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难点与解题模型 14 四边形中模型、角度与面积（6 大热考题
型）
题型一：中点四边形模型
题型二：十字架模型
题型三：对角互补模型
题型四：半角模型
题型五：四边形中特殊角度问题
题型六：四边形中的面积问题
题型一：中点四边形模型
“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的
内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：
（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）
（一）中点四边形一定是平行四边形
1. 当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形
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2. 当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形
3. 当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形
（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和
（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一
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【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学
兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形 中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、 、CD、 的中点，
∴ 、 分别是 和 的中位线，
∴ ， （____①____）
∴ ．
同理可得： ．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
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（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
原四边形对角线关
中点四边形形状
系
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②________
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
中点四边形形状
原四边形对角线关
系
③________ ④________
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
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【典例1-2】（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相
应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形 中，点 分别是边 ， 的中点，顺次连接
，得到的四边形 是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦
里尼翁 是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或
正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接 ，分别交 于点 ，过点 作 于点 ，交 于点 ．
∵ 分别为 的中点，∴ ．（依据1）
∴ ．∵ ，∴ ．
∵四边形 是瓦里尼翁平行四边形，∴ ，即 ．
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∵ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．（依据2）∴ ．
∵ ，∴ ．同理，…
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形 及它的瓦里尼翁平行四边形 ，使得四边形
为矩形；（要求同时画出四边形 的对角线）
(3)在图1中，分别连接 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形 的周长与对角线 长度
的关系，并证明你的结论．
【典例1-3】（2024·江苏泰州·三模）如图，点 分别在菱形 的各边上．
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【初步认识】
（1）如图 ，若 ，则四边形 一定是（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【变式探究】
（2）如图 ，若 交于点 ， 分别是 上一点， ， ， 的
延长线分别交在 于点 ，求证：四边形 是矩形．
【深入思考】
（3）如图 ，若 交于点 ，且 ，当 满足什么条件时，可作出两个不同矩形
，请直接写出你的结论．
（4）在（3）的条件下，设 ，请探索 与 满足的关系式．
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【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·贵州·模拟预测）如图1，已知四边形 四条边上的中点分别为 、 、 、 、
依次连接 、 、 、 、得到四边形 ．
(1)求证:四边形 为平行四边形；
(2)连接 与 ，当 与 满足什么条件时，四边形 是矩形？
(3)如图2，若四边形 是菱形，则四边形 是什么图形，请说明理由．
【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形 中，已知对角线 ，点E，F，G，
H分别为 ， 边上的中点，连接 ．求证：四边形 为菱形．
【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·一模）问题提出
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如图 ，在 中， ．若 ，则 的值为__________．
问题探究
如图 ，在四边形 中，对角线 、BD相交于点 ， 、 、 、 分别为AB、 、CD、AD
的中点，连接 、 、 、 ．若 ，求四边形EFGH的面积．
问题解决
如图 ，某市有一块五边形空地 ，其中 米， 米，
米， 米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园 ，使点 、 、 、
分别在边AB、 、CD、 上，要求 请问，是否存在符合设计要
求的面积最大的四边形花园 ？若存在，求四边形 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【变式1-4】（2024·宁夏银川·一模）如图1．在 中，D、E分别为 的中点，连接 ：
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操作1．将 绕点E按顺时针方向旋转 到 的位置．
操作2．延长 到点F，使 ，连接 ．
试探究 与 有怎样的位置关系和数量关系？
（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，
．
【结论应用】
（2）如图2，四边形 中，对角线 相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次
连接 ，得到四边形 ．
①求证：四边形 为平行四边形；
②当 与 满足 时，四边形 是矩形，当 与 满足 时，四边形 是菱形.
