文档内容
专题突破卷 11 求三角函数中 ω 的取值范围
1.涉及函数平移
1．若将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到的新图象与原图象关于x轴对
称，则 的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据平移写出函数解析式，平移后与原函数关于x轴对称，则平移后的函数与原函数互为相反数，
从而求得 满足的关系，求得最小值.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位长度后对应的解析式为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1与 的图象关于x轴对称，
故 ，
∴ ，∴ ，
∴当k=0时， 的最小值为4.
故答案为：4
2．函数 向左平移 个单位长度之后关于 对称，则 的最小值为 .
【答案】1
【分析】先求平移后的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】 向左平移 个单位长度后，得 ，
因为函数关于 对称，
所以 ， ,
， ，
所以 的最小值为1.
故答案为：1
3．定义运算： ，将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像对应
的函数为偶函数，则 的最小正值是 ．
【答案】 /
【分析】化函数 为余弦函数，写出图像平移后的解析式，由偶函数求出 的最小正值.
【详解】
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2向左平移 个单位后得到 ，
因为此时函数是偶函数，
所以 ，
则 ，
所以当 时， 取得最小正值，此时 .
故答案为：
4．将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x轴对称，
则 的最小值为
A． B．3 C．6 D．9
【答案】B
【详解】试题分析：将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数
的图象，所以该图像与 的图象关于 轴对称，即
恒成立，则 ，即 ，当 时，
的最小正值为3；故选B．
考点：1.三角函数的图象变换；2.诱导公式．
5．将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，点 是
与 图象的连续相邻的三个交点，若 是锐角三角形，则 的取值范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由条件，可得 ，作出函数的图象，结合三角函数的图象与性质及已知条件列出
不等式求解即可.
【详解】依题意， ，函数 周期 ，
在同一坐标系内作出函数 的图象，如图，
， ， 为连续三交点，(不妨设 在 轴下方)， 为 的中点，
由对称性知， 是以 为底边的等腰三角形， ，
由 ，整理得 ，
又 ，解得 ，
于是点 ， 的纵坐标 有 ，即 ，
要使 为锐角三角形，当且仅当 ，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4【点睛】关键点睛：解决本题的关键是准确把握三角函数的图象与性质，合理转化条件，得到关于 的不
等式.
6．将函数 （ ）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先求得 的图象平移后的解析式，再列出关于 的方程，进而求得 的最小值.
【详解】 的图象向右平移1个单位长度后，
可得函数 的图象，
则 ， ，即 ， .
又 ，故 的最小值为1.
故选：B
2.涉及函数单调性
7．已知函数 （ ， ）在区间 内单调，在区间 内不单调，则ω
的值为 ．
【答案】2
【分析】由函数的单调性列不等式组，解出ω的范围，即可得到答案.
【详解】依题意得 ，即 ．
因为当 时， ，
所以 ( )，则 ，( )，解得： (
).
令k＝0，则1≤ω≤2，而 ，故 ，又ω∈Z，所以ω＝2，经检验，ω＝2符合题意．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5故答案为：2
8．将函数 的图象向左平移 个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的 倍，
纵坐标不变，得到函数 ，已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数图像平移变换，写出函数 的解析式，再由函数 在区间 上单调
递增，列出不等式组求出 的取值范围即可
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象,
再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数 的图象，
函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ，①
又 ，
所以 ，解得 ，②
由①②可得 ，
故答案为: .
9．将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6的图像，若 在 上为增函数，则ω的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据已知化简可得 ，然后平移可得 .由已知可得 ，
结合正弦函数的单调性可知 ，求解即可得出答案.
【详解】函数
，
将 的图象向左平移 个单位，得 的图象，
所以 .
因为 ， ，所以 .
又 在 上为增函数，
根据 的单调性可知 ，
解得 ，
所以 的最大值为2．
故选：B．
10．已知函数 在区间 上单调，求 的取值范围 .
【答案】
【分析】根据 ，得到 ，故 ，解得答案.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7【详解】 ，则 ， 单调，故 ，解得 .
故答案为：
【点睛】本题考查了根据三角函数单调性求参数，意在考查学生的理解转化能力.
11．将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数
在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
所以 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，
所以有 ，因此 的最大值为 ，
故选：B
12．已知函数 在 上单调，而函数 有最大值1，则下列数
值可作为 取值的是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【分析】根据余弦函数的性质求出 的范围，即可求出 的范围，依题意只需考虑存在 ，使得
，即可求出 的取值范围，即可判断.
