第1章勾股定理（知识清单）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_旧版_07知识点总结_单元知识点

第 1 章 勾股定理知识清单 1 勾股定理 1 ．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆 时，此关系只有当 是 斜边时才成立．若 是斜边，则关系式是 ；若 是斜边，则关系式是 ． 2．直角三角形斜边上的高①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即 ，求出h． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解， 这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab （3）理解勾股定理的一些变式： ， ， . 2勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中 ，所以 . 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中 ，所以 . 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以 .3勾股数 x2  y2  z2 满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显 x、y、z 然，以 为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41…… 如果(a、b、c)是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct 为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形 4如何判定一个三角形是否是直角三角形 c 首先确定最大边（如 ）. c2 a2 b2 c2 a2 b2 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若 c2 a2 b2 ，则△ABC不是直角三角形. a2 b2 c2 a2 b2 c2 要点诠释：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形， c 其中 为三角形的最大边. 5.勾股定理的逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为 ，且 ，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足 时， 是斜边， 是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出 最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为 直角三角形．