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第一章 勾股定理（复习讲义）
1．了解勾股定理的意义，体会勾股定理及其逆定理之间的整体联系。
①了解勾股定理的基本内容；②了解勾股定理逆定理的内容；③体会勾股定理与勾股定理逆定理之间的相
互关系和整体联系。
2．能用勾股定理及其逆定理进行证明和计算。
①掌握勾股定理的多种证明方法；②能够利用勾股定理求解直角三角形的边长；③能够利用勾股定理逆定
理判断一个三角形是否为直角三角形。
3．理解并利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
①理解勾股数的概念，能够识别和应用勾股数解决实际问题；②能够利用勾股定理解决平面展开图中的最
短路径问题；③能够在实际问题中灵活运用勾股定理及其逆定理，进行问题分析和求解。
知识点01 勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c
如图：直角三角形 ABC 的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么
a2 b2 c2
.
知识点02 勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
知识点03 勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
知识点04 勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
知识点05 勾股定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在
具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第
三边的平方比较而得到错误的结论.
知识点06 平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用
勾股定理求解
题型一 勾股数的判断
【例1】在下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边
的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、 ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、 ，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、 ，是勾股数，故本选项符合题意；
D、 ，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式1-1】下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A．7，21，24 B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，4，5
【答案】A
【分析】本题考查了勾股数的知识，判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边
的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A．最大数为24，计算得 = 49 + 441 = 490，而 = 576，不满足勾股定理，故不
是勾股数．
B．最大数为10，计算得 = 36 + 64 = 100 = ，满足勾股定理，是勾股数．
C．最大数为13，计算得 = 25 + 144 = 169 = ，满足勾股定理，是勾股数．D．最大数为5，计算得 = 9 + 16 = 25 = ，满足勾股定理，是勾股数．
综上，只有A不满足勾股数条件，
故选：A．
【变式1-2】下列四组数中，不是勾股数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股数，根据勾股数的定义，可以进行判断，解题的关键是要用到勾股数的定义，
及勾股定理的逆定理：已知 的三边满足 ，则 是直角三角形．
【详解】解： 、 ，故这是一组勾股数，不符合题意；
、 ，故这是一组勾股数，不符合题意；
、 ，故这是一组勾股数，不符合题意；
、 ，故这不是一组勾股数，符合题意；
故选： ．
【变式1-3】勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角
三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：
3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾
为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其
弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），根据所给的二
组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为 ，
故选：B．
题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积
【例2】以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为
（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理．
直接利用勾股定理求解．
【详解】解：正方形A的边长为 ，
故选：B．
【变式2-1】如图，5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积
依次为4、5、20，则正方形B的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键．根据已知条件以及勾股定理可得 ，根据正方形的面积即可得到结果．
【详解】解： 5个阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，
，
正方形A、C、D的面积依次为4、5、20，
，
故选：C．
【变式2-2】如图，分别以 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底
月牙”．当 ， 时，“希波克拉底月牙”的面积是（ ）
A．18 B． C．24 D．48
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．根据勾股定理求得 的长度，再根
据圆的面积公式分别计算三个半圆的面积，阴影部分的面积为：两个较小半圆的面积和减去以 为直径
的半圆的面积，之后再加上 的面积，
【详解】解： 在 中， ， ， ，
∵
，
∴
以 为直径半圆的面积： ；
以 为直径半圆的面积： ；
以 为直径半圆的面积： ；的面积为： ，
“希波克拉底月牙”的面积是： ．
∴
故选：C
【变式2-3】如图， 中， ，分别以 的三条边为一条边在 的外部作
