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第一章 勾股定理
一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a，b c a2 b2 c2
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 .
二、勾股定理证明（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
三、勾股定理逆定理
a，b，c a2 b2 c2
1.定义：如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1）首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2）验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是 ∠ C ＝ 90° 的直角三角形 ；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2 c
注意：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，其中 为
三角形的最大边.
四、勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
五、平面展开图-最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解
易错点1 利用勾股定理求线段的多解问题
1．在 中， ， 点 是直线 上一点， ， ，连接 ， 则线段 的
长为 ．
【答案】 或
【分析】了勾股定理，分 当 在线段 上时， 当 在线段 延长线上时，再由勾股定理即可求解，
熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得： ，
如图，当 在线段 上时，
∴ ，
在 中由勾股定理得： ，
如图，当 在线段 延长线上时，
∴ ，
在 中由勾股定理得： ，综上可知： 的长为 或 ．
2．如图，在 中， ，点P为射线 上一点，将 沿 所在直线
翻折，点C的对应点为点 ，如果点 在射线 上，那么 ．
【答案】 /6
【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点 在 上和点 在 延长线上，并分别画出
图形，在 中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在直角三角形 中，
由勾股定理，得
点 为射线 上一点，分两种情况：
①点 在 上时， 如图，
设 由翻折可知
，
在 中，
由勾股定理，得
即 ，
解得：
②点 在 的延长线上时，如图，设 由翻折可知
在 中，
由勾股定理，得
即
解得： ，
故答案为： 或6．
3．已知 中， ， ， 边上的高 ，求 边的长．
【答案】 的长为 或 ．
【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当 为锐角三角形时，②当 为钝角三
角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当 为锐角三角形时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ；②当 为钝角三角形时，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ．
易错点2 利用勾股定理求折叠的多解问题
4．如图，在 中， ， ， ，D是 的中点，E是 边上一动点．将
沿 折叠得到 ，连接 ．当 是直角三角形时， 的长为 ．
【答案】3或6/6或3
【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
分两种情形：当 时，当 时，由直角三角形的性质分别求解即可．
【详解】解：如图，当 时，∵ ，
∴ ，
∴点 共线，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，则有 ，
解得： ，
∴ ．
如图，当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，满足条件的 的值为3或6．
故答案为：3或6．
5．如图，长方形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点
落在点 处，若 恰好为直角三角形，则 的长为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理、折叠综合问题，分类讨论：当 时，当 时，利用勾
股定理及折叠的性质即可求解，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当 时，如图：
，
长方形 沿 折叠，使点 落在点 处，
，
，
∴ ，
当 时，如图：
在 中， ， ，
，
长方形 沿 折叠，使点 落在点 处，
， ， ，
点 、 、 共线，即点 在 上， ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
即： ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： 或 ．
6．如图， 中， ， ， ， ， 分别是边 ， 上的两个动点．将
沿直线 折叠，使得点 的对应点 落在 边的三等分点处，则线段 的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可
知 或 ，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点 落在 边的三等分点处， ，
∴ 或 ，
由折叠可知： ，
∴ ，
当 时，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ；综上所述： 的长为3或 ；
故答案为：3或 ．
易错点3 利用勾股定理求路径最短问题
7．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．
如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可
供滑行部分的截面是直径为 米的半圆，其边缘 米，点E在 上， 米，该选手从
A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．
【答案】50
【分析】本题考查了平面展开 最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该 型池的侧面展
开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与 型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于
半径为 的半圆的弧长，长方形的长等于 ，进而求解即可．
【详解】解：如图是其侧面展开图，则 的长为滑行最短距离，
（米）， （米）， （米），
在 中， ，∴ ，
解得 （负值舍去），
故他滑行的最短距离约为50（米）．
故答案为：50．
8．如图，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它
从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股
定理解答是解题关键．
根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段 的长，求出 ， ，根据勾股定理求
出 即可．
【详解】解：如图：
由题意得： ，
由勾股定理有
故蚂蚁爬行的最短路程是 ，
故答案为：
9．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2， 的中点为M，一只蚂蚁从盒外的点D沿正方体的盒壁爬
到盒内的点M（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是 ．【答案】5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用—最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平
面图形后，在平面图形上构造直角三角形解决问题；画出侧面展开图，得出蚂蚁从盒外的D点沿正方形的
表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是如图 的长度，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：将立方体展开，得到如下图形，此时 即为所求，
由题意，可知： ，
∴ ；
故答案为：5．
易错点4 利用等面积法验证勾股定理问题
10． “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全
等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（ ），斜边为c，
请利用这个图形解决下列问题：(1)试说明：
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确 与面积的关
系．
