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专题08 直线与双曲线的位置关系
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．双曲线 与直线 的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以，当 时，直线 与渐近线重合，此时直线 与双曲线无交点；
当 时，直线 与渐近线平行，此时直线 与双曲线有一个交点.故选：C
2．已知直线l： 和双曲线C： ，若l与C的上支交于不同的两点，则t的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意在直线l： 和双曲线C： 中，若l与C的上支交于不同的两点
∴ 即 ，∴ 解得：
∴t的取值范围为 ，故选：D.3．已知双曲线 ， ，过点 可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，
同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为 ，
由已知易知 ，若 在双曲线内部（如 位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满
足题意；若 在双曲线与渐近线 之间（如 位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相
交，也无法满足题意；故P只能在双曲线的渐近线 上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也
可以作一条与渐近线 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；
同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线 平行的直线符合要求；
即 ，故 ，故选：B
4．已知双曲线 ，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线
段 ，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
依题意，可得 ，则 ，又因为直线l垂直平分线段 ，所以 ，因为直线l与C存在公共点，所以 ，即 ，则 ，即 ，解得 ，
所以双曲线C的离心率的取值范围是 .故选：B
5．已知点 在双曲线 上，斜率为k的直线l过点 且不过点P．若直线l
交C于M，N两点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为点 在双曲线 上，所以 解得 ，
所以双曲线 .设 ， ，
联立 整理得 ，所以 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，整理得 解得 或 ，
当 时，直线 过点 ，不满足题意，所以 ，故选:A.
6．已知双曲线 ，若直线 ： 与双曲线 交于不同的两点 ，且 与
构成的三角形中有 ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【解析】因为直线 与双曲线 交于不同的两点 ，
联立 ，消 可得 ，
由已知方程 有两组解，
所以 且 ，所以 且 ，
设 ，则 ，
所以 ，所以线段 的中点为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ，即 ，
又 与 构成的三角形中有 ，
所以点 不在直线 上，在线段 的垂直平分线上，所以 ， ，
所以 ， ，又 ，所以 ，所以 或 ，
所以 的取值范围是 ，故选：B.
7．已知双曲线 与直线 交于A、B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA、PB的斜率分别为 ，曲线C的左、右焦点分别为 ．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线C的渐近线方程为
C．若 ，则 的面积为 D．曲线 的离心率为
【解析】由 ，可得 ，
设 ，则 ，即 ，∴ ，设 ，
则 ， ，所以 ，即 ，
又 ， ，
所以 ，∴ ，即 ，故A错误；
所以双曲线 ， ，
双曲线C的渐近线方程为 ，离心率为 ，故B错误，D正确；
若 ，则 ，
所以 ， 的面积为1，故C错误.
故选：D.
8．已知F
1
，F
2
分别为双曲线C： 的左､右焦点，E为双曲线C的右顶点.过F
2
的直线与双曲线C
的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为△AFF，△BFF 的内心，则
1 2 1 2
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解析】设 上的切点分别为H､I､J，则 .
由 ，得 ，
∴ ，即 .
设内心M的横坐标为 ，由 轴得点J的横坐标也为 ，则 ，
得 ，则E为直线 与x轴的交点，即J与E重合.
同理可得 的内心在直线 上，
设直线 的领斜角为 ，则 ，
，
当 时， ；当 时，由题知， ，
因为A，B两点在双曲线的右支上，∴ ，且 ，所以 或 ，
∴ 且 ，∴ ，
综上所述， .故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.9．过双曲线C： 的左焦点 作直线l与双曲线C的右支交于点A，则（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．点 到双曲线C的渐近线的距离为4
C．直线l的斜率k取值范围是
D．若 的中点在y轴上，则直线l的斜率
【解析】对选项A：双曲线C的渐近线方程为 ，正确；
对选项B： ，取渐近线方程为 ，距离为 ，错误；
对选项C：渐近线方程为 ，故斜率k取值范围是 ，正确；
对选项D： 的中点在y轴上，则 的横坐标为 ， ，得到 ，故 或 ，
，斜率为 ，正确.故选：ACD
10．已知双曲线C过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．直线 与C只有一个公共点
D．直线 与C有两个公共点
【解析】渐近线 ，设双曲线 的方程为 ，代入 得 ，所以双曲线的方程为 ，A选项正确.
，离心率 ，B选项错误.
直线 与双曲线的渐近线 平行，所以与双曲线只有一个公共点，C选项正确.
，消去 并化简得 ，所以 ，
即直线 与C只有一个公共点, D选项错误.故选：AC
11．已知双曲线E： 的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为 的直线l与E的右支
交于点P，若 ，则（ ）
A．E的离心率为 B．E的渐近线方程为
C．P到直线x＝1的距离为 D．以实轴为直径的圆与l相切
【解析】由双曲线方程可知， ，设 ，则 ，那么 ， ，
作 轴，垂足为点 ，设 ， ，则 ，
所以 ， ，
两式解得： ，即 ， ，
中，根据余弦定理，可得 ，
，得 ，所以双曲线的离心率 ，故A正确；，所以双曲线的渐近线方程为 ，故B错误；
直线 的方程为 ，与双曲线方程 联立，
得 ，解得： ，因为点 在双曲线的右支上，
所以点 的横坐标为 ，P到直线x＝1的距离为 ，故C正确；
以实轴为直径的圆的圆心为原点，半径为 ，原点到直线 的距离 ，故D正确.
故选：ACD
12．已知双曲线 的虚轴长为2，过C上点P的直线l与C的渐近线分别交于点A，
B，且点P为AB的中点，则下列正确的是（ ）
A．若 且直线l的斜率存在，直线l的方程为
B．若 ，直线l的斜率为1
C．若离心率 ，
D．若直线l的斜率不存在，
【解析】由题意 ，双曲线 .
