全平方式中的字母参数问题】
例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若 是一个完全平方式，则 为 .
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式得出 求出即可．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ,
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东东营·期末）若关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则
．
【答案】
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式可直接进
行求解．
【详解】解：由 ，
则 ；
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·青海果洛·期末）若 能写成一个多项式的平方形式，则 ．
【答案】 或5
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构形式 是解题的关键．
利用完全平方公式 即可解答．
【详解】解： 是完全平方式，
，
∴ 或5．
故答案为： 或5．
3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）若 可以用完全平方式来分解因式，则 的值为
．
【答案】 或14
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式
即可得．
【详解】解：由题意得： ，
即 ，
则 ，
解得 或 ，
故答案为： 或14．
【考点七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
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学科网（北京）股份有限公司例题：（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知 展开式中不含 的一次项，则 的取值为
.
【答案】4
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了整式的混合运算无关项问题，掌握整式的混合运算，无关项的系数为0是解题的关键．
运用多项式乘以多项，再合并同类项，由无关项的系数为0列式求解即可．
【详解】解：
，
∵不含 的一次项，
∴ ，
解得， ，
故答案为：4 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若 的计算结果中 的二次项的系数为 ，则
．
【答案】
【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式进行计算，根据 的二次项的系数为 ，
即可求解．
【详解】解：
∵ 的二次项的系数为 ，
∴
解得： ，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积 化简后不含 项，则
．
【答案】
【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则；根据整式的混合运算顺序，
先去括号，再合并同类项后，根据不含 项，则该项的系数为0，即可求得a的值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
，
关于x的多项式的乘积 化简后不含 项，
，
解得 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于 的代数式 的中不含 项与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知多项式乘积不含某项求字母的值
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出 ， ，即可得出
， 的值；
（2）将 ， 的值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
不含 项与 项，
，
解得： ；
（2）解： ．
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学科网（北京）股份有限公司【考点八 整式乘除混合运算】
例题：（24-25八年级上·海南儋州·期末）化简：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是：
（1）先根据积的乘方法则，单项式乘以单项式法则，单项式除以单项式法则，然后合并同类项即可；
（2）先根据多项式乘以多项式计算法则，完全平方公式展开，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，乘法公式．
（1）先根据单项式与单项式的乘法、积的乘方法则计算，再算单项式与单项式的除法，再合并同类项即
可；
（2）先根据乘法公式、单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项．
【详解】（1）解：
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：
2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算、幂的乘方运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式以及幂的运算法则是解题的关键．
（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法以及同底数幂的除法进行计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
3．（24-25八年级上·天津和平·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】整式的加减运算、多项式除以单项式、计算多项式乘多项式、整式的混合运算
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再去括号，合并同类项即可；
（2）先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再去括号、合并同类项，最后计算乘法即可．
【详解】（1）解：
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学科网（北京）股份有限公司；
（2）解：
．
【考点九 整式乘法混合运算——化简求值】
例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值： ，其
中
【答案】 ；2
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、积的乘方、整式的除法
的运算法则去括号，再合并同类项得到最简结果，由题意可得 ，代入计算即可．
【详解】解：
∴原式 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
【答案】 ，
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题主要考查乘法公式、多项式除以单项式及化简求值，熟练掌握乘法公式及多项式除以单项式
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学科网（北京）股份有限公司是解题的关键；因此此题先根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：
；
把 ， 代入得：原式 ．
2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ；
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、多项式除以单项式
【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式
进行计算，再合并同类项，最后把字母的值代入即可求解．
【详解】解：
当 时，原式
3．（24-25八年级上·四川巴中·期中）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】化简得 ，代值得
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算
【分析】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解本题的关键．先利用
整式的混合运算法则进行化简，再将 ， 代入求值即可．
【详解】解：
，
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学科网（北京）股份有限公司将 ， 代入，
得原式 ．
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（22-23七年级下·广东清远·期末）观察下列各式： ；
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律填空：
① ；
② ＝ ；
(2)利用②的结论求 的值；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律性问题，有理数的混合运算的方法，要注意总结出规律，并
能应用规律．