③若 ， ， ，求四边形 的面积．
【问题解决】
（3）如图3所示，在一个四边形 的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边 和边 的中
点，且 ， ， ，求小路 的长度．
【变式1-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、
飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识．
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如图①，菱形纸片 中， ．
(1)活动一：
如图②，折叠菱形纸片 ，使点 落在点 处，则折痕的长为_________；菱形纸片 的面积是
_________；
(2)活动二：
如图③， 分别是菱形纸片 各边的中点，分别沿着 折叠并展开．猜想四边
形 是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
(3)活动三：如图④，先将菱形纸片 沿 折叠再展开，点 分别在边 上且
，再分别沿着 折叠再展开，若四边形 是正方形，则 _________；
(4)活动四：如图⑤，折叠菱形纸片 ，使点 落在 边的中点 处，则折痕 的长为_________．
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题型二：十字架模型
在正方形或矩形中存在两条线段相交且垂直,因其形似“十字架”,所以我们称其为“十字架”模型.
类型 正方形过顶点型 矩形过顶点型
图示
条件 在正方形 ABCD中,点E,F分别在 在 矩 形 ABCD 中 , 点 在 边 AD
边CD,AD上,AE⊥BF 上,CE⊥BD
解题思路 利用正方形的各边相等且四个角 利用矩形的四个角均为直角及
均为直角,及 AE⊥BF 将同角的余 CE⊥BD 将同角的余角进行转化.
角进行转化,证明△ABF和△DAE 证明△BCD和△CDE相似,进而得
全等进行求解 到对应边成比例进行求解
结论 △ABF≌△DAE.BF=AE
【中考母题学方法】
【典例2-1】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.
将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．5
【典例2-2】（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线
段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：
如图，正方形 中，点F、E、G分别在 上，且 ．
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(1)尺规作图：过点G作 垂线交 于点H．（只保留作图痕迹）
(2)证明 ，将下面的过程补充完整．
证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
①
，
，
，
②
，
四边形 为矩形，
，
③ ．
（④____）
．
【典例2-3】（2024·河南·一模）综合与实践
数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形 中，已知 ，求证： ．
甲小组同学的证明思路如下：
由同角的余角相等可得 ．再由 ， ，证得 （依据：
________），从而得 ．
乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知 ，同样可证得 ，证明思路如下：
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由 ， 可证得 ，可得 ，再根据角的等量代换即可
证得 ．
完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知 可证得 ，已知 同样可证得 ，为了验证这
个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．
【迁移探究】
（2）在正方形 中，点E在 上，点M，N分别在 上，连接 交于点P．甲小组同学
根据 画出图形如图2所示，乙小组同学根据 画出图形如图3所示．甲小组同学发现已
知 仍能证明 ，乙小组同学发现已知 无法证明 一定成立．
①在图2中，已知 ，求证： ；
②在图3中，若 ，则 的度数为多少?
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形 中， ，点E在边 上，点M在边 上，且 ，点F，N
分别在直线 上，若 ，当直线 与直线 所夹较小角的度数为 时，请直接写出
的长．
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【典例2-4】（2024·河南商丘·三模）（1）【操作判断】
如图1，在正方形 中，点 分别在边 上，且 ，则 与
的数量关系为 ；
（2）【迁移探究】
如图2，在矩形 中， ，点 分别在边 上，且
与 交于点O，试说明（1）中的结论是否发生变化，如果结论不变，请说明理由；如果
变化，请写出新结论并给出证明；
（3）【拓展应用】
如图3，在 中， ，当点D为 的三等分点，且 时，直接写出
与 的数量关系．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行
了如下探究：
【初探猜想】如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 、 上的两点，连接 ， ，若
，试判断线段 与 的大小关系，并说明理由；
【类比探究】如图2，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上一点，点 、
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分别是边 、 上一点，连接 ， ，若 ，则 ______；
【知识迁移】如图3，，在四边形 中， ，点 、 分别在线段 、 上，且
，连接 ，若 为等边三角形，求 的值；
【拓展应用】如图4，在正方形 中，E是 的中点，F、G分别是边 上的动点，且
交 于M，连接 和 ，当 时，则 的最小值为______．
【变式2-2】（2024·湖北恩施·三模）综合与探究
问题背景：如图3，四边形 是矩形， ，点G、H、E分别是线段 、 、 上的动点，
连接 ，过点E作 的垂线交线段 于点F（只考虑F在 上的情况）
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（1）①如图1，当点G运动到A点，点E运动到B点时，若 ， ， ，则 的值为
______（直接写答案）
②如图2，当点G不与A点重合，点E运动到B点时，若 ，试求 的值．
问题探究：
（2）如图3，当G不与A重合，E不与B重合时，用含m的式子表示 的值．
问题拓展：
（3）如图4，将背景问题中的矩形改成已知“在四边形 中， ， ，
， ，则 的值为______．（直接写答案）
【变式2-3】（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】
（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，
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求证： ；
【模型应用】
（2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、
AB上，求 的值．
【变式拓展】
（3）如图3，平行四边形 ， ， ，直线 与平行四边形相交，将平行四边
形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．
题型三：对角互补模型
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模型1:全等形一-90°对角互补模型
模型2:全等形--120°对角互补模型
