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难点与解题模型 13 特殊相似三角形五大热考模型
题型一：8字模型
题型二：A字模型
题型三：8字与A字模型综合
题型四：旋转(手拉手)模型
题型五：一线三等角模型
题型一：8 字模型
8字——平行型
条件：CD∥AB,
结论：ΔPAB ΔPCD(上下相似);
左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;
∼
四边形ABCD为一般梯形.
条件：CD∥AB,PD=PC.
结论：ΔPAB ΔPCD ΔPDC(上下相似)
ΔPAD≅ΔPBC左右全等；
∼ ∼
四边形ABCD为等腰梯形；
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8字——不平行型
条件：∠CDP=∠BAP.
结论：ΔAPB ΔDPC(上下相似);
ΔAPD ΔBPC(左右相似);
∼
∼
【中考母题学方法】
【典例1-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，以 的顶点 为圆心， 长为半径画弧，交 于
点 ，再分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 ，画射线 ，交 于点 ，
交 的延长线于点 ．
(1)由以上作图可知， 与 的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，
解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知， 为 的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知 ，结合 ，从而推出 ，即可证明；
（3）过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，根据平行四边形的性质 ，
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， ，结合 ，推出 ，从而得到 ， ，
，最后由 计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知， 为 的角平分线
故答案为：
（2）证明： 四边形 为平行四边形
（3）解：如图，过点 作 的垂线交 的延长线于点
四边形 为平行四边形，
，
，
又
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．
【典例1-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在 中，点 在 边上， ，连接 并
延长交 的延长线于点 ，连接 并延长交CD的延长线于点F．求证： ．小丽的思考过程如
下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明 ，可得
，同理可得： ，再进一步证明 即可．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形
， ，
，
同理可得， ，
∴
又 ，
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即 ，
又 ，
．
【典例1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形 中， 、 分别是 ，
的平分线，且E、F分别在边 ， 上．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ， ，结合角平分线的条件得到
，由 得到 ， ，根据平行线的判定得到 ，
根据平行四边形的判定即可得到 是平行四边形；
（2）求得 是等边三角形，得到 ， ，证明 ，求得
，作 于点 ，在 中，求得 ，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等
边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边
AD上，点C落在点N处， 与CD交于点 ，折痕分别与边AB，CD交于点 ， ，连接BM．若
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，则 的值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，延长 交于点 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，正方形 边长为 ，
∴ ．
由翻折和正方形的性质可得， ．
∴ ．
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
在 中， ，
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∴ ．
解得： （舍）， ．
∴ ．
在 中， ，
∴
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股
定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
【变式1-2】（2023·江苏南通·一模）正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点，
将 沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．
(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说明理由；
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(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) ，是定值
(3)
【分析】 根据翻变换的性质可以得到 ，加上对顶角相等得到的
，从而得到 ，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到
，加上对顶角相等得到的 证明出： ，最终得到对应角相等
得出结果．
如图 中，连接 ， 证明 是等腰直角三角形，可得结论；
证明 是等边三角形，可得结论．
【详解】（1）如图 中，设 交 于点 ．
四边形 是正方形，
， ，
，
由翻折变换的性质可知， ，
，
，
，
，
，
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，
，
，
．
（2） ，是定值．
理由：如图 中，连接 ， ．
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
同法可证， ，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图 中，当 时，
，
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，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三
角形解决问题，属于中考压轴题．
【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 ， 在
轴上， 在 轴上， ， 的长是方程 的两个根 ．请解答下列问题：
(1)求点 的坐标；
(2)若直线 分别交 轴、 轴、 于点 ， ， ，且 是 的中点，直线 交 延长线
于点 ， ，求 的值；
(3)在（2）的条件下，在直线 上是否存在点 （不与点 重合），使 与 相似？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)2
(3)存在，
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【分析】（1）结合 ， 的长是方程 的两个根 ，进行解方程，即可作答．
（2）根据平行四边形的性质，得 ，再得出 ，结合直线 分别交 轴、 轴、
于点 ， ， ，且 是 的中点，得 ； ；然后得出 ，
是等腰直角三角形，得出 ，再证明 ，则 ，
再证明 是等腰直角三角形， 得 ，再运用勾股定理列式解得 ，再结
合 ，得 ，代入数计算，即可作答．
（3）根据点 在直线 上，使 与 相似，第一种是 ，第二种是
，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：由 ，得
∴ 或
∴ ， ，
，
， ，
∵ 在 轴的负半轴，
；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵平行四边形 的顶点 ， 在 轴上， 在 轴上，
∴ ， ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
则 ，
∵直线 分别交 轴、 轴、 于点 ， ， ，
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∴令 时，则 ；即 ；
∴令 时，则 ；即 ；
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形， ，
∴把 代入 ，得
即 ，
过点 作 于 ，过点 作 于 ，
， ，
，
，
， ，
，
∴ 是等腰直角三角形， ， ，
∴ ，
∵点 在直线 ，
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∴ ，
解得 ，
∴ ，
同理证明 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
整理得 ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，则 ，
解得 ，
经检验： 是 的解．
∴ ，
则 ．
（3）解：∵ ，
∴直线 ，
∵点 在直线 上，且 ，如图所示：
由（2）得出 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
