文档内容
新定义题型 02 压轴解答题的深度剖析与策略归纳
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：集合新定义.....................................................................................................2
题型二：函数与导数新定义.........................................................................................3
题型三：立体几何新定义.............................................................................................4
题型四：三角函数新定义.............................................................................................5
题型五：平面向量与解三角形新定义.........................................................................6
题型六：数列新定义.....................................................................................................7
题型七：圆锥曲线新定义.............................................................................................8
题型八：概率与统计新定义.........................................................................................9
重难点突破：高等数学背景下新定义.......................................................................11
02 重难创新练.............................................................................................................14
题型一：集合新定义
1．设 为正整数，集合 ，集合 为 的一个非空子集，记 ，其中 .
(1)若 ， ，求 的取值的集合；
(2)证明： 的所有可能取值个数为 ；
(3)是否存在 ，使得 的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求 ；若不存在，说明理由.
2．设 为给定的正整数，称有序数组 是 二进数组． 是由 个互
不相同的 二进数组构成的集合，对于 中的任意两个元素 和 ，称
是 特征值．记 的所有 特征值中出现次数最多的数值为 ．
(1)设 ，求 和 的值；
(2)若对任意 ，均有 ，求 的最大值；
(3)若 ，证明： ，其中 表示不超过 的最大整数．
题型二：函数与导数新定义
3．罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·
罗尔于 年提出的．它的表达如下：如果函数 满足在闭区间 内连续，在开区间 内可导，且 ，那么在区间 内至少存在一点 ，使得（ 为 的导函数）．若函数
．
(1)证明：当 时，存在唯一 ，使得 ；
(2)当 时， ，求 的取值范围；
(3)若等比数列 满足 ， ， ，记数列 的前 项和为 ，试比较 与
的大小，并说明理由．
4．已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，若点 在导函数 图象上，且
满足 ，则称 为函数 的一个“ 类数”，函数 的所有“ 类数”构成
的集合称为“ 类集”.
(1)若 ，分别判断 和 是否为函数 的“ 类数”，并说明理由；
(2)设 的图象在 上连续不断，集合 .记函数 的“ 类集”为集合 ，若
，求证： ；
(3)已知 ，若函数 的“ 类集”为 时 的取值构成集合 ，求当
时 的最大值.题型三：立体几何新定义
5．我们规定：在四面体 中，取其异面的两条棱的中点连线称为 的一条“内棱”，三条内
棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
(1)如左图，在四面体 中， 分别为所在棱的中点，证明： 的三条内棱交于
一点.
(2)同左图，若 为垂棱四面体， ，求直线 与平面 所成角的正
弦值.
(3)如右图，在空间直角坐标系中， 平面内有椭圆 ， 为其下焦点，经过 的直线
与 交于 两点， 为 平面下方一点，若 为垂棱四面体，则其外接球表面积 是
的函数 ，求 的定义域与最小值.
6．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲
率为 ，其中 为多面体 的所
有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥 中.
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若 平面 ， ， ，三棱锥 在顶点 处的离散曲率为 .
①求点 到平面 的距离；
②点 在棱 上，直线 与平面 所成角的余弦值为 ，求 的长度.
题型四：三角函数新定义
7．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或
者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度
主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 ，
，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值
(3)已知 ， 、 ， ，若
， ，求 、 之间的曼哈顿距离.
8．设 次多项式 ，若其满足 ，则称这些多
项式 为切比雪夫多项式.例如：由 ，可得切比雪夫多项式 ，由 ，
可得切比雪夫多项式 .
(1)若切比雪夫多项式 ，求实数 ， ， ， 的值；
(2)对于正整数 时，是否有 成立？
(3)已知函数 在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为 ， ， ，证明：
.
题型五：平面向量与解三角形新定义
9．对平面向量 ， ，定义运算： ，其中 ， 分别表示 ， 的模长， 是 与 的夹角.在 中，已知 ， .
(1)是否存在满足条件的 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
(2)若 ， 是线段 上一点，且 ，求 .
10．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从 点出发，平面内四个
点 经过中心投影之后的投影点分别为 .对于四个有序点 ，若 ，
，定义比值 叫做这四个有序点的交比，记作 .