模型 3:全等形一一任意角对角互补模型
模型4:相似形一-90°对角互补模型
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做
以下探究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动点，
过点D作 的垂线交直线 于点F．
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【初步感知】(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，
请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直
接写出结论，不必证明）
【拓展运用】(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，
点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【典例3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在矩形 中， （n为正整数），点E是 边上
一动点，P为 中点，连接 ，将射线 绕点P按逆时针方向旋转 ，与矩形的边交于点F．
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【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在 边上时，试探究线段 ， 之间的数量关系，请
写出结论并证明；
【深入探究】（2）若 ，在点E的运动过程中，当点F在 边上时，求 的最小值；
【拓展运用】（3）若 ，设 的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程
（用含n的代数式表示）．
【典例3-3】（2024·河南·一模）已知 ，点 是 的角平分线 上的任意一点，现有一
个直角 绕点 旋转，两直角边 ， 分别与直线 ， 相交于点 ，点 .
（1）如图1，若 ，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由.
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（2）如图2，若点 在射线 上，且 与 不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请
说明理由；如不成立，请写出线段 ， ， 之间的数量关系，并加以证明.
（3）如图3，若点 在射线 的反向延长线上，且 ， ，请直接写出线段 的长度.
【典例3-4】（2024广东中考一模）如图，已知 ，在 的角平分线 上有一点 ，将一
个 角的顶点与点 重合，它的两条边分别与射线 相交于点 .
（1）如图1，当 绕点 旋转到 与 垂直时，请猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）当 绕点 旋转到 与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理
由；
（3）如图3，当 绕点 旋转到点 位于 的反向延长线上时，求线段 与 之间又有怎
样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
【典例3-5】（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．
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在 中， ， ， 是 边上一点，且 ( 为正整数）， 、 分别是边
和边 上的点，连接 ，且 ．
【初步感知】（ ）如图 ，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】（ ） 如图 ，当 ，试探究线段 ， ， 之间的数量关系，请写出结论并证明；
请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 ， ， 之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必
证明）．
【拓展运用】（ ）如图 ，点 为靠近 的四等分点，连接 ，设 的中点为 ，若 ，求
点 从点 运动到点 的过程中，请直接写出点 运动的路径长．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形 的对角互补，且 ， ，
．过顶点C作 于E，则 的值为（ ）
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A． B．9 C．6 D．7．2
【变式3-2】（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸
片 内剪取一个直角 ，点 ， ， 分别在 ， ， 边上．
请完成如下探究：（1）当 为 的中点时，若 ，
（2）当 ， 、 时 ， 的长为
【变式3-3】（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角
线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；
问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条
直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角
边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
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【变式3-4】（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示， 是 的平分线，
P是 上任一点，作 ， ，垂足分别为点D和点E．将 沿 对折，我们发现
与 完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．
已知：如图所示， 是 的平分线，点P是 上的任意一点， ， ，垂足分别为
点D和点E．
求证： ．
分析：图中有两个直角三角形 和 ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 ．
（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
【定理应用】（2）如图②，已知 是 的平分线，点P是 上的任意一点，点D、E分别在边
上，连结 ， ．若 ， ，则 的长为
______．
（3）如图③，在平行四边形 中， ， 平分 交 于点E，连结 ，将 绕
点E旋转，当点C的对应点F落在边 上时，若 ，则四边形 的面积为______．
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【变式3-5】（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边
AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小
华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，
通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；
想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED
与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；
想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC
的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….