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设点P的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
则 ，
解得 ，
∴ 或 ，
如图所示：
即 ， ，
∵点 在直线 上， ，
∴只能 ， ，
显然点 不合题意；
∵点 不与点 重合，且 ，故不存在 ，
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综上： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角
形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
题型二：A 字模型
A字模型
如图一
如图二
如图三
【中考母题学方法】
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【典例2-1】（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 为 的 边上一点，
，过 作 交 于点 ， 、 两点纵坐标分别为1、3，则 点的纵坐标为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据 得出 ，根据 ，得出 ，根据 、 两点纵坐标分别
为1、3，得出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 、 两点纵坐标分别为1、3，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 点的纵坐标为6，故C正确．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出 ，是解
题的关键．
【典例2-2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，记
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的面积为 ， 的面积为 ．
（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E作 交 于点F，点H为
的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出
，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作 交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到
OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到 ，设 ，则
，证明△OGF∽△OHN，推出 ， ，则
，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴ ，
∴ ，
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，
∵∠DOE=∠BOF，
∴ ；
∴ ；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴ ，
∴ ，
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴ ；
∴ ；
（3）如图所示，过点A作 交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵ ，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
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又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD（AAS），
∴OD=OF，
∵ ，
∴△OEF∽△OAM，
∴ ，
设 ，则 ，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴ ，
∴△OGF∽△OHN，
∴ ，
∵OG=2GH，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由（2）可知 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中
位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【典例2-3】（母子型）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在 中，点D在边
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上．若 ，则 ，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在 中， ，点D为边 的中点， ，点E在 上，
连接 ， ．若 ，求 的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形 中， ，点E，F分别在边 ， 上， ，
延长 ， 相交于点G．若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）证明 ，得出 ，即可证明结论；
（2）过点C作 于点F，过点D作 于点G，解直角三角形得出
， ，证明 ，得出
，求出 ，根据勾股定理得出 ，
得出 ，证明 ，得出 ，求出 ；
（3）连接 ，证明 ，得出 ，求出 ，证明 为直角三角形，得出
，根据勾股定理求出 ，证明 ，得出
，求出结果即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
（2）过点C作 于点F，过点D作 于点G，如图所示：
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ；
（3）连接 ，如图所示：
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ，
∴在 中根据勾股定理得：
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，
平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
【典例2-4】（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相
似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在 中， ，垂足为 ．
（1）兴趣小组的同学得出 ．理由如下：
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②______
①______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2， 为线段 上一点，连接 并延长至点 ，连接 ，当 时，请判断
的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3， 是直角三角形， ，平面内一点 ，满足 ，连接
并延长至点 ，且 ，当线段 的长度取得最小值时，求线段 的长．
【答案】（1）① ；② ；（2） 是直角三角形，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明 ，得出 ，证明 ，得出 ，即可得出答
案；
（3）证明 ，得出 ，求出 ，以点 为圆心，2为半径
作 ，则 都在 上，延长 到 ，使 ，交 于 ，连接 ，证明 ，
得出 ，说明点 在过点 且与 垂直的直线上运动，过点 作 ，垂足
为 ，连接 ，根据垂线段最短，得出当点E在点 处时， 最小，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
，
，
，
，
，
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，
；
（2） 是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得 ，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3） ，
，
，
，
如图，以点 为圆心，2为半径作 ，则 都在 上，延长 到 ，使 ，交 于 ，连
接 ，
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则 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
点 在过点 且与 垂直的直线上运动，
过点 作 ，垂足为 ，连接 ，
∵垂线段最短，
∴当点E在点 处时， 最小，
即 的最小值为 的长，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
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∴ ，
在 中根据勾股定理得： ，
即当线段 的长度取得最小值时，线段 的长为 ．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段
最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
【典例2-5】（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在 的边 、 上， ，仅用一把无刻度的直尺作 、
的中点．
操作：如图2，连接 、 交于点P，连接 交 于点M，延长 交 于点N，则M、N分别为
、 的中点．
理由：由 可得 及 ，所以 ， ．所以，
．同理，由 及 ，可得 ， ．所以
．所以 ，则 ， ，即M、N分别为 、 的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3， ，点E、F在直线 上．
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①作线段 的中点；
