文档内容
专题 15 立体几何综合解答题型系统化归类与解析
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.......................................................................................................................18
题型一：非常规空间几何体为载体 18
题型二：立体几何探索性问题 26
题型三：立体几何折叠问题 32
题型四：立体几何作图问题 39
题型五：立体几何建系繁琐问题 45
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题 53
题型七：利用传统方法找几何关系建系 59
题型八：空间中的点不好求 67
重难点突破：新定义问题 75空间向量是坐标化空间几何问题的有效工具，且经常作为考试的重点内容。立体几何解答题通常采用
论证推理与计算相结合的方式，以特定的空间几何体为基础，逐步设问，难度逐层递进。解决这类题目的
基本步骤是建立坐标系、确定点的坐标、进行坐标运算，最后得出几何结论。空间向量作为求解空间角的
得力助手，常在解答题中出现，其难度属于中等水平。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第17题，15分
2023年II卷第20题，12分
掌握三类角的概
线线角、二面角、线
念，提升空间推 2023年北京卷第16题，13分
面角
理能力。
2022年I卷第19题，12分 2025年高考预测中，
空间向量与立体几何仍将
2021年II卷第19题，12分
是重点考查内容，且多以
解答题的形式呈现。具体
掌握距离概念， 来说，考试将着重测试以
2024年天津卷第17题，15分
距离问题 熟练进行距离计 下知识点：距离问题，包
2023年天津卷第17题，15分
算与转化。 括点、线、面之间的各种
距离；异面直线夹角、线
面角以及二面角的理解和
计算。在解答题中，第一
2023年乙卷第19题，12分
掌握体积公式， 小题将主要考查线线、线
体积问题 准确求解几何体 2022年乙卷第18题，12分 面、面面垂直的判定定理
体积。 及性质，而第二小题则将
2021年上海卷第17题，14分
重点放在利用空间向量来
计算线面角或二面角上，
2024年I卷第17题，15分
整体难度定位为中等水
2023年I卷第18题，12分 平。
培养空间思维，
探索性问题 解决探索性几何 2021年甲卷第19题，12分
问题。
2021年I卷第20题，12分
2021年北京卷第17题，14分1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三
角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：
（1）作图：作出空间角的平面角．
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
简称：一作、二证、三算．
2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移
到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．
3、求直线与平面所成角的常见方法
（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影
所成的角即为所求．
（2）等积法：公式 ，其中 是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其
中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来
求垂线段的长．
（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．
4、作二面角的平面角常有三种方法
（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线
所成的角，就是二面角的平面角．
（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上
的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．
（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角
就是二面角的平面角．1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
因为 ，故 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，故 ，所以 平面 ，而 平面 ，故 ，而 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
故 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形
ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，
所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合， ， ，
因为 ，所以 ，所以 互相垂直，
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，
， ， ，
，设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1
平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
2 2 2
则 ，即 ，令 ，得 ，即⃗m=(√3,3,1)，
则 ，即 ，令 ，得 ，
即 ， ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .3．（2024年天津高考数学真题）如图，在四棱柱 中， 平面 ，
， ． 分别为 的中点，
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ；
（2）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有 、 、 、 、 、 ，
则有 、 、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 ， ，
分别取 ，则有 、 、 ， ，
即 、 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
（3）由 ，平面 的法向量为 ，
则有 ，
即点 到平面 的距离为 .
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ，
．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
【解析】（1）（1）因为 平面 ，而 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ， 根据平面知识可知 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）如图所示，过点D作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，而平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，所以 平面 ，
根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角，
即 ，即 ．
因为 ，设 ，则 ，由等面积法可得， ，
又 ，而 为等腰直角三角形，所以 ，
故 ，解得 ，即 ．
6．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
【解析】（1）连接 ，设 ，则 ， ，
，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ，
因此 ，则 ，有 ，
又 ， 平面 ，则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
法二：因为 ，过点 作 轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在 中， ，
在 中， ，
设 ，所以由 可得： ，
可得： ，所以 ，
则 ，所以 ， ，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
则 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，得 ，令 ，则 ，所以 ，
，
所以平面 平面BEF；
（3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ，
由 ，得 ，且 ，
又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角，
因为 分别为 的中点，因此 为 的重心，
即有 ，又 ，即有 ，
，解得 ，同理得 ，
于是 ，即有 ，则 ，
从而 ， ，
在 中， ，
于是 ， ，所以二面角 的正弦值为 .
