文档内容
第 12 讲 章节复习专题：整式的乘法
目录
【考点一 判断整式乘法是否正确】........................................................................................................................3
【考点二 判断是否可用平方差或完全平方公式运算】........................................................................................5
【考点三 幂的混合运算及逆运算】........................................................................................................................7
【考点四 零指数幂、负整数指数幂综合计算】....................................................................................................9
【考点五 用科学计数法表示绝对值小于1的数】...............................................................................................10
【考点六 完全平方式中的字母参数问题】..........................................................................................................11
【考点七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】..............................................................................................12
【考点八 整式乘除混合运算】..............................................................................................................................14
【考点九 整式乘法混合运算——化简求值】......................................................................................................17
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】..............................................................................................................18
【考点十一 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】...........................................................................22
【考点十二 乘法公式中几何图形的应用】..........................................................................................................26
【考点十三 整式的运算中的新定义型问题】......................................................................................................31
知识点01 同底数幂的乘法
aman amn m, n
1.同底数幂的乘法性质： (其中 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
amanap amnp m, n, p
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即 （ 都
是正整数）.
2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数
amn aman m, n
相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即 （ 都是正整数）.
知识点02 幂的乘方
(am)n amn m, n
1.幂的乘方法则： (其中 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
((am)n)p amnp a0 m,n, p
要点诠释：公式的推广： ( ， 均为正整数)
amn amn anm
2.幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变
形，
从而解决问题.
知识点03 积的乘方
(ab)n anbn
n
1.积的乘方法则： (其中 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
(abc)n anbncn
n
要点诠释：公式的推广： ( 为正整数).
anbn abn
2.积的乘方法则逆用公式： 逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数
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学科网（北京）股份有限公司时，
10 10
1 1
210 2 1.
2 2
计算更简便.如：
知识点04 同底数幂的除法
m, n
(其中 都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
m, n
（2）逆用公式：即 （ 都是正整数）.
知识点05 零指数幂： （a≠0） 负指数幂： （a≠0，p是正整数）
知识点06 科学记数法
类似地，我们可以利用10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成
1≤|a|＜10
a×10-n的形式，其中n是正整数， .
知识点07 单项式与单项式相乘
单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，
连同它的指数作为积的一个因式.
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指
数相加混淆；
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.
知识点08 单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；
③在混合运算时，要注意运算顺序.
知识点09 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
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学科网（北京）股份有限公司多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项
式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个
因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab
对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.
知识点10 平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
知识点11 完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
（2）公式的变化：① a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-
b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。
知识点12 平方差和完全平方差区别
平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍
【考点一 判断整式乘法是否正确】
例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（
）
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学科网（北京）股份有限公司（1） （2）
（3） （4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点二 判断是否可用平方差或完全平方公式运算】
例题：（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【考点三 幂的混合运算及逆运算】
例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）计算：
【变式训练】
1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值： ，其中
．
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）（1）已知 ， ，m，n为正整数，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．
3．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）计算
(1)已知 ， ，求： 的值．
(2) ，求： 的值．
【考点四 零指数幂、负整数指数幂综合计算】
例题：（24-25八年级上·云南昭通·期末）计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）计算： ．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）计算： ．
3．（23-24六年级下·山东济南·期末）计算： ．
【考点五 用科学计数法表示绝对值小于1的数】
例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内
伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据
0.000025用科学记数法表示为 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）经测算，一粒芝麻的质量约为 ，将1粒芝麻的质量用
科学记数法表示约为 ．
2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）科学研究发现某种分子的直径是 米，则数字
用科学记数法表示为
3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）疫苗接种，是防范流感的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下
呈现皇冠的形状，它的大小为 毫米， 毫米用科学记数法记作 毫米．
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学科网（北京）股份有限公司【考点六 完全平方式中的字母参数问题】
例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若 是一个完全平方式，则 为 .
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东东营·期末）若关于x的二次三项式 是一个完全平方式，则
．
2．（24-25八年级上·青海果洛·期末）若 能写成一个多项式的平方形式，则 ．
3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）若 可以用完全平方式来分解因式，则 的值为
．
【考点七 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
例题：（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知 展开式中不含 的一次项，则 的取值为
.