(1)当 时，称 为调和点列，若 ，求 的值；
(2) 证明： ；
①
②已知 ，点 为线段 的中点， ， ，求 ， .题型六：数列新定义
11．已知数列 ，定义 ，其中i， 且
(1)若 ，求 和
(2)若 ，证明：对于 且 ， ， ，都有
(3)对于 ，4， ，n，设 若正项数列
为递增数列，求证： 中至少有两个不同的元素，且 中最大元素与最小元素之比小于
12．若数列 的首项 ，对任意的 ，都有 （ 为常数，且 ），则称 为有
界变差数列，其中 为数列 的相邻两项差值的上界．已知数列 是有界变差数列．
(1)当 时，证明： ．
(2)设数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，求 的最大值．
(3)若 ，数列 的前 项和为 ，且对任意的 ，都有
，求 的取值范围．题型七：圆锥曲线新定义
13．我们可以通过将平面直角坐标三角换元得到平面内一点绕坐标原点O的坐标旋转公式：如图，平面直
角坐标系中，已知点 ，设 ，角 始边在x轴非负半轴，终边与 重合，则可得
，将 绕坐标原点O逆时针旋转 后，P点旋转到 .
(1)求证： ；
(2)已知曲线C是函数 的图象，它是某双曲线 绕原点O逆时针旋转 后
得到的，求C的离心率；
(3)已知曲线 是由某椭圆 绕原点O逆时针旋转 后所的斜椭圆，过点
作与两坐标轴都不平行的直线 交曲线E于点M、N，过原点O作直线 与直线 垂直，直线
交曲线E于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
14．法国数学家加斯帕尔·蒙日是18世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆C：.
，则称圆心在原点O，半径为 的圆为“椭圆C的伴随圆 ”.已知椭圆C：
的左焦点为 ，点 在C上，且 .
(1)求椭圆C的方程以及椭圆C的伴随圆 的方程；
(2)将 向上平移6个单位长度得到曲线 ，已知 ，动点E在曲线 上，探究：是否存在定点
，使得 为定值，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)已知不过点A的直线l： 与椭圆C交于M，N两点，点 ， 分别在直线AM，
AN上，证明： .
题型八：概率与统计新定义
15．已知数列 ， ，若对任意的 ， 且 ，则 ， 为“关
联数列”，定义 ， .
(1)若 ， 为“关联数列”，求 ；
(2)若 ， 为“关联数列”，且 ，从 ， ， ， 中随机取出3项，记这3项的和为，求 的分布列与数学期望；
(3)若 ， 为“关联数列”，数列 满足 ，且 ，求
的最大值.
16．设 的所有可能取值为 ，称 （ ）为二维离散随
机变量 的联合分布列，用表格表示为：
YX … …
… …
… …
… … … … … … … …
… …
… … … … … … … …
… …
… … 1
仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义 ，对于固定的 ，
若 ，则称 为给定 条件下的 条件分布列．
离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下： ．(1)设二维离散随机变量 的联合分布列为
YX 1 2 3
1 0.1 0.3 0.2 0.6
2 0．05 0.2 0.15 0.4
0.15 0.5 0.35 1
求给定 条件下的 条件分布列；
(2)设 为二维离散随机变量，且 存在，证明： ；
(3)某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门
通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假
定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．
重难点突破：高等数学背景下新定义
17．新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，
根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将 在 处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
，（其中 表示 的
次导数 ， ），以上公式我们称为函数 在 处的泰勒展开式，当 时泰勒展开式也
称为麦克劳林公式，比如 在 处的麦克劳林公式为： ，由此当时，可以非常容易得到不等式 ， ， ， ，请利用上述公
式和所学知识写出 在 处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
(2)设 为正整数，数列 ， ， ， 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项 和 后剩
余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列 ， ， ， 是 一
可分数列.请写出所有的 ， ，使数列 ， ， ， 是 —可分数列.
18．对于任意给定的四个实数 ， ， ， ，我们定义方阵 ，方阵 对应的行列式记
为 ，且 ，方阵 与任意方阵 的乘法运算定义如下： ，其
中方阵 ，且 .设 ， ，
.
(1)证明： .
(2)若方阵 ， 满足 ，且 ，证明： .19．行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有
用的数学工具．已知 表示二阶行列式，规定 ； 表示三分行列式，规定
．设 ．
(1)求 ；
(2)以 为切点，作直线 交 的图象于异于 的另一点 ，其中 ．
若 ，当 时，设点 的横坐标 构成数列 ．
①求 的通项公式；
②证明： ．1．（2024·江西上饶·一模）已知常数 ，定义在 的函数 .