【详解】由余弦函数的性质可知，当 在 上单调时，
，得 ，
则
由于选项中 取 ， ，1，2，其区间端点的前缀分别是 ， ， ， ，区间角的终边呈周期性变
化，
因此只需考虑存在 ，使得 ，
则 取非负整数，且 ， ，
所以 的取值区间是 ，选项中只有 适合.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合余弦函数的单调性求出 的范围，从而得到 ，根据正弦函
数的周期性及最大值，从而求出 的取值范围.
3.涉及函数对称性
13．设函数 ，若 的图象关于点 对称，则 的值可以是 ．（写出一个
满足条件的值即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】依题意根据正弦函数的性质可得 ， ，即可求出 的取值，再写出一个即可.
【详解】因为函数 ，且 的图象关于点 对称，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9所以 ， ，
解得 ， ，
所以 的值可以是 ， ， ， ， ， （写出一个即可）．
故答案为： （答案不唯一）．
14．函数 在区间 上恰有两条对称轴，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的对称轴方程为 ， ，原题等价于 有2个整数k符合，
解不等式 即得解.
【详解】 ，
令 ， ，则 ， ，
函数 在区间[0， ]上有且仅有2条对称轴，即 有2个整数k符合，
，得 ，则 ，
即 ，∴ .
故选：D.
15．已知将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图像，若
的图像关于 对称，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据函数图象的平移法则，可得 的解析式，原条件等价于 和 的图像关于 轴
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10对称，再结合正弦函数的对称性，得解．
【详解】将函数 的图像向右平移 个单位长度，
得到函数 的图像，
若 和 的图像都关于 对称，
则 和 的图像关于 轴对称，
而 ，
，
所以 且 ， ，即 ， ，
又 ，所以 的最小值为3．
故选：B．
16．已知函数 的图象的一个对称中心的横坐标在区间 内，且两个相邻
对称中心之间的距离大于 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角化简函数解析式为 ，分析可知，函数 的最小正周期
满足 ，求出 的取值范围，求出函数 图象对称中心的横坐标，可得出 所满足的不等式，
即可得出 的取值范围.
【详解】因为 ，
因为函数 的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11所以，函数 的最小正周期 满足 ，即 ，则 ，
由 可得 ，
因为函数 的图象的一个对称中心的横坐标在区间 内，
则 ，可得 ，
又因为 且 存在，则 ，解得 ，
因为 ，则 ，所以， ，
故选：B.
17．已知函数 ，（ ）在区间 上恰好有两条对称轴，则 的取值范围是
（ ）
A． B． .
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的对称轴方程为 ， ，原题等价于 有2个整数k符合，
解不等式 即得解.
【详解】因为 ，
令 ， ，则 ， ，
函数 在区间 上有且仅有2条对称轴，即 有2个整数k符合，
又在区间 上恰好有两条对称轴，
由 ，得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12若 ，则 ，∴ ；
若 ，则 ，∴ .
故选：A.
18．若函数 在区间 上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简得到 ，再求出 ，结合对称轴条数得
到不等式，求出答案.
【详解】 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 区间 上恰有唯一对称轴，故 ，
解得 .
故选：D
4.涉及函数零点
19．将函数 的图象向右平移 个单位长度可以得到函数 的图象，若函数
在区间 内有零点，无最值，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用三角函数图象变换规律得 ，依题意得 ，可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13根据条件：函数 在区间 内有零点，无最值，结合角的范围及三角函数的
性质，列出关于 的不等式组，求解即可.
【详解】由题意得 ，
依题意得
，
因为函数 在区间 内有零点，无最值，
，解得 ，
当 时， 满足条件，
当 时， 满足条件，
当 或 时，显然不满足条件．
综上可得 ．
故答案为： .
20．已知函数 在 上有且仅有2个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合余弦函数的性质可得 ，进而求解即可.
【详解】函数 在 上有且仅有2个零点，
由 ， ，得 ，
所以 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14所以 的取值范围为 .
故答案为： .
21．已知函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的图象，若关于 的方程 在 上有且仅有三个不相等的实根，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移的规律得 的解析式，结合 的范围，根据正弦函数的性质列出不等式
即可得结果.
【详解】 ，则 ，
∵ ，∴ ，
若关于 的方程 在 上有且仅有三个不相等的实根，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：B．
22．设函数 ，已知 在[ 有且仅有4个零点，下述四个结论：①
在 有且仅有2个零点；② 在 有且仅有2个零点；③ 的取值范围是 ；④
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15在 单调递增，其中正确个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】由 时，得到 ，根据 在[ 有且仅有4个零点，则
在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.