等腰直角三角形， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，下列结论一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰
直角三角形的性质是解题的关键．
由勾股定理得 ，再由等腰直角三角形的性质得 ， ，则
，同理 ，然后由三角形面积得 ，， ，
即可解决问题．
【详解】解： ，
，
是等腰直角三角形，
， ，，
同理： ，
，，
同理： ，
是等腰直角三角形， ，
，
，
故选项A不符合题意；
，
故选项B不符合题意；
， ，
，
故选项C符合题意；
，
故选项D不符合题意；
故选：C．
题型三 判断能否构成直角三角形
【例3】（23-24八年级下·重庆荣昌·期末）由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
利用三角形内角和定理求得 的值，即可判断选项A、C；利用勾股定理的逆定理判断选项
B、D即可．
【详解】解：A. ∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ∵ ，
∴ ，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意；
C. ∵ ，可设 ，
则有 ，
∴ ，
∴该三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
D. ∵ ，可设 ，
则有 ，可判定该三角形为直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式3-1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）满足下列条件的 中，不是直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项
判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】解： 、 ， ，
∴ ，
不是直角三角形，符合题意；
、 ， ，∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
、 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，不符合题意；
、∵ ，
∴设 ， ， ，
∵ ，
∴ ；
∴ 是直角三角形，不符合题意；
故选： ．
【变式3-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知 中， ， ， 的对边分别是 ， ，
．下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、直角三角形的定义、勾股定理的逆定理等知识点，灵活运
用相关知识成为解题的关键．利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断
即可．
【详解】解： 、 ， ，故 是直角三角形，不符合题意；
、 ， ， ，故 是直角三角形，不符合题意；
、 ， ，故 不是直角三角形，符合题意；
、 ， ，故 是直角三角形，不符合题意．
故选： ．【变式3-3】（23-24八年级下·山东济宁·期末）在 中， ， ， 的对边分别记为 ， ， ，
下列结论中不正确的是（ ）
A．如果 ，那么 是直角三角形且
B．如果 ，那么 是直角三角形
C．如果 ，那么 是直角三角形
D．如果 ，那么 是直角三角形
【答案】A
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长 ， ， 满
足 ，那么这个三角形就是直角三角形．根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：A、如果 ，即 ，那么 是直角三角形且 ，选项错误，符合
题意；
B、如果 ，由 ，可得 ，那么 是直角三角形，选项
正确，不符合题意；
C、如果 ，满足 ，那么 是直角三角形，选项正确，不符合题意；
D、如果 ，由 ，可得 ，那么 是直角三角形，选项正确，
不符合题意；
故选：A．
题型四 勾股定理与网格问题
【例4】（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格， 的顶点 ， ，
均在格点上．若 于点 ，则线段 的长为【答案】2
【知识点】勾股定理与网格问题
【分析】由勾股定求出 ， ， ，得到 ， ， ，由
，推出 是直角三角形，由三角形面积公式得到 的面积
，代入有关数据，即可求出 的长．
【详解】解：由勾股定理得： ， ， ，
， ， ，
，
是直角三角形，
，
的面积 ，
，
．
故答案为：2．
【变式4-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中， 的三个顶
点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)线段 的长为 ，线段 的长为 ， 线段 的长为 ；
(2) 的面积是 ．
【答案】(1) ， ， ；
(2)
【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了网格中求三角形面积，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：由网格知识可得：
，
，
，
故答案为： ， ， ；
（2）解： ，
故答案为： ．
【变式4-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，
在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形 的每一个顶点都在格点上，(1)求 的度数；
(2)求格点四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】利用网格求三角形面积、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题
【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面积的计算等知识点，解题的关键是根据勾股定理的
逆定理得出 为直角三角形．
（1）如图：连接 ，运用勾股定理可得 的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出
为等腰直角三角形即可解答；
（2）根据 以及三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图：连接 ，根据勾股定理 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
是直角三角形，
．
（2）解： ．
【变式4-3】（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）网格中的小正方形边长均为1， 的三个顶点均
