文档内容
4.4.2 一次函数的应用 教学设计
1.教学内容
本次教学内容选自北师大版八年级数学上册，是 “一次函数的应用” 的第2课时.教材在学生已经掌
握一次函数的概念、图象和性质的基础上，进一步深入探讨一次函数与实际问题的结合，以及一次函数与
一元一次方程的内在联系.
2.内容解析
本节课是一次函数知识的重要应用延伸，既是对前面一次函数图象和性质的巩固，又为后续学习一次
函数与二元一次方程组、一元一次不等式的关系奠定基础，同时也是连接数学知识与实际生活的关键桥梁，
能帮助学生体会数学的实用性，培养用数学知识解决实际问题的意识和能力.对于 “借助单个一次函数图
象解决实际问题”，核心是让学生学会从图象中提取有效信息，如图象与坐标轴交点的意义、图象上某一
点横纵坐标代表的实际含义等，进而根据这些信息解决诸如 “求特定行驶路程下的剩余油量”“判断干旱
持续多久水库蓄水量会达到某个值” 等问题.而 “一次函数与一元一次方程的关系”，则需要引导学生理
解从 “函数值” 和 “函数图象” 两个角度的关联：从函数值角度，当一次函数y=kx+b（k=0）的函数
值y=0时，对应的自变量x的值就是一元一次方程kx+b=0的解；从函数图象角度，一次函数图象与x轴交
点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：借助单个一次函数图象提取信息，解决实际问题；理解一
次函数与一元一次方程的关系，并利用这种关系解决相关问题.
1. 教学目标
(1) 知识与技能目标：学生能借助单个一次函数图象，准确提取信息并解决实际问题；理解一次函数与一
元一次方程的关系，能利用这种关系求解一元一次方程的解.
(2) 过程与方法目标：通过分析实际情境案例、小组讨论、合作探究等过程，培养学生观察图象、提取信
息、分析问题和解决问题的能力；在探究一次函数与一元一次方程关系的过程中，提升逻辑思维能力
和数形结合思想的应用能力.
(3) 情感态度与价值观目标：感受一次函数在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，增强
学习数学的兴趣和自信心；在小组合作学习中，培养团队协作意识和沟通能力.2. 目标解析
(1) 对于 “借助单个一次函数图象解决实际问题” 这一目标，达成标志是学生面对如 “摩托车剩余油量
与行驶路程关系图象” 时，能准确说出图象与纵轴交点表示的是 “初始油量”，与横轴交点表示的
是 “油量为 0 时的行驶路程”，并能根据图象求出 “行驶一定路程后剩余油量” 或 “剩余一定油
量时可行驶的路程” 等问题.
(2) “理解一次函数与一元一次方程的关系” 目标的达成标志，是学生能清晰阐述：对于一次函数(y =
2x - 4)，当(y = 0)时，求解(x)的过程就是解一元一次方程(2x - 4 = 0)，且能指出该函数图象与(x)轴
交点的横坐标就是方程的解；同时，能根据给定的一元一次方程，构造出对应的一次函数，并通过分
析函数图象或计算函数值求出方程的解.
(3) 过程与方法目标的达成，体现在学生参与课堂案例分析、小组讨论时，能积极发表自己的观点，主动
与同伴交流思考过程，在教师引导下，能逐步总结出借助一次函数图象解决实际问题的步骤，以及一
次函数与一元一次方程关系的推导过程.
(4) 情感态度与价值观目标的达成，可通过课堂学生的参与度、课后反馈等方式体现，如学生能主动分享
生活中与一次函数相关的实例，对用数学知识解决实际问题表现出积极的态度.
（一）学生已有知识及掌握情况
学生在学习本节课之前，已经学习了一次函数的概念、图象的画法（列表、描点、连线）以及一次函
数的性质（k、b对图象位置和函数增减性的影响），具备了一定的一次函数基础知识.同时，学生在七年
级已经学习了一元一次方程的概念和解法，能熟练求解简单的一元一次方程.