②在①中作图的基础上，在直线 上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得 ；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整
数）的线段．如图4， ，已知点 、 在 上，他利用上述方法作出了 ．点E、F在
直线 上，请在图4中作出线段 的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5， 是 的中位线．请在线段 上作出一点Q，使得 （要求用两种方法）．
【答案】（1）①见解析，②见解析；
（2）见解析；
（3）见解析
【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在 上方任取一点 ，得到 ， 与交 于
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点 ， 交 于点 ，连接 ， 交于点 ，作射线 交 ， 分别于 ， ，点 即为所求点；
②作射线 交 于点 ，作射线 交 于点 ，点 即为所求；
（2）根据上述作法，有两种作法；
[探索发现]如作法一，根据相似可知，连接 ， 交于点 ，则 ，即点 是 的三等分点
之一，由此可以得出过点 作 的平行线；同理可得点 是 的三等分点之一，则 ，即点
为所求作点．
【详解】解：[实践操作]
（1）①如图，
点 即为所求作的点；
②如图，
点 即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
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作法二、
点 ， 即为所求作的点；
[探索发现]（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
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作法四、
作法五、
点 即为所求的点．
【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部
分中 ， 为中点是解题关键．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段AB，CD相交于点 ， ， ，
．求 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证 ，
根据对顶角相等可得 ，所以可证 ，再根据相似三角形对应边成比例可求结
果．
【详解】解：如下图所示，
，
，
又 ，
，
，
， ，
，
．
【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知： 中， 为 边上的一点．
(1)如图①，过点 作 交 边于点 ，若 ， ， ，求 的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在 边上作点 ，使 ；（保留作图痕迹，不要求写作
法）
(3)如图③，点 在 边上，连接 、 ，若 ， 的面积等于 ，以 为半
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径作 ，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)相切；理由见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角
形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
（1）由题意易得 ，则有 ，根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
（2）作 交 于点 ，作 ，射线 交 于点 ，则点 即为所求；
（3）作 交 的延长线于点 ，连接 ，证明四边形 是等腰梯形，推出 ，由
，推出 ，推出 ，然后问题可求解．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
；
（2）解：①作 交 于点 ，
②作 ，射线 交 于点 ，则点 即为所求；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ;
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（3）解：直线 与 相切，理由如下：
作 交 的延长线于点 ，连接 ，如图，
，
四边形 是等腰梯形．
．
的面积等于 ，
，
，
是 的半径，
直线 与 相切．
【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】
（1）如图1，在 中， 是 边上的中线， ，求 的取值范围．
小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．
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①小明同学的思考过程：在 中，已知两边 和 的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范
围．而要想求中线 的取值范围，只有将中线 转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．
如图2，可以延长 到点E，使 ，连接 ，这样就构造了 ，将求 的取值范围，转化
为求 的边 的取值范围；
②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作
交 延长线于点F，于是得到 ．进而将求 的取值范围，转化为求 的取值范围．
请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．
【迁移应用】
（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．
如图4，在 中，D是 边的中点，点E在 边上， ，求 的取值范围．
【能力提升】
（3）如图5，在正方形 中，O为对角线 的中点， ，点G在 边上，E为平面内一点且
，以 为斜边，在 的右侧作等腰直角三角形 ，连接，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）①按小明的法，证明 ，再利用三角形三边之间的关系求出 的取值范围，
进而可求 的取值范围；②按小刚的思路，过点C作 交 延长线于点F，构造三角形中位线，
利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围；
（2）过点B作 交 延长线于点F，则 ，构造三角形中位线，利用三角形中“两边之
和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出的取值范围；
（3）过点O作 于点H，连接 ，证明 ，得出对应成比例的线段，利用勾股
定理求出 的长，再利用三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可求出 的取值
范围．
【详解】解：（1）①小明的解法：延长 到点E，使 ，连接 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
，
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∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
∴ ；
小刚同学的解法：过点C作 交 延长线于点F，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ．
∴ ．
∴ ；
（2）如图，过点B作 交 延长线于点F，则 ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
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∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图，过点O作 于点H，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
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，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
而当点O，F，G共线时， 仍存在，
此时 或 ，
∴ ．
【点睛】本题是三角形、正方形综合题，主要考查全等三角形的性质和判定、三角形中位线的性质、三角
形三边之间的关系、相似三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形及作平行线找到对应线段间
的关系是解题的关键．
【变式2-4】（2023·江苏淮安·二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边
的一半，如何证明三角形中位线定理呢？
(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．
已知：如图，在 中， 、 分别是 、 的中点．
求证： ， ．
证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法
的添加辅助线方法，阅读并完成填空：
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添加辅助线，如图1，在 中，过点 作 ，与 的延长线交于点 ．可证 ______，
根据全等三角形对应边相等可得 ，然后判断出四边形 是______，根据图形性质可证得
， ．
(2)【方法迁移】如图2，在四边形 中， ， ， ， 为 的中点， 、
分别为 、 边上的点，若 ， ， ，求 的长．
(3)【定理应用】如图3，在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ，
延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ，直接写出 的值（用含 的式子表示）．