请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；
（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．
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题型四：半角模型
“半角”模型是从正方形的一个顶点出发,引出两条形成45°角的射线,这两条射线与正方形的两边相交,从而
形成一个特殊的几何图形,如图①,四边形 ABCD为正方形,点EF分别在边BC、CD上,∠EAF=45°解决此类问题
的方法是通过旋转构造全等三角形,具体操作如下:
第一步:如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD与AB重合,点F落在点G处;
第二步:由旋转可知∠ABG=∠D=90°,∠BAG=∠DAF,AG=AF,可得到G、B、E三点共线∠GAE=∠EAF=45°；
第三步:得到结论:①∠GAF=90°;②ΔAGE≌ΔAFE;③EF=BE+DF.
【中考母题学方法】
【典例4-1】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问
题：
【问题情境】
如图1，在 中， ， ，点D、E在边 上，且 ， ， ，
求 的长．
解：如图2，将 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ．
由旋转的特征得 ， ， ， ．
∵ ， ，
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∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
在 和 中，
， ， ，
∴___①___．
∴ ．
又∵ ，
∴在 中，___②___．
∵ ， ，
∴ ___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以
不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形 中，点E、F分别在边 上，满足 的周长等于正方形 的周长的
一半，连结 ，分别与对角线 交于M、N两点．探究 的数量关系并证明．
【拓展应用】
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如图4，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ．探究 的
数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在 中， ， ， ，点D、E在边 上，且 ．设 ，
，求y与x的函数关系式．
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【典例4-2】（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形 中， ，
，点 ， 分别在 ， 上，若 ，则 ．
【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ．已知 ，
， ， ，道路 ， 上分别有景点 ， ，且 ，
，若在 ， 之间修一条直路，则路线 的长比路线 的长少
（结果取整数，参考数据： ）．
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【典例4-3】（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点
E不与点B，C重合），且 ．
(1)当 时，求证： ；
(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点， ，垂足为K，交AC于点H且 ．若
， ，请用含a，b的代数式表示EF的长．
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【典例4-4】（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了
拓展探究．
如图，在 中， 为 边上的高， ，点 在 边上，且 ，点 是线段 上
任意一点，连接 ，将 沿 翻折得 ．
(1)问题解决：
如图①，当 ，将 沿 翻折后，使点 与点 重合，则 ______；
(2)问题探究：
如图②，当 ，将 沿 翻折后，使 ，求 的度数，并求出此时 的最小
值；
(3)拓展延伸：
当 ，将 沿 翻折后，若 ，且 ，根据题意在备用图中画出图形，并求
出 的值．
【典例4-5】（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD
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＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．
(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝
180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明 ADE≌ ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的
证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC
之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝ ，AC与BD相交于点O．若四
边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．
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【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形 中 ， ，
，E、F分别是 ， 上的点，且 ，探究图中线段 ， ， 之间的数量
关系．小王同学探究此问题的方法是，延长 到点G，使DG＝ ，连接 ，先证明 ，
再证明 ，可得出 ， ， 之间的数量关系．