从实际掌握情况来看，大部分学生能够准确画出给定一次函数的图象，能根据一次函数的表达式判断
函数的增减性，也能快速解出如3x+6=0、2x−5=3等基础一元一次方程.但部分学生在将一次函数知识与实
际生活情境结合方面存在不足，对于从图象中提取有效信息解决实际问题的能力较弱，尤其是当图象所反
映的实际情境较为复杂时，容易混淆横纵坐标代表的实际意义.
（二）预估教学中遇到的困难以及解决困难的办法
1．困难一：无法准确理解一次函数图象中横纵坐标所代表的实际意义，导致在解决实际问题时无从
下手.
解决办法：在教学过程中，针对每个实际情境案例（如摩托车剩余油量与行驶路程的关系），先引导
学生明确题目中两个变量分别是什么，哪个变量作为横坐标，哪个作为纵坐标，并在图象上标注清楚.通过
提问的方式强化学生对横纵坐标意义的理解，如 “图象中横坐标为 50 时，对应的纵坐标是多少？它代表
什么意思？” 同时，展示图象时，先呈现情境描述，再逐步画出图象，让学生经历 “情境 — 变量 —图象” 的构建过程，加深对图象与情境对应关系的理解.
2．困难二：难以理解一次函数与一元一次方程之间的内在联系，无法将 “求函数值为 0 时的自变量
值” 与 “解一元一次方程” 联系起来.
解决办法：采用 “从具体到抽象” 的教学思路，先给出具体的一次函数表达式（如y=2x−4），让学
生计算当y=0时x的值，再让学生解一元一次方程2x−4=0，对比两个过程的结果，引导学生发现 “求y=0
时x的值” 与 “解一元一次方程2x−4=0” 是同一个过程.接着，结合该一次函数的图象，让学生观察图
象与x轴的交点坐标，发现交点的横坐标就是刚才计算出的x的值，从而从 “函数值” 和 “函数图象”
两个角度建立一次函数与一元一次方程的联系.之后，再通过多个类似的例子进行巩固，帮助学生抽象出一
般规律.
3．困难三：在解决复杂实际问题时，不能有条理地分析问题，不知道如何将实际问题转化为一次函
数相关问题.
解
决 办
法：在教学中，为学生总结 “借助一次函数图象解决实际问题” 的步骤：第一步，明确实际问题中的两
个变量，确定横纵坐标代表的意义；第二步，从图象中提取关键信息，如交点坐标、特殊点的坐标等；第
三步，根据提取的信息，结合实际问题的要求进行计算或判断；第四步，验证结果的合理性.在讲解例题时，
按照这四个步骤逐步引导学生分析，让学生形成清晰的解题思路.同时，设计小组合作探究活动，让学生在
小组内共同分析复杂问题，相互交流解题思路，教师巡视指导，帮助学生解决遇到的问题.
1.温故知新
(1) 提问：“确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？”，引导学生回忆
“正比例函数需 1 个条件（非原点的点或一组对应值），一次函数需 2 个条件（两个点或两组对应
值）”.
(2) 追问：“我们常用什么方法求一次函数的解析式？”，学生回答 “待定系数法” 后，快速回顾待定
系数法的步骤（设解析式→代入已知点→解方程组→写解析式）.
看图思考：
从一次函数图象可获得哪些信息?一次函数
（1）由一次函数的图象：可确定k 和 b 的符号；
（2）可直接观察出:x与y 的对应值；
（3）由一次函数的图象：可估计函数的变化趋势；
（4）由一次函数的图象与y 轴的交点的坐标可确定b值，待定系数法可确定一次函数的图象的表达式.
