文档内容
专题 08 立体几何解答题常考全归类
【命题规律】
空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与
计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运
算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：非常规空间几何体为载体
核心考点二：立体几何探索性问题
核心考点三：立体几何折叠问题
核心考点四：立体几何作图问题
核心考点五：立体几何建系繁琐问题
核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
核心考点七：利用传统方法找几何关系建系
核心考点八：空间中的点不好求
核心考点九：创新定义
【真题回归】
1．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，F为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成二面角的余弦值．
2．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为 的
中点．(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
3．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
4．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
5．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E为AC的
中点．
(1)证明：平面 平面ACD；
(2)设 ，点F在BD上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积．
6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
7．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平
面 ， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
8．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【方法技巧与总结】
1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三
角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影
所成的角即为所求．
（2）等积法：公式 ，其中 是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其
中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来
求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线
所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上
的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角．
【核心考点】
核心考点一：非常规空间几何体为载体
【规律方法】
关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．
【典型例题】
例1．（2022·陕西安康·统考一模）如图，已知 为圆锥 底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，
， ， 平分 ，D是 上一点，且平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的正弦值.
例2．（2022·安徽·校联考二模）如图，将长方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，其中
，劣弧 的长为 为圆 的直径.
(1)在弧 上是否存在点 （ 在平面 的同侧），使 ，若存在，确定其位置，若不存
在，说明理由；(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
例3．（2022·山东东营·胜利一中校考模拟预测）如图， 分别是圆台上､下底面的直径，且 ，
点 是下底面圆周上一点， ，圆台的高为 .
(1)证明：不存在点 使平面 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余泫值.
例4．（2022·河北·统考模拟预测）如图，在圆台 中，上底面圆 的半径为2，下底面圆O的半径为
4，过 的平面截圆台得截面为 ，M是弧 的中点， 为母线， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
核心考点二：立体几何探索性问题
【规律方法】与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面
角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【典型例题】
例5．（2022·上海虹口·统考一模）如图，在三棱柱 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角
三角形，侧面 为菱形，点 在底面上的投影为AC的中点 ，且 ．
(1)求证： ；
(2)求点 到侧面 的距离；
(3)在线段 上是否存在点 ，使得直线DE与侧面 所成角的正弦值为 ？若存在，请求出
的长；若不存在，请说明理由．
例6．（2022春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）如图，在三棱柱 中， 为等
边三角形，四边形 为菱形， ， ， .
(1)求证： ；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
例7．（2022春·黑龙江绥化·高三海伦市第一中学校考期中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E
是DC的中点，将 沿AE折起，使得点D到达点P的位置，且PB＝PC，如图2所示．F是棱PB上的
一点．
(1)若F是棱PB的中点，求证： 平面PAE；
(2)是否存在点F，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，则求出 的值；若不存在，请说明
理由．
例8．（2022·广东韶关·统考一模）已知矩形 中， ， ， 是 的中点，如图所示，沿
将 翻折至 ，使得平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)若 是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.核心考点三：立体几何折叠问题
【规律方法】
1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．
2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．
【典型例题】
例9．（2022春·江苏南通·高三期中）已知梯形 中， ， ，
， ， 分别是 ， 上的点， ， ， 是 的中点，沿 将梯
形 翻折，使平面 平面 ．
(1)当 时
①求证： ；
②求二面角 的余弦值；
(2)三棱锥 的体积是否可能等于几何体 体积的一半？并说明理由．
例10．（2022春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）如图1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，
， ，E是AB的中点．将△BCE沿CE翻折至△PCE，使得 ，如
图2所示．
(1)证明： ；
(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值．
例11．（2022春·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）如图，平面五边形PABCD中， 是边长为2的等
边三角形， ，AB＝2BC＝2， ，将 沿AD翻折成四棱锥P－ABCD，E是棱PD上的
动点（端点除外），F，M分别是AB，CE的中点，且 ．(1)证明： ；
(2)当直线EF与平面PAD所成的角最大时，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦值．
例12．（2022·四川雅安·统考模拟预测）如图①， 为边长为6的等边三角形，E，F分别为AB，AC
上靠近A的三等分点，现将 沿EF折起，使点A翻折至点P的位置，且二面角 的大小为
120°（如图②）．
(1)在PC上是否存在点H，使得直线 平面PBE？若存在，确定点H的位置；若不存在，说明理由．
(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值．
核心考点四：立体几何作图问题
【规律方法】
（1）利用公理和定理作截面图
（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线
（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线
【典型例题】
例13．（2022·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，， 且 .
(1)试在平面 内过点 作直线 ，使得直线 平面 ，说明作图方法，并证明：直线 ；
(2)求点 到平面 的距离.
例14．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十五中学校考期中）如图为一块直四棱柱木料，其底面
满足： ， ．
(1)要经过平面 内的一点 和棱 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（借助尺规作图，并
写出作图说明，无需证明）
(2)若 ， ，当点 是矩形 的中心时，求点 到平面 的距离．
例15．（2022·全国·高三专题练习）如图多面体 中，面 面 ， 为等边三角形，
四边形 为正方形， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.（1）求二面角 的余弦值；
（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出 的值（不需要说明理由，
保留作图痕迹）.
例16．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， .