【详解】当 时，
，
因为 在[ 有且仅有4个零点，
所以 在第4个零点和第5个零点之间，
所以 ，
解得 ，故③正确；
当 时， ，又 ，
，结合 知 最多有3个零点，故①错误；
当 时， ，又 ，
，结合 有且仅有2个零点，故②正确；
当 时， ，因为 ，所以 ，则 ，
所以 在 单调递增，故④正确；
故选：D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据 在[ 有且仅有4个零点，确定
，求得 的范围，其他问题迎刃而解.
23．已知函数 的图像关于点 对称，且方程 在 上至少有两
个解，写出满足条件的 的一个值： .
【答案】 .(答案不唯一)
【分析】由函数 的图像关于点 对称，得出 ，再根据 在 上至少有
两个解，限定 的范围，得出结果.
【详解】由题意得 ，即 .
由方程 得 在 上至少有两个解，
若 ，则 ，则 ，即 ，
可得 ，当 时， .
故答案为： .
24．设函数 ．
①给出一个 的值，使得 的图像向右平移 后得到的函数 的图像关于原点对称， ；
②若 在区间 上有且仅有两个零点，则 的取值范围是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】 ，则 ，取 计算即可，确定 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17根据零点个数得到 ，解得答案
【详解】由题意可得 ，
因为 的图像关于原点对称，所以 ，即 ，
当 时， ；
，则 ， 有且仅有两个零点，
则 ，解得 ，
故答案为： （答案不唯一）；
5.涉及函数最值
25．已知 ，函数 在 上存在最值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 的最值点为 ，进而根据不等式得到 ，由 的
取值范围即可求解.
【详解】当 取最值时， ．
即 ，
由题知 ，故 ．
即 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18因为 时， ； 时， ；
显然当 时， ，此时 在 上必有最值点．
综上，所求 ．
故选:D．
26．已知函数 的图象过点 ，且在区间 内不存在最值，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将点 代入 ，求得 ，由 在区间 内不存在最值，得 是 单调区
间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到 的取值范围.
【详解】因为函数 过点 ，
所以 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，故 ，
由 得 ，所以 的单调递增区间为
，
同理： 的单调递增区间为 ，
因为 在区间 内不存在最值，所以 是 单调区间的真子集，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19当 时，有 ，解得 ，即 ，
又因为 ， ，显然当 时，不等式成立，且 ；
当 时，有 ，解得 ，即 ，
又因为 ， ，显然当 时，不等式成立，且 ；
综上： 或 ，即
故选：D.
27．设函数 ，将函数 图像上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐
标不变），得到函数 的图像，若对于任意的实数 ， 恒成立，则 的最小值等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，先由三角函数的图像变换得到函数 的解析式，再由 ，即可得到结果.
【详解】将函数 图像上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），则可得
，且对于任意的实数 ， 恒成立，
则 ，即 ， ，
解得 ， ，且 ，
所以当 时， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20故选：C
28．（多选）已知函数 ，若有且仅有一个实数 ，使得 ，
则实数 的值可能为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】BC
【分析】利用辅助角公式化简 ，根据题意确定 ，结合正弦函数
性质可得 ，即可求得答案.
【详解】由题意得 ，
因为在 上有且仅有一个实数 满足 ，而 ，
则 ，
解得 ，所以实数 的值可能为 或 ，
故选：BC
29．已知函数 的图象在区间 上恰有3个最高点．则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据正弦函数的最大值求解可得结果.
【详解】令 ， ，
得 ， ，
因为函数 的图象在区间 上恰有3个最高点．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21所以 ，解得 .
故答案为：
30．已知 在 上的最小值为 ，则 的解有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】分类讨论 ， 和 三种情况，结合余弦函数的图像和性质，进一步缩小 的范围，
再利用复合函数的单调性与零点存在定理，以及数形结合即可得解.