（设计意图：通过复习一次函数解析式的确定条件和方法，为后续 “根据实际问题求函数关系式” 奠定
基础，避免学生因基础不牢影响新内容学习.）
（教学建议：提问时关注基础薄弱的学生，若回答不完整，可让其他学生补充，确保全体学生回忆起核心
知识点.）
探究点1 利用一次函数图象解决实际问题
某种摩托车油箱加满油后，剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）的关系如图所示，回答下列问题：
问题（1）：油箱最多可储油多少升？
师生互动：引导学生观察图象，找到x=0时的y值（x=0,y=10），解释 “x=0表
示未行驶，此时油量最多，即最大储油量 10L”，教师板书 “x=0→初始量”.
问题（2）：一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
师生互动：引导学生找到y=0时的x值（y=0,x=500），解释 “y=0表示油量耗
尽，此时行驶的路程就是最远路程 500km”，板书 “y=0→极限量”.
问题（3）：摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油？
师生互动：引导学生选取图象上两个点（如(x=100,y=8)和(x=200,y=6)），计算油量变化（8-6=2L）和路程
变化（200-100=100km），得出 “每行驶 100km 消耗 2L”，板书 “两点差→单位变化量”.
问题（4）：剩余油量小于 1 升时自动报警，行驶多少千米后报警？
师生互动：先引导学生尝试从图象中找 y=1 对应的 x 值（约 450km），再用待定系数法求关系式
（y=-0.02x+10），代入y=1解方程得x=450，对比 “图象估算” 与 “关系式计算” 的结果，强调 “关
系式计算更精准”.
（设计意图：通过 4 个层层递进的问题，让学生掌握 “从图象提取初始量、极限量、单位变化量”
的方法，同时对比 “图象估算” 与 “关系式计算”，体会两种方法的优劣，为后续综合应用奠定基
础.）
（教学建议：分析问题时，先让学生尝试从图象直接获取信息（如问题 1-3），再引导用关系式验证（如问题 4），避免直接讲解关系式；对 “单位变化量” 的计算，选取易读的点（如 x 为 100 的倍
数），降低计算难度.）
探究点2 一元一次方程与一次函数的联系
水库蓄水量 V（万 m³）与干旱持续时间 t（天）的关系如图所示，回答下列问题：
问题（1）：干旱开始时蓄水量是多少？
师生互动：让学生直接从图象读取 “t=0 时 V=1200”，或用待定系数法代入
(0,1200) 和 (40,400)，得V = -20t + 1200验证，强化两种方法的一致性.
问题（2）：干旱 10 天、23 天的蓄水量是多少？
师生互动：引导学生用关系式计算（t=10 时，V = -20×10 + 1200 = 1000；
t=23 时，V = -20×23 + 1200 = 740），并说明 “图象读取不够准确时，用关
系式计算更精准”.
问题（3）：蓄水量小于 400 万 m³ 时报警，干旱多少天后报警？水库干涸时
持续多少天？
师生互动：让学生独立完成，通过解方程-20t + 1200 = 400和-20t + 1200 = 0得出答案，之后提问：
“方程-20t + 1200 = 0的解，与一次函数V = -20t + 1200的图象有什么关系？
总结：一元一次方程与一次函数的联系：从 “数” 的角度，函数值为 0 时自变量的值就是方程的解；
从 “形” 的角度，函数图象与 x 轴交点的横坐标就是方程的解，并用表格清晰呈现.
（设计意图：通过水库问题，进一步巩固 “用关系式解决实际问题” 的方法，同时自然引出 “一元一
次方程与一次函数的联系”，让学生在解决问题的过程中自主发现规律，而非被动接受结论.）
（教学建议：总结联系时，可让学生用自己的语言描述，再由教师规范表述，确保学生真正理解 “数”
与 “形” 的对应；若学生难以总结，可提示 “方程的解是 t 的值，图象上对应的点有什么特点？”）
典例分析
y (元/千度)
例1 ：工厂每千度电产生利润 y（元 / 千度）与电价 x（元 / 千度）的函数
300
图象如图所示，求电价为 600 元 / 千度时的利润.