在格点上，完成下列问题：(1) ______； ______； ______；
(2)求 的面积
(3)求 边上的高
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】坐标与图形、与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可；
（2）根据网格的特征，利用割补法列式作答；
（3）运用等面积法，进行列式作答即可．
【详解】（1）解：
故答案为：
（2）解： 的面积 ，
（3）解： 的面积 边上的高，
即 边上的高 ．
题型五 用勾股定理解三角形
【例5】在 中， ．
(1)若 ， ，则 ______；(2)已知 ， ，求 、 的值．
【答案】(1)12
(2) ，
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键．
（1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解；
（2）由题意设 ， ，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；
故答案为：12；
（2）解： ，
设 ， ．
又 ， ，
，
即 ，
（舍去负值）
， ．
【变式5-1】如图，在 中， ，点 在 的延长线上，过点 作 于点 ，交
于点 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明 是解题的关键．（1）由 于点 ， ，得 ，而 ，
，可根据“ ”证明 ，得 ， ，推导出 ，再证明
，则 ；
（2）由 ， ， ，勾股定理求得 ， ，则
，由勾股定理得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： 于点 ，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（2）解： ， ， ，
， ，
，
，，
解得：
【变式5-2】如图，点 、 把线段 依次分成 、 、 三段．若以 、 、 为边组成
的三角形是一个直角三角形，则称点 、 是线段 的“勾股分点”．
(1)若 ， ， ，则点 、 线段 的“勾股分点”（填“是”或“不是”）．
(2)若 、 是线段 的“勾股分点”， ， ，且 是组成的直角三角形的一条直角边，
求 的长．
【答案】(1)不是
(2)13或5
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）先求出 ，再根据“勾股分点”的定义判断即可；
（2）设 ，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 、 不是线段 的“勾股分点”，
故答案为：不是；
（2）解：设 ，则 ．
①当 是直角三角形的斜边时，
由 ．
得 ．
解得： ；
①当 是直角三角形的斜边时，
由 ．
得 ．解得： ；
或5．
【变式5-3】如图，在 中， 于点 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)若点 是射线 上的一个动点，过点 作 于点 ．
①当点 在线段 上时，若 ，求 的长；
②设直线 交射线 于点 ，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】(1)
(2)① ；② 或
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的
关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识．
（1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得；
（2）①由勾股定理得 ，并利用 证得 ，有 ，即可求得 ；
②分两种情况：当点 在线段 上时，由面积比得 ，求得 ，并得到 和
，可得 ，利用等角对等边即可求得 ；当 在线段 的延长线上时．由
面积比得 ，可求得 ，同理，即可求得 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ；（2）解：①在 中，由勾股定理得： ．
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②分两种情况：
如图，当点 在线段 上时．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；当 在线段 的延长线上时．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得：
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ．
题型六 勾股定理与折叠问题
【例6】如图，有一块直角三角形纸片的两直角边 ， ，现将 沿直线AD折叠，使
点C落在点E，求CD的长．
【答案】
【分析】本题考查图形的折叠，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．根据勾股定理，求出 ，再由折叠，可得 ，在 中，利用勾股定理，列出方程，
即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
由折叠，得
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解答 ，
∴ ．
答：CD的长为 ．
【变式6-1】如下图，在长方形纸片 中， ．现将该纸片沿 折叠，使点A，C
重合．求：
(1) 的长；
(2)重叠部分 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题：
（1）先得到 ，再设 ，则 ，据此利用勾股定理得到 ，解方程即可得到；
（2）由（1），得 ，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由折叠和长方形的性质得 ．
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理，得
∴ ，
解得 ，
的长为 ．
（2）解：由（1），得 ，
．
【变式6-2】如图，将边长为 的正方形 折叠，使点D落在 边的中点E处，点A落在F处，折
痕为 ．
(1)求线段 长．
(2)求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，
本题中翻折是解题的关键．
（1）设 长度为 ．由题意得， ，在 中， ，根据勾
股定理得： ，建立方程求解即可；（2）连接 ，设 的长度为 ，在 中， ，根据勾股定理得： ，
在 中， ，根据勾股定理得； ，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设 长度为 ．
由题意得， ，
在 中， ，根据勾股定理得： ，
解得：
∴线段 的为 ；
（2）解：连接 ，设 的长度为 ．
由题意得， ，
∴在 中， ，根据勾股定理得： ，
在 中， ，根据勾股定理得； ，
解得：
的长为 ．
