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5.2 二元一次方程组的解法
第 2 课时 加减消元法
1.学生能准确理解加减消元法的概念，知道通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，将二
元一次方程组转化为一元一次方程求解的方法即为加减消元法.
2.学生在探索加减消元法的过程中，经历 “观察方程组特点 — 提出消元思路 — 尝试求解 — 总结方
法” 的过程，培养观察能力、分析推理能力和逻辑思维能力．
学习重点：掌握用加减法解二元一次方程组.
学习难点：理解 加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.解二元一次方程组的基本思想是什么？”我们之前学习了哪种消元方法？
“消元，将二元转化为一元”； 代入消元法
2.你能用代入法解下列方程组吗？
21−3x
解:由①得：y = →变形
5
21−3x
将③代入②,得2x - 5× =﹣11 →代入消元
5
2x-(21−3x) =﹣11
2x-21+3x =﹣11
5x =10 → 求解
将x= 2代入③，得y =3 → 回代求解
{ x=2
原方程组的解 →写解
y=3新知自研：自研课本P117-P118页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
◆1.观察上面的这个方程组，思考：这个方程组中 y 的系数有什么特点？除了代入法，有没有更简便的方
法消去 y 呢？”
y 的系数互为相反数，相加可以可以消去 y .
◆2.尝试按照下面的提示解方程组.
{3x+5 y=21 ①
2x−5 y=−11②
【解答】解:由①+②得： 3 x+ 2 x =21-11 → 消元
解得： x ＝ 2
把 x ＝ 2 代入①，得 6+ 5 y =2 1
解得： y= 3
{x=2
∴原方程组的解是
y=3
●探究一：用加减消元法解二元一次方程
{2x−5 y=7 ①
◆1.例3: 解方程组：
2x+3 y=−1②
【分析】（1）系数相等时，如何消去 x 呢？
相等的两个数相减得 0 ，因此可以用两个方程相减” .
即：①左边－②左边=①右边－②右边
【解答】解：②－①得 ： 3 y － ( ﹣ 5 y )= ﹣ 1 ﹣ 7
解得： y = ﹣ 1
将 y ＝ ﹣ 1 代入①，得 2 x +5= 7
解得： x = 1
{ x=1
∴原方程组的解是：
y=−1
完成解题并检验.
◆2.例4: 解方程组:
【分析】（1）这个方程组中 x 和 y 的系数都不互为相反数，也不相等，该如何用消元法求解呢？使得未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法消元 .
【解答】解：由①× 3 ，得 6 x + 9 y =3 6 ③
由②×2，得 6 x + 8 y = 34 ④
由③﹣④ ，得 y = 2
将 y = 2 代入① ，得 2 x +6=1 2
解得： x =3
{ x=3
∴原方程组的解是
y=2
【思考】（1）上面的解法是“消去 x” 尝试如何“消去 y” 来解方程组.
（2）在变形的过程中的注意事项是什么？
变形时方程两边所有项都要乘，不能漏乘常数项 .
◆3.总结归纳：
（1）上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
基本思路：消元； 化二元→ 一元 .
（2）加减消元法：加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数,这种解二元
一次方程组的方法称为加减消元法.
①同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加.
②同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相减.
（3）同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，利用等式的
性质，使得未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法消元.
（4）如何优先选择代入消元法或加减消元法？
① 解二元一次方程组时，根据方程组系数的特点选择较简单的方法消元；
② 当方程组较复杂时，通常先化简变形，再选择最佳方法消元．
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1： 用加减消元法解下列方程组
3x－2y＝9，
5x＋2y＝7.
①
【分析】由于方②程组中的未知数y的系数互为相反数，因此可以直接用加减消元法，把方程中的①+②可消
去系数 y ，求出x的值，再求y的值即可解答..
【解答】解：①＋②，得8x＝16，解得x＝2，
把x＝2代入②，
解得y＝－，
∴原方程组的解是
例 2：解方程组：
【分析】这个方程组适合用代入法还是加减法？为什么？
【分析】方程②中 y 的系数是 ﹣ 1，可用代入法（用 x 表示 y ）；也可将②×3，使 y 的系数变为﹣
3，与①中 y 的系数3互为相反数，用加减法消元”.
