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专题 14 立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：球与截面面积问题................................................................................................................2
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题........................................................................2
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题........................................................................3
题型四：立体几何中的交线问题........................................................................................................4
题型五：空间线段以及线段之和最值问题........................................................................................5
题型六：空间角问题............................................................................................................................5
题型七：轨迹问题................................................................................................................................6
题型八：翻折问题................................................................................................................................7
重难点突破：以立体几何为载体的情境题........................................................................................8
02 重难创新练......................................................................................................................................8题型一：球与截面面积问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥
的高之比为 ，它们的体积之和为 ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正四面体 内接于球O，E为底面三角形ABC中边BC的中点，过点E作球O的截面，若存
在半径为 的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西榆林·一模）已知 是球 的直径 上一点， ， 平面 ， 为垂足，
截球 所得截面的面积为 ， 为 上的一点，且 ，过点 作球 的截面，则所得的截面面
积最小的圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
4．（多选题）如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下
列结论中错误的是（ ）A． B． 平面ABCD
C．三棱锥 的体积为定值 D． 的面积与 的面积相等
5．（多选题）在正八面体 中，所有棱长均为1，点 为正方形 的中心，点 为正八
面体内切球球面上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．正八面体内切球的表面积
B．正八面体的体积为
C． 的范围是
D．若 , ，二面角 的平面角为 ，则 为定值
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
6．（多选题）在正方体 中，点 满足 ，其中 ， ，则
（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的面积为定值D．当 时，直线 与 所成角的范围为
7．（多选题）（2024·湖南常德·一模）已知正方形 边长为4，将 沿 向上翻折，使点 与
点 重合，设点 为翻折过程中点 的位置（不包含在点 处的位置），则下列说法正确的有（ ）
A．无论点 在何位置，总有
B．直线 与平面 所成角的最大值为
C．三棱锥 体积的范围为
D．当平面 平面 时，三棱锥 的内切球的半径为
8．（多选题）（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，点E，F分别
是 和 的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F到平面EAC的距离为
D．过E作平面 与平面ACE垂直，当 与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为题型四：立体几何中的交线问题
9．（2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，
则以 为球心， 为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱 中， ， 为棱 的中点，
则以 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ， 和 上，
且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别为 ， ，则（ ）
A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
12．在正方体 中， 为棱 的中点， 分别为 上的动点，则
的最小值为 ．13．（2024·安徽·模拟预测）已知正方体 的体积为8，且 ，则当
取得最小值时，三棱锥 的外接球体积为 .
14．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为线段
的中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则 的最小值为 ．
题型六：空间角问题
15．正三棱锥 和正三棱锥 共底面 ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，
点 和点 在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 所成的角分别为 ，则当 最
大时，
16．（2024·山东青岛·三模）已知长方体 中， ，点 为矩形
A B C D
1 1 1 1
内一动点，记二面角 的平面角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则三棱锥 体积的最小值为 .
17．（2024·河南周口·模拟预测）已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且 平面 ，
， ， ，点M在 上，当直线 与平面 所成的角最大时， ．
题型七：轨迹问题
18．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中，已知 与 均是边长为4的正三角形，
， 为侧棱 的中点， 为三棱锥 的外接球 表面上一动点，若异面直线 ， 始终
保持垂直，则动点 的轨迹围成图形的周长为 ．
19．如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，
则动点 的轨迹长度为 ．
20．已知菱形 的各边长为2， .如图所示，将 沿 折起，使得 到达点 的位置，
连接 ，得到三棱锥 ，此时 ， 是线段 中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，
且始终保持 ，则三棱锥 外接球半径为 ，则点 的轨迹的周长为 .