【变式6-3】如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落到点 位置， 与 交于点 ．(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的面积；
(3)在（2）的条件下，若点 为线段 上任一点， 于 于 ．求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)4
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定：
（1）由长方形的性质和折叠的性质证明 ，进而可利用 证明
；
（2）由全等三角形的性质得到 ，设 ，则 ，利用勾
股定理建立方程 ，解方程求出 ，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）先利用勾股定理求出 ，再根据 列式求解即可．
【详解】（1）证明：由长方形的性质可得 ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型七 勾股定理的应用
【例7】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧
隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由 调整为 、大型汽车限速值由
调整为 ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方
的C处（即 ），过了 小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ．(1)求 的长；
(2)这辆小汽车在 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)这辆小汽车超速了，理由见解析
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据小汽车用 行驶的路程为 ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ， ，
∴ ；
（2）解：结合（1）可得小汽车的速度为 ；
∵ ；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【变式7-1】《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸
齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为10尺，有一棵芦苇生长在池塘
的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，求芦苇的长度．
【答案】芦苇的长度为13尺
【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角
三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．
【详解】解：设水深为x尺，则芦苇长为 尺，根据勾股定理得： ，
解得： ，
芦苇的长度 （尺），
答：芦苇的长度为13尺．
【变式7-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的时节，八（1）班有位同学在学完勾
股定理后，为计算风筝的垂直高度，不考虑风等影响，放出去的风筝线是直的．进行了如下测量：
①测得水平距离 的长为 ；
②根据手中剩余的线计算出放出去的风筝线 为
③该同学身高1.6m
(1)求风筝的垂直高度
(2)如果该同学想让风筝沿 方向下降 ，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1) 米
(2)8米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴在 中，由勾股定理得， ，
所以， （负值舍去），
所以， （米），
答：风筝的高度 为 米；（2）解：由题意得， ，
∴ ，
∴ （米），
∴ （米），
∴他应该往回收线8米．
【变式7-3】每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生在消防日举行了
消防演练．如图，云梯 长为10米，云梯顶端 靠在教学楼外墙 上（墙与地面垂直），云梯底端
与墙角 的距离为6米．（结果保留1位小数，参考数据： ， ， ）
(1)求云梯顶端 与墙角 的距离 的长；
(2)假如云梯顶端 下方3米 处发生火灾，需将云梯顶端 下滑到着火点 处，则云梯底端在水平方向上
滑动的距离 为多少米．
【答案】(1) 米；
(2) 米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在 中，根据勾股定理即可得到求解；
（2）在 中，根据勾股定理求出 ，即可得到结论．【详解】（1）解：在 中， 米， 米，
∴根据勾股定理， （米），
答：云梯顶端 与墙角 的距离 的长为 米；
（2） （米），
在 中， （米），
（米），
答：云梯底端在水平方向上滑动的距离 约为 米．
【变式7-4】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工
具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，即水平
距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．
【答案】(1)
(2)绳索 的长为
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键．
（1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为 ，由展开图可得 即为最短路径，由勾股定理即
可求解；
（2）根据题意得到四边形 是矩形，如图所示，过点 作 ，四边形 ， 是矩形，
则 ， ，设 ，则 ，在中由勾股定理得到 ，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：圆柱的底面半径为 ，
∴圆柱底面圆的周长为 ，
如图所示， 即为最短路径， ， ，
∴ ，
∴最短的路线长是 ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
如图所示，过点 作 ，
∴ ，
∴四边形 ， 是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得， ，∴绳索 的长为 ．
题型八 利用勾股定理的逆定理求解
【例8】（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形 中， ， ，
， ，求 的度数．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】根据 ， ，可以得到 为等边三角形，再根据勾股定理的逆定理可以判