实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化 ，四周修有步行小径，且 ，
，在小径 ， 上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经
测量得 ， 米， 米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离
．
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【变式4-2】（2023·吉林长春·二模）【问题呈现】如图①，点 、 分别在正方形 的边 、
上， ，试判断 、 、 之间的数量关系．小聪同学延长 至点 ，使 ，连接
，可证 ，进而得到 ，从而得出 、 、 之间的数量关系为______
不需要证明 ．
【类比引申】如图②，四边形 中， ， ， ，点 、 分别在边
、 上，请回答当 与 满足什么关系时，仍有【问题呈现】中 、 、 之间的数
量关系，并给出证明．
【探究应用】如图③，在四边形 中， ， ， ， ，点 、
分别在线段 、 上，且 ， ，直接写出线段 的长．
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【变式4-3】（2024·广东深圳·一模）综合与探究
【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．
【初步探究】
（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在 与 中，
， ， ．求证： ．
【类比探究】
（2）如图2，在边长为3的正方形 中，点E，F分别是 ， 上的点，且 ．连接 ，
， ，若 ，请直接写出 的长．
【深入探究】
（3）如图3，D，P是等边 外两点，连接 并取 的中点M，且 ， ．
试猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
【拓展应用】
（4）如图4，在四边形 中， ， ， ， ， ，请直
接写出 的长．
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【变式4-4】（2024·四川达州·模拟预测）[初步探究]
（1）如图1，在 与 中， ， ， ，易得 ．请你写出证
明过程．
[解题反思]
以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．
[类比探究]
（2）如图2，在边长为3的正方形 中，E，F分别是 ， 上的点，且 ．连接 ， ，
，若 ，请直接写出 的长．
[深入探究]
（3）如图3，D，P是等边 外两点，连接 并取 的中点M，且 ， ．
试猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
[拓展应用]
（4）如图4，在四边形 中， ， ， ， ， ，请直
接写出 的长．
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【变式4-5】（2023·河南·模拟预测）问题背景如图1，在正方形 中，点E，F分别是 边上的
点，且 ，连接 ，探究 之间的数量关系．
(1)探究发现 李雷同学的方法是将 绕点A顺时针旋转 至 的位置，然后再证明
，从而得到 之间的数量关系为：______；
(2)拓展延伸 如图2，在四边形 中， ， ，点E，F分别是
边上的点，且 ，连接 ，则（1）中结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)归纳应用 如图3，等边三角形 的边长为4，点D，E在直线 上（点D在点E的左侧），且
，当 时，请直接写出线段 的长．
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题型五：四边形中特殊角度问题
类型 图示 条件 结论
含 60°角的菱 四边形ABCD为菱形,对 1. ABD=∠CBD=30°;
形 角线 AC 与 BD 交于点
2. △ABC 和△ACD 均为等边三角形；
O，∠ABC=60°
对角线夹角 四边形ABCD为矩形,对 1. ∠ABO=2∠CB0=60°
为 60°的矩形 角线 AC与 BD交于点
2. △AOB 和ACOD 均为等边三角形；
O，∠AOB=60°
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形 中， ，连接 ，以点 为圆心，
长为半径作弧，交直线 于点 ，连接 ，则 的度数是 ．
【典例5-2】（2023·江西·中考真题）如图，在 中， ，将AB绕点 逆时针旋
转角 （ ）得到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，旋转角 的度数为
．
【典例5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）矩形 的对角线 ，BD相交于点 ，点 在矩形
边上，连接 ．若 ， ，则 ．
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【考模拟即学即练】
【变式5-1】（2024·四川凉山·二模）如图，矩形 的对角线相交于点 ，过点 作 ，交AD
于点 ，连接 ．若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．30°
【变式5-2】（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形 中，点 是对角线 上一点， ，
，垂足分别为 ， ，连接 ．若 ，则 一定等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·天津·三模）已知四边形 内接于 ， 为 的直径， ，连接 ．
(1)如图①，若D 为弧 的中点，求 ，求 和 的大小：
(2)如图②，若 ，C为弧 的中点，过点 作 的切线与弦 的延长线相交于点E，求 的长．
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【变式5-4】（2024·广西南宁·三模）综合与实践
【问题情境】四边形 是边长为5的菱形， 与 相交于点O，将 绕点B按顺时针方向旋
转得到 ，点C，D旋转后的对应点分别为E，F，旋转角为 α．
【观察思考】
