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第一章 勾股定理
一、勾股定理
直角三角形 .
a，b c
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 .
二、勾股定理证明（1） ：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2） ：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3） ：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
三、勾股定理逆定理
a，b，c
1.定义：如果三角形的三条边长 ， ，那么这个三角形是 .
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定 .
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系. ，则△ABC是 ；若
，则△ABC .
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为
三角形的最大边.
四、勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的 ，称为 .
勾股数满足两个条件：① ②
五、平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将 ，利用 ，构造 ，利用、
易错点1 利用勾股定理求线段的多解问题
1．在 中， ， 点 是直线 上一点， ， ，连接 ， 则线段 的
长为 ．
2．如图，在 中， ，点P为射线 上一点，将 沿 所在直线
翻折，点C的对应点为点 ，如果点 在射线 上，那么 ．
3．已知 中， ， ， 边上的高 ，求 边的长．
易错点2 利用勾股定理求折叠的多解问题
4．如图，在 中， ， ， ，D是 的中点，E是 边上一动点．将
沿 折叠得到 ，连接 ．当 是直角三角形时， 的长为 ．
5．如图，长方形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点
落在点 处，若 恰好为直角三角形，则 的长为 ．6．如图， 中， ， ， ， ， 分别是边 ， 上的两个动点．将
沿直线 折叠，使得点 的对应点 落在 边的三等分点处，则线段 的长为 ．
易错点3 利用勾股定理求路径最短问题
7．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．
如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可
供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，其边缘 米，点E在 上， 米，该选手从
A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．
8．如图，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它
从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ．
9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2， 的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ．
易错点4 利用等面积法验证勾股定理问题
10． “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全
等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（ ），斜边为c，
请利用这个图形解决下列问题：
(1)试说明：
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求 的值．
11．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形
都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E．
（1）求证： ， ；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
12．【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用
它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角
三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，化简后得
到结论 ．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
把两个全等的 和 按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，
，显然 ．请用该图形证明勾股定理 ．
【方法迁移】
如图③，将长为 的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直方向拉升 至点
，则橡皮筋被拉长了多少？
易错点5 勾股定理与勾股定理逆定理的综合问题
13．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形 区域进行改建，将四边形 全部铺上草坪，草坪每平方米200元．经测量， ， ， ， ， ．
(1)求 两点间的距离；
(2)求铺设草坪的费用．
14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道 的
同侧，售卖机A，B之间的距离（ ）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米， 于
点N，M到 的距离（ ）为240米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
15．综合与实践：
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知
识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架
， ，两轮轮轴的距离 （购物车车轮半径忽略不计）， ， 均与地
面平行．
请按要求完成下列任务：(1)判断支架 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，作图提示：过点 作 交 的延长线于 ，延长 交 于 ，请按作图提示添加
辅助线，若 的长度为 ， ，求购物车把手 到 的距离．（结果精确到1cm，
， ）
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， 是 的三边，则 ．
B．若 ， ， 是 的三边，则 ．
C．若 ， ， 是 的三边， ，则 ．
D．若三条线段长 ， ， 满足 ，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
2．如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ．在杯内离杯底 的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂
蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证
明勾股定理的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
4．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方
形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边 ，斜边 ，则小正方形的边长为 ．
5．如图，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它
从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ．
6．如图，在矩形 中， ，对角线 ，点 ， 分别是线段 ， 上的点，将
沿直线 折叠，点 ， 分别落在点 ， 处．当点 落在折线 上，且 时， 的长为
．
三、解答题7．如图，在长方形纸片 中， ， ，点 为射线 上一个动点，把 沿直线 所
在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长．
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
8．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路 的同侧，两个喷泉之间的距离 ．要为喷泉铺设供
水管道 ， ，供水点M在小路 上，供水点M到 的距离 ， ．
(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长 ；
(2)求证： ．
9．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形
形状的劳动实践基地．
(1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为 ， ， 时，二边的小明很快给出这块实践
基地的面积．你求出的面积为_____ ．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为 ， ， ，如图，你能帮助他们求
出面积吗?
10．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理．
思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积
之和，即 ，从而得到等式 ．化简便得结论 ．这种用两种求
法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
(1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，
请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理 ．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在 中， 是 边上的高， ，设 ，求 的值．
(3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号）
①方程思想 ②数形结合思想 ③分类讨论思想