【解答】解法一：②×2，得 4x﹣2y=﹣10 ③
①﹣③ ，得 5y=15
y=3
将y=3代入②得 x=﹣1
{ x=1
∴原方程组的解是
y=3
解法二：②×3，得 6x﹣3y=-15 ③
①+③ ，得 10x=﹣10
解得：x=﹣1
将x=-1代入② ，得﹣2﹣y=﹣5
解得：y=3
{ x=1
∴原方程组的解是
y=3
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何用加减消元法解二元一次方程组；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．用加减消元法解二元一次方程组 ¿ 时，下列方法中，能消元的是（ D ）
2．已知方程组¿，则x+ y的值是（ A ）
A．2 B．0 C．−1 D．−2
3．若¿，则x与y的关系式是 x + y = 8 ．
4．解方程组¿时，既可用 ① - ② 消去未知数x，也可用 ① + ② 消去未知数y，方程组的解是
．
5．解方程组：¿
解：¿
②−①×2得：3 y+ y=12−4，
解得y=2，
把y=2代入②得：x=3，
∴方程的解为¿．
6．（拓展提升）在解方程组¿时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为¿，乙看错了方
程组中的b，而得到方程组的解为¿．
(1)求出a和b的值；
（1）解：¿ 把¿代入②得2+6b=14，
解得b=2；
把¿代入①得 −2a+5=7，
解得：a=−1；
(2)求出原方程组的正确解．
解：（2）把a=−1，b=2代入¿ 得 ¿
③+④得，y=21把y=21代入③得x=−28
∴原解方程组的解为¿．
题型一：加减消元法
{4x−7 y=−17①)
1．对于方程组 ，用加减法消去x得到的方程是（ ）
4x+4 y=15②
A．﹣3y＝﹣2 B．﹣3y＝﹣32 C．﹣11y＝﹣32 D．﹣12y＝﹣2
【分析】根据加减消元法，将方程①﹣方程②即可．
【解答】解：方程①﹣方程②得，﹣11y＝﹣32，
故选：C．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提．
{x+3 y=4①)
2．用加减消元法解方程组 时，下列方法中无法消元的是（ ）
2x−y=1②
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
【分析】方程组利用加减消元法判断即可．
{x+3 y=4①)
【解答】解：用加减消元法解方程组 时，①×2﹣②或①×（﹣2）+②消去x，②×（﹣
2x−y=1②
3）﹣①或①+②×3消去y．
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{3x+2y=7①)
3．用加减法解方程组 具体步骤如下：（1）①﹣②，得2x＝4；（2）解得x＝2；（3）
x+2y=−3②
把x＝2代入①，解得y 1；（4）∴这个方程组的解是
{x=2
)．其中，开始出现错误的步骤是（ ）
= 1
2 y=
2
A．（4） B．（3） C．（2） D．（1）
【分析】第（1）步两方程相减时出现错误．
{3x+2y=7①)
【解答】解：用加减消元法解方程组： ．（1）①﹣②，得2x＝10；（2）所以x＝5；
x+2y=−3②{ x=5 )
（3）把x＝5代入①，得y＝﹣4；（4）所以这个方程组得解为 ，
y=−4
最先出现错误的一步是（1），
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{6x−5 y=3①)
4．关于x、y的二元一次方程组 ，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，用
3x+ y=−15②
②×2﹣①得到的方程是 ．
【分析】利用加减消元法进行计算即可．
{6x−5 y=3①)
【解答】解：解二元一次方程组 时，小华用加减消元法消去未知数x，按照他的思路，
3x+ y=−15②
用②×2﹣①得到的方程是：7y＝﹣33，
故答案为：7y＝﹣33．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
{0.8x+0.7 y=3)
5．已知二元一次方程组 ，用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以 ，再
−8x−2y=7
将得到的方程与方程②两边相 ，即可消去 ．
【分析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降元，可把 x的系数化为相同，然后用加法化去，
达到消元的目的．
{0.8x+0.7 y=3 ①)
【解答】解：
−8x−2y=7 ②
把①式两边同时乘以10，得：8x+7y＝30 ③，
②+③得：5y＝37即可消去x，
37
解得：y= ．
5
把y＝5代入①或②可求解x．
【点评】本题主要考查了加减消元法的步骤，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相
等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解．
题型二：加减法解二元一次方程组
6．用加减法解下列方程组：
{3x+2y=12，)
（1）
3x−2y=5；
{ 4x+5 y=9，)
（2）