【详解】当 时， ，而 ，显然不满足题意；
当 时，因为 ，所以 ，
要使 在 上的最小值为 ，则有 ，所以 ，
此时 在 处取得最小值 ，即 ，
令 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
又 在 上单调递减，所以函数 在 上单调递减，
又因为 ，
由函数零点存在性定理可知，此时函数 有唯一的零点，
也即当 ，函数 在 上的最小值为 时，则 的解只有一个；
当 时，因为 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22要使 在 上的最小值为 ，则有 ，解得 ，
当 时，则 ，结合余弦函数的图象可知，
函数 在 上的最小值为 ，解得 ，满足题意；
当 时，则 ，此时 在 处取得最小值 ，即
，
从而将问题转化为 与 的图像有多少个交点，
因为 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，
则 与 的大致图像如下，
所以 与 的图像有唯一交点，
即当 ，函数 在 上的最小值为 时，则 的解只有一个；
综上可知， 的解有3个，
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分类讨论 和 时，要结合余弦函数的性质进一步缩小 的
范围，同时将问题转化为 的零点个数问题，由此得解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 236.涉及函数极值
31．（ 2023·上海黄浦·统考一模）已知 ，且函数 恰有两个极大值点在
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用整体思想法，求得 的范围，再运用正弦函数图象分析即可.
【详解】∵ ， ，
∴ ，
又∵ 在 恰有2个极大值点，
∴由正弦函数图象可知， ，解得： .
故选：B.
32．若函数 在区间 上恰有唯一极值点，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦函数的图象特征，根据整体法即可列出不等式满足的关系进行求解．
【详解】当 ， ，
由于 在区间 上恰有唯一极值点，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24故满足 ，解得 ，
故选：B．
33．已知函数 ，若 ， 在 内有极小值，无极大值，则
可能的取值个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据余弦函数的零点求得 ，又极值情况列不等式可得
，分情况得 的取值进行取舍，即可得答案.
【详解】已知函数 ，若 ，
所以 ，则 ①，
又 在 内有极小值，无极大值，则 ，所以
，
又 ，则当 得， ，所以 ，不符合①式，故舍；
当 得， ，所以 ，由①式可得 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25当 得， ，所以 ，由①式可得 ；
当 得， ，所以 ，不符合①式，故舍；
当 得， ，无解，故舍；
易知，当 时， 都无解，故不讨论；
综上， 或 ，则 可能的取值个数为 .
故选：C.
34．（ 2023·陕西榆林·统考一模）已知 ，函数 在 上恰有
3个极大值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合正弦函数的图象性质，由于 在 上恰有3个极大值点，则可列不等式
，即可求得 的取值范围.
【详解】解： ，
因为 在 上恰有3个极大值点，由 ，得 ，
又函数 的极大值点满足 ，
所以 ，解得 .
故选：C.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2635．函数 在 上有唯一的极大值，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题知函数 在 上有唯一极大值，进而得 ，再解不等式即可得答案.
【详解】解：方法一：当 时， ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以函数 在 上有唯一极大值，
所以， ，解得 .
故选：C
方法二：令 ， ，则 ， ，
所以，函数 在 轴右侧的第一个极大值点为 ，第二个极大值点为 ，
因为函数 在 上有唯一的极大值，
所以， 解得 .
故选：C
36．已知 ，若 在 上无极值点，则 .
【答案】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27【分析】先根据周期推出 ，且 ，再按照 和 分类讨论，先求出 在 上有极
值点时 的范围，再求补集即可得解.
【详解】因为 ，若 在 上无极值点，
所以 ，得 ，且 ，
令 ，得 ， ，
因为 ，
当 时， ，
假设函数 在 上有极值点，
则 或 ， ，
则 或 ， ，
则 或 ， ，
又因为 ，且 ，所以 或 ，
所以当函数 在 上无极值点时， 或 或 ，
当 时， ， ，
假设函数 在 上有极值点，
则 或 ， ，
则 或 ， ，
则 或 ， ，
又因为 ，且 ，所以 或 ，
所以当函数 在 上无极值点时， 或 或 ，
综上所述： .
故答案为： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 287.涉及多个函数性质
37．已知函数 的图像关于点 对称，且在区间 上单调，则 ．
【答案】 或
【分析】根据三角函数的对称性，列出方程求得 ，结合 在区间 上单调，求得
，进而得到 的值.
【详解】由函数 的图像关于点 对称，可得 ，
解得 ，可得 ，
又因为 在区间 上单调，可得 ，即 ，
即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
故答案为： 或 .
38．已知函数 在 上存在最值，且在 上单调，则 的取值范围
是 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数 的解析式，利用函数 在区间 上存在最值，以及函数
在 上单调分别求出 的取值范围，取交集可得 的取值范围.
【详解】因为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29当 时，因为 ，则 ，
因为函数 在 上存在最值，则 ，解得 ，
当 时， ，
因为函数 在 上单调，则 ，
所以， ，其中 ，解得 ，
所以， ，解得 ，又因为 ，则 .