断 为直角三角形，从而可以求得 ，进而可求得 的度数．本题考查勾股定理的逆
定理、等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出 和 的度数．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
又∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∴ ．【变式8-1】（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图， 在四边形 中． ，
，
(1)求 的度数．
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等腰三角形的定义、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、三角形内角和定理的
应用
【分析】（1）由勾股定理得： ，由 ，可得
，即 是直角三角形， ，由 ， ，可得
，根据 ，计算求解即可；
（2）根据 ，计算求解即可．
【详解】（1）解：由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
（2）解：由题意知， ，
∴四边形 的面积为 ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握勾
股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
【变式8-2】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地 ， ，
， ．从点A修了一条垂直 的小路 （垂足为E），E恰好是 的中点，且
．
(1)求边 的长；
(2)连接 ，判断 的形状；
(3)求这块空地的面积．
【答案】(1)
(2) 是直角三角形
(3)这块空地的面积为
【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、线段垂直平
分线的性质
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关
键．
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．
【详解】（1）解： ，．
在 中，
， ，
．
是 的中点，
．
（2）解：如图，
， 是 的中点，
．
， ，
，
，
是直角三角形．
（3）解：由（2）可知， 是直角三角形， ，
，
由（1）可知， ，
这块空地得面积为： ．
【变式8-3】（23-24八年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形 中， ， ， ．(1)求证： ：
(2)如果 平分 ，且 ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、角平分线的性质
定理
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得 ，即可解答；
（2）过点A作 ，垂足为E，先利用角平分线的性质可得 ，然后在 中，利
用勾股定理求出 的长，再在 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出 的长，从而求出
的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的
逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点A作 ，垂足为E，，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
∴ 的面积为 ．
基础巩固通关测
一、单选题
1．下列各数中，能与7，25组成一组勾股数的是（ ）
A．9 B．24 C．35 D．40
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数，根据定
义即可求解．
【详解】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不符合题意，故选：B．
2．如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（ ）
A．3 B．9 C．16 D．25
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，由勾股定理和正方形的面积公式解答．
【详解】解：由图可知正方形的边长为 ，
∴正方形的面积为 ，
故选：B．
3．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的应用及代数式的变形，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方
之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．通过展开并整理等式，结合直角三角形的性质确定正确选项．
【详解】解： 在 中， ，
，
，
即边 为斜边，对应的角 ，
故选项A说法错误，不符合题意；选项B说法正确，符合题意；选项C说法错误，不符合题意；
又 ，
，
，选项D说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．《九章算术》中记载一道“折竹抵地”的问题，其大意是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈
尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？
设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题
意画出示意图，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则 尺， 尺，
在 中，由 得 ．
故选：A．
5．如图，在 中， ， ， ．点E、F分别是边 、 上的点，连结 ，
将 沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（ ）A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解： 点 是边 的中点，
，
由翻折的性质得， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
．
故选：A．
二、填空题
6．写一组你喜欢的勾股数 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小
边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．
根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数．
【详解】解：∵ ，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是 ．