法二：平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故二面角 的正弦值为 .
7．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．【解析】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
8．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．题型一：非常规空间几何体为载体
【典例1-1】如图， 是圆锥的顶点， 是圆锥底面圆心， ， 是底面圆 的两条直径，点 在 上，
．
(1)求证： ；
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值．
【解析】（1）证明：因为 ， 为 的中点，
所以 ，
又 ，且 ， 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
（2）由题意，在 中， ，所以 ，所以 ，
又 为 的中点，所以 ， .
设 ，建立如图所示空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ．
因此 ，
由图可知，二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ．
【典例1-2】（24-25高三上·浙江·期中）如图，四边形 为圆台 的轴截面， ，圆台的
母线与底面所成的角为 ，母线长为 ， 是弧 上的点， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）取 中点 ，连结 ，∵ ， ， ， ，
∴ ， ，∴ 为平行四边形，
∴ ，又 面 ， 面 ，
所以 面 .
（2）法一：过 作 于点 ，易知 圆台底面，
∵ ， ，圆台的母线与底面所成的角为 ，母线长为 ，
∴ ， ，又 ，∴ ， ，
又 ，则 ，所以 ，
又由 ，可得 ， ，
取 中点 ，连结 ， ，所以 ，
则 为二面角 的平面角，
又易知 ， ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为
法二：如图，以 为坐标原点，和 垂直的直线为 轴， 所在直线为 轴， 轴，建立空间直
角坐标系 ，
由法一知， ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
若以 ， ， 为 ， ， 轴建立坐标系，
则 ，
所以 ， ， ，
同理可求得平面 的法向量为 ；
平面 的法向量为 ，
则 .
关键找出三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系．【变式1-1】（2022·安徽黄山·二模）如图，侧面 水平放置的正三棱台 ，
，且侧棱长为 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）延长三条侧棱交于一点O.
因为 ，所以 为 的中位线，
因为侧棱长为 ，所以 .
所以 ，于是同理可得
因为 是平面 内两条相交直线.
所以 ，即 平面 ；
（2）由（1）可知 两两垂直，所以可以以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建
立空间直角坐标系（如图所示）.
则 .
设平面 的一个法向量为 ，
因为 ，
所以 ，令 ，则 ，
即平面 的一个法向量为
取平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
由于二面角 为钝角，则其余弦值为 .1．如图，弧 是半径为a的半圆， 为直径，点E为弧 的中点，点B和点C为线段 的三等分
点，平面 外点F满足 ， ：
(1)证明： ；
(2)已知点Q，R为线段 上的点，使得 ，求当 最短时，平面 和平面
所成二面角的正弦值．
【解析】（1）连接 ，因为弧 是半径为a的半圆，
为直径，点E为弧 的中点，所以 ，
在 中， ，
在 中， ，且点C是底边 的中点，
所以 ， ，
所以在 中，有 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以 .（2）在平面 内，过点C作 交弧 于G，
以点C为原点，分别以 ， ， 为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ，
设 ，因为 即 ，
所以 ，
则 ， ，
，
所以当 时， 取得最小值，此时 ，
设 ，则 ，
由 得 ，则 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
所以 ，令 则 ，所以 ，又由（1）知，平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
设平面 与平面 所成二面角的大小为 ，则 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
题型二：立体几何探索性问题
【典例2-1】如图，正三棱柱 中， ，点 为 的中点.
(1)证明：平面 平面
(2)在棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）在正三棱柱 中，因为点 为 的中点，
则 ，
又 平面 ， 平面 ，则有 ，
而 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
（2）在平面 内过点 作 交 于点 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，则点 即为所要找的点，
如下图所示，因为 ， ，
所以 与 相似，
因此 ，
即有 ，于是 ， ，所以 .
【典例2-2】（24-25高三上·上海·期中）如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径，
为底面圆 的内接正三角形，点 为母线 的中点， 为 上一点，且 平面 ，
．(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)在线段 上是否存在一点 ，使得二面角 为直二面角？若存在，确定点 的位置；若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知， 平面 平面 ，则 ， 为 中点，
又 ， ，
，则 ．
过 作DB平行线， 如图以此平行线所在直线为 轴， ， 为原点建立空间直角坐标
系，
则 ，
所以 ，
设平面 法向量为 ，则 ，则 ，
取 ，则直线 与平面 所成角 的正弦值为 ；
（2）不存在
， ，
所以 ，
设平面 法向量为 ，
则 ， 则 ，令 ，则 ，
取 ，平面 法向量为 ．
因为二面角 为直二面角， ，解得 ，
又因为 ，不符题意．
所以在线段 上不存在一点 ，使得二面角 为直二面角.