（1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可；
（2）由图可得到 和 的值，进而求出 ，代入 ，即可得到
结论．
【详解】（1）证明：∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴
∴ ．
（2）解： 大正方形面积为13，
，
，
，
又 小正方形面积为3，
，
，
，
．
11．【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形 和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论： ．
【深入思考】
如图2，在 中， ， ， ， ，以 为直角边在 的右侧作等腰直角
，其中 ， ，过点D作 ，垂足为点E．
（1）求证： ， ；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形 的面积，并证明： ；
【实际应用】
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，
若 ， ，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
【答案】（1）见解析；（2）方法一： ；方法二： ；见解析；（3）
【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，全等三角形的性质与判定，理解勾股定理解决问题的关键．
（1）依据题意，通过证明 即可判断得解；
（2）依据题意，用两种方法分别表示出梯形 和
，再列式变形即可得解；
（3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为 ，可得
又设 故 又在 中， ，则求出 后可列
式计算得解．
【详解】（1）证明∶ ∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ．
∴ ；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：
，
第二种方法：
，
，
，
；
（3）由题意，如图，
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为 ，，
设 则 ，
在 中， ，
，
将 代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为： ．
12．【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用
它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角
三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，化简后得
到结论 ．这里用两种方法表示同一个量从而得到等式或方程，我们称之为“双求法”．
【方法运用】
把两个全等的 和 按如图②所示的方式放置，其三边长分别为a，b，c，
，显然 ．请用该图形证明勾股定理 ．
【方法迁移】
如图③，将长为 的橡皮筋放置在一条直线上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直方向拉升 至点
，则橡皮筋被拉长了多少？【答案】【方法运用】证明见解析，【方法迁移】橡皮筋被拉长了
【分析】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用．熟练掌握等面积法是解题的关键．
（1）结合题意可得 ， ， ，根据
，求解即可；
（2）由点 是 的中点， ，可得 ， 是 的垂直平分线．可得 ，
由勾股定理，得 ，再进一步求解即可．
【详解】方法运用：
证明： ， ，
，
．
整理，得 ．
方法迁移：
解： 点 是 的中点， ，
， 是 的垂直平分线．
．
∵
由勾股定理，得 ．．
答：橡皮筋被拉长了 ．
易错点5 勾股定理与勾股定理逆定理的综合问题
13．为提升小区绿化率，现将如图所示的四边形 区域进行改建，将四边形 全部铺上草坪，草
坪每平方米200元．经测量， ， ， ， ， ．
(1)求 两点间的距离；
(2)求铺设草坪的费用．
【答案】(1)15m
(2)22800元
【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理的公式是解题的关键．
（1）连接 ，在 中，由勾股定理即可求解；
（2）先由勾股定理逆定理证明 ，再由 求出面积，即可求出费用．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
， ， ，
．
答： ， 两点间的距离为 ．
（2）解： ， ， ，
， ．，
，
，
则 （元）．
答：铺设草坪的费用为22800元．
14．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道 的
同侧，售卖机A，B之间的距离（ ）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米， 于
点N，M到 的距离（ ）为240米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的，
请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
【答案】(1)180米
(2)珍珍的观点正确，见解析
【分析】1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理及其逆定理，证明 即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ．
在 中， ，
由勾股定理得 ，
即B，N之间的距离为180米；
（2）解：∵ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得 ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是垂线段，
∴ 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
15．综合与实践：
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过去某超市实地考察调研，发现超市购物车的结构蕴含着许多数学知
识，并对购物车的支架等进行测量，如图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图．测得支架
， ，两轮轮轴的距离 （购物车车轮半径忽略不计）， ， 均与地
面平行．
请按要求完成下列任务：
(1)判断支架 与 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，作图提示：过点 作 交 的延长线于 ，延长 交 于 ，请按作图提示添加
辅助线，若 的长度为 ， ，求购物车把手 到 的距离．（结果精确到1cm，
， ）
【答案】(1) ，理由见解析
(2)购物车把手 到 的距离为 ．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，直角三角形的特征等；
（1）计算得出 ，由勾股定理逆定理可判定 为直角三角形，即可求解；
（2）过 作 交 的延长线于 ，延长 交 于 ，由直角三角形的特征得
，由勾股定理得 ，由三角形面积得 ，即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， ，
，
为直角三角形，
，
；
（2）解：过 作 交 的延长线于 ，延长 交 于 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
故购物车把手 到 的距离为 ．一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， 是 的三边，则 ．
B．若 ， ， 是 的三边，则 ．
C．若 ， ， 是 的三边， ，则 ．
D．若三条线段长 ， ， 满足 ，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键．
运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、未限定 为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题
意；
B、虽指明 ，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足 ；若c为直角
边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意；
C、已知 ，则a为斜边，应满足 ，而非 ，故错误，不符合题意；
D、由 变形得 ，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正
确，符合题意．
故选D．
2．如图，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ．在杯内离杯底 的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂
蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用
展开图，轴对称，勾股定理计算即可．【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，