4x−5 y=−1．【分析】（1）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，利用①﹣②消去x得
出关于y的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得出方程组的解；
（2）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出 x的值，利用①﹣②消去x得出关于y
的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得出方程组的解．
{3x+2y=12①)
【解答】解：（1） ，
3x−2y=5②
①+②得：6x＝17，
17
解得：x= ，
6
①﹣②得：4y＝7，
7
解得：y= ，
4
17
{x= )
∴原方程组的解为 6 ；
7
y=
4
{ 4x+5 y=9① )
（2） ，
4x−5 y=−1②
①+②得：8x＝8，
解得：x＝1，
①﹣②得：10y＝10，
解得：y＝1，
{x=1)
∴原方程组的解为 ．
y=1
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．
7．用加减法解下列方程组：
{3m+2n=16)
（1） ；
3m−n=1
{ 3s+4t=7 )
（2） ．
2s−3t=−1
【分析】利用加减消元法解各方程组即可．
{3m+2n=16①)
【解答】解：（1） ，
3m−n=1②
①﹣②得：3n＝15，解得：n＝5，
将n＝5代入②得3m﹣5＝1，
解得：m＝2，
{m=2)
故原方程组的解为 ；
n=5
{ 3s+4t=7①)
（2） ，
2s−3t=−1②
①×2﹣②×3得：17t＝17，
解得：t＝1，
将t＝1代入①得3s+4＝7，
解得：s＝1，
{s=1)
故原方程组的解为 ．
t=1
【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
8．用加减法解下列方程组：
{ 3x+2y=7 )
（1） ；
3x−4 y=13
{6x+5 y=25)
（2） ．
3x+4 y=20
【分析】利用加减消元法解方程即可．
{ 3x+2y=7①)
【解答】解：（1） ，
3x−4 y=13②
①﹣②得：6y＝﹣6，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：3x﹣2＝7，
解得：x＝3，
{ x=3 )
故原方程组的解为 ；
y=−1
{6x+5 y=25①)
（2） ，
3x+4 y=20②
②×2﹣①得：3y＝15，
解得：y＝5，
将y＝5代入①得：6x+25＝25，
解得：x＝0，{x=0)
故原方程组的解为 ．
y=5
【点评】本题考查加减消元法解方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
9．用加减法解下列方程组：
{3x−7 y=−1①)
（1） ；
3x+7 y=13②
{2x+3 y=3①)
（2） ．
3x+2y=11②
【分析】（1）两方程相加求出x的值，再求y的值；
（2）变形方程，再相减，求其中一个未知数的值，再计算另一个未知数的值．
{3x−7 y=−1①)
【解答】解：（1） ，
3x+7 y=13②
①+②得：6x＝12，
x＝2，
把x＝2代入①得：6﹣7y＝﹣1，
y＝1，
{x=2)
∴方程组的解为： ；
y=1
{2x+3 y=3①)
（2） ，
3x+2y=11②
{6x+9 y=9③)
方程组变形为： ，
6x+4 y=22④
③﹣④得：5y＝﹣13，
13
y=− ，
5
13 13
把y=− 代入①得：2x+3×（− ）＝3，
5 5
27
x= ，
5
27
{ x= )
∴方程组的解为： 5 ．
13
y=−
5
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
10．用加减法解下列方程组：{3x+7 y=9，)
（1）
4x−7 y=5；
（2）{ x−2=2(y−1)， )
2(x−2)+(y−1)=5．
【分析】（1）利用①+②消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x＝2，将x＝2代入①求出y的
值，即可得出方程组的解；
{x−2y=0①)
（2）把原方程组化为 ，利用①+②×2消去y得出关于x的一元一次方程，解方程求出x
2x+ y=10②
＝4，将x＝4代入②求出y的值，即可得出方程组的解．
{3x+7 y=9①)
【解答】解：（1） ，
4x−7 y=5②
①+②得：7x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：6+7y＝9，
3
解得：y= ，
7
{x=2
)
∴原方程组的解为 ；
3
y=
7
{x−2y=0①)
（2）原方程组可化为 ，
2x+ y=10②
①+②×2得：5x＝20，
解得：x＝4，
把x＝4代入②得：8+y＝10，
解得：y＝2，
{x=4)
∴原方程组的解为 ．
y=2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键．
题型三 用适当的方法解二元一次方程组
11．用适当的方法解下列方程组．
{ x=2y−1 ) { 3x+2y=2 )
（1） ； （2） ．
4x+3 y=7 2x+3 y=28，
