文档内容
第一章 三角形的证明
回顾与反思
►
学习目标与重难点
学习目标：
1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规
作图等.
2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提
高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以
及独立思考的良好学习习惯.
学习重点：
通过考点讲练对所学知识进行复习巩固。
学习难点：
本章知识的综合性应用。
►
预习自测
绘制思维导图或知识流程图
►
教学过程
一、知识梳理
一、三角形的内角和
1、三角形的内角和定理： .
2、三角形的内角和定理推论（1）： .
3、三角形的内角和定理推论（2）： .
练一练
1．已知三角形的一个内角是另一个内角的 ，是第三个内角的 ，则这个三角形各内角的度数分
别为( B )
A．60°,90°,75° B．48°,72°,60°
C．48°,32°,38° D．40°,50°,90°
2. 已知：P是△ABC内一点。求证：∠BPC＞∠BAC
(利用三角形内角和推论1或2证明）
1二、等腰三角形
1、定义： .
2、性质定理：
（1）（定理） .（等边对等角）；
（2）（推论） .（三线合一）。
3、判定定理：
（1）（定义） .；
（2）（定理） .（等角对等边）。
练一练
1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．80°
2.等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是 .
3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是
cm。
三、等边三角形
1、定义： .；
2、性质定理：
（1） .；
（2） .（三线合一）
3、判定定理：
（1）（定义） .；
（2）（定理1） .；
（3）（定理2） .
练一练
1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为 .
2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，
且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度
3.下列三角形：①有两个角等于60°；
②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一
腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④
4.已知：如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB = PQ = QC = AP = AQ.求∠BAC的
大小．
2.
四、直角（Rt）三角形
1、定义： .；
2、性质定理：
（1）（定理1） .；；
（2）（定理） .；
（3）（勾股定理） .；。
3、判定定理：
（1）（定义） .；
（2）（定理） .；；
（3）（勾股定理的逆定理） .；
4、三角形全等
（1）、性质： .；
（2）、判定：
三角形： .；、
Rt三角形： .；练一练
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝ 。
第1题 第2题 第3题
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（
）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
3.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．
34.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。
A
E M D
1 2
B C
【强调】：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角
形的性质和判定定理的应用。
五、线段的垂直平分线
1、性质定理： .；
2、性质定理的逆定理（判定定理） .；
3、三角形三边的垂直平分线的性质： .；
练一练
1、如图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交 AC于点D，交BC于点E，
∠BAE=20°，则∠C= 。
2、如图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（
）
A.10 B.8 C. 5 D 2.5 A
D
E
B C
第1题 第2题 第3题
3.已知：如图，AB=AC=8cm ,DE是AB边的中垂线交AC于点E，BC=6cm，求△BEC的周长
六、角平分线
1、性质定理： .；
2、性质定理的逆定理（判定定理）： .；
3、三角形三条角平分线的性质： .；
4练一练
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是
。
2．如图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（ ）
A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
A
D
C
O B
第1题 第2题 第3题
3. 已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄
距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【解答提示】作∠AOB的平分线，作CD的垂直平分线，角平分线与垂直平分线的交点P即为所求
七.反证法与互逆命题
1.反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条
件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.反证法三部曲：假设，
找茬，反转.
2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称
为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
3.互逆定理：一个定理的逆命题经过证明也是定理，则称它们互为逆定理。
二、考点讲练
考点一 ：等腰（等边）三角形的性质与判定
例1：如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：
∠BAC = 2∠DBC.
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角 ∠BAC的平
分线，来获取角的数量关系.
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示
则∠1=∠2= ∠BAC;∵AB=AC,∴AE⊥BC
5∴∠2+∠C=90°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°
∴∠2=∠DBC ∴ ∠BAC= 2∠DBC.
【方法总结】
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角
形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证
明线段之间的倍份关系的重要手段.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC， A
∴∠ = ∠ ; = .
(2) ∵AD是中线，
∴ ⊥ ; ∠ = ∠ .
(3) ∵ AD是角平分线，
B C
D
∴ ⊥ ; = .
考点二：勾股定理
例2 在△ABC中，已知BD是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且a＝3，b
＝4，求BD的长．
解：∵∠B＝90°，∴b是斜边，
则在Rt△ABC中，由勾股定理，得
又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac，
∴BD=
【方法总结】：
在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜
边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股
数3，4，5的干扰．
课堂练习
62.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A.25 B.14 C.7 D.7或25
3.如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则
AD＝ ．
考点三 勾股定理的逆定理
例3 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，a＝n －1，b＝2n，c＝n ＋1(n＞
1)，判断△ABC是否为直角三角形．
解：由于a ＋b ＝(n －1) ＋(2n) ＝n ＋2n ＋1，
c ＝(n2＋1) ＝n ＋2n ＋1，
从而a ＋b ＝c ，
故可以判定△ABC是直角三角形．
【方法总结】
运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；
②分别用代数方法计算出a ＋b 和c 的值(c边最大)；③判断a ＋b 和c 是否相等，若相等，
则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．
课堂练习
4.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有 ．
考点四 命题与逆命题
例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假．
(1)如果a＝0，那么ab＝0；
7(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上．
解：(1)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果ab＝0，那么a＝0.逆命题为假．
(2)原命题是真命题．
原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等．其逆
命题也是真命题．
【方法总结】
命题的结构如果…那么…，前半部分是条件，后半部分是结论，把原命题的条件和结论互换得到原
命题的逆命题。9个基本事实，已经证明过的定理都是真命题，其他命题需要证明真伪。
课堂练习
5.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：
（1）若x=1，则x =1；（2）若|a|=|b|，则a=b.
