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专题突破卷 12 平面向量中的最值（范围）问题
题型一：平面向量与三角形综合求最值
1．在 中，内角A，B，C的对边分别是 ， ， ， ， ，
是 外接圆圆 外一点， ，则 的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
2．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，则 的最
小值为（ ）
A． B． C． D．
3． 是等腰直角三角形，其中 ， 是 所在平面内的一点，若
（ 且 ），则 在 上的投影向量的长度的取值范
围是（ ）A． B． C． D．
4．已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
5．在 中，角 所对应的边为 , ， ， ， 是 外接
圆上一点，则 的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
6．在 中， ， ， ，P为 内（包含边界）的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 的三个角 的对边分别为 ，且 是
边上的动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9．在等腰 中，角A，B，C所对应的边为a，b，c， ， ，P是
外接圆上一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在 中， ， ， . 为 所在平面内的动点，且 ，
若 ，则给出下面四个结论：
① 的最小值为 ； ② 的最小值为 ；
③ 的最大值为 ； ④ 的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二：平面向量与四边形综合求最值
11．已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．3
12． 是边长为2的正方形 边界或内部一点，且 ，则 的最大
值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
13．在平面四边形ABCD中， ，若P为边
BC上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．14．如图，在平面四边形 中， 为等边三角形，当点
在对角线 上运动时， 的最小值为（ ）
A． B．-1
C． D．2
15．如图，在四边形 中， .若 为线
段 上一动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．在边长为4的正方形 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段 （含端点）上运动，
点P是圆Q上及其内部的动点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
17．在矩形 中， .若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18．如图，在平面四边形ABCD中， ．若
点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
19．如图所示，矩形 的边 ， ，以点 为圆心， 为半径的圆与 交
于点 ，若点 是圆弧 （含端点 ､ 上的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．如图所示，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的
圆上，则 的最大值是（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
题型三：平面向量与圆综合求最值
21．在矩形 中， ，点 是线段 上一点，且满足 .在平面中，动点 在以 为圆心，1为半径的圆上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
22．设 ，已知圆 ，圆 ，过圆
上任意一点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，则 的最大值为
（ ）
A． B．6 C． D．
23．已知点A、B、C在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
24．如图，圆 和圆 外切于点 ， ， 分别为圆 和圆 上的动点，已知圆 和圆
的半径都为1，且 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
25．已知图中正六边形 的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，
若点P在正六边形的边上运动， 为圆O的直径，则 的取值范围是（ ）
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B． C． D．
26．已知圆 半径为2，弦 ，点 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最大值为6
C． D．满足 的点 有一个
27．如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在
正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范
围为（ ）
A． B．[5,7] C． D．
28．已知圆O的半径为2，弦 的长为2，C为圆O上一动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．在平面直角坐标系 中，已知P是圆 上的动点，若
，则 的最小值为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
30．已知 是半径为2的圆上的三个动点，弦 所对的圆心角为 ，则
的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
1．已知直角梯形 中， 是腰 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．5
2．已知平面向量 ， ， ，且 ， .已知向量 与 所成的角为60°，且
对任意实数 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知正方形 的边长为2，若动点 在以 为直径的半圆上（正方形
内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A．[0,2] B．[0,4] C． D．[0,1]
4．已知直线 过定点 ，且与圆 相交于 两点，则（ ）
A．点 的坐标为 B． 的最小值是
C． 的最大值是0 D．
5．已知 是边长为2的正六边形 内一点（不含边界），且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 的面积为定值
B． 使得
C． 的取值范围是
D． 的取值范围是
6．在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点， 为线段 上
的动点， 为 中点，则 的最小值为 ．
7．如图，在等腰直角 中， ， ， 为 的中点，将线段 绕点
旋转得到线段 设 为线段AB上的点，则 的最小值为 ．8．在梯形 中， ，梯形 外接圆圆心为
，圆上有一个动点 ，求 的取值范围 ．
9．在长方形ABCD中， ， ，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端
点），且 ，设 ， ，则 的最小值为 .
10．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，且 ，求 的面积；
(3)如图，过点A作BC的平行线AP，且 ，在四边形ABCP中， ，
动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且 ，求 的最小值．
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