题型八：翻折问题
21．（多选题）已知平行四边形 中， ，将 沿着 翻折使点 到达点 且 不在平面 内，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 可能与直线 垂直
B．直线 可能与直线 垂直
C．直线 可能与直线 垂直
D．直线 不可能与直线 垂直
22．（多选题）如图，等边三角形 的边长为4，E为边 的中点， 于D.将 沿 翻
折至 的位置，连接 .那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A．
B．四棱锥 的体积的最大值是
C．存在某个位置，使
D．在线段 上，存在点M满足 ，使 为定值
23．（多选题）在矩形 中， ，E为线段 的中点，将 沿直线 翻折成 ．
若M为线段 的中点，则在 从起始到结束的翻折过程中，（ ）
A．存在某位置，使得
B．存在某位置，使得
C． 的长为定值
D． 与 所成角的正切值的最小值为重难点突破：以立体几何为载体的情境题
24．连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列
； 是体积为1的正四面体， 是以 的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正
四面体所构成的新多面体.则 的体积为 .
25．在空间直角坐标系中，定义点 和点 两点之间的“直角距离”
．若 和 两点之间的距离是 ，则 和 两点之间的“直角距离”的取
值范围是 ．
26．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：
，其中 为多面体M的所有与点
P相邻的顶点，且平面 ，平面 ， ，平面 和平面 遍历多面体M的所有以点P为
A B C D
1 1 1 1
公共点的面，在长方体 中， ， ，点S为底面 的中心，记三
棱锥 在点A处的离散曲率为 ，四棱锥 在点S处的离散曲率为n，则 ．
1．（2025·广东佛山·一模）已知直线 与平面 所成的角为 ，若直线 ，直线 ，设 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·模拟预测）已知长方体 的表面积与体积在数值上相等，若 ，则
该长方体的体积的最小值为（ ）
A． B．81 C． D．243
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知一圆锥的底面半径为 ， 为其高， 是其底面 的两条
相互垂直的直径， 为 中点，那么平面 与该圆锥的截面是一条抛物线 .设 的侧面⊙积与底面积
的比值为 ， 的焦点到其准线的距离为 ，则 的值为：（ ）.
A． B． C． D．
6．若在长方体 中， ．则四面体 与四面体 公共部分的
体积为（ ）
A． B． C． D．17．（2024·重庆·模拟预测）正三棱台 三侧棱的延长线交于点 ，如果 ，三棱台
的体积为 ， 的面积为 ，那么侧棱 与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·贵州毕节·三模）在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为4，点 是底面 内
一动点，且 ，则当 ， 两点间距离最小时，直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2025·广西柳州·模拟预测）如图.直四棱柱 的底面是梯形，
， 是棱 的中点， 是棱 上一动点（不包含端点），则
（ ）
A． 与平面 有可能平行
B． 与平面 有可能平行
C．三角形 周长的最小值为
D．三棱锥 的体积为定值
10．（多选题）（2024·安徽淮南·一模）如图，在正方体 中， 是对应棱的中点，则（ ）
A．直线 ∥平面 B．直线 平面
C．直线 与 的夹角为 D．平面 与平面 的交线平行于
11．（多选题）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，M，N分
别是AB，AD的中点，P为线段 上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．当点P为 中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
C．不存在点P使得
D．异面直线BC与MP所成的最大角为45°
12．（多选题）（2024·江苏苏州·一模）如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别在线
段 上运动，且 ，则下列说法正确的是（ ）A．
B．三棱锥 体积最大值为
C． 的最小值为6
D．存在点 ，使得
13．（2024·重庆·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为 ，且 ，侧面与下底面所
成的二面角大小为 ，若四棱台的体积 ，则 的最大值为 .
14．（2024·福建·模拟预测）如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将
沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点， 在平面
的射影为 ，则在翻折过程中，点 的轨迹的长度为 ，三棱锥 体积最大
值为 .
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点均位于一个半径为 的球 的球面上，
， ， ，平面 经过点 ，则当 的体积取最大值时，直线 与平面
所成角的正弦值为： .16．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点， 是母线， ，该圆锥的底面半径是1．
B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线 与 所成角的最小值为 ．