（1）①根据上面各式的规律，可直接得到答案；
②根据上面各式的规律，可直接得到答案；
（2）根据（1）总结出的规律，可得： ，据此即可求出算式的值；
（3）根据（1）总结出的规律，可得： ，又由已知
，即可求解．
【详解】（1）解：①由题意可得， ；
②由题意可得 ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简 吗？遇到这样的复杂问题时，我
们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
；
；
；
．
(2)请你利用上面的结论计算： = ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】（1）解： ；
；
；
；
（2） ．
2．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是
常见的研究数学问题的思路．
问题解决：
（1）填空：
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学科网（北京）股份有限公司________
________
猜想：
________
总结结论：
（2）填空：当n为正整数时， ________．利用这个结论，请你解决
下面的问题：求 的值．
【答案】（1） ； ； ；（2） ；
【知识点】多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键．
（1）多项式乘以多项式的法则计算得到结果，归纳总结得到规律即可；
（2）由（1）得出一般性规律，将 变形为
，计算即可得解．
【详解】解：（1）
，
，
猜想：
；
（2）当n为正整数时， ，
∴ 的值为 ．
3．（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算 的过程中，我们可以先
从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一
般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】① ；
② ；
③ ；
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学科网（北京）股份有限公司…
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： ；
(3)【拓展】请运用上面的方法，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）将 变形为 ，再利用
（1）中变化规律进而得出答案．
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ；
……；
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：
；
（3）解： ，
．
【考点十一 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】
例题：（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，某小区有一块长为 米，宽为 米的长方形地
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学科网（北京）股份有限公司块，角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)求该小区绿化的总面积；
(2)若 ， ，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？
【答案】(1)该小区绿化的总面积 平方米；
(2)完成绿化共需要 元．
【知识点】整式的加减中的化简求值、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的
关键．
（1）绿化的总面积 矩形面积 个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答
案；
（2）将 与 的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为 元/平方米，即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意得：
，
答：该小区绿化的总面积 平方米；
（2）解：当 ， 时，
，
∴ （元）
答：完成绿化共需要 元．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，某中学校园内有一块长为 米，宽为 米的长方形地
块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
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学科网（北京）股份有限公司(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若 ， ，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用．
【答案】(1)
(2)1900元
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积；
（1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积；
（2）由（1）可知绿化部分的面积为 平方米，然后把x=2， 代入求解面积，进而求出对应
的费用即可．
【详解】（1）解：“ ”型区域的面积为：
；
（2）解：当x=2， 时， (平方米)，
元
答：修建文化广场所需要的费用为1900元．
2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．
为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图
阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为 米，宽为 米，中间是边长为 米的正方形．
(1)用含 的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简；
(2)若 ，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)完成硬化共需要28000元．
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出
阴影面积的代数式是解题关键．
（1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积；
（2）把 ，代入求值即可．
【详解】（1）由图得，阴影面积为：
；
（2）当 时，
阴影面积为： （平方米）， （元 ，
答：完成种植园共需要28000元．
3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长 ，宽 的矩形空地，划
分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种
植 ， ， 三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 ．
设育苗区的边长为 ，用含 的代数式表示下列各量：
(1)B区的长是___________ ，宽是___________ ；
(2)A区的种植面积是___________ ，C区的种植面积是___________ ；
(3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？
【答案】(1) ；
(2) ，
(3)育苗区的边长为 ．
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
（1）根据题意， 区的长是： ，宽为： ；
（2）根据题意，分别求出 区和 区的长与宽，再计算其种植面积即可；
（3）根据题意，可列方程： ，求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：根据题意， 区的长是： ，宽为： ，
故答案为： ； ；
（2）解： 区的长为： ，宽为： ，
则 区的种植面积是： ，
区的长为： ，宽为： ，
则 区的种植面积是： ，
故答案为： ； ；
（3）解：根据题意，得：
，
解得： ，
答：育苗区的边长为 ．
【考点十二 乘法公式中几何图形的应用】
例题：（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，从边长为 的正方形 中剪去一个边长为 的正方形
．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式的几何应用以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键．
（1）根据 ， ，利用平方差公式即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）用两种方法分别表示出图中阴影部分的面积，即可解答；
（3）将式子变形为 ，再利用平方差公式计算
即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解：如图，过点E作 于点 ，
∵图中阴影部分面积为 或
，
∴ ；
（3）解：原式
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）从边长为 的正方形中减掉一个边长为 的正方形（如图1），然后