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面
角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【变式2-1】如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， ，
， ， ， 是棱 的中点．(1)求证： 面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)在线段 上是否存在一点 ，使得直线 和平面 所成角为 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由．
【解析】（1）以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ，
,
,
，且 平面 平面
（2）由（1）得， ，
异面直线 与 所成角的余弦值为 ．（3）由（1）得， , ．
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)，
由 得， ，
令 ，则 ，
设 ，
．
整理得， ，解得 或 存在点 或 ．
1．如图1，在 中， ， 分别为 ， 的中点， ， .将 沿 折起
到 的位置，使得 ，如图2.
(1)求证：平面 平面 ；(2)线段 上是否存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由.
【解析】（1）设 是 的中点， 是 的中点，如下图，连接 ，则 ，
则 ， ，
由于 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以平面 平面 ；
（2）由（1）以及已知条件可知 两两相互垂直，
则以 为坐标原点， 正方向为 轴正方向，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，假设在线段 上存在点 ，使得直线 和 所成角的余弦值为 ，
设 ，则 ，
，
，
整理可得： ，解得： ，
存在满足题意的点 ，此时 .
题型三：立体几何折叠问题
【典例3-1】如图，在矩形 中，点 分别在线段 上， .沿直线 将
翻折成 ，使平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)点 ， 分别在线段 、 上，若沿直线 将四边形 向上翻折，使 与 重合，求线段
的长.
【解析】（1）取 中点 ，连接 .
∵ ，∴ ，由折叠得 .
∵ 平面 ，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ .
（2）∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，∴ 平
面 .
∵ ，
.
∴
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ，
∴ ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 .
由题意得，平面 的法向量为 ，
∴ ，
由图可得二面角 的平面角为锐角，∴二面角 的余弦值为 .（3）连接 .
设 ，则 .
∵翻折后 与 重合，∴ ，
由（2）得， ， ，
∴ ，解得 ，即 .
【典例3-2】如图1，菱形 的边长为4， ， 是 的中点，将 沿着 翻折，使点
到点 处，连接 ，得到如图2所示的四棱锥 .
(1)证明： ；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的正弦值.
【解析】（1）在菱形 中，由 ，得△ 是等边三角形，由 是 的中点，得
，
在四棱锥 中，由 ， , 平面 ，
得 平面 ，而 平面 ，
所以 .
（2）菱形 的边长为 是 的中点， ， ，
由（1）知 平面 ，
以 为坐标原点，以 为 轴正方向， 为 轴负方向建立空间直角坐标系（如图）则 ，设 ， ，
由 ， ，得 ，解得 ，即 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的正弦值 .
1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．
2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．
【变式3-1】在平面四边形 中， ， ， ，将 沿 翻折
至 ，得到如图所示的三棱锥 ．
(1)证明： ；
(2)当三棱锥 的体积为12时，求二面角 的余弦值．【解析】（1）如图①，取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ；
（2）过点 作 平面 ，垂足为 ，连接 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为三棱锥 的体积为12，
所以
，
解得 ，
因为 ，所以 ，
则 ， ．
解法一：如图①，以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴，
过点 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
①
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，
则平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，
则平面 的一个法向量为 ，
则 ，
由图知二面角 为钝二面角，
故二面角 的余弦值为 ．
解法二：如图②，易知 ，
则过 分别作 的垂线，垂足为 ，
则 即为二面角 的平面角，且 ，
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，结合（1）中 ，
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 ，
在 中， ，
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
由等面积法得 ，
解得 ，
则 ，
则在 中，由余弦定理得 ，
故二面角 的余弦值为 ．
②
1．如图，在平行四边形 中， 为 的中点，沿 将 翻折至
位置得到四棱锥 为 上一动点.
(1)若 为 的中点，证明：在翻折过程中均有 平面 ；(2)若 ，①证明：平面 平面 ；
②记四棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，若 ，求点 到平面 的距离.