当 时， ；当 时， ；当 时， .
又因为 ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
39．（多选）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为
B．若将 的图象向右平移 个单位得到奇函数，则 的最小值为
C．若 在 单调递减，则
D．若 在 上只有1个零点，则
【答案】ABC
【分析】由 可得 关于 对称，所以 ，求出 可判断A；由三角
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30函数的平移变换求出 ，因为 奇函数，所以 求出 可判断B；求出 的
单调减区间可判断C；取 ，取 在 的零点可判断D.
【详解】对于A，由 可得 关于 对称，
所以 ，可得： ，
因为 ，所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B，将 的图象向右平移 个单位得到 ，因为
为奇函数，
所以 ，则 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，函数 的单调减区间为：
，则 ，
令 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 在 上只有1个零点，则 ，
取 ，令 ，则 ，
则 ， 时， 无零点，故D不正确.
故选：ABC.
40．已知函数 ，则（ ）
A．若 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31B．若 在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围是
C．若 在区间 上有且仅有一个极大值，则实数 的取值范围是
D．若 在区间 上有且仅有一个最大值，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【分析】由 求出 的范围，然后根据正弦函数的性质对每个选项逐一判断即可.
【详解】当 时， ，
对于A，若 在区间 上为增函数，则 ，解得 ，故正确；
对于B，若 在区间 上有两个零点，则 ，解得 ，故错误；
对于C，若 在区间 上有且仅有一个极大值，则 ，解得 ，故正确，
对于D，若 在区间 上有且仅有一个最大值，则 ，解得 ，故错误，
故选：AC
41．已知函数 在区间 上单调递增，且 在区间 上只取得一次
最大值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数的单调性可知，当 时， ； 在区
间 上只取得一次最大值，可得 ，列出不等式求解可得.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32【详解】由于函数 在 上单调递增，
， ，
且 ，
解得 且 ，所以 ；
又因为 在区间 上只取得一次最大值，
即 时， ；
所以 ，解得 ；
综上知， 的取值范围是 ．
故选：B．
42．已知函数 在区间 上是增函数，且在区间 上恰好取得一次最大值，
则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据三角函数的单调性和周期，求得 的一个取值范围，结合三角函数的最值，求得 的另一个
取值范围.根据 两个取值范围的交集，求得 的取值范围.
【详解】由 ，可得 ，
因为函数 在区间 上是增函数，
所以 ，解得 ，
由 ，得 ，
因为函数 在区间 上恰好取得一次最大值，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33所以 ，解得 ，
综上 的取值范围是 .
故答案为： .
1．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据余弦型函数的最小值点可构造方程求得 的值，结合 可得最小值.
【详解】 ， 是 的最小值点，
，解得： ，
又 ， 当 时， .
故选：B.
2．已知函数 ，则“ 在 上既不是增函数也不是减函数”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】以 为整体结合正弦函数的性质可得 ，进而根据充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 且 ，则 ，
若 在 上既不是增函数也不是减函数，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34则 ，解得 ，
又因为 ，
所以“ 在 上既不是增函数也不是减函数”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
3．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据周期范围，求出 的大致范围，再根据 的取值范围，求出 的取值范围，根据 的范
围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，求解即可.
【详解】设函数 的最小正周期为T，由题意得 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ,
又 ，所以 ，所以 ，
要使函数 在 上单调递减，则 ，解得 .
故选：C.
4．已知函数 ，且 ，都有 ，则 的取
值范围可能是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知转化，得 ，设 ，由正弦函数的单调性可得 的
可能取值范围可判断出选项A正确，B错误；分别取 和 ，可判断选项C和D错误.
【详解】由 ，得 ，
设 ，
由于 ，且 ，时 ，
可知 在 上单调递减，
由正弦函数性质可知 ，
故当 时， ，
即 时，
即 时，已知不等式成立，故选项A正确，B错误；
对于选项C，当 时， ，
当 时， ，
显然此时的 在 上不是单调递减，故选项C错误；
对于选项D，当 时， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36显然此时的 在 上不是单调递减，故选项D错误；
故选：A
5．设函数 ，且 在区间 上单调，则
的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】根据 与 可得 ，再根据单调性可得 ，验证
， 与 即可.
【详解】由 ,得 ，
由 ，得 ，
两式作差，得 ，
因为 在区间 上单调，所以 ，得 .
当 时， ,因为 ,所以 ,
所以 .
， ,因为 ，
所以 在区间 上不单调，不符合题意；
当 时， ，因为 ,所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37所以 .
