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第 11 讲 整式的乘除单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂相乘
【分析】此题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可
【详解】解： ，
故选：D
2．下面各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式 逐项分析即可得解，熟练掌握平
方差公式是解此题的关键．
【详解】解：A、 能用平方差公式计算，故符合题意；
B、 ，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意；
C、 ，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、 ，没有相反项，故不能用平方差公式计算，不符合题意；
故选：A．
3．某公司运用 技术，下载一个 的文件大约需要 秒，将数字 用科学记数法表示
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形
式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为
零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、合并同类项、积的乘方运算、计算单项式除以单项式
【分析】本题考查了整式的运算，准确熟练地运用公式和法则进行计算是解题的关键．
根据完全平方公式，合并同类项，单项式除以单项式，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，逐一判断即可
解答．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 与 不能合并，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故选：D．
5．计算 的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘方运算、积的乘方的逆用
【分析】本题考查了有理数乘方运算及积的乘方逆运算．根据有理数乘方运算的意义可得
，再利用积的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故选：D．
6．已知 ，则“ ”所表示的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】计算单项式除以单项式
【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据被除式、除式、商之间的关系列出式子
，然后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
7．已知整式 是一个完全平方式，则符合M的整式有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查了完全平方式．根据完全平方公式得到 或 ，
然后把等式右边展开，从而得到M的值．
【详解】解：∵整式 是一个完全平方式，
∴ 或 ，
即 或 ，
∴ 或 ．
则符合M的整式有3个，
故选：C．
8．观察下列单项式： 按此规律，第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式规律题、积的乘方的逆用
【分析】由各单项式的系数和字母因数的规律，即可求解．
本题主要考查了单项式规律题，解题的关键是：找到各单项式的系数和字母因数的规律．
【详解】解： 各单项式的系数为 ， ， ， ， ， ，
第 个单项式系数为 ，
各单项式字母因数为 ， ， ， ， ， ，
第 个单项式字母因数为 ，
第 个单项式为 ，
故选：A．
9．已知数m，n满足 ，则 的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算多项式乘多项式
【分析】本题考查了整式的混合运算．先将 整理成 ，再代入计
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学科网（北京）股份有限公司算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选：B．
10．我们定义：一个整式能表示成 （a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完全式”．例如：因
为 （x、y是整式），所以M为“完全式”．若
（x、y是整式，k为常数）为“完全式”，则k的值为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的
形式，根据“完全式”的定义得 ，从而得到k的值．
【详解】解：
，
S为“完全式”，
，
，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．计算： ．
【答案】
【知识点】计算单项式除以单项式
【分析】本题考查的是单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解： ；
故答案为：
12．若 ， ，则 的值为 ．
【答案】4
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂除法的逆用
【分析】本题考查同底数幂相除，求代数式的值．根据题意先将 整理为 ，继而得到本题
答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．若多项式 是完全平方式，则 的值为 ．
【答案】8或 / 或8
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】本题考查完全平方式，根据所给多项式可得两平方项分别为 、 ，则一次项为 ，据此可得
答案．
【详解】解：多项式 是完全平方式，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为：8或 ．
14．如果 ， ， ，那么 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零
指数幂分别求出 ， ， 的值，然后在比较大小即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．已知一个多项式除以多项式 所得的商式为 ，余式为 ，这个多项式是 ．
【答案】
【知识点】整式四则混合运算
【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知，这个多项式是 ，然后展开，再合并同类项即可．
【详解】解：由题意可知，这个多项式是：
．
16．将两张边长分别为a和b（ ）的正方形纸片按图①和图②所示的两种方式放置在长方形 内
（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．
设图①中阴影部分的面积为 ，图②中阴影部分的面积为 ．当 时， ．
【答案】5
【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，整体思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可
使问题简单化，解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的
性质．利用面积的和差分别表示出 和 ，然后利用整式的混合运算计算它们的差得出
，根据 即可得出结果．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
故答案为：5．
三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、积的乘方运算、同底数幂相乘
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，涉及零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘除
法，积的乘方，根据零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘除法，积的乘方的运算法则进行计算即可．
（1）根据乘方，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算加减法即可；
（2）根据同底数幂的乘除法，积的乘方进行计算，再算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，8
【知识点】整式四则混合运算
【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据平方差公式和完全平方公式将小括号展开，合并后再计
算除法，得最简结果，再把 的值代入计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司，
当 ， 时、原式 ．
19．如图，某市有一块长为 ，宽为 的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，
中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少 ？并求出当 ， 时的绿化面积．
【答案】 ，
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积