根据题意， ，
∴
作点Ａ关于直线 的对称点G，连接 ，则 为所求最短距离，
则 ，
过点 作 ，交 的延长线于点E，
则四边形 是矩形，
故 ，
故 ，
故 ，
∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为 ．
故选：C
3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证
明勾股定理的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，
再整理即可判断．
【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
∴ ，
整理得 ，
故①可以证明勾股定理；
在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴ ，
整理得 ，
故②可以证明勾股定理；
在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
∴ ，
整理可得 ，
故③可以证明勾股定理；
在图④中，连接 ，
此图也可以看成 绕其直角顶点顺时针旋转 ，再向下平移得到．一方面，四边形 的面积等
于 和 的面积之和，另一方面，四边形 的面积等于 和 的面积之和，
所以 ，
即 ，
整理： ，
，∴ ，
故④可以证明勾股定理；
∴能证明勾股定理的是①②③④．
故选：D．
二、填空题
4．我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方
形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边 ，斜边 ，则小正方形的边长为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三
角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积 大正方形的面积 四个直角三角形的面积，代入数据计算
即可．
【详解】解：∵直角三角形较短的直角边 ，斜边 ，
∴另一条直角边为 ，
∵小正方形的面积 大正方形的面积 四个直角三角形的面积，
∴小正方形的面积为： ，
∴小正方形的边长为7，
故答案为：7．
5．如图，有一个圆柱，它的高为 ，底面圆的周长为 ，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它
从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ．
【答案】【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股
定理解答是解题关键．
根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段 的长，求出 ， ，根据勾股定理求
出 即可．
【详解】解：如图：
由题意得： ，
由勾股定理有
故蚂蚁爬行的最短路程是 ，
故答案为：
6．如图，在矩形 中， ，对角线 ，点 ， 分别是线段 ， 上的点，将
沿直线 折叠，点 ， 分别落在点 ， 处．当点 落在折线 上，且 时， 的长为
．
【答案】2或
【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】解： ， ，
，
当点 落在 上时，将 沿直线 折叠，
，
，
，
；
当点 落在 上时，如图2，连接 ，过点 作 于 ，
，
，
，
，
，
将 沿直线 折叠，
，
，
，
，
综上所述： 的长为2或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题
7．如图，在长方形纸片 中， ， ，点 为射线 上一个动点，把 沿直线 所
在直线折叠，当点D的对应点F刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理．根据题意进行分类讨论①当点E在线段 上时，
②当点E在线段 延长线上时，点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，先求出
，再求出 ，设 ，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：①当点E在线段 上时，
过点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵点F在线段 的垂直平分线上，
∴ ，则 ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
即 ；
②当点E在线段 延长线上时，
过点F作 的平行线，交 于点H，交 于点G，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∵点F在线段 的垂直平分线上，
∴ ，则 ，
∵ 沿直线 折叠得到 ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
根据勾股定理可得： ，即 ，
解得： ，
即 ．
综上： 或 ．
8．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路 的同侧，两个喷泉之间的距离 ．要为喷泉铺设供
水管道 ， ，供水点M在小路 上，供水点M到 的距离 ， ．(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长 ；
(2)求证： ．
【答案】(1)供水点 到喷泉 需要铺设的管道长 为
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，
要注意勾股定理逆定理的格式．
（1）在 中，先利用勾股定理求出 ，从而求出 ，再在 中，利用勾股定理求出
；
（2）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到 ．
【详解】（1）解：由题意可知： ，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
，
供水点 到喷泉 需要铺设的管道长 为 ；
（2）证明： ， ， ，
，
是直角三角形， ．
9．为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的
价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形
形状的劳动实践基地．(1)当班主任测量出八（1）班实践基地的三边长分别为 ， ， 时，二边的小明很快给出这块实践
基地的面积．你求出的面积为_____ ．
(2)八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为 ， ， ，如图，你能帮助他们求
出面积吗?
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用：
（1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算即可；
（2）过A作 于点 ．根据勾股定理列出方程，解方程求出 ，再根据勾股定理求出 ，根据
三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）解： ，
该三角形为直角三角形，其中13为斜边，
这块实践基地的面积为 ，
故答案为：30；
（2）解：过A作 于点 ．
设 ，则 ．在 和
由勾股定理得：
即： ，
解得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
．
10．如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理．
思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积
之和，即 ，从而得到等式 ．化简便得结论 ．这种用两种求
法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
(1)美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，
请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理 ．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在 中， 是 边上的高， ，
设 ，求 的值．
(3)在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号）
①方程思想 ②数形结合思想 ③分类讨论思想
【答案】(1)见解析
(2)(3)①②
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征．
（1）根据梯形面积公式求得 ，根据割补法求出 ，联立等式并化简即可；
（2）根据勾股定理可得 ， ，据此即可求得答案．
（3）结合解题过程即可求得答案．
【详解】（1）证明：观察图形可知 或
．
所以 ．
整理，得 ，即 ；
（2）解：因为 ，所以 ．
在 中，由勾股定理，得 ，
在 中，由勾股定理，得 ，
所以 ，
解得 ；
（3）解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想，
故答案为：①②.