故答案为： ．
7．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之
前的高度是 m
【答案】18
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，勾股定理求出 的长，再根据线段的和差进行计算即可．
【详解】解：由题意和勾股定理定理，得： ，
∴旗杆折断之前的高度是 ；
故答案为：18．
8．在直角三角形 中， ， ， ，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解题的关键．
直接根据勾股定理解直角三角形即可．
【详解】解：∵在直角三角形 中， ， ， ，
∴ ．
故答案为：3．
9．如图，在 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 ， ， ，
若 ，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出 ，再根据同底等高的算法即可得到答案；
【详解】解：在 △ 中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为 ， ， ，由
勾股定理得： ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ，
∴阴影部分的面积为5，
故答案为：5．
10．如图，已知 ， ，点 为 的边 上一动点，则当 时，
为直角三角形．
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的动点问题，解题关键是掌握勾股定理．
分 为直角边或斜边来讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：若 为三角形的直角边，则 为该三角形的斜边；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
， ，
，解得： （负值舍去），∴ ；
若 为斜边，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，解得： （负值舍去），
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
11．如图，在 中， ， 于 ， ， ，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查考查勾股定理，由勾股定理求出 ，再根据等积关系求出 ．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．12．图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中
， 于点 ， 尺， 尺，求 的长度．
【答案】 的长为3.75尺
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设 的长度为x尺，则 尺，在 中，
由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】解：设 的长为 尺，在 中， 尺， ，
由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ．
答： 的长为3.75尺．
13．如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将斜边 翻折，使点B落在
直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．
先利用勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知： ， ，进一步求出 ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，解方程即可求解．
【详解】解： ，
，
根据翻折可得 ，
，
设 ，则 ．
在直角三角形 中，由勾股定理得：
解得： ，
∴ ．
14．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意
图
①测得水平距离 的长为 米．
边的长
测量数据
度
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为 米．
请计算：如果小明想要风筝沿 方向再上升 米， 长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】他应该再放出 米线
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键．
根据题意，运用勾股定理得到 的长，再根据风筝沿 方向再上升 米，得到上升后的高度，最后再
运用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意， ，
∴ ，
如图所示，风筝沿 方向再上升 米到点 处，连接 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴他应该再放出 米线．
15．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，沿着射线 以
的速度运动，运动时间为 ．
(1)若 ，则t的值为_____；
(2)当 时，求t的值；
(3)当 是直角三角形时，求t的值．
【答案】(1)2或14
(2)
(3)t的值为8或
【分析】本题考查了勾股定理、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由勾股定理可得 ，由题意可得 ，分两种情况：当点P在点C的左侧时，
；当点P在点C的右侧时， ；分别列出一元一次方
程，解方程即可得解；（2）根据勾股定理计算即可得解；
（3）分两种情况：当 时，点P与点C重合，当 ，分别求解即可得解．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，，
∴ ，
依题意， ，
当点P在点C的左侧时， ，
当点P在点C的右侧时， ，
∵ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
故答案为：2或14；
（2）解：当 时，如图，
， ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵ ， ， ，
∴ ，
动点P从点A出发，沿射线 以 的速度运动，
∴ ，
①当 时，如图，点P与点C重合，
，∴ ；
②当 ，如图， ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
综上所述，t的值为8或 ．
能力提升进阶练
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，5，6
【答案】C
【分析】本题考查了勾股数的定义.
根据勾股数的定义判断即可.