【解析】（1）取PA中点G，连FG，EG，
因为 分别为 的中点，则 ∥ ，且 ，
由题意可知： ∥ ，且 ，
则 ∥ ，且 ，可知四边形CFGE为平行四边形，
则 ∥ ，且 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
（2）①在四边形 中，连接 ，
由题意可知： 是以边长为2的等边三角形，则 ，
且 ，则 ，
可知 ，即 ，且 ，
若 ，且 ，则 ，可知 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ；
②取 中点 ， 中点 ，连 ，
则 ， ∥ ，可得 ，因为 为等边三角形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为平行四边形 的高即为等边 的高 ，
设点 到平面 的距离为 ，
若 ，则 ，解得 ，
即 ，可知 为 中点，
以 为原点，OA，OH， 别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以点 到平面 的距离 .题型四：立体几何作图问题
【典例4-1】如图，在四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD为梯形， ，
， ， ．
(1)在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，
请说明理由；
(2)若四棱锥 的体积是 ，求直线BP与平面PCD所成角的大小．
【解析】（1）不能．
在梯形ABCD中， ， ， ，则AD不平行于BC，
直线AD与BC必相交于一点，而 平面 ，则直线AD与平面 有公共点
又 平面 ，因此直线 与平面 相交，
所以在侧面PBC中不能作AD的平行线.
（2）过点B作 于H，连接PH，
由 平面ABCD， 平面ABCD，得 ，而 平面PCD，
则 平面PCD，即PH是BP在平面PCD内的射影， 是直线BP与平面PCD所成角，
在 中， ， ，则 是等边三角形， ， ，
又 ，则 ，即 ，在 中， ， ，又四棱锥 的体积是 ，
即 ，解得 ，
在 中， ，因此 ，
所以直线BP与平面PCD所成角大小是 .
【典例4-2】（23-24高三上·河北承德·期中）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，
分别是 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 经过点 ，且与棱 交于点 ．请作图画出 在棱 上的位置，并求出 的值．
【解析】（1）连接 ，则 为 的中点，
因为 为 的中点，所以 ．
又 平面 平面 ，
所以 平面 ．
（2）如图，过 作直线 与 平行，
则 ，故 共面．
延长 与 交于点 ，连接 ， 与 的交点即为点 ．
因为底面 是正方形， 是 的中点，
所以 ，且 ，
因为 是 的中点，所以 ，则 ，所以 ．
（1）利用公理和定理作截面图
（2）利用直线与平面平行的性质定理作平行线
（3）利用平面与平面垂直作平面的垂线
【变式4-1】如图，已知底面为平行四边形的四棱锥 中，平面 与直线 和直线 平行，
点 为 的中点，点 在 上，且 .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求作过 作四棱锥 的截面，使 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：
用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【解析】（1）∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形.
（2）
如图，延长 ，与 交于点 ，过点 作直线 ,则直线 为平面 和平面 的交线，延长
，交 于点 ，连接 ，与 交于点 ，连接 . 点 为 的中点，点 为 的中点, 是
∵ ∴
的一条中位线∴ ，又∵ 平面 , 平面 , 截面 .
∴
故平面 即为所求截面.
1．在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ，三棱锥的体积为 ，平面 与平面 的交线为 .
(1)求四棱锥 的体积，并在答卷上画出交线 （注意保留作图痕迹）；
(2)若 ， ，且平面 平面 ，在 上是否存在点 ，使平面 与平面
所成角的余弦值为 ？若存在，求 的长度；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
延长 ， ，设 的延长线和 的延长线交点为 ，连接 ，
则平面 和平面 的交线 为直线 .
（2）取 的中点 ，连接 ，
∵ ， 是 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
， ，解得 .
以点 为坐标原点，以直线 ， 分别为 ， 轴，
以过点 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示.则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即
令 ，可得 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为
∴ ，
整理得 ，解得： 或 ，
即在直线 上存在点 ，平面 与平面 的夹角的余弦值为 ，此时 或 ，
则 或 .