【答案】(1) ；平行四边形
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(2) 的长为
(3) 的值为
【分析】（1）根据全等三角形的判定和平行四边形的判定即可得出；
（2）过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，全等三角形
的判定可得 ， ，
根据 ， ， 求得 ，故 ，
， ，根据勾股定理，求得 ，即可求得；
（3）取 的中点 ，连接 ，根据全等三角形的判定可得 ，即 ， ，
，可得 ， ，根据相似三角形的判定和性质可得
， ，根据 即可求得．
【详解】（1）∵ 是 的中点
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∵ 是 的中点
∴
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形
故答案为： ；平行四边形．
（2）如图，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，
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同（1）可知 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴ ，
∴
在 中， ， ，
∴
∴
（3）取 的中点 ，连接
∵ 是 的中点
∴ ，
∵
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∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，即
∴
∴
∵
∴
即
故
∵
∴
即
又∵
∴
化简可得
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三
角形中位线等知识，解（2）的关键是作出辅助线，解（3）的关键是根据相似三角形的性质进行等量代换，
是一道比较典型的中考题．
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【变式2-5】（母子模型）（2024·安徽·模拟预测）如图 ，在四边形 中， ，点 在
边 上，且 ，点 在边 上，且 ，连接 ， 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)如图 ，若 ，求证： ；
(3)如图 ，若延长 恰好经过点 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，得出 ，证明四边形 为平行四边形，得出 ，则可
得出结论；（2）证明 ，得出 ，证明 ，得 ，则得出结论；
（3）证明 ，得出 ，设 ，解方程求出 ，则可得出答案．
【详解】（1）
在 和 中，
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又
（SAS）
四边形 为平行四边形
（2）
又
，即
．
又
，即
（3）
，
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．
设 ，则有
解得 （负值舍去）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似
三角形的判定和性质是本题解题的关键．
题型三：8 字与 A 字模型综合
如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”字形，图②为“8”字形，它们都是平行线型的
基本图形．
【中考母题学方法】
【典例3-1】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在 中，F是 上一点， 交 于点E， 的
延长线交 的延长线于点G， ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
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【分析】由平行四边形的性质可得 ， ，设 为x可得 ，解之即可．
【详解】∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 为x，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
得 ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
【典例3-2】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ， 相交与点
，点 在 延长线上， 与 相交与点 ．若 ， ，则菱形 的面积
为 ．
【答案】96
【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作 交 于点
H，则 ，求得 ，再证明 ，求得 ，再证明
，则 ，利用勾股定理求得 的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题
的答案．
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【详解】解：作 交 于点H，则 ，
∵四边形 是边长为10的菱形，对角线 相交于点O，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：96．
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰 中， ， 是 的三等分点且靠近点 ，
是 的中点，过点 作 交 延长线于点 ．
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(1)求 的值；
(2)连接 ，若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关
键．
（ ）作 交 于点 ，则 ，所以 ，而 ，求得
，再证明 ，得 ，所以 的值为 ；
（ ）连接 ，由 ， ，得 ， ，由 ，得 ，
而 ，所以 ，可证明 ，得 ，则
， ，再证明 ，得 ，所以 ，则
，所以 ， ，求得 ；
【详解】（1）解：作 交 于点 ，
∵ 是 的三等分点且靠近点 ，
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∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ；
（2）解：连接 ，
， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 都是正数，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
【变式3-2】（2023·江苏泰州·一模）如图 ，在菱形 中， ， ， 为对角线 上
一点， 在 上运动，连接 并延长交 的延长线于点 ，交 于点 ．
(1)求菱形 的面积；
(2)如图 ，若点 是 的中点；
当 时，求 的长；
若 的面积为 ，求 的长；
(3)记 ，是否存在一个 的值，使得点 在 上运动时， 为定值，若存在，请求出这个定
值，并直接写出 的长的取值范围；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)菱形 的面积为
(2)① ；② 的长为
(3)存在， 是定值，定值为 ，
【分析】（1）由锐角三角函数可求 的长，即可求解；
（2）①通过证明 ，可得 ，可求 ，通过证明 ，可得
，即可求解；
②由相似三角形的性质可求 ， ，即可求解；
（3）由相似三角形的性质分别求出 ， ，由 是定值，可求 的值，即
可求解．
【详解】（1）如图，过点 作 于 ，
， ，
，
四边形 是菱形，
， ，
菱形 的面积 ；
（2） 点 是 的中点，
，
，
∽ ，
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，
，
，
，
∽ ，
，
，
；
，
： ，
，
，
的面积为 ，
，
，
，
，
负值舍去 ，
的长为 ；
（3）存在，
，
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，
，
∽ ，
，
，
，
，
当 时， 是定值，
当 时， 为 ，
当 时， 不存在，
此时， ，
，
，
，
．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的
关键．
题型四：旋转(手拉手)模型
模型展示：
将图①中的△ADE 绕点 A 旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形，即
△ABC∽△ADE.
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【中考母题学方法】
【典例4-1】（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在 中， ， ， ，D是
上一点，且 ，过点D作 交 于E，将 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图
2中 的值为 ．
4
【答案】 /0.8
5
【分析】首先根据勾股定理得到 ，然后证明出 ，得到 ，
进而得到 ，然后证明出 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵在 中， ， ， ，
∴
∵
∴ ，
∴
∴
∴
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∵
∴
∴
∴
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
【典例4-2】（2022·山东烟台·中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请
直接写出 的值．
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
接BD，CE．