， ,因为 ，
所以 在区间 上不单调，不符合题意；
当 时， ，因为 ,所以 ,
所以 .
， ，
所以 在区间 上单调，符合题意，所以 的最大值是3.
故选:B.
6．若函数 在区间 上单调递减，则正数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意知 ，可得 的大致范围，由此可得 的取值范围，再由 的
单调递减区间列出不等式组，即可解出答案.
【详解】根据函数 在区间 上单调递减，
得 ，可得 ，
又由 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38必有 ，
可得 .
故选：A
7．函数 的图象向右平移 个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，则
的最小值是（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．12
【答案】C
【分析】先化简函数 解析式，得到其图象向右平移 个单位后的解析式和原函数的图象关于x轴对称
后的函数解析式，再利用相等关系解得 ， ，结合 即得结果.
【详解】∵函数 ，其图象向右平移 个单位后与原函数的图象关
于x轴对称，
则平移后函数的解析式为 ，
而原函数的图象关于x轴对称后的函数解析式为 ，
所以 ，
∴ ， ，即 ， ，
又 ，所以当 时， 取得最小值，此时， ，
所以 的最小值为4．
故选：C．
8．已知直线 是函数 图像相邻的两条对称轴，将 的图像向右
平移 个单位长度后，得到函数 的图像.若 在 上恰有三个不同的零点，则实数 的取值
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求出 ，再结合图像得出关于 的不等式组，即可求得m的范围.
【详解】解：由题意得 ,即 ，解得 ，
则 ，向右平移 个单位长度后，得到函数 ，
又 在 上恰有三个不同的零点，
所以转化为 在 上有三个不同的零点，其中， ，则 ，
要使 在 上有三个不同的零点，则 或
，解之得
故选：A.
9．已知 ，给出下列结论：
①若 ， ，且 ，则 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 40②存在 ，使得 的图像向左平移 个单位长度后得到的图像关于y轴对称；
③若 在 上恰有7个零点，则ω的取值范围为 ；
④若 在 上单调递增，则ω的取值范围为 .
其中，所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】对函数 化简可得 ，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、
对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】解：∵ ，
∴ 的最小正周期为 .
对于① ：因为 ， ，且 ，所以 的最小正周期为T=2π，
， 故① 错误；
对于② ：图像变换后所得函数为 ，
若其图像关于y轴对称，则 ， ，解得 ，
当 时， ，故② 正确；
对于③ ：设 ，当 时， .
在 上有7个零点，即 在 上有7个零点.
则 ，解得 ，故③错误；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41对于④ ：由 ，
得
取 ，可得 ，
若 在 上单调递增，则 ，解得 ，故④ 正确.
故选：D.
10．设 ，若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用诱导公式化简，再根据正弦函数的单调性可得 ，结合条件即得.
【详解】 ，
由 ， ，可得 ，
根据正弦函数的单调性，可得： ，又 ，
所以 ，即 .
故选：D.
11．设函数 ．若 对任意实数 都成立，则 的值可以为 .
【答案】 （答案不唯一，符合 即可）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 42【分析】利用已知条件 转化为函数 的最大值，然后列出关系式求解即可得出
答案.
【详解】 对任意实数 都成立，则 时， ，
所以 ，则 ，解得 ，
因为 ，取 ，则 .
故答案为： （答案不唯一，符合 即可）
12．已知函数 ，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由 可求得 的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于 的不等式组，求
出整数 可能的取值，即可得出实数 的取值范围.
【详解】因为 ，当 时， ，
因为函数 在区间 上单调递增，
则 ，
所以， ，其中 ，解得 ，
所以， ，解得 ，
因为 ，且 ，则 .
当 时， ；当 时， .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43综上所述， 的取值范围是 .
故答案为： .
13．将函数 的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函数图像的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是
.
【答案】
【分析】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据无零点列出不等式组，解出取值范围即可.
【详解】将函数 的图像先向右平移 个单位长度，得到函数 的
图像，
再把所得函数图像的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，
当 时， .由 在 上没有零点，得 ，
即 ，解得 或 .
故答案为： .
14．已知函数 的图象关于直线 对称，且 在 上单调，则 的
最大值为 .
【答案】
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44【分析】根据函数的对称性求出 ，即可求出函数解析式，再根据 的取值范围，求出 的取值范围，
根据余弦函数的性质得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，即 ， ，
又 ，所以 ，从而 .
因为 ，所以 ，因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 的最大值为 .
故答案为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45