将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
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学科网（北京）股份有限公司(1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______．
(2)小明根据以上操作去计算 时发现只需要在前面乘一个 即可得到：
，请根据以上规律计算：
_______（直接写出结果即可）．
(3)运用以上规律计算 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法用代数式表示阴影部分的面积是得出公式的前提，
配上适当的因式利用平方差公式是正确解答的关键．
（1）用两种方法部分用代数式表示阴影部分的面积即可；
（2）先在式子前面乘以 ，再连续使用平方差公式即可得出答案；
（3）先在式子前面乘以 ，再连续使用平方差公式即可得出答案；
【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为 ，图2阴影部分是长为 ，宽为 的长方形，因
此面积为 ，
可以验证的等式是 ，
故答案为： ；
（2）解：原式 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
故答案为： ；
（3）解：原式 ，
，
，
，
，
．
2．（24-25八年级上·吉林·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分
（阴影）面积为 ；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正
方形叠合部分（阴影）面积为 ．
(1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示）
(2)若 ，求 的值；
(3)当两个正方形按图③所示摆放时，若 ，求出图③中的阴影部分的面积 ．
【答案】(1) ，
(2)13
(3) ．
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据（1）中的结论，将 代入进行计算即可；
（3）表示出 ，再变形整体代入求值即可．
【详解】（1）解：由图可得， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，
∴
；
（3）解：由图可得， ，
∵ ，
∴ ．
3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）对于同一个图形，通过不同的表示法计算图形的面积可以得到一个
数学等式．
例如，由图1可以得到： ．
(1)由图2可以得到：______．
(2)若实数x，y，z满足 ， ，利用（1）中的结论求 的值．
(3)如图3，在 中， ，分别以 ， 为边向外作正方形 ， ，C，A，D三点在同
一条直线上．已知 ，两个正方形的面积之和 ，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、已知式子的值，求代数式
的值
【分析】本题考查完全平方公式的几何表示，代数式求值，完全平方公式的运用，解题的关键在于掌握完
全平方公式的特点．
（1）用不同方法表示出图2的面积，即可解题；
（2）由题意得到 ，将 和 代入（1）
中求解，即可解题；
（3）由题意得到 ，结合 和正方形性质得到 ，进而得到 ，
再根据三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】（1）解：由图2可以得到： ，
故答案为： ．
（2）解： ，
，
，
，
，
即 ，
解得 ．
（3）解： 在 中， ， ，
，即 ，
由正方形性质可知， ，
，
，
，
，
解得 ，
．
【考点十三 整式的运算中的新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运
算，积累了研究运算的经验．
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学科网（北京）股份有限公司现定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为： ．
例如： ．
(1)求 的值．
(2)若 ，求x的值．
【答案】(1)9
(2)
【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查了新定义，平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，正确理解新定义的运算法则
是解题的关键．
（1）根据题意将 变形为 ，再结合平方差公式进行运算，即可解题；
（2）根据题意将 变形为 ，再结合完全平方公式，以及整式
的混合运算求解上式，即可解题．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： ，
，
整理得 ，
解得 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下： ．
例如： ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
(3)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)20
(2)6
(3)3或
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值
【分析】此题主要考查了整式的混合运算，读懂题意，理解新定义运算的运算规定，掌握完全平方公式、
平方差公式及变形是解决本题的关键．
（1）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（2）先按给出的新定义运算，再整体代入求值；
（3）先按给出的新定义运算，再根据已知，利用完全平方公式及变形求出 的值，最后代入计算．
【详解】（1）解：
．
当 时，
原式 ；
（2）
．
，
即 ．
原式
；
（3）
．
， ，
，即 ．
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学科网（北京）股份有限公司．
．
．
或 ．
当 ， 时，
原式 ；
当 ， 时，
原式 ．
2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 的
多项式 ，由于 ，所以当 取任意一对互为相反数的数时，多项式
的值是相等的，例如，当 ，即 或 时， 的值均为3；当 ，即
或 时， 的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于 的多项式，若当 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相
等，就称该多项式关于 对称．例如： 关于 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式 关于 ________对称；若关于 的多项式 关于 对称，则 ________；
(2)关于 的多项式 关于 对称，且当 时，多项式的值为5，求 时，求多项式
的值．
【答案】(1)2；6
(2)6
【知识点】通过对完全平方公式变形求值
【分析】（ ）对多项式 进行配方，即可求出关于 对称，求出 的对称轴，由关于
对称，即可求解；
（ ）对多项式 进行配方，根据新定义判定，然后代入求值即可；
本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，读懂所给的新定义是解题关键．
【详解】（1）解：由 ，
则 是关于 对称，
由 ，关于 对称，
由题意得 ，
故答案为： ， ；
（2）由 ，
∵关于 的多项式 关于 对称，
34 / 36
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵当 时，多项式的值为 ，
∴ ，解得 ，
∴关于 的多项式为 ，
∴当 时， ．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
．
(1) ；
(2) ；若 是完全平方式，则 ；
(3)若有理数m、n满足 ，且 ．
① 求 的值；
② 如图，四边形 是长方形，点E、F、G、H分别在边 上，连接 交于点
P，且 将长方形 分割成四个小长方形，若 ， ， ， ，在①的
条件下，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)11
(2) ；
(3)①2；②
【知识点】多项式乘多项式——化简求值、求完全平方式中的字母系数、完全平方式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关
键．
（1）根据 计算即可；
（2）根据 计算，再根据完全平方式的特征求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（3）①根据 得出 ，再结合 即可求出
；
②根据图象可得 ，化简后代入 ， 即可求解；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
若 是完全平方式，则 ；
（3）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
②由题意可知：
，
将 ， 代入可得，原式 ．
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