①求 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)① ；②
【分析】（1）证明 BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明 BAD∽△△CAE，进而得出结果；
△
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（3）①先证明 ABC∽△ADE，再证得 CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上△得出∠ACE＝∠ABD，△进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和 ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠△BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
；
（3）解：① ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE， ，
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
；
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
∴sin∠BFC ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解
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决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
【典例4-3】（2023·四川巴中·中考真题）综合与实践．
(1)提出问题．如图1，在 和 中， ，且 ， ，连接 ，
连接 交 的延长线于点O．
① 的度数是___________．
② __________．
(2)类比探究．如图2，在 和 中， ，且 ，连接
并延长交于点O．
① 的度数是___________．
② ___________．
(3)问题解决．如图3，在等边 中， 于点D，点E在线段 上（不与A重合），以 为
边在 的左侧构造等边 ，将 绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为 的
中点，N为 的中点．
①试说明 为等腰三角形．
②求 的度数．
【答案】(1)① ．②
(2)① ．②
(3)①见解析；②
【分析】（1）①证明 得到 ，进而证明 ，即可求出
；②由全等三角形的性质可得 ，则 ；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到 ， ，进而
证明 ，得到 ，推出 ，则
；②由相似三角形的性质可得 ；
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（3）①连接 ，延长 交 于点P，交 于点O，证明 分别是 、 的中
位线，得到 ，再证明 ，得到 ，则 ，由此即可证
明 为等腰三角形；②由全等三角形的性质可得 ，进而求出 ，则
，再由平行线的性质可得 ．
【详解】（1）解：① ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 即 ，
∴ ，即
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：①∵在 和 中， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
②∵ ，
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∴ ，
故答案为： ；
（3）解：①连接 ，延长 交 于点P，交 于点O
在等边 中， 于点D，
为 的中点
又 为 的中点，N为 的中点，
分别是 、 的中位线
∵ 都是等边三角形，
∴
，
在 和 中
，
为等腰三角形．
②
，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴
又 ，即
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，
相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理等等，正确理解题意通过作辅助线构造
全等三角形是解题的关键．
【典例4-4】（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，
固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和
中， ， ， ．
【初步感知】
（1）如图1，连接 ， ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长
交 于点 ，求 的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有
直角三角形 的面积；若不能，请说明理由．
【答案】（1） 的值为 ；（2） ；（3）直角三角形 的面积为4或16或12或 ．
【分析】（1）根据 ， ， ．证明 ，
，继而得到 ， 即
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，再证明 ，得到 ．
（2）连接 ，延长 交 于点Q，根据(1)得 ，得到 ，根据中线 得到
，继而得到 ，结合 ，得到
即 ，得到 ，再证明 ，得证矩形 ，再利用勾
股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．
（3）运用分类思想解答即可．
【详解】（1）∵ ， ， ．
∴ ，
∴ ， ，
∴ 即 ，
∵
∴ ，
∴ ．
（2）连接 ，延长 交 于点Q，根据（1）得 ，
∴ ，
∵ 是中线
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ ， ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
（3）如图，当 与 重合时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 在 的延长线上时，此时 ，此时 是直角三角形，
故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，
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过点A作 于点Q，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故 ；
如图，当 时，此时 是直角三角形，过点A作 于点Q，交 于点N，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
解得 ；
故 ．
综上，直角三角形 的面积为4或16或12或 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全
等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩
形的判定和性质，中位线定理是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2022·广西钦州·模拟预测）【问题发现】 和 可以绕点 旋转且均为等边三角形，
班长在探究发现，当点 ， ， 在同一条直线上如图1所示，则有：① ；② ．他的
理由如下：
∵ 和 均为等边三角形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上，可得 ； ．
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(1)【类比探究】 和 可以绕点 旋转且均为等腰直角三角形，其中 ，
， ．当点 ， ， 在同一条直线上如图2所示，请你类比以上（1）【问题发现】先
判断线段 ， 之间的数量关系及 的度数，然后写出你的理由．
(2)【拓展应用】如图3， 和 可以绕点 旋转且均为直角三角形，其中 ，
， ， ．现将 绕点 旋转，当 所在直线经过点B时， 的长是多少？
（直接写出答案）
【答案】(1) ， ；见解析；
(2) 或 ；
【分析】（1）由 和 均为等腰直角三角形可得∠BAC=∠DAE=45°， ，进而可得
，∠ADB=135°，再由 便可解答；
（2）①当点B在ED延长线上时，解Rt△ABC和Rt△ADE可得DE， = ，解Rt△ABE 可
得BE，进而可得BD=BE-DE，再由△CAE∽△BAD可得 ，进而求得CE；②当点B在DE延长线上
时，同理可得BD=BE+DE， ，进而求得CE；
【详解】（1）解： ， ；
理由：∵ 和 均为等腰直角三角形，
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∴ ， ，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC， ，
∴ ，
∵ 和 中， ， ， ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
，则 ，
∴ ；
（2）解：①如图，当点B在ED延长线上时，连接DB，EC，
Rt△ABC中，∠BAC=30°，则cos∠BAC= ，
Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=3，则cos∠DAE= ，
DE=AE•tan∠DAE=3× = ，
Rt△ABE中，AB=5，AE=3，则BE= ，
∴BD=BE-DE=4- ，
∠BAC=∠DAE，则∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
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∴∠BAD=∠CAE，
又 = ，
∴△CAE∽△BAD，
∴ ，
∴ ；
②如图，当点B在DE延长线上时，连接、EB，EC，
同理可得BD=BE+DE=4+ ，△CAE∽△BAD，