(1)求函数 的最小值：
(2)若函数 且 的最小值等于 的取小值.
（i）求实数 的值；
（ii）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列.
2．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数 ，若对任意不同的两点 ，
，都存在 ，使得函数 在 处的切线 与直线 平行，则称函数
在D上处处相依，其中 称为直线 的相依切线， 为函数 ）在 的相依区间.已
知 .
(1)当 时，函数 在 上处处相依，证明：导函数 在 上有零点；
(2)若函数 在 上处处相依，且对任意实数m、n， ，都有
恒成立，求实数 的取值范围；(3)当 时， ， 为函数 在 的相依区间，证明： .
3．（2024·甘肃平凉·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，
我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，2，3经过第一次“和扩充”后得到数列
1，3，2，5，3；第二次“和扩充”后得到数列1，4，3，5，2，7，5，8，3.设数列a，b，c经过n次“和
扩充”后得到的数列的项数为 ，所有项的和为 .
(1)若 ， ， ，求 ， ；
(2)若 ，求正整数n的最小值；
(3)是否存在实数a，b，c，使得数列 为等比数列?若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明
理由.
4．（2024·重庆·模拟预测）集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集 和 ，
定义和集 .记符号 表示集合A中的元素个数.当 时，设 是集合
A中按从小到大排列的所有元素，记集合 .
(1)已知集合 ， ， ，若 ，求 的值.
(2)已知 ，记集合 或 .（i）当 时，证明 的充要条件是 ；
（ii）若 ， ，求 的所有可能取值．
5．（2024·上海宝山·一模）已知 都是定义在实数集上的可导函数. 对于正整数 ，当
分别是 和 的驻点时，记 ，若 ，则称 和 满足 性质；当
，且 时，记 ，若 ，则称 和 满足 性质.
(1)若 ， ，判断 和 是否满足 性质，并说明理由；
(2)若 ， ，且 和 满足 性质，求实数 的取值范围；
(3)若 的最小正周期为4，且 ， .当 时， 的驻点与其两侧区
间的部分数据如下表所示：
1 3
0 0 0
极小值 极大值1 极小值
已知 和 满足 性质，请写出 的充要条件，并说明理由.6．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是斐波那契数列 ，这一数列以如
下递推的方法定义： ．数列 对于确定的正整数k，若存在正整数n使
得 成立，则称数列 为“ 阶可分拆数列”
(1)已知数列 满足 ，判断是否对 ，总存在确定的正整数k，使得数列
为“k阶可分拆数列”，并说明理由；
(2)设数列 的前n项和为 ．
（ⅰ）若数列 为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数a的值；
（ⅱ）在（ⅰ）问的前提下，若数列 满足 ，其前n项和为 ，求证：当 且 时，
成立．
7．（24-25高三上·福建·期中）对于数列 ，定义变换 ， 将数列 变换成数列
，记 ， ，对于数列 与
，定义 .若数列 满足 ，
则称数列 为 数列，
(1)若数列 ，写出 ，并求 .
(2)对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 ？若存在，写出一个数列 ；若不存在，说明理由.
(3)若 数列 满足 ，求数列 的个数.
8．（2024·四川成都·一模）某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了 两个套餐服务，顾客
可自由选择 两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一
至周六销售优惠券情况.
星期 1 2 3 4 5 6
销售量 22 23
218 230 232 90
（张） 4 6
经计算可得： .
参考公式： .
(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔
除周六数据，求 关于 的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ，并且 套餐包含两张优惠券，
套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为 张的概率为 ，求 ；
(3)请根据下列定义，解决下列问题：
（i）定义：如果对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时， （ 是一个确定
的实数），则称数列 收敛于 .
（ii）运用：记（2）中所得概率 的值构成数列 .求 的最值，并证明数列 收敛.9．（2024·湖南湘西·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法．
给定自然数m，n，我们定义函数 在 处的 阶帕德近似为 ，该函数
满足 ．
注： ．
设函数 在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求 的解析式；
(2)证明：当 时， ；
(3)设函数 ，若 是 的极大值点，求k的取值范围．
10．已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝
对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1
次自相加集合”，再次进行n－1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若集
合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1
次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：
.(1)已知有两个集合，集合 ，集合 ，判断集合B和集合C是否是完美自
相加集合并说明理由；
(2)对（1）中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数；
(3)若 且 ，集合 ， ，求： 的最小值．