题型五：立体几何建系繁琐问题
【典例5-1】如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， 分别为
的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 ．
（1）证明：平面 ；
（2）设 为 的中心，若 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦
值．
【解析】（1）因为侧面 是矩形， 分别为 的中点，所以 ， ，从而
，
又 是正三角形， 是 中点，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，而 ，
所以 ，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 ；
（2） ，连接 ，
平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 ，又由三棱柱
的性质得 ，所以 是平行四边形，所以 ，
是 的中心，则 ，所以 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
由三棱柱性质知四边形 是等腰梯形，如图， ，作 于 ，则 ，又
，
所以 ， ．
由（1）知 是平面 的一个法向量，而 是 与 的夹角，
所以直线 与平面 所成角的正弦值等于 ．
【典例5-2】《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世
纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学
形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在三棱锥
中， 平面 .（1）从三棱锥 中选择合适的两条棱填空：________ ________，则三棱锥 为“鳖臑”；
（2）如图，已知 ，垂足为 ， ，垂足为 ， .
（i）证明：平面 平面 ；
（ii）设平面 与平面 交线为 ，若 ， ，求二面角 的大小.
【解析】（1）因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体，又 平面 ，所以 ，
， ；即 ， 为直角三角形；
若 ，由 ， 平面 ，可得： 平面 ；
所以 ，即 ， 为直角三角形；满足四个面都是直角三角形；
同理，可得 或 或 ，都能满足四个面都是直角三角形；
故可填： 或 或 或 ；
（2）（i）证明：
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ，
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 .
（ii）由题意知，在平面 中，直线 与直线 相交.
如图所示，设 ，连结 ，则 即为 .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
∴ ， .
∴ 即为二面角 的一个平面角.
在 中， ， ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴二面角 的大小为 .利用传统方法解决
【变式5-1】如图，在三棱柱 中，底面是边长为 的正三角形，侧棱长为a，
，平行于 和 的平面分别与 交于 四点．
(1)证明：四边形 是矩形；
(2)求三棱锥 的体积（用含a的式子表示）；
(3)当实数a变化时，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【解析】（1）因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，同理 ，则 .
由三棱柱 可知，平面 平面 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形.
由 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 又 平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，所以 .
过 作 平面 ，垂足为 ，在平面 内过 作 ，垂足为 ，
作 ，垂足为 ，连接 ，
所以 平面 ， ，同理 ， ， .
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
则 ，同理 .
在 与 中， 为公共边，且 ，
故 与 全等，故 ，
在 与 中， ，又 为公共边，
则 与 全等，则 ，
所以 即为 的角平分线，
又 为等边三角形，故 ，又 ，
因为 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ， ，
所以有 ，故四边形 为矩形.
（2）由 为等边三角形，且边长为 ，则 ，
在 中， ；在 中， ；在 中， ；
所以 ，
即 ，则 ，
则三棱锥的高 ，
.
（3）由（1）知 ， ，则 ，
所以在 中， ，
过 作 平面 ，垂足为 ，
则三棱柱的高也即 ，由（2）知 ，
故 即为直线 与平面 所成角，
则 ，
由 ，则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .1．四面体 ， ．
(1)求 的面积；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
(3)求四面体 的外接球半径．
【解析】（1）因为 ，
所以由余弦定理可得 ， ，
，
所以 ， ，
，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ；
（2）过 作 平面 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
因为 平面 ，所以 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，同理可得 ，
又因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 是 的平分线，
因为 ，所以 ，进而在 中，可得 ，
所以 ，
因为 ，所以三角形 是直角三角形，
设点 到平面 的距离为 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以OC与平面ABC所成角的正弦值为 ；
（3）三角形 是直角三角形，则设三角形 斜边 的中点为 ，连接 ，
过 作 平面 ，因为四面体 的外心在直线 上，设球心为 ，
在 中，因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，设 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
解得 ，所以外接球的半径为 .
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
【典例6-1】（2018·广西桂林·二模）如图，四棱锥 中，底面 为边长是2的正方形， ，
分别是 ， 的中点， ， ，且二面角 的大小为 .
(1) 求证： ；
(2) 求二面角 的余弦值.
【解析】（1）证明：作 于点 连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
即 ， ，又 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
.
∴
（2）∵二面角 的大小为 ，
∴平面 平面 ，平面 平面 ， ，∴ 平面 .
以点 为原点， , , 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 ，
,
∵
.
∴
∴ ，即 .
∴ ， ， ， .
, ，
∴
设平面 的法向量 ，由 ，得
令 ，得 .
易知 为平面 的一个法向量.
设二面角 为 ， 为锐角，则 .