，
，
综上所述， 的长为 或 ；
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性
质是解题关键．
【变式4-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展
数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究．
【观察猜想】如图①， 和 均为等边三角形，当点E、D分别在 边上，易证：
， ．
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【实践发现】如图②，将图①中的 绕着点B逆时针旋转，连接 、 ，线段 与线段 的数
量关系为 ，直线 与直线 相交，所夹锐角为 °；
【类比探究】 和 均为直角三角形， ．
（1）观察感知：如图③，当 且点E、D分别在 边上，易证： ；
（2）问题呈现：如图④，将图③中的 绕着点B逆时针旋转，连接 、 ．直线 与直线
交于点M．线段 与线段 的数量关系为 ， °；
（3）探究证明：如图⑤，当 时，线段 与线段 的数量关系是什么？请说明理由，
此时， °；
（4）拓展应用：在（3）的条件下，若 ， ，将 绕点B逆时针旋转一周，在整个旋
转过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线 的距离．
【答案】[实践发现] 相等，60；[类比探究]（1）证明见解析；（2） ， ；（3）
， ；（4） 或
【分析】[实践发现]由题意知， ， ， ，由旋转的性质可得
，则 ，证明 ，则 ， ，如图②，
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延长 、 ，交于点 ，根据 ，计算求解可得直线 与直线 相
交，所夹的锐角；
[类比探究]（1）如图③，过 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，
，进而结论得证；
（2）由题意知 ，由 ，可知 ，证明 ，则
， ， ，根据 ，计算求解
即可；
（3）同理（2）可得， ，证明 ，则 ， ，即
，根据 ，计算求解即可；
（4）由（3）可知， ， ；由题意知，当点A、E、D三点共线时，分两种情况求解：
①如图⑥，点A、E、D三点共线， ， ，由题意知，
，由勾股定理得 ，即 ，解得
或 （舍去），则 ，根据点C到直线 的距离
为 ，计算求解即可；②如图⑦，点A、D、E三点共线，同理①可得， ，
，由勾股定理得 ，则 ， ，根据
点C到直线 的距离为 ，计算求解即可．
【详解】[实践发现]解：由题意知， ， ， ，
由旋转的性质可得 ，
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∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
如图②，延长 、 ，交于点 ，
∵ ，
∴直线 与直线 相交，所夹锐角为 ，
故答案为：相等，60；
[类比探究]（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
如图③，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
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∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（3）解： ，理由如下：
同理（2）可得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（4）解：由（3）可知， ， ；
由题意知，当点A、E、D三点共线时，分两种情况求解：
①如图⑥，点A、E、D三点共线，
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∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
由题意知， ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴点C到直线 的距离为 ；
②如图⑦，点A、D、E三点共线，
同理①可得， ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴点C到直线 的距离为 ；
综上所述，点C到直线 的距离为 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正弦、余弦、正切，等边三角
形的性质，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，旋转的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与灵活运用．
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【变式4-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践
“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股
定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．
某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：
如图①，已知 和 均是等腰直角三角形， ，且 ， ，易证：
， ．
深入探究：
（1）如图②，将图①中 绕点A逆时针旋转 ，连接 、 ，并延长 分别与 、
相交于点 、 ，求证： ， ．
解决问题：
（2）如图③，将图①中 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，其他条件不变，若 ，
，则 _______， _______．
拓展应用：
（3）如图④，将图①中 绕点 逆时针旋转 ，连接 、 ，若 ，
， ，则 ______， ______．（提示：求 时，可过点 作 于点 ）
【答案】（1）证明见解析；（2） ， ；（3） ，
【分析】（1）只需要利用SAS证明 即可得到 ， ，再证
，即可推出 即可证明 ， ．
（2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出
，证明△AEC∽△FEB，求出 ，则 ；
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（3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出 ，则 ，利用勾股定理即可求出
；求出 ，证明∠CBE=90°，则 ，同理可证△ACE≌△ABD，则
．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ， ．
（2）同理可证△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，
∴BE=6
∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6，
∴ ，
又∵∠AEC=∠BEF，
∴△AEC∽△FEB，
∴
∴ ，
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∴ ，
∴ ；
（3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，
∵∠ABE=45°，
∴∠HEB=45°=∠HBE，
∴BH=EH，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=45°， ，
∴∠CBE=90°，
∴ ，
同理可证△ACE≌△ABD，
∴ ．
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【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练
掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【变式4-4】（2024·陕西西安·模拟预测）【计算与推理】
（1）如图1， ， 与 交于点 ， 为 的中点， ， ，则 的长为_______；
（2）数学课上张老师拿了一块大三角板 和一块小三角板 ，其中 ，按如图2
所示位置放置，使两个三角板的 角的顶点 重合．连接 、 ，当 绕点 顺时针旋转时，试
判断 ， 的值是否变化？如果不变，请求出 ， 的值，如果变化，请说明是如何变化并加以证
明：
【操作与探究】
（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（
）部件做模型，他的操作如下：
第一步：用两块大小不一的含 角的直角三角板 和 按如图3所示位置放置，其中
，含有 角的顶点 重合，分别延长 交于点 ，连接 ，得到 ；
第二步：取 的中点 ，分别连接 ， ，得到 ．
请问，按上述操作，裁得的 部件是否符合要求？请说明理由．
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【答案】（1）4；（2） ，值不变；（3）符合要求
【分析】（1）证 ，得出 ，即可得出 的长；
（2）证 ，得 ，再得出 ，根据特殊角三角函数得出结论即可；
（3）证 ，得 ，证 ，得 ，根据
，得出 是等边三角形即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为：4；
（2） 的值不变，证明如下：
设大三角板 和小三角板 的相似比为 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
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∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，值不变；
（3）符合要求，理由如下：
如图，延长 至 ，使 ，
∵ ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