【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值的应用，根据长方形面积减去中间部分的面积为绿化面积
即可得到绿化面积的代数式，再把字母的值代入求解即可．
【详解】解： ．
当 ， 时， ．
则绿化的面积是多少 ，当 ， 时的绿化面积为 ．
20．（1）若 ，求m的值；
（2）若n为正整数，且 ，求 的值．
【答案】（1）m的值为15；（2）512
【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查的是幂的运算中幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，掌握相关知识
点是解题关键．
（1）利用幂的乘方逆运算和同底数幂的乘除法得到 ，再解方程即可；
（2）先利用幂的乘方逆运算，将原式化为 ，再代入求值．
【详解】（1）解：原式
即 ，则 ，即 ，
∴m的值为15；
（2）解：原式 ．
∴ 的值为512．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
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学科网（北京）股份有限公司21．已知下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；…
(1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式；
(2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论．
【答案】(1) ；
(2)4，证明见解析．
【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了规律性：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律；
（1）观察已知等式得到一般性规律，写出第6个等式与第n个等式即可；
（2）任意两个连续偶数的平方差能被4整数，验证即可．
【详解】（1）解：第6个等式为： ，
第n个等式为： ；
（2）解：任意两个连续偶数的平方差能被4整除，
理由为：设m为整数，则 ，
则任意两个连续偶数的平方差能被4整除．
22．【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，
拼成如图②所示的长方形．比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用字母a，b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 则 的值为______；
②计算： ；
【拓展】计算： ．
【答案】【探究】 ；【应用】（1）12；（2） ；【拓展】
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】本题考查了平方差公式，利用平方差公式解决问题．
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学科网（北京）股份有限公司探究：利用两个面积相等列式即可；
应用：①利用探究中的公式计算即可；②利用探究中的公式计算即可；
拓展：算式乘以 ，再利用探究中的公式计算即可．
【详解】解：探究：图①中的阴影面积为 ；图②的面积为 ；
这两个面积相等，所以 ，
故答案为： ．
应用：①根据探究的公式可得， ；
因为 ， ，
所以
故答案为：12；
②原式 ．
拓展：原式
．
23．[新考法]对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算： ．
(1)对于有理数x，y，若 是一个完全平方式，则 __________；
(2)对于有理数x，y，若 ．
①求 的值；
②将长方形 和长方形 按照如图方式进行放置，其中点E在边 上，连接 ， ．若
，图中阴影部分的面积为 ，求n的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)①130；②
【知识点】求完全平方式中的字母系数、整式的混合运算
【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，解方程，图形的面积表示，熟练掌握新定义，完全平
方公式，分割法求面积是解题的关键．
（1）根据完全平方式有和差两种形式，解答即可；
（2）①根据新定义，得 ，然后根据完全平方公式进行变形，最后整体代入计
算即可；
②根据题意，得 化简计算即可．
【详解】（1）解：根据 ，得 ，
∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）解：① ．
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
②由题图知 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简，得 ．
因为 ，
所以 ．
因为由①知 ，
所以 ，解得 ．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式 （ ）变形为 的形式，进而解决多项式的最
大值或最小值问题．
例如：① ,
∵ ,
∴ .
∴当 时，多项式 的最小值为 ；
② ,
∵ ,
∴ .
∴当 时，多项式 的最大值为 ．
根据上述材料解决下列问题：
(1)求多项式 的最小值，并求出相应的x的值；
(2)如果多项式 的最小值是 ，那么p的值为________；
(3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x
=________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米．
【答案】(1)当 时，代数式 的最小值为
(2)
(3)5米，25
【知识点】运用完全平方公式进行运算、完全平方公式在几何图形中的应用
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）根据阅读材料即可求出答案；
（2） ，根据阅读材料和已知条件即可求出答案；
（3）由题意得到长方形 的面积 ，根据阅读材料和已知条件即可求出答案．
【详解】（1）解： ，
∵ ，
∴ ．
∴当 时，代数式 的最小值为4；
（2）解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 的最小值为 ，
∵多项式 的最小值是 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ；
（3）解：∵ 米，
∴ （米），
∴长方形 的面积 ，
∵ ，
∴长方形 的面积 ，
∴当 时，长方形 的面积的最大值为25，
即 米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米．
故答案为：5米，25．
25．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2
卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论
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学科网（北京）股份有限公司(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形(下面各图形均满足推导各公式的条
件，只需填写对应公式的序号)
公式①； ；
公式②： ；
公式③； ；
公式④： ．
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ．
(2)如图5，在等腰直角三角形 中， ， 为边 上任意一点(不与端点重合)，过点 作
于点 ，过点 作 交EG的延长线于点 ．记 与 的面积之和为 ，
与 的面积之和为 ．
①若 为边 的中点，则 的值为 ；
②若 不为边 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程，请说明理由．
【答案】(1)①，②，④，③；
(2)① ，②成立，理由见解析
【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式与图形面积
【分析】本题主要考查了乘法公式与几何图形的面积，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；
（2）①由题意可得 ， ， ， 都是等腰直角三角形，四边形 是正方形，设
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学科网（北京）股份有限公司，从而用含 的代数式表示出 、 进行计算即可；
②由题意可得 ， ， ， 都是等腰直角三角形，四边形 是长方形，设 ，
，从而用含 、 的代数式表示出 、 进行计算即可．
【详解】（1）解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）解：①由题意可得： ， ， ， 都是等腰直角三角形，四边形 是正方形，
设 ，
， ， ， ，
，
，
；
故答案为： ；
②成立，证明如下：
由题意可得： ， ， ， 都是等腰直角三角形，四边形 是长方形，
设 ， ，
， ， ， ，
，
，
仍成立．
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