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）用方程①×3﹣②×2，可消去未知数y，求出未知数x，进而得出y的值．
{x=2y−1①)
【解答】解：（1） ，
4x+3 y=7②
把①代入②，得4（2y﹣1）+3y＝7，
解得y＝1，
把y＝1代入①，得x＝1，
{x=1)
故原方程组的解为 ；
y=1
{3x+2y=2①)
（2） ，
2x+3 y=28②
①×3﹣②×2，得5x＝﹣50，
解得x＝﹣10，
把x＝﹣10代入①，得y＝16，
{x=−10)
故原方程组的解为 ．
y=16
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
12．用适当的方法解下列方程组：
{2x−3 y=7) {0.3p+0.4q=4)
（1） ． （2） ．
x−3 y=7 0.2p+2=0.9q
【分析】（1）利用加减法消元法解二元一次方程组即可；
（2）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
{2x−3 y=7①)
【解答】解：（1） ，
x−3 y=7②
①﹣②得x＝0，
把x＝0代入②得0﹣3y＝7，
7
解得y=− ，
3
{
x=0
)
∴方程组的解为 ；
7
y=−
3
{ 3p+4q=40①)
（2）整理原方程组得 ，
2p−9q=−20②
①×2﹣②×3得35q＝140，
q＝4，把q＝4代入②得2p﹣36＝﹣20，
解得p＝8，
{p=8)
∴方程组的解为 ．
q=4
【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
13．用适当的方法解下列方程组
{ x+ y=5 ) {2x+3 y=7)
（1） ； （2） ．
2x+ y=8 3x−2y=4
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
{ x+ y=5①)
【解答】解：（1） ，
2x+ y=8②
由①，可得：x＝5﹣y③，
③代入②，可得：2（5﹣y）+y＝8，
解得y＝2，
把y＝2代入③，解得x＝3，
{x=3)
∴原方程组的解是 ．
y=2
{2x+3 y=7①)
（2） ，
3x−2y=4②
①×2+②×3，可得13x＝26，
解得x＝2，
把x＝2代入①，解得y＝1，
{x=2)
∴原方程组的解是 ．
y=1
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
14．用适当的方法解下列方程组：
（1）
{2x+3 y=16 ①)
； （2）
2s+t
=
3s−2t
=3．
x+4 y=13 ② 3 8
【分析】（1）②×2﹣①得出5y＝10，求出y，再把y＝2代入②求出x即可；
{ 2s+t=9 ①)
（2）整理后得出得 ，①×2+②得出7s＝42，求出s，再把s＝6代入①求出t即可．
3s−2t=24 ②{2x+3 y=16 ①)
【解答】解：（1） ，
x+4 y=13 ②
②×2﹣①，得5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②，得x+8＝13，
解得：x＝5，
{x=5)
所以方程组的解为 ；
y=2
{ 2s+t=9 ①)
（2）整理方程组，得 ，
3s−2t=24 ②
①×2+②，得7s＝42，
解得：s＝6，
把s＝6代入①，得12+t＝9，
解得：t＝﹣3，
{ s=6 )
所以方程组的解为 ．
t=−3
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
15．用适当的方法解下列方程组：
x+1 y+2
{ = )
（1）{ x+ y=5 )； （2） 3 4 ．
2x−y=4 x−3 y−3 1
− =
4 3 12
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
{ x+ y=5①)
【解答】解：（1） ，
2x−y=4②
由①，可得：x＝5﹣y③，
③代入②，可得：2（5﹣y）﹣y＝4，
解得y＝2，
把y＝2代入③，可得：x＝5﹣2＝3，
{x=3)
∴原方程组的解是 ．
y=2x+1 y+2
{ = ① )
（2） 3 4 ，
x−3 y−3 1
− = ②
4 3 12
由①，可得：4x﹣3y＝2③，
由②，可得：3x﹣4y＝﹣2④，
③×4﹣④×3，可得7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入③，可得：4×2﹣3y＝2，
解得y＝2，
{x=2)
∴原方程组的解是 ．
y=2
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
▲1．加减消元法：加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数,这种解二元
一次方程组的方法称为加减消元法.
①同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加.
②同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相减.
▲2．同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，利用等式的
性质，使得未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法消元.