根据四边形的内角和得， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
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，
，
，
在 中， ，
，
，
∴ 是等边三角形．
故符合要求．
【点睛】本题主要考查相似形综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知
识是解题的关键．
题型五：一线三等角模型
模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称
为“一线三等角”型相似．
【中考母题学方法】
【典例5-1】（2023·山东东营·统考中考真题）如图， 为等边三角形，点 ， 分别在边 ，
上， ，若 ， ，则 的长为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明 ，根据题意得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ∴
∵ ，∴ ，∴ ∵ ∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是
解题的关键．
【典例5-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了
如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕 ，如图②．
根据以上的操作，若 ， ，则线段 的长是（ ）
A．3 B． C．2 D．1
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【答案】C
【分析】根据折叠的性质得： ， ， ，设 ，则
，利用勾股定理求出 ，再证明 ，得 ，求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 于点 ，
在 和 中，
设 ，则 ，
，即： ，解得： ，
， ， ， ， ，
，故选：C．
【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并
能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键．
【典例5-3】（2024·湖北·中考真题）如图，矩形 中， 分别在 上，将四边形 沿
翻折，使 的对称点 落在 上， 的对称点为 交 于 ．
(1)求证： ．(2)若 为 中点，且 ，求 长．
(3)连接 ，若 为 中点， 为 中点，探究 与 大小关系并说明理由．
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【答案】(1)见详解(2) (3)
【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由折叠得出 ，得出 ，即
可证明 ；（2）根据矩形的性质以及线段中点，得出 ，根据
代入数值得 ，进行计算 ，再结合 ，则 ，代入数值，得
，所以 ；（3）由折叠性质，得 直线 ，
， 是等腰三角形，则 ，因为 为 中点， 为 中点，所以
， ，所以 ，则 ，所以
，则 ，即可作答．
【详解】（1）解：如图：∵四边形 是矩形，∴ ，∴ ，
∵ 分别在 上，将四边形 沿 翻折，使 的对称点 落在 上，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（2）解：如图：∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ 为 中点，∴ ，设 ，∴ ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ；
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（3）解：如图：延长 交于一点M，连接
∵ 分别在 上，将四边形 沿 翻折，使 的对称点 落在 上，
∴ 直线
， ，∴ 是等腰三角形，∴ ，
∵ 为 中点，∴设 ，∴ ，
∵ 为 中点，∴ ，∵ ， ，∴ ，
∴ ， ， ∴ ，
在 中， ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在 中， ，将边 绕点C
顺时针旋转 得到线段 ，在射线 上取点D，使得 ，线段 与 的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，写出变化后线段
与 的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E是边 上一点，且 ，把线段 逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）
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【分析】（1）结合“一线三等角”推出 ，从而证得结论即可；
（2）利用条件证明 ，然后根据相似三角形的性质证明即可；
（3）作 延长线于 点，过 点作 ，交 于 点，交 于 点，结合“一线三垂
直”证明 ，从而利用全等三角形的性质求出 和 ，最后利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：∵将边 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
（2） ．
证明：同（1）可得， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图所示，作 延长线于 点，过 点作 ，交 于 点，交 于 点，
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则 ， ， ，
由（1）同理可证， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，
掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键．
【变式5-2】（2024·广东佛山·模拟预测）综合探究
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点， 的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，
，直线 分别与x轴、y轴、线段 、直线 交于点E、F、P、Q．
(1)当 时，求证： ．
(2)探究线段 、 之间的数量关系，并说明理由．
(3)在x轴上是否存在点M，使得 ，且以点M、P、Q为顶点的三角形与 相似，若存在，
请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 时， ； 时， ； 时，
【分析】（1）根据 ，求出 与 交点 的坐标，即可求解；
（2）先求出直线 的表达式为 ，再联立直线 与直线 求出 ，再求出点
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，利用坐标系中两点距离公式求出即可 ，结合 即可求解；
（3）证明 ，得到 或 ，分四种情况画图求解．
【详解】（1）证明：由 知， ， ，
则 ，
则点 、 的坐标分别为： 、 ，
当 时， ，则 ，
即点 ，
∴ ；
（2）解： ，理由：
设直线 的表达式为： ，将 、 代入得：
，解得： ．
∴直线 的表达式为： ，
联立上式和 得
，解得 ，
即点 ，
同理（1）可得，点 ，
∴
∵ ，
∴ ；
（3）分别过点 、 作 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，由（2）知，点 、 的坐标分别为： 、 ，
①若 ，如图2，则 ， ， ，当 时，
∴ ，
∴ ．
∴ ， ，
联立方程组：
，解得：
∴ 时， ，
②若 ， ， ， ，如图3，当 时，
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∴
∴
∴ ， ，
联立方程组：
，解得 ．
∴ 时，
③若 ，当 时，如图4， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ， ，
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联立方程组：
，解得：
∴ ，
④ ， 的情况不存在，
综上， 时， ； 时， ； 时，
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的
关键．
【变式5-3】（1）问题
如图1，在四边形 中，点P为 上一点，当 时，求证： ．
（2）探究
若将 角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在 上，点E在
上，点F在 上，且 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由 可得 ,即可证到 ，然后运用相似三角
形的性质即可解决问题；
（2）由 可得 ,即可证到 ，然后运用相似三角形的性质即
可解决问题；
（3）证明 ,求出 ，再证 ,可求 ,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
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，
，
，
又
，
；
（2）结论 仍成立；
理由：如图2，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
；
（3） ,
,
,
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
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又
即
解得 ．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造 角将问题转化
为一线三角是解题的关键．
【变式5-4】．如图，在 中， ， ，点D，E分别是 ， 上的点，且
，求证： .
