文档内容
第一章 三角形的证明
问题解决的策略：反思
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学习目标与重难点
学习目标：
1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。
2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。
3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。
学习重点：
掌握反思的三个维度——结论检验、策略优化、模型推广。
学习难点：
如何引导学生跳出具体题目，提炼出通性通法，并进行有效的变式推广。
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教学过程
一、创设情境、导入新课
一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动也是1米吗？
二、合作交流、新知探究
探究1：
一、理解问题：
已知：AO=8m, AC=1m, AB=CD=10m, AO⊥OB
求：BD=?
二、拟定计划：
现实生活问题数学化，墙面、地面和梯子构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和直角边，
求另一条直角边。所以利用勾股定理先求出OB、OD, BD=OD-OB
三、实施计划：
OB= . OD= .
BD= .
1四、回顾反思：
一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动不是1米。
需要通过数学知识通过计算或证明才能得到正确答案。
探究2：
证明等腰三角形两腰上的中线相等
一、理解问题：
在△ABC中，AB=AC, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证BD=CE
二：拟定计划
证明线段相等的常用方法：
1、全等三角形 相等；
2、角平分线上的 相等；
3、线段的垂直平分线到 相等。
找出线段BD、CE所在的三角形； 。
三、实施计划：
证法一：利用△ABD≌△ACE
证法二：利用△BCE≌△CBD
四、回顾反思：
1、除了等腰三角形两腰的中线相等外，你还能得到什么结论？比如，等腰三角形两腰上的高线、角
平分线。证明你的猜测。
2、等边三角形具有以上性质吗？证明你的猜测。
探究二
等腰三角形两腰上的中线相等的逆命题是： 。
证明逆命题
一、理解问题：
在△ABC中，BD=CE, BD、CE分别是AC、AB的中线，求证AB=AC
二：拟定计划
2利用三角形全等的对应边相等，或证明∠ABC=∠ACB,根据等角对等边证明AB=AC。
三、实施计划：
连接DE ,延长BC至F使CF=ED（自己完成证明过程）
∴AB=AC,△ABC是等腰三角形
四、回顾反思：
还有其他方法可以证明吗：
证明△BOE≌△COD，得到BE=CD,由于E、D
是AB、AC的中点，得到AB=AC
自己写出完整的证明过程。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．直角三角形的两直角边长分别是3cm，4cm，则斜边上的中线长为（ ）
A．5cm B．2.4cm C．2.5cm D．5cm或 cm
2．已知等腰三角形两边长是10 cm和5 cm，那么它的腰长是( )
A．25cm B．15cm C．10 cm或5 cm D．10 cm
3．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一个锐角和斜边对应相等B．两条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．斜边和一条直角边对应相等
4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC等于 ．
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，CD＝6cm，则AB的长为 cm．
6．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A＝52°，则∠1＋∠2的度数为
．
3第4题 第5题 第6题 第7题
能力提升：
7.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°.∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C
沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 ．
拓展迁移
8.如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
(1)求证：AB＝DC；
(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．
9．如图25，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M，若∠A=40º.
（1）求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为70º，其余条件不变，
再求∠NMB的度数；
（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为钝角，你对这个规律性的认识是否
需要加以修改？
四、总结反思、拓展升华
问题解决的策略：反思
1、理解问题（已知条件是什么？目标是什么？将条件标注到图形中）
2、拟定计划（需要运用什么知识点，题中已知条件和所求问题有什么联系，整理思路，准备解答）
3、实施计划（解答实施阶段，注意思维的严谨性，书写的规范性）
4、回顾反思（对解题过程的回顾、对策略优劣的评估、对数学模型的提炼以及对通法通解的归纳）
五、【作业布置】
基础达标：
1．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ．
42．在等腰三角形ABC中，∠A=100°，则∠B= .
3．等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为 ．
4. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝
时，△AOP为等腰三角形．
第4题 第5题 第6题
5．如图,已知点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
6．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周
长等于（ ）
A．17厘米 B．18厘米 C．19厘米 D．13.5厘米
能力提升：
7. 如图，下列三角形中，若AB＝AC，则能被直线分成两个小等腰三角形的是( )
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
8. 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝
30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝
米时，有DC ＝AE ＋BC .
拓展迁移：
9. 如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，
公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：
A B 20元， A C 25元
5A D 16元, B D 12元
C D 9元
为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共
汽车票价是 元．
10.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在
∠AOB的平分线上．
11.已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它
的两条直角边分别与OA，OB相交于点D，E.
(1)如图①，若CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E.求证：CD＝CE；
(2)当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，
请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
课堂练习参考答案
1、C
2、D
3、C
4、25°
5、12
6、64°
7、108°
【解答提示】:连接BO，延长AO交BC与G
根据等腰三角形三线合一，可证△BOC是等腰三角形，
即BO=CO,等边对等角得到∠OBC=∠BCO
综合角平分线性质和垂直平分线性质，可求出∠OBC=36°，根据翻折性质∠OCE=∠COE=36°，
6在△COE中其内角和180°，继而求出∠OEC=108°
8、证明：（1）∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，
即BF＝CE．
又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AB=DC．
（2）△OEF为等腰三角形
理由如下：∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC．
∴OE=OF．
∴△OEF为等腰三角形．
9、
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B＝ （180°-∠A）=70°，
∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°.
（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B＝ （180°-∠A）=55°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°.
（3）规律：∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半，
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B= （180°-∠A），
∵∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°-∠B=90 °- （180°-∠A）=∠A
即∠NMB的度数等于顶角∠A度数的一半.
7(4):将（1）中的∠A改为钝角，这个规律不需要修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或
底边的延长线相交所成的锐角等于顶角的一半．
课外作业参考答案
1、6和4或5和5
2、40°
3、50°和80°或65°和65°
4、30°或75°或120°
5、C
6、B
7、D
8、 【解答提示】：在直角三角形中 30°所对的直角边等于斜边的一半,得到 AC=12 米。设
AE=x,CE=12-X,在Rt△CED中DE=2,利用勾股定理求出CD，再根据DC ＝AE ＋BC .列出方程求解。
9、15
10、证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F，如图，
在△MOE和△NOD中，OM＝ON，∠MOE＝∠NOD，OE＝OD，
∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴S△MOE＝S△NOD，
∴S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE，
∴S△MDC＝S△NEC.
∵OM＝ON，OD＝OE，∴MD＝NE.
∴CG＝CF.又
∵CG⊥OA，CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上
11、解：(1)根据ASA证明△DOC≌△EOC即可得出CD＝CE
(2)成立．如图，过点C作CH⊥AO于点H，CG⊥OB于点G，
∵OM平分∠AOB，∴CG＝CH.
∵∠AOG＝90°，∴∠HCG＝90°，
∴∠HCD＋∠DCG＝90°,∠DCG＋∠GCE＝90°，
∴∠HCD＝∠GCE.
又∵∠CHD＝∠CGE＝90°，
∴△CHD≌△CGE(ASA)，
∴CD＝CE
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