文档内容
专题 15 立体几何综合解答题型系统化归类与解析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：非常规空间几何体为载体....................................................................................................2
题型二：立体几何探索性问题............................................................................................................3
题型三：立体几何折叠问题................................................................................................................4
题型四：立体几何作图问题................................................................................................................5
题型五：立体几何建系繁琐问题........................................................................................................6
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题............................................................................7
题型七：利用传统方法找几何关系建系............................................................................................8
题型八：空间中的点不好求................................................................................................................9
重难点突破：新定义问题..................................................................................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................12题型一：非常规空间几何体为载体
1．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，四边形 是圆台 的轴截面， 是圆台的母线，点C是
的中点．已知 ，点M是BC的中点．
(1)若直线 与直线 所成角为 ，证明： 平面 ；
(2)记直线 与平面ABC所成角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，若 ，求 ．
2．（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体. 是半圆柱的母线,
分别是底面直径BC和 的中点, 是半圆 上一动点, 是半圆 上的
动点, 是圆柱的母线，延长 至 点使得 为 的中点,连接 , 构成三棱锥 .(1)证明: ;
(2)当三棱锥 的体积最大时,求平面 与平面 的夹角.
题型二：立体几何探索性问题
3．（2024·全国·一模）如图，在三棱锥 中， 平面 为棱
上的动点．
(1)求证： 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，请求出点 的位置；若不存
在，请说明理由．4．如图，在三棱锥 中， ， ．
(1)证明： ；
(2)在棱 上是否存在点 （不与端点重合），使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，
求出点 的位置，若不存在，请说明理由．
题型三：立体几何折叠问题
5．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知在长方形 中， ， ，点 是边 的中点，如
图甲所示.将 沿 翻折到 ，连接 ， ，得到四棱锥 ，其中 ，如
图乙所示.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值.6．在如图1所示的图形中，四边形 为菱形， 和 均为直角三角形，
，现沿 将 和 进行翻折，使 （
在平面 同侧），如图2.
(1)当二面角 为 时，判断 与平面 是否平行；
(2)探究当二面角 为 时，平面 与平面 是否垂直；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 夹角的余弦值.
题型四：立体几何作图问题
7．（2024·河南信阳·模拟预测）长方体 中， .
(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.
(2)记（1）中截面为 ，若 与（1）中过 点的长方体的三个表面成二面角分别为 ，求
的值.8．如图，正四面体 ，
(1)找出依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，使得 ，且其中每相邻两个平
面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；
(2)若满足（1）的平面 ， ， ， 中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体 的体
积．
题型五：立体几何建系繁琐问题
9．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形，
， 分别为 ， 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 .（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为 的中心，若 ， 平面 ，且 ，求四棱锥
的体积.
10．（21-22高三上·山东临沂·开学考试）如图，已知斜三棱柱ABC﹣ABC 的底面是等腰直角三角形，BC
1 1 1
AB，侧面BBC C是正方形，D，E分别为BC，BC 的中点，P为AD上一点，过P和BC 的平面交
1 1 1 1 1 1
AB于M，交AC于N．
（1）证明：AA DE，且平面AAED 平面MNC B；
1 1 1 1
∥ ⊥
（2）设Q为AE的中点，若AQ 平面MNC B，且AQ AB，求平面MNC B 与平面ABC所成锐二面角
1 1 1 1 1
∥
的余弦值．题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
11．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，点P是AC的中点，连接
BP，DP
证明：平面 平面BDP；
若 ， ，求三棱锥 的体积．
12．如图，在三棱锥 中，ΔABC为等边三角形， ， 面积是ΔABC面积的两
倍，点 在侧棱 上.
（1）若 ，证明：平面 平面 ；（2）若二面角 的大小为 ，且 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
题型七：利用传统方法找几何关系建系
13．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形 ， ， ， ，
为对角线 与BD的交点．现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，点 为 的中点，
如图所示：
(1)证明： 平面PBM；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)当三棱锥 的体积最大时，求直线AB与平面 所成角的正弦值．
14．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图所示，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为棱
的中点．(1)若直线 与平面 的交点为 ，证明： 平面 ；
(2)已知 平面 ， ， ，且二面角 的大小为 ，求直线 与平面
所成角的正弦值．
题型八：空间中的点不好求
15．如图，已知斜四棱柱 的侧面和底面均为全等的菱形，且 ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值.
16．如图，在四棱台 中， 平面 平面
.(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 关于平面 的对称点 到平面 的距离.
重难点突破：新定义问题
17．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的一个顶点， （
， 且 ）为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 、平面 、 、平
面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面．如图，在四棱锥 中， 平面
，底面 为正方形， ， ．(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
18．在空间直角坐标系Oxyz中，这点 且以 为方向向量的直线方程可表示为
，过点 且以 为法向量的平面方程可表示为
．
(1)已知直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．请分别写出直线 和直线
的一个方向向量．
(2)若直线 与 都在平面 内，求平面 的方程；
(3)若集合 中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面
所在平面的夹角的余弦值．1．（24-25高三上·江苏苏州·期末）如图，已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，
， ， 分别为线段 和线段 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
2．（24-25高三上·辽宁·期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面 平面
，点 在棱PB上，且 平面ACE.
(1)求证： 为PB的中点；
(2)求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值.3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，在直平行六面体 中， ，且
， ， 分别为 ， 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)点 在棱 上，当平面 与平面 所成角的余弦值为 时，求 .
4．（24-25高三上·广西河池·期末）如图，在多面体 中， 是边长为2的等边三角形，
平面 ， ， ， ， ，设 为 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)设 为棱 上的动点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）正三角形 所在的平面与菱形 所在的平面互相垂直，
， ， 是AB的中点.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由.
6．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在平面图形甲中， ， ， 与
分别为以 斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿 向上翻折使 边重合（
重合于 ），连 .图乙中， 为 中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值.
7．（24-25高三上·辽宁·期末）在四棱锥 中，底面 为矩形，且 ．
(1)证明：平面 底面 ．
(2)若 ， ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
8．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥 的底面 是边长为3的正方形， ，
.
(1)证明： 平面 ；(2)已知点 在线段 上，且 （ ），若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求
的值.
9．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体 的棱长为1，点M，N分别在线段 ，
上，且 ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，点P，Q分别在直线 ， 上，且 ， ，求 的取值范围.
10．（24-25高三上·江苏无锡·期末）如图，四棱柱 的底面 是边长为2的正方形，
侧面 底面 是线段 的中点.(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
