文档内容
1.3 直角三角形 第1课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册“第一章 三角形的证明及其应用”第1课时，围绕直角三角形展
开。主要涉及直角三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理、互逆命题与互逆定理等核心内容，为
后续几何推理与证明奠定基础。
2.内容解析
本节从古埃及画直角的历史引入，激发学生兴趣。首先通过三角形内角和定理，得出直角三角形
的两锐角互余，再逆向推导有两个锐角互余的三角形必为直角三角形。接着，以数格子、割补等常见
手段回顾勾股定理并呈现统一的几何证明，进而给出其逆定理以判定直角三角形。最后，通过观察命
题条件与结论的互换关系，引入互逆命题与互逆定理的概念，让学生体会“原命题为真，逆命题未必
真”这一关键思路。本节重点在于证明思维与命题互逆结构的理解，难点是灵活应用勾股定理及其逆
定理解决问题，并区分“命题”与“定理”的成立条件。
1.教学目标
•掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
•证明直角三角形的性质定理与判定定理。
•结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
2.目标解析
• 通过直观演示和推理，学生能够准确陈述并证明勾股定理与其逆定理，运用 a2+b2=c2 的性质解决
相关习题。
• 借助内角和定理或全等三角形的判定，学生能正确完成直角三角形性质与判定的基本证明。
• 在例题与习题中辨别命题与逆命题的条件、结论，识别真命题或假命题，提升几何逻辑思维能力。
3.重点难点
• 教学重点：勾股定理及其逆定理的理解与应用，直角三角形判定与性质。
• 教学难点：对互逆命题、逆定理的理解，以及灵活运用勾股定理与逆定理进行综合解题。
学生在前面已积累丰富的三角形、全等三角形及代数运算经验，具备一定的推理能力。但对定
理与命题的内在逻辑结构尚需强化，尤其是“原命题真而逆命题不一定真”的概念较抽象，需要通过
实例和讨论来深化理解。同时，勾股定理逆向判定的应用可能存在辨识误区，需要通过具体习题与小组互相交流来加以梳理。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①直角三角形的定义：
有一个内角是直角的三角形叫作直角三角形.
②直角三角形的表示与构成：
(1)通常，我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .
(2)如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边．
2.情景引入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后按如图所示的方法用桩钉
钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？
【设计意图】通过古埃及画直角的方法引发学生兴趣，帮助学生回顾直角三角形基础知识，为后续深
入学习勾股定理及其逆定理做准备。
探究点1：直角三角形的性质与判定
1.议一议
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
解：已知在直角△ABC中，∠C＝90°.由三角形的内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+∠B=180-∠C=90°.
【总结】定理：直角三角形的两锐角互余.
（2）如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
解：已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，
结合三角形的内角和定理我们可以得到∠C=180°-（∠A+∠B）=90°，
所以这个三角形是直角三角形.
【总结】定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
2.练一练
具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∠B∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
解：D
【设计意图】先从角度关系入手，掌握直角三角形“两个锐角互余”的性质，再通过试题检测理解，
形成“若有两个角互余则为直角三角形”的判定认识。
探究点2：勾股定理及其逆定理的证明
1.议一议
我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证
明勾股定理（有关证明过程参见本节“阅读·欣赏”）.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.)
几何语言：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
2.尝试交流
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用测量的方法得出“这个三角形是直
角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流.已知：如图①，在△ABC中， AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
分析:要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此
你能想到什么?借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗?
证明：如图②作Rt△A′B′C′,
使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC,
则A'B'2 +A'C'2 =B'C'2（勾股定理）.
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B'C'2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形.
3.知识归纳
勾股定理的逆定理：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边
的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对角为直角.
4.练一练
下列线段a∶b∶c的值，能够组成直角三角形的是（ ）
A.3∶4∶6 B.5∶12∶13
C.1∶2∶4 D.1∶3∶5
解：B【设计意图】通过勾股定理与其逆定理的综合运用，帮助学生在实际问题中感受勾股定理的判定与计
算价值。
探究点3：互逆命题与互逆定理
1.观察交流
(1)观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定
理呢?与同伴进行交流。
解：第一个定理的条件和结论是第二个定理的结论和条件，
第三个定理的条件和结论是第四个定理的结论和条件.