【典例6-2】如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,点 是 的中点,连接
．
（1）证明:平面 平面 ;
（2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】解:（1）证明:因为 是等边三角形, ,
所以 ,可得 ．
因为点 是 的中点,则 , ,
因为 , 平面PBD, 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,
所以平面 平面 ．
（2）如图,作 ,垂足为 连接 ．因为 ,
所以 为二面角A-BD-C的平面角．
由已知二面角 为 ,知 ．
在等腰三角形 中,由余弦定理可得 ．
因为 是等边三角形,则 ,所以 ．
在 中,有 ,得 ,
因为 ,所以 ．
又 ,所以 ．
则 , ．
以 为坐标原点,以向量 的方向分别为 轴, 轴的正方向,
以过点 垂直于平面 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,
则 , ,向量 ,
平面 的一个法向量为 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
构造垂直的全等关系
【变式6-1】如图，在四面体 中，已知 ， ，(1)求证： ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）∵ ， ， . ，
∴
∴ ，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， .
又∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ，又 平面 ，∴
.
（2）过 作 于点 ，则 平面 ，
又∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 . 过 作 于点 ，连接 .
∵ 平面 ， 平面 ，∴
又 ， 平面 ，∴ 平面 ， 平面
∴ ，根据二面角的定义，∴ 为二面角 的平面角.
连接 ，∵ ，由于 ，∴ .
∵ ， ，∴ ， .∵ ， ，∴ ，根据等面积法： .
∴ ，显然 是锐角，根据同角三角函数的关系
易得： ，故二面角 的余弦值为 .
1．如图，四棱锥 中，四边形 是边长为2的菱形， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当直线 与平面 所成的角为30°时，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）过点 作 ，垂足为 ，连结 ， .
在 中，由 ， 得， .
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，又 ，所以 ，即 .
又 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知， 为直线 与底面 所成角，则 ，所以 .以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，则 ， ， ，
，所以 ， ，
由于 ，所以 .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，解得 ，
令 得 .
显然平面 的一个法向量为 ，
所以 ，
即平面 与平面 所成二面角的余弦值为 .
题型七：利用传统方法找几何关系建系
【典例7-1】（24-25高三上·河北衡水·期中）如图，四棱锥 的底面 为正方形，E，F分别
为 ， 的中点，且平面 平面 .(1)证明： ；
(2)若 ，当四棱锥 的体积最大时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【解析】（1）
连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 分别为 的中点，
所以 ， ，
因为四边形 为正方形，
所以 ， 为 中点，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
因为 为 中点，
所以 .（2）设 ，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，
由（1）可知，点 在 平面内，设 ，
由 ，
得 ，即 ，
所以当 时，四棱锥 的体积最大，此时 ，
则 ， ， ， , ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
【典例7-2】四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，侧面 为正三角形；(1)当 时，线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
(2)当 与平面 所成角最大时，求三棱锥 的外接球的体积．
【解析】（1）因为底面 为等腰梯形， ，
所以 ， ， ，所以 .
所以 ，
又 ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以平面 平面 .
取 中点 ，因为 是等边三角形，所以 ，
平面 平面 ，
所以 平面 .
再取 中点 ，连接 ，则 ，所以 .
所以可以 为原点，建立如图空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ， ..
设 ，可得
所以 ，取平面 的法向量 .
因为 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以：线段 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 .
（2）当平面 平面 时, 与平面 所成角为 .
当平面 与平面 不垂直时，过 做 平面 ，连接 ，
则 为 与平面 所成角，因为 ，
， ， ，所以 .
故当平面 平面 时， 与平面 所成角最大.
此时，设棱锥 的外接球球心为 ， ,
所以 ，解得 .
所以三棱锥 的外接球的体积为： .
利用传统方法证明关系，然后通过几何关系建坐标系．
【变式7-1】如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面圆 的内接正三角形，且 的边长为 ，点 在母线 上，且 .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面
的距离.
【解析】（1）设 ，连接 ，
为底面圆 的内接正三角形， ， 为 中点，
，
又 .
，且 .
平面 平面 ， ，
平面 平面 ， 平面 .（2） 为 中点，
又 ， 为 中点， ， ，
，则 ，
以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，
，
设 .
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)，
则 令 ，解得 ，
设直线 与平面 所成夹角为 ，
，
令 ，则 ，
，
当 ，即 时， ，，
此时 ，
点 到平面 的距离 .
1．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 、 的边长都是 ，且它们所在的平面互相垂直，
活动弹子 、 分别在正方形对角线 和 上移动，且 和 的长度保持相等，记
.