对于A，若 ，则 ，即 .
设 ， ，则 ， ，
利用点差法可得 ，所以直线l的方程为 ，即 ，
所以 ，即 ，故A错误；
对于B，若 ，可得 ,则 ，由前面解答过程可知直线l的斜率为 ，即B正
确；
对于C，若离心率 ，可得 .则双曲线 ，其渐近线方程为 ，
设 ， ，直线 ，令 ，
则 ，由A知 方程为 ，
联立方程 可得 ，同理可得 ，
所以 ，故C正确；
对于D，若直线l的斜率不存在，则直线l过双曲线的顶点，所以 ，
双曲线的渐近线方程为 ，当 时，代入渐近线方程易得A，B两点的纵坐标为 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知F 为双曲线 的左焦点，过点F 的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，若
1 1
，则直线l的斜率为 ．【解析】设 ，由双曲线 ，可得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，代入解得 ，
所以直线 的斜率为 .
14．记双曲线 的离心率为 ，若直线 与 无公共点，则 的取值范围为
.
【解析】 ，所以C的渐近线方程为 ，
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，可满足条件“直线 与C无公共点”.
所以 ，又因为 ，所以 .
15．已知双曲线C： ，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两
点的纵坐标之和为 ．
【解析】双曲线C： ，右焦点 ，渐近线方程为 ．如图所示，假设直线l垂直于 ，则直线l的斜率为 ，所以直线l的方程为 ，
将直线l与双曲线C联立消x得 ，
设 ， ，故 ；
同理可得，当直线l垂直于 时，解得 ．
故答案为：
16．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点，点
，以 为直径的圆与 相交于 两点，若 为线段 的中点，则 .
【解析】如图，由题可知， 的坐标为 ，设 ，
联立方程组 ，可得 ，则 ， .
因为 为线段 的中点，所以 的坐标为 .又以 为直径的圆与 相交于 两点，所以 ，所以 ，
解得 ，又 ，所以 ，所以 ，故 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 的离心率为 ，虚轴长为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线 与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值．
【解析】（1）∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，∴ ，
∴所求双曲线方程为 ；
（2）由 ，消y得 ， ，
故 ， ，∴AB中点为 ，
代入 中可得 ，∴ ．
18．若双曲线 .四个点 恰有三点在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且 ，求原点 到直线 的距离.
【解析】（1）由双曲线性质可知， 关于原点对称，
所以 一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象
而 和 坐标的数中， ，但 ，所以点 不在双曲线上，即 在双曲线上.，解得 ， 双曲线 的方程为
（2）直线 的方程为 ，设 ，
由 消去 得
所以 .
由 ，可得 ，即
所以 ，可化为
即 ，则 ，即
到 的距离 .
19．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A为双曲线C左支上一点，
．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线 与x轴交点的横坐标分别为 ，
且 ，求双曲线C的方程．
【解析】（1）由于A为双曲线C左支上一点，由双曲线的定义可知 ，所以 ．整理，得 ，所以 ，
所以双曲线C的离心率为 ．
（2）由（1）可设双曲线C的标准方程为 ．
设 ， ， ．直线AD的方程为 ．
令 ，则 ．直线BD的方程为 ，
令 ，则 ．所以 ．
因为 ， 满足方程 ，所以 ， ,
所以 ,
所以双曲线C的方程为 ．
20．已知双曲线 的焦距为4，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 ，过右焦点 的直线 与双曲线 的右支交于 两点，求证： .
【解析】（1）因为点 在 上，所以 ①，由题意知 ，所以 ②
由①②解得 ，故双曲线 的方程为 .
（2）方法一：设直线 的方程为 ，由 消去 得， ，
设 ，则 ，
因为为
，所以 ，所以
.所以 .
方法二：证明：当直线 的斜率不存在时， 关于 轴对称，结论显然成立
当直线 的斜率 存在时，设直线 的方程为 ，
联立 消去 得， ，显然 ，
设 ，则 ，
因为
所以 ，所以 .所以 .21．已知双曲线 ： 过点 ，一条渐近线方程为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的右焦点的直线 与 的右支交于 两点， ，若 的外接圆圆心 在 轴上，求直
线 的方程.
【解析】（1）因为 的一条渐近线方程为 ，设 ，
因为过点 ，所以 ，故 的方程为 .
（2）设 ，由题知 ，
故 ，又
所以 .
所以 是方程 的两根，所以 ，设 ，
联立 得 ，
，所以 ，故 ，所以 ，
此时，直线 的斜率的绝对值为 ，大于渐近线斜率的绝对值 ，满足题设，
所以直线 的方程为 或 .22．已知双曲线E： 的离心率为 ，点 在双曲线E上.
(1)求E的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线E交于A，B两点（异于点P）.设直线BC与x轴垂直且交直线AP于点
C，若线段BC的中点为N，判断：P，M，N三点是否共线？并说明理由.
【解析】（1）双曲线的离心率为 ，所以 ，即 ， ，
将 代入 的方程可得 ，即 ，则 ，
故 的方程为 ．
（2）依题意，可设直线 ， ， ．
与 联立，整理得 ，
所以 ， ，解得， 且 ，
， ，所以 ．（*）
又 ，所以 的坐标为 ，
由 可得， ，
从而可得 的纵坐标
，将（*）式代入上式，得 ，即 ．
所以， ，
将（*）式代入上式，得 ，
又 ，直线MN与直线PM有公共点M，
所以P，M，N三点是否共线．