(2)观察下面三组命题:
①如果两个角是对顶角，那么他们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
②如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b。
③一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
上面每组中两个命题的条件和结论有类似的关系吗？与同伴进行交流.
解：上面每组中每两个命题的条件和结论也有类似的关系.
2.尝试思考
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
解：命题：如果两个有理数相等，那么它们的平方相等.是真命题.
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.是假命题.
一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.
3.知识归纳
◎互逆命题：
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条
件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
◎互逆定理：
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理
称另一个定理的逆定理.
例如本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互
逆定理.
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理.
5.练一练
下列说法中,正确的是 ( )
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.真命题的逆命题一定是真命题
解：A
6.典例分析
例1 如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13．
（1）求BC长；
（2）求图中阴影部分的面积．
（1）解：∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3，
∴ BC=❑√BD2+CD2=❑√42+32=5，
答：BC长是5；
（2）解：∵AB=13，AC=12，BC=5，
∴AC2+BC2=122+52=144+25=169=132=AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
1 1 1 1
∴ S =S -S = ×BC×AC- ×BD×CD= ×5×12- ×4×3=24.
阴影 △ACB △BDC 2 2 2 2
故图中阴影部分的面积为24．
例2 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．真命题．
(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．真命题．
(3)逆命题：内错角相等．假命题．
(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°. 真命题．
【设计意图】通过典型例题（如求线段长度、计算几何图形面积）帮助学生进一步理解并应用勾股定
理及其逆定理，巩固直角三角形的性质与判定方法。通过“写出命题及其逆命题并判断真伪”这一活
动，帮助学生认识“逆命题”及“互逆命题”的概念与判定思路，培养逻辑推理能力与辨析能力。
1．在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠B，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
解：B．
2.已知△ABC的三边分别为a,b,c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2=a2−c2 B．∠A+∠B=∠C
C．a=6,b=8,c=10 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
解：D．
3.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标
不可能是（ ）
A．(−4,2) B．(0,4) C．(4,2) D．(−2,2)
解：C.
4.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下
列结论错误的是（ ）
A. AB=❑√5 B．AC=5 C．BC=2❑√5 D．∠ACB=30°
解：D．
5. 给出下列四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
②一次函数y=3x-2，y随x的增大而增大；
③直角三角形两个锐角互余；
④三角形的一个外角大于任一内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：C6.命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是______.
解：同位角相等,两直线平行
7.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，它是直角三角形，则m的值为______．
解: 2
8.若一个三角形的三边比为❑√3：❑√5：2❑√2,则此三角形是____三角形.
解：直角
9.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高AD的长为12 cm，则△ABC的面积为_____cm2.
解:126 或66
1
10.如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝ AD，
4
求证：CE⊥EF.
证明：如题图，连结CF，设正方形的边长为4.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.
∵点E为AB的中点，AF＝1/4AD，
∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，
∴由勾股定理，得EF2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=42+32=25.
∴EF2+EC2=FC2，
∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即CE⊥EF.
11.先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,最后指出其中的互逆定理.
(1)如果x2>0,那么x>0;
(2)长方形是正方形;
(3)内错角相等,两直线平行.
解:(1)原命题是假命题.逆命题:如果x>0,那么x2>0.
(2)原命题是假命题.逆命题:正方形是长方形.
(3)原命题是真命题.逆命题:两直线平行,内错角相等.其逆命题是真命题,它们互为逆定理.
12.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
解:(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
1 1
(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，S = ×AB×CD= ×AC×BC，∴5CD＝3×4，
△ABC 2 2
12
∴CD＝ .
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【设计意图】通过多样化的习题突出“直角三角形的性质”“勾股定理及其逆定理”“命题与逆命题
的关系”等核心知识点，帮助学生在练习中当场检验、及时查漏补缺； 推动学生在做题过程中复习、
巩固、理解上述概念与定理的内在逻辑，适度加深思考和技能提升。
主板书 副板书
1.3 直角三角形 第一课时 例题
探究点1 直角三角形的性质与判定
探究点 2 勾股定理及其逆定理的证明 学生练习板演
探究点3 互逆命题与互逆定理
课堂小结1.必做题：习题1.3第1，2，7题。
2.探究性作业：习题1.3第8题。
