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2025年高考一轮复习第三次月考卷01（测试范围：除解析几何、统计概率
外）
（满分150分，考试用时120分钟）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
5． 、 、 是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， ， D． ，
6．清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏
州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状
近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那
么一斗米的体积大约为立方厘米?（ ）
A．10500 B．12500 C．31500 D．52500
7．已知正项等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．8．已知函数 满足对任意的 且 都有 ，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知 ， ， ，则（ ）
A． 的最大值为 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 的最小值为
10．函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A．该图像向右平移 个单位长度可得 的图象
B．函数 的图像关于点 对称
C．函数 的图像关于直线 对称
D．函数 在 上单调递减
11．在长方体 中， ，E是棱 的中点，过点B，E， 的平面
交
棱 于点F，P为线段 上一动点（不含端点），则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．存在点P，使得
C．直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
D．三棱锥 外接球的表面积的取值范围是三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 ， 是虚数单位，复数 是实数．则 的最小值为 .
13．已知直线 与曲线 相切，则 ．
14．已知正四棱锥 的底面边长为 高为 其内切球与面 切于点 ，球面上与 距离
最近的点记为 ，若平面 过点 ， 且与 平行，则平面 截该正四棱锥所得截面的面积为 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知 分别为 的内角 的对边，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为2，求 .
16．如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
17．已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．18．如图 ，将 个完全一样质量均匀长为 的长方体条状积木，一个叠一个，从桌子边缘往外延伸，最
多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢？这就是著名的“里拉斜塔问题”．
①
解决方案如下：如图 ，若 ，则当积木与桌缘垂直且积木重心 恰与桌缘齐平时，其伸出桌外部分
②
最长为 ，如图 ，若 ，欲使整体伸出桌缘最远，在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时，可先
将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平，然后设最下方积木伸出桌外的长度为 ，将最
③
下方积木看成一个杠杆，将桌缘看成支点，由杠杆平衡原理可知，若积木恰好不掉下桌面，则上面积木的
重力 乘以力臂 ，等于最下方积木的重力 乘以力臂 ，得出方程 ，求出 ．
所以当叠放两个积木时，伸出桌外最远为 ，此时将两个积木看成整体，其重心 恰与桌缘齐
平．如图 ，使前两块积木的中心 与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平，便可求出 时积木
伸出桌外的最远距离．依此方法，可求出4个、5个直至 个积木堆叠伸出桌外的最远距离．（参考数
④
据： ， 为自然常数）(1)分别求出 和 时，积木伸出桌外的最远距离．（用 表示）；
(2)证明：当 时，积木伸出桌外最远超过 ；
(3)证明：当 时，积木伸出桌外最远不超过 ．
19．若函数 在区间 上有定义， 在区间 上的值域为 ，且 ，则称 是 的一
个“值域封闭区间”.
(1)已知函数 ，区间 且 是 的一个“值域封闭区间”，求 的取值范
围；
(2)已知函数 ，设集合 .
（i）求集合 中元素的个数；
（ii）用 表示区间 的长度，设 为集合 中的最大元素.证明：存在唯一长度为 的闭区
间 ，使得 是 的一个“值域封闭区间”.