（1）如图1，当点F第一次落在对角线 上时，求 与 的数量关系以及α的度数．
【探究证明】
（2）如图2，当 ，且 时， 与 交于点G．试判断四边形 的形状，并说明理
由．
【拓展延伸】
（3）如图3，连接 ，在旋转过程中，当 与菱形 的一边平行时，且 ，请直接写
出线段 的长．
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【变式5-5】（2024·上海·模拟预测）已知菱形 的边长为1， ，等边 两边分别交
、 于E，F．
(1)如图1，若点 、 分别是边 、 的中点，求证：菱形 对角线 、 的交点 即为等边
的外心；
(2)如图2，当E，F分别是边 、 的中点时，过等边 的外心点O的一直线交边 于M，边
于G， 边的延长线于N，求： 的值；
(3)如图3，若点E，F始终在边 ， 上移动，等边 外心为P，求： 的度数．
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【变式5-6】（2024·贵州贵阳·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋
转的知识探索相应的数学问题．如图①，E是正方形 边 上一点（E点不与B，C重合），连接
，将 绕点E顺时针旋转到 ，使 ，连接CF．
(1)【问题探究】
在AB上截取 ，连接 ，此时 ，则 等于 度；
(2)【拓展延伸】
当正方形 变为菱形时，若 °，其余条件不变，如图②，请写出 与 的数量关
系，并说明理由；
(3)【联系应用】
在（2）的条件下，当 时，若 ，求CF的长．
【变式5-7】（2024·安徽·模拟预测）如图，在菱形 中， 为边 的中点，连接 交 延长线于
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点 ， 平分 交 于点 ，连接 ．
(1)如图1，求 的大小；
(2)如图1，证明：点 为线段 的三等分点；
(3)如图2，连接 交 于点 ，若 ， ，求 的长．
题型六：四边形中的面积问题
图
形
结
论
特殊四边形的面积等分线:过对称中心的直线等分四边形面积
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图形 作法 结论
过对角线交点O作直线 过点 O 的直线平分平行四边形
ABCD 的面积
过中位线EF的中点O(或上、下 过点O且与上、下底均相交的直
底边中点连线 HG 的中点 O)作
线平分梯形 ABCD 的面积
直线,且与上、下底均相交
两个特殊四边形组合图形的面积等分线:连接两个特殊四边形中心的直线等分组合图形的面积.如图,矩形
ABCD和矩形 EFGC,连接AC,BD交于点M,连接EG,CF 交于点N,作直线 MN.则直线 MN为该组合图形的面积
等分线.
【中考母题学方法】
【典例6-1】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ， 相交与点
，点 在 延长线上， 与 相交与点 ．若 ， ，则菱形 的面积
为 ．
【典例6-2】（2022·青海·中考真题）如图矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别
交 和 于点 ， ， ， ，则图中阴影部分的面积为 ．
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【典例6-3】（2020·贵州黔西·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 为
的中点，以点 为圆心作圆心角为 的扇形 ，点 恰在 上，则图中阴影部分的面积为 ．
【典例6-4】（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图 ，四边形 是菱形，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
猜想证明：
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图 中的 绕点 逆时针旋转，得到 ，点 ， 的对应点分别为点 ， ．
①如图 ，当线段 经过点 时， 所在直线分别与线段AD，CD交于点 ， ．猜想线段 与
的数量关系，并说明理由；
②当直线 与直线CD垂直时，直线 分别与直线AD，CD交于点 ， ，直线 与线段CD交于
点 ．若 ， ，直接写出四边形 的面积．
【中考模拟即学即练】
【变式6-1】（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形 中， ，F是 上一点， ，以点A
为圆心 为半径画弧，交 于点 ，以F为圆心， 为半径画弧，交 于点 于点 ，则阴影
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部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2025·山东临沂·一模）如图，扇形 的圆心角为 ， ，点C在弧 上，以 ，
为邻边构造平行四边形 ，边 交 于点E， 平分 ，若 ，则图中阴影部分的
面积为 ．（结果保留π）
【变式6-3】（2025·湖北黄石·一模）如图，四边形 是边长为4的正方形，点E在边 上， ，
作 ，分别与边 、 交于点F、G，点M，N分别是 ， 的中点，则 ，
的面积是 ．
【变式6-4】（2024·贵州·模拟预测）如图，在四边形 中， 与BD相交于点 ，且 ，点
在BD上，满足 ．
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(1)判断四边形 的形状，并证明；
(2)若 ， ， ，求四边形 的面积．
【变式6-5】（2025·湖北黄石·一模）如图1，正方形 中，边长 ，E为对角线 上一动点，
沿着 对折，得到 ．
(1)当 时，
①求 的面积；
②求 的长；
(2)若在线段 上另有一点F如图2，把 沿 对折，正好得到 ，设 ， ，用含x
的代数式表示y；
(3)若点F在线段 的延长线上，把 沿 对折，得到 ，且在对角线 上有一点E，使得
沿 折叠后正好得到 ．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍
设 ， ，用含x的代数式表示y．
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