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据 ，结合外角定理可得 ，即可证明
；
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的一个外角，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
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∴
【变式5-5】（1）如图1， ，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，
， ， ，求CF的长度为 ．
（2）如图2，在矩形 中， ， ，点E、F、M分别在 上， ，
，当 时，求四边形 的面积．
（3）如图3，在 中， ， ， ，点E、F分别在边 上，
且 ，若 ，求 的长度．
【答案】（1） ，（2） ；（3） ，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．
（1）根据一线三垂直模型容易证明 ，进而由相似三角形性质即可求解；
（2）过点 作 垂足为H，根据（1）可知 ，根据相似三角形性质结合已知求出
， ， ， ，再由四边形 的面积=矩形 的面积 即可求
解；
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（3）延长 到点P使 ，连接 ，过点C作 ，利用等腰三角形三线合一和解三角
形求出 ，再证明 ，得 即可求解．
【详解】解：（1）∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ，
（2）如图，过点 作 垂足为H，
同理（1）得： ，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ， ，
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∵四边形 的面积=矩形 的面积 ，
∴四边形 的面积= ．
（3）延长 到点P使 ，连接 ，过点C作 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ， （不合题意舍去）
∴
【点睛】本题涉及了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、矩形的性质和判定、等腰三角形的判定和
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性质、勾股定理解三角形等知识点，解题关键是根据一线三等角模型构造和证明三角形相似．
【变式5-6】（2023·江西上饶·模拟预测）综合与探究
(1)如图1，在正方形 中，点E，F分别在边 上，且 ，则线段 与 的之间的数量
关系为_____________；
(2)【类比探究】如图2，在矩形 中， ，点E，F分别在边 ， 上，且 ，
请写出线段 与 的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在 中， ，D为 上一点，且 ，连接
，过点B作 于点F，交 于点E，求 的长．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）通过证明 ，利用相似三角形的性质，即可求解；
（3）过点 作 的垂线，过点 作 的垂线，两垂线交于点 ，延长 交 于点 ，勾股定理求得
，根据（2）知 ，求得 ，证明 ，利用相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：结论： ，理由如下：
设 与 相交于点P，如图1中，
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∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）结论： ，理由如下：
∵ ，
∴ ．
在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图3，过点A作 的垂线，过点C作 的垂线，两垂线交于点G，延长 交 于点H．
∴
∵ ，
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∴四边形 是矩形．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）知 ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
【变式5-7】（2024·湖北武汉·校考模拟预测）【试题再现】如图1， 中， ，
，直线 过点 ，过点 、 分别作 于点 ， 于点 ，则 （不用证
明）．
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(1)【类比探究】如图2，在 中， ，且 ，上述结论是否成立？若
成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
(2)【拓展延伸】①如图3，在 中， ，且 ，猜想线段 、 、
之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的 中， ， ，并将直线 绕点 旋转一定角度后与斜边 相交，分
别过点 、 作直线 的垂线，垂足分别为点 和点 ，请在备用图上画出图形，并直接写出线段 、
、 之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．
【答案】(1)成立，见解析 (2)① ，见解析；② 或
【分析】（1）易证 ，则有 ， ，从而可得 ；
（2）①易证 ，则有 ，从而可得 ， ，即可得到
；②同①可得 ， ．由于直线 在绕着点 旋转过程中，点 到
直线 的距离 与点 到直线 的距离 大小关系会发生变化，因此需分情况讨论（如图4、图 ，然后
只需结合图形就可解决问题．
【详解】（1）猜想 ．理由：如图2，
， ． ， ， ．
在 和 中， ， ， ， ， ；
（2）①猜想： ．理由：如图3， ， ．
， ， ．
， ， ， ， ，
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；
② 或 ．同①可得： ， ．
如图4， ；如图5， ．
【点睛】本题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角
和定理、平角的定义等知识，考查了探究能力，渗透分类讨论的思想以及特殊到一般的思想，是一道好题．
【变式5-8】（2023·浙江宁波·二模）【基础巩固】如图1，P是 内部一点，在射线 上取点D、
E，使得 ．求证： ；
【尝试应用】如图2，在 中， ， ，D是 上一点，连接BD，在BD上取点
E、F，连接 ，使得 ．若 ，求CE的长；
【拓展提高】如图3，在 中， ， ，D是 上一点，连接BD，在BD上取
点E，连接CE．若 ， ，求 的正切值．
【答案】【基础巩固】见解析 【尝试应用】 【拓展提高】
【分析】【基础巩固】利用两角相等的三角形相似证明即可；【尝试应用】根据等腰直角三角形的性质可
得 ， ,再推导 ，然后利用等腰三角形的性质得到
，计算解题；【拓展提高】如图所示，在BD上取点F，使 ，作 于点
，则可得到 ，即 ， ，进而证明 ，得到
，设 ，可以求出 解题即可．
【详解】【基础巩固】证明：∵ ,
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，∴ ,
又∵ , , ，∴ ,∴ .
【尝试应用】解：∵ ,
∴ ， ,即： ，
又∵ ， ，即： ，
又 .∴ ,
又∵ ， ，
∴ ,∴ ,∴ ，∴ ，故CE的长为： .
【拓展提高】解：如图所示，在BD上取点F，使 ，作 于点 ，
∵ ，∴ ， .即： ，
又∵ ，∴ ，
又 ， ，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴令 ，则 ∴ ，
又∵ ∴在 中， ，∴ ，
由勾股定理可得： ，
又∵ ，
∴∠ ，∴ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ， .
∴ ，解得： ,∴ ,
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∴ 故 的正切值为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，三角形上午外角，掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
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