【详解】A选项： ，而 ， ，不满足勾股数条件；
B选项： ，而 ， ，不满足勾股数条件；
C选项： ，而 ， ，满足勾股数条件；
D选项： ，而 ， ，不满足勾股数条件；
故选：C.2．已知 的三边分别为a，b，c，当三角形的边，角满足下列关系，不能判定 是直角三角形的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理与三角形内角和定理
是解题的关键．
由勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．
【详解】A. ，
，符合勾股定理的逆定理，故此选项能判断 是直角三角形，不符合题意；
B. ， ，
，是直角三角形，故此选项能判断 是直角三角形，不符合题意；
C. ，
设 ， ， ，
， ，
，不符合勾股定理逆定理，故此选项不能判断 是直角三角形，符合题意；
D. ，
，
， ，
，符合勾股定理的逆定理，故此选项能判断 是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
3．如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置 处摆绳 与地面垂直，摆绳长 ，向前荡起到最高点处时距地面高度 ，摆动水平距离 为 ，然后向后摆到最高点 处．若前后摆动过程中绳始终
拉直，且 与 成 角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂
点为 ，由勾股定理得到 ，进而得出 ，证明 ，得到 ，
进而求出 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，摆绳 与地面的垂点为 ，
由题意可知， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，，
，
，
即小丽在 处时距离地面的高度是 ，
故选：A．
4．已知直角三角形纸片 的两直角边长分别是 ， ，现将 按如图所示那样折叠，使点A与点B
重合，折痕为 ，则 的长是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理得到 ，再由折叠的性
质得到 ，设 ，则 ，由勾股定理
可得 ，解方程可得 ，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ， ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，∴ ，
故选：B．
5．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证
明勾股定理的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，
再整理即可判断．
【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形
的面积加上两个直角三角形的面积，
∴ ，
整理得 ，
故①可以证明勾股定理；
在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴ ，
整理得 ，
故②可以证明勾股定理；
在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ ，
整理可得 ，
故③可以证明勾股定理；在图④中，连接 ，
此图也可以看成 绕其直角顶点顺时针旋转 ，再向下平移得到．一方面，四边形 的面积等
于 和 的面积之和，另一方面，四边形 的面积等于 和 的面积之和，
所以 ，
即 ，
整理： ，
，
∴ ，
故④可以证明勾股定理；
∴能证明勾股定理的是①②③④．
故选：D．
二、填空题
6．如图，正方形A的面积为 ．
【答案】100
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾
股定理即可解答．【详解】解：根据题意可得： ，
根据勾股定理可得： ，
故答案为：100．
7．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1， 各顶点均在网格的格点上， 于点
D，则 的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理可求
的长，利用割补法求出 的面积，由三角形的面积公式求出 即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
8．如图，有一张直角三角形纸片沿直线 折叠，使一直角边落在斜边上，且点 与点 重合，已知
， ，则 的长是 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由勾股定理可得 ，由折叠的性质可得
， ，再由 ， 得出
，计算即可得解．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
9．如图，无盖长方体盒子的长为 ，宽为 ，高为 ，若 ，一只蚂蚁沿着盒子的表面
从 点爬到 点，需要爬行的最短路程为 ．
【答案】25
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解图示，掌握勾股定理求最短路径的计算是解题的关键．
根据题意，将长方体盒子展开，可得 为最短路径，由勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，∵长方体盒子的宽为 ，高为 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
10．如图， 中， ， ， ，点 为线段 上一个动点，连接 ，将
沿直线 翻折得到 ，线段 交直线 于点 ．若 为直角三角形，则 的长是
．
【答案】1或
【分析】根据题意可分三种情况：当 时，当 时，利用勾股定理来求解．
【详解】解：当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ，如图
，
，
四边形 是矩形，
， 。
将 沿直线 翻折得到 ，
， ．
在 中
．
设 ，则 ， ，
，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
所以 ．
当 时，此时点 与点 重合，
将 沿直线 翻折得到 ，
， ，
设 ，
则 ， ，
，
整理得 ，
解得 ，
即 ．
当 时，
因为在 中， ，
所以 ，翻折后， 不可能为 ，此种情况不存在．
综上所述， 的长是 或 ．
【点晴】本题考查了翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握分类思想是解
答关键．三、解答题
11．某数学小组开展“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．已知笔
记本电脑的宽 为 ，当顶部边缘 离桌面的高 时，此时用眼舒适度不太理想．小组成员
调整顶部边缘离桌面的高，最后发现当顶部边缘离桌面的高 时，用眼舒适度比较理想．已知点