200
解：设解析式(y = kx + b.
找已知点：图象过 (0,300) 和 (500,200). O 500 x(元/千
度)
求系数：代入得b = 300，500k + 300 = 200，解得k = -0.2，解析式为y =
-0.2x + 300.
计算利润：x=600 时，y = -0.2×600 + 300 = 180.
例2 ：A 公司无纺布价格 y（万元）与质量 x（吨）的函数图象过 (0,0.8) 和 (10,20.3)；B 公司不超过
30 吨时每吨 2 万元，超过 30 吨时超过部分每吨 1.9 万元.购买 40 吨时，选哪家公司费用少？解：求 A 公司解析式：设y = kx + b，代入得b = 0.8，10k + 0.8 = 20.3，解k = 1.95，解析式为y =
1.95x + 0.8.
计算 A 公司费用：x=40 时，y = 1.95×40 + 0.8 = 78.8万元；
计算 B 公司费用：30 吨以内费用30×2 = 60万元，超过 30 吨的 10 吨费用10×1.9 = 19万元，总
费用60 + 19 = 79万元.
比较选择：78.8＜79，选 A 公司.
（设计意图：通过两个典例，分别巩固 “单一一次函数模型” 和 “分段函数（部分为一次函数）模
型” 的应用，让学生掌握解决实际问题的通用步骤（设解析式→求系数→计算→决策），提升数学建模
能力.）
（教学建议：典例 2 中，B 公司的分段计算是难点，可让学生先独立尝试，再由教师板书计算过程，强
调 “分段条件的识别”（x≤30 和 x＞30）；鼓励学生对比 A、B 公司的费用差异，思考 “购买多少吨
时两家费用相同”，拓展思维.）
1. 一次函数y = kx + b的图象如图所示，方程kx + b = 0的解为（ C ）
A. x=2 B. y=2 C. x=-1 D. y=-1
2. 某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知, 营销
人员没有销售量时的收入(最低工资)是 ( B )
A. 3100 元 B. 3000 元 C. 2900 元 D. 2800 元
3.如图，从A地向B地打长途电话，设通话时间x(分)需付话费y(元)，请根据图象反映的y随x的变化规
律，找出通话2分钟要付___2___元，通话5分钟要付___6___元．4．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝
0的解为_ x ＝－ 1_ ．
5．近几年来,由于经济和社会发展迅速,用电量越来越多.为缓解用电紧张,某电力公司特制定了新的用电收
费标准,每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.
6．（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；
解：当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，
其经过（50，25），代入得25=50k1，故k1=0.5，y=0.5x； 100 y(元）
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，
75
70
其经过（50,25）（100,70），得k2=0.9,b=-20,则y=0.9x-20.
50
（2）当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过
25
50度时，收费标准是多少？
O 25 50 75 100 x(度）
解：根据上题可知，不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算.
设计意图：通过不同题型的梯度训练，让不同层次的学生都能巩固本节课知识点，同时检测学生的学
习效果，及时发现问题并补充讲解.设计意图：通过结构化小结，帮助学生梳理本节课的知识脉络，将 “图象应用”“方程联系”“分
段问题” 串联成系统认知，同时提炼数学思想，提升学科素养.
1.必做题：习题4.4 第4题，第5题，第6题.
2.探究性作业：习题4.4 第9题.
4.4.2 一次函数的应用
1．一次函数与一元一次方程的关系（数形结合）：
（1）一次函数 y = kx + b 的函数值为 0 时，相应的自变量x的值；
（2）一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴的交点的横坐标.
2．一次函数图像与关系式的实际问题应用：
（1）从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象，再看交点的实际意义；
（2）图象上找到已知信息对应的点，由点的坐标轴的值读出要求的值;
（3）求出一次函数表达式，再根据变量的实际意义解决问题.
3. 核心思想：数形结合：图象→数据→实际问题；表达式→计算→实际决策
4. 例题区：（学生板演区域）