【变式训练】
1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若 的计算结果中 的二次项的系数为 ，则
．
2．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积 化简后不含 项，则
．
3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于 的代数式 的中不含 项与 项．
(1)求 ， 的值；
(2)求代数式 的值．
【考点八 整式乘除混合运算】
例题：（24-25八年级上·海南儋州·期末）化简：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·期末）计算：
(1)
(2)
2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）计算：
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学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级上·天津和平·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
【考点九 整式乘法混合运算——化简求值】
例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值： ，其
中
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值： ，其中
3．（24-25八年级上·四川巴中·期中）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【考点十 多项式乘法中的规律性问题】
例题：（22-23七年级下·广东清远·期末）观察下列各式： ；
；
；
；
；
(1)根据上面各式的规律填空：
① ；
② ＝ ；
(2)利用②的结论求 的值；
(3)若 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练】
1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简 吗？遇到这样的复杂问题时，我
们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．
(1)分别化简下列各式：
；
；
；
．
(2)请你利用上面的结论计算： = ．
2．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是
常见的研究数学问题的思路．
问题解决：
（1）填空：
________
________
猜想：
________
总结结论：
（2）填空：当n为正整数时， ________．利用这个结论，请你解决
下面的问题：求 的值．
3．（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算 的过程中，我们可以先
从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一
般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】① ；
② ；
③ ；
…
(1)【归纳】由此可得： ________；
(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算： ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)【拓展】请运用上面的方法，求 的值．
【考点十一 单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】
例题：（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，某小区有一块长为 米，宽为 米的长方形地
块，角上有四个边长为 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)求该小区绿化的总面积；
(2)若 ， ，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，某中学校园内有一块长为 米，宽为 米的长方形地
块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若 ， ，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用．
2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．
为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图
阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为 米，宽为 米，中间是边长为 米的正方形．
(1)用含 的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简；
(2)若 ，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱．
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学科网（北京）股份有限公司3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长 ，宽 的矩形空地，划
分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种
植 ， ， 三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 ．
设育苗区的边长为 ，用含 的代数式表示下列各量：
(1)B区的长是___________ ，宽是___________ ；
(2)A区的种植面积是___________ ，C区的种植面积是___________ ；
(3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？
【考点十二 乘法公式中几何图形的应用】
例题：（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，从边长为 的正方形 中剪去一个边长为 的正方形
．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；
(3)计算： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）从边长为 的正方形中减掉一个边长为 的正方形（如图1），然后
将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
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学科网（北京）股份有限公司(1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______．
(2)小明根据以上操作去计算 时发现只需要在前面乘一个 即可得到：
，请根据以上规律计算：
_______（直接写出结果即可）．
(3)运用以上规律计算 ．
2．（24-25八年级上·吉林·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分
（阴影）面积为 ；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正
方形叠合部分（阴影）面积为 ．
(1)则 ， ；（用含a，b的代数式表示）
(2)若 ，求 的值；
(3)当两个正方形按图③所示摆放时，若 ，求出图③中的阴影部分的面积 ．
3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）对于同一个图形，通过不同的表示法计算图形的面积可以得到一个
数学等式．
例如，由图1可以得到： ．
(1)由图2可以得到：______．
(2)若实数x，y，z满足 ， ，利用（1）中的结论求 的值．
(3)如图3，在 中， ，分别以 ， 为边向外作正方形 ， ，C，A，D三点在同
一条直线上．已知 ，两个正方形的面积之和 ，求 的面积 ．
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学科网（北京）股份有限公司【考点十三 整式的运算中的新定义型问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运
算，积累了研究运算的经验．
现定义 为二阶行列式，规定它的运算法则为： ．
例如： ．
(1)求 的值．
(2)若 ，求x的值．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·浙江·期末）对于实数a，b，定义新运算“*”，规定如下： ．
例如： ．
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
(3)若 ， ，求 的值．
2．（23-24七年级下·湖南永州·期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于 的
多项式 ，由于 ，所以当 取任意一对互为相反数的数时，多项式
的值是相等的，例如，当 ，即 或 时， 的值均为3；当 ，即
或 时， 的值均为6．
于是小明给出一个定义：对于关于 的多项式，若当 取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相
等，就称该多项式关于 对称．例如： 关于 对称．
请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式 关于 ________对称；若关于 的多项式 关于 对称，则 ________；
(2)关于 的多项式 关于 对称，且当 时，多项式的值为5，求 时，求多项式
的值．
3．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：
．
(1) ；
(2) ；若 是完全平方式，则 ；
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学科网（北京）股份有限公司(3)若有理数m、n满足 ，且 ．
① 求 的值；
② 如图，四边形 是长方形，点E、F、G、H分别在边 上，连接 交于点
P，且 将长方形 分割成四个小长方形，若 ， ， ， ，在①的
条件下，求图中阴影部分的面积．
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