(1)证明： 平面 ；
(2)当 为何值时， 的长最小并求出最小值；
(3)当 的长最小时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）证明：因为四边形 为正方形，则 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以， 平面 ，
又因为四边形 为正方形，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下
图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)、 、 、 ，
因为 ，所以 ， .
则 ，易知平面 的一个法向量为 .
因为 ，所以 .
又 平面 ，所以 平面 .
（2） ，其中 .
，
当 时， 最小，最小值为 .
（3）由（2）可知，当 、 分别为 、 的为中点时， 最短，
此时 、 ，设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )， ， ，
1 1 1
则 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )， ， ，
2 2 2
则 ，取 ，可得 ，
所以， ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
题型八：空间中的点不好求
【典例8-1】如图，在斜三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，侧面 为菱形，
.
(1)求证： ；
(2)若 为侧棱 上（包含端点）一动点，求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.【解析】（1）如图所示，
取 的中点为 为菱形，且 ，
所以 为等边三角形， ，
又 为等边三角形，则 ，
所以 平面 ，
又 平面 平面 ，
所以 .
（2）如图所示，
在 中， ，由余弦定理可得
，所以 ，
由（1）得 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以在平面 内作 ，则 平面 ，
以 所在直线为 轴､ 轴､ 轴建立空间直角坐标系如图所示：则 ，
设 是平面 的一个法向量， ，
，则 ，即 ，
取 得 ，
设 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
令 ，则 在 单调递增，
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 .
【典例8-2】如图，在平行六面体 中，底面 是矩形， ，
，点E，F分别为 ， ，的中点，且 .(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长度.
【解析】（1）设 ，则 ，
则 ，
所以 ，
因为 为 的中点，
所以 ， ，
则 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）由 ，可得 ，则 ，
如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
解得 ，
所以 的长度为 .
方程组思想
【变式8-1】如图，在四棱锥 中， ， ， 与 均
为正三角形.(1)证明： 平面 .
(2)证明： 平面 .
(3)设平面 平面 ，平面 平面 ，若直线 与 确定的平面为平面 ，线段
的中点为 ，求点 到平面 的距离.
【解析】（1）因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，则四边形 为正方形.
过 作 平面 ，垂足为 .
连接 ， ， ， .
由 和 均为正三角形，得 ，
所以 ，即点 为正方形 对角线的交点，
则 .
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，
又 ，且 平面 , 平面 ,
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 .
因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，
因此 .
因为 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（3）设 ，连接 ，则直线 为直线 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 .
由（1）知， ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间
直角坐标系，
则 ， ， ，P(0,0,1)， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，
取 ，得 .
又 ，
所以点 到平面 的距离 .1．如图五面体 中，四边形 是菱形， 是以角 为顶角的等腰直角三角形，点 为棱
的中点，点 为棱 的中点
(1)求证： 平面
(2)若点 在平面 的射影恰好是棱 的中点，点 是线段 上的一点且满足 ，求平面
与平面 所成角的余弦值．
【解析】（1）
证明：取 的中点 ，连接 ，如图所示，
是 的中点，点 为棱 的中点，
，
而 平面 ， 平面 ，
平面 ,
菱形 ， ， ，
又 分别是 的中点，
四边形 是平行四边形
，而 平面 ， 平面 ，平面 ，
又 ， 平面 ,
平面 平面 ，而 平面 ，
平面 .
（2）
因为点 在平面 的射影恰好是棱 的中点，所以取 的中点 ，
连接 ，则 平面 ，因为 是以角 为顶角的等腰直角三角形，所以 .
故以 点为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示.
根据 ，可得 ，不妨设 ，
则 ，
，所以 ，
，
,
平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
， ,设平面 与平面 所成角 ，则
则 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
重难点突破：新定义问题
【典例9-1】离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P
处的离散曲率为 ，其中 为多
面体M的所有与P相邻的顶点，且平面 …平面和平面 为多面体M的所有以P为顶点
的面．现给出如图所示的三棱锥 ．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若PA 平面ABC， ，三棱锥 在顶点C处的离散曲率为 ．点Q在
⊥
棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为 ，求BQ的长度
【解析】（1）根据离散曲率的定义得 ，
，又因为
所以 ．
（2）∵ 平面 平面 ，
∴ ，
又∵ ， 平面 ，
∴ 平面
∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，即
∴ ，∴ ，
过点 作 交 于 ，连结 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
依题意可得， ，
，，
设 ，则 ，
在 中，
，
又 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
解得： 或 （舍）
故 .