,且 平面 ， ，点 分别是线段 上的中点， 在 上.且
.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
核心考点五：立体几何建系繁琐问题
【规律方法】
利用传统方法解决
【典型例题】例17．如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ，
的中点， 为 上一点．过 和 的平面交 于 ，交 于 ．
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为△ 的中心．若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角
的正弦值．
例 18．如图，在锥体 中， 是边长为 1 的菱形，且 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点
（1）证明： 平面
（2）求二面角 的余弦值．
例19．（2022春·福建南平·高三校考期中）在三棱柱 中， ， 平面 ， 、
分别是棱 、 的中点.
(1)设 为 的中点，求证： 平面 ；(2)若 ，直线 与平面 所成角的正切值为 ，求多面体 的体积 .
核心考点六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
【规律方法】
构造垂直的全等关系
【典型例题】
例20．如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， ， 分别为 ，
的中点， 为 上一点．过 和 的平面交 于 ，交 于 ．
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为△ 的中心．若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角
的正弦值．
例 21．如图，在锥体 中， 是边长为 1 的菱形，且 ， ，
， ， 分别是 ， 的中点
（1）证明： 平面
（2）求二面角 的余弦值．
核心考点七：利用传统方法找几何关系建系【规律方法】
利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系．
【典型例题】
例22．如图：长为3的线段 与边长为2的正方形 垂直相交于其中心 ．
（1）若二面角 的正切值为 ，试确定 在线段 的位置；
（2）在（1）的前提下，以 ， ， ， ， ， 为顶点的几何体 是否存在内切球？若存在，
试确定其内切球心的具体位置；若不存在，请说明理由．
例 23．在四棱锥 中， 为棱 的中点， 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 为 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
例24．三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形， ，二面角
的正切值为 ．
（Ⅰ）求侧棱 的长；
（Ⅱ）侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正切值为 ，若存在，判断点的位
置并证明；若不存在，说明理由．核心考点八：空间中的点不好求
【规律方法】
方程组思想
【典型例题】
例25．（2022·江苏南京·模拟预测）已知三棱台 的体积为 ，且 ， 平面
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正弦值.
例26．（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台 中，底面
是边长为2的菱形， ，平面 平面 ，点 分别为 的中点，
均为锐角.
(1)求证： ；
(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角 的平面
角的余弦值.
例27．（2022春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边的等腰直角三角形.已知平面 平面 ，平面 平面 平面
.
(1)证明； 平面 ；
(2)若 ，设 为棱 的中点，求当几何体 的体积取最大值时, 与 所成角的余弦
值.
核心考点九：创新定义
【规律方法】
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决
问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读
出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究
图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动
态地去阅读图形．
【典型例题】
例28．（2022·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不
经过顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两
条母线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与
平面α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点
为M， ， ．(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
例29．（2022·全国·高三专题练习）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如
图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ， ， ， ，二面角
的大小为 ，则 ．
（1）当 、 时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，四棱柱 中，平面 平面 ， ， ，
①求 的余弦值；
②在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．例30．（2022·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由
正六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ，
， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），
如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的
曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面
体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．
【新题速递】
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，在三棱柱 中， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
2．（2022·四川达州·统考一模）如图，三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形，
， .(1)证明: ；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
3．（2022·陕西宝鸡·统考一模）如图在四棱锥 中， 底面 ，且底面 是平行四边
形.已知 是 中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
4．（2022·广东广州·统考一模）如图，已知四棱锥 的底面 是菱形，平面 平面
， 为 的中点，点 在 上， .(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
5．（2022·上海奉贤·统考一模）如图，在四面体 中，已知 .点 是 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)已知 ，作出二面角 的平面角，并求它的正弦值.
6．（2022·上海浦东新·统考一模）如图，三棱锥 中，侧面PAB垂直于底面ABC， ，底面
ABC是斜边为AB的直角三角形，且 ，记O为AB的中点，E为OC的中点.(1)求证： ；
(2)若 ，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.
7．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，在四棱锥 中， ，
， ， 是棱 的中点，且 平面
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
8．（2022春·江苏徐州·高三期末）如图，四棱锥 中， 底面 ， ∥ ， 为 的
中点.(1)若点M在AD上， ， ，证明： 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的余弦值.
9．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体 中，四边形 为菱形， 平
面 ，且 .
(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小.
10．（2022·陕西汉中·统考一模）如图，多面体 中，四边形 为菱形， 平
面 ，且 .
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离.11．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测） 是等腰直角三角形， 且 ，四边形
是直角梯形， ， ，且 ，平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 是线段 上的一个动点，问点 在何位置时三棱锥 的体积为 .
12．（2022·四川南充·统考一模）在平面五边形ABCDE中（如图1），ABCD是梯形， ，
， ， ， 是等边三角形．现将 沿AD折起，连接EB，EC
得四棱锥 （如图2）且 ．
(1)求证：平面 平面ABCD；
(2)在棱EB上有点F，满足 ，求二面角 的余弦值．
13．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）如图，在四棱锥 中， ， ，
， ， .(1)求证： 平面 .
(2)设E为BC的中点，求PE与平面ABCD所成角的正弦值.
14．（2022春·广东广州·高三校考期中）如图所示，在四棱锥 中， 底面 ，四边形
是直角梯形， ， ，点 在侧棱 上.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，求 的值.