6.下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
考点五 线段的垂直平分线
例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系？
A
B D C E
解：∵ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC，BD=CD.
8∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
∴ AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
【方法总结】
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段
之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.
课堂练习
7.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周
A
长等于13厘米，则△ABC的周长是 .
E
8.下列说法：
B D C
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）
考点六 角平分线的性质与判定
例6 如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E , F. 求证：
A
EB=FC.
E F
B C
D
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC， E
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
9∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
课堂练习
9. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，
BE= .
10.△ABC中, ∠C=90°, AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
(
3(
E 4
C D
A ( P
C
(
D 1
B 2
A B
F G B E D F C
第9题 第10题 第11题
11. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D
到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
考点七 本章的数学思想与解题方法
分类讨论思想
例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.
解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，
根据题意得 2x+x-8=20,
解得 x= , ∴x-8= ;
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但
4+4=8<12,不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为 cm, cm, cm
10方程思想
例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A
重合，折痕是DE，求CD的长．
解：由折叠知：DA＝DB，△ACD为直角三角形．
在Rt△ACD中，AC2＋CD2＝AD2①，
设CD＝x cm，则AD＝BD＝(8－x)cm，
代入①式，得62＋x2＝(8－x)2，
化简，得36＝64－16x，
所以x＝1.75，
即CD的长为1.75 cm.
【方法总结】
勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系
时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解
课堂练习
12.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.
13.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角
线BD上的点A′处，则AE的长为（ ）.
四、总结反思、拓展升华
1.各类三角形，性质、判定要记牢；
2.反证法，特定题目显奇效；
3.中垂线，角平分线，性质、判定皆重要；
4.常见尺规作图别忘了！
5、本章数学思想及解题方法：
方程思想、分类讨论、反证法 。
五、【作业布置】
11基础达标：
1．等腰三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的周长是 .
2．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5cm，底边BC＝6cm，则△ABC的角平分线AD的长是 。
3.如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若AB=10厘米，AC=9厘米，BC=8厘米，则△EBC的周长
等于（ ）
A
B C
D E
第3题 第4题 第5题
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（
）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
5.如图，在△ABC中，∠c=90°，按以下步骤作图：①以A点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交
边AC、AB于点、M、N；②分别以M、N点和点为圆心、大于MN一半的长为半径作圆弧，在△ABC内，
两弧交于P点；作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那
么BC＝（ ）
A．38cm B．76cm C．112cm D．114cm
7．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD
的面积为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24
第6题 第7题 第8题
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与
∠1+∠2的关系是（ ）
A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定
9.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，
12则△CDE的周长为（ ）
A．20 B．12 C．14 D．13
第9题 第10题
能力提升：
10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两个格点，如果C也是图中
的格点，且使得△ABC为等腰三角形，那么点C点个数是 .
拓展迁移：
11. 如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD＝∠B；
（2）若 AF 平分∠CAB 分别交 CD、BC 于 E、F，求证：∠CEF＝
∠CFE．
12.如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且 CE＝ AB
考点讲练参考答案
131、(1)∵AD⊥BC，
∴∠ BAD= ∠CAD; BD=DC.
(2) ∵AD是中线，
∴AD⊥BC; ∠BAD= ∠CAD.
(3) ∵ AD是角平分线，
∴AD⊥BC ;BD =DC.
2、D
3、
4、(2),(4)
5、解：（1）逆命题：若x =1，则x=1．是假命题.
（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|．是真命题.
6、C
7、18cm
8、①②③
9、60；BF
10、3
11、解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
12、解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；
②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.
故这个三角形的周长为14或16.
13、
课外作业参考答案
141、 10cm或11cm
2、 4cm
3、 B
4、 D
5、 B
6、 D
7、 A
8、 B
9、 C
10、 8【解答提示】：分类讨论①以AB为底边的等腰三角形有4个；②以AB为腰的等腰三角形有4
个，一个有8个
11、证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠CEF＝∠AED，
∴∠CEF＝∠CFE．
12、（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，
又∵CD为高，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°
证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，
AC＝ AB．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
15∴∠ACE＝∠A＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝ AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE＝ AB
16