， ， ， 在同一条直线上，求调整前后顶部边缘移动的水平距离 ．
【答案】调整前后顶部边缘移动的水平距离 的长为
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，在 中求得 ，根据题意得 ，在 中
求得 ，利用 求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
答：调整前后顶部边缘移动的水平距离 为 ．
12．如图，在 中， ， 垂足为 ．
(1)若记 为 ， 为 ，直接写出 ___________；
(2)若 ， ，求 的长度．【答案】(1)
(2)
【分析】（ ）利用勾股定理求出 ，再利用三角形的面积即可求解；
（ ）由已知可得 ，再分别在 、 和 中利用勾股定理可得
，据此即可求解；
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
，
解得 ．
13．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其进行了探究：如图1，在一个支架的横杆点 处
用一根细绳悬挂一个小球 ，小球 可以自由摆动．如图2， 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从 摆到 位置，此时过点 作 于点 ，当小球摆到 位置时， 与
恰好垂直（图中的点 ， ， ， 在同一平面上），过点 作 于点 ，测得
．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
（1）根据垂线性质得到 ，根据同角的余角相等得到 ，即可证明
，从而得到结论；
（2）根据勾股定理求出 的长，由（1）可知 ，利用 求出结果即可．
【详解】（1）证明： ， ， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
；
（2）在 中， ，，
．
14．已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架 ，
，两轮轮轴的水平距离 （购物车车轮半径忽略不计）， ， 均与地面平行．
(1)猜想两支架 与 的位置关系并说明理由；
(2)若 的长度为 ， ，求购物车把手点 到 的距离．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等；解题的关键是熟悉直角三角形的
性质．
（1）计算得出 ，由勾股定理逆定理可判定 为直角三角形，即可求解；
（2）过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，则 ．结合题意得
，进一步求得 ，在 中，求得 和
，利用等面积法列 求得 ，结合 即可．
【详解】（1）解： ．理由如下：
，
．
为直角三角形，
，
；
（2）解：过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 于点 ，如图，，
∴ ．
又 ，
∴ ，
．
，
在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理，得 ，
，
∴
解得： ．
．
购物车把手点 到 的距离为 ．
15．为了满足市民健身需求，市政部门在某公园的东门 和西门 之间修建了四边形 循环步道．如
图，经勘测，点 在点 的正南方向上，点 在点 的正东方向上， ，且点 到点 的距离
相等， 米， 米．
(1)求 两点之间的距离；(2)嘉淇准备从西门 跑步到东门 去见小明，因 之间的道路整修不能通行，嘉淇决定选择一条较短
线路，请通过计算说明嘉淇应选择 路线，还是 路线？
【答案】(1) 两点之间的距离为400米
(2)应选择 路线，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，方位角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由题意可知 ，利用勾股定理即可算答案；
（2）由题意可知 ， ，再利用勾股定理计算出 和 长度，从而得到两种线路的长
度，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：∵点 在点 的正南方向上，点 在点 的正东方向上，
∴ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
即 两点之间的距离为400米；
（2）解：∵点 到点 的距离相等，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ．
即 路线的长为 米．
∵ ，即 路线的长为800米．
∵ ，
∴应选择 路线．
16．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直
角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，
化简便得出结论 ．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双
求法”．
【方法运用】
千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角
形 和直角三角形 按如图2所示放置，其三边长分别为 ， ，显然
．
①请用 分别表示出梯形 的面积________， 的面积________；并求出四边形 的面积
（用含c的式子表示，要写过程）
②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理 ；
【方法迁移】
（1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到 ，则 边上的高为________；
（2）如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求x的值．
【答案】方法应用：① ； ； ；②见解析；方法迁移：（1） ；（2）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证
明，是解本题的关键．构造出直角三角形 是解本题的难点．
方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据 可证 ；
方法迁移：
（1）计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得 边上的高；（2）运用勾股定理在 和 中求出 ，列出方程求解即可；
【详解】解：【方法运用】：
①由题意得， ， ，
；
故答案为：① ； ； ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【方法迁移】：
（1）设 边上的高为h，
，
，
，
∴ ，
即 边上的高是 ；
故答案为： ；
（2）在 中，由勾股定理得
，
∵ ，∴ ，
在 中，由勾股定理得，
，
∴ ，
∴ ．