【典例9-2】空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标
系， 分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（ 轴、 轴、 轴）正方向的单位向量，若向量
，则 与有序实数组 相对应，称向量 的斜坐标为 ，记作 ．如图，
在平行六面体 中， ， ， ， ．以
为基底建立“空间斜坐标系”．(1)若点 在平面 内，且 平面 ，求 的斜坐标；
(2)若 的斜坐标为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解析】（1）由题可知 ， ，则 （提示：斜坐标的本质是将空间中
的向量用基底表示后的系数），
由题可知 ， ， ．
平面 ，
即
则 ， ，
则 的斜坐标为 ．
（2）由题可得 ， ，
设平面 的法向量为 （提示：设斜坐标系下的法向量，通过求解法向量方程与赋值求
得法向量），
由
得即
取 ，可得 ， ，
即 ．
则 ．
由（1）可知 平面 ，
且 ，
则 ，
，
则 ，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决
问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读
出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究
图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动
态地去阅读图形．
【变式9-1】三余弦定理：设A为平面 内一点，过点A的斜线 在平面 上的正投影为直线 ．
为平面 内的一条直线，记斜线 与直线 的夹角（即直线 与平面 所成角）为 ，直线 与直
线 的夹角为 ，直线 与直线 的夹角为 ，则 ．三余弦定理描述了线面角是斜
线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理．
(1)证明三余弦定理；(2)如图，已知三棱柱 ， 为正三角形， ，求直线 与底面 所
成角的正弦值；
(3)已知平行六面体 ，记 为平行六面体体积， 为平行六面体表面积， 为平行六面体棱
长总和，求证： ．
【解析】（1）如图，不妨设 在平面 的射影为 ，则 ，过点 作 交直线 于点 ，
连接 ，
即为斜线 与平面 所成角 ，
即为斜线 在平面 的射影直线 与平面 内的直线 所成角 ， 即为斜线 与平面
内的直线 所成角 ，
， ， ，
又 ， ， ， 平面 ，
平面 ，平面 ， ，
根据几何关系可得 ， ，
．
（2）取 中点为 ，连接 ， ， ， ，易知 ，
， ．
又 ， ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 平面 ，
直线 在平面 上的射影必在交线 上，
直线 与底面 所成角为 ，
， ，
由三余弦定理得 ，得 ，
，
即直线 与底面 所成角的正弦值为 ．（3）证明：设 ， ， ， ， ， ，直线 与底面 所
成角为 ，直线 在底面 投影与AB夹角为 ， 在底面 投影与AC夹角 ．
由平行六面体的对称性，不妨令 ， ，
由三余弦定理 ，
则 .
由题意得 ，
，
，
，
由 ，可得：
则，
当且仅当 且 时等号成立．
1．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 的半径为 . 、 、 为球面上三
点，劣弧 的弧长记为 ，设 ，表示以 为圆心，且过 、 的圆，同理，圆 ， 的劣弧 、
的弧长分别记为 、 ，曲面 （阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角 ， ，
分别为 、 、 ，则球面三角形的面积为 .
(1)若平面 、平面 、平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
(2)若平面三角形 为直角三角形， ，设 ， ， .则：
①求证：
②延长 与球 交于点 .若直线 ， 与平面 所成的角分别为 ， ， ， ，
为 中点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的最小值，及此时平面 截球 的面积.
【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有 ，
所以球面三角形ABC面积为 .
（2）①由余弦定理有： ，且 ，
消掉 ，可得 ；
②由AD是球的直径，则 ，
且 ， ， 平面BCD，
所以 平面BCD，且 平面BCD，则 ，
且 ， 平面ABC，可得 平面ABC，
由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ，所以 ，
不妨先令 ，则 ，
由 ， ， ，
以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标
系，
设 ，则 ，
可得 ， ，则 ，
设平面OBC法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
设平面EST法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
要使sinθ取最小值时，则 取最大值，
因为
，
令 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 取等．
则 取最大值 ， 为最小值，
此时点 ，可得 ， ，设平面AEC中的法向量 ，则 ，
取 ，则 ，可得 ，
可得球心O到平面AEC距离为 ，
设平面AEC截球O圆的半径为r，则 ，
所以截面圆面积为 .
