文档内容
5.2.2 解二元一次方程组（第 2 课时） 教学设计
1.教学内容
本次教学内容选自北师大版 2024 八年级上册第五章 “二元一次方程组” 的 5.2.2 小节 —— 用
加减消元法解二元一次方程组．
2.内容解析
从教材体系来看，二元一次方程组是初中代数的重要内容，是一元一次方程知识的延伸与拓展，也是
后续学习一次函数、一元二次方程等知识的基础。在本章节中，此前学生已学习了二元一次方程组的概念
及代入消元法，而加减消元法是解二元一次方程组的另一种核心方法，两种方法共同围绕 “消元” 这一
核心思想，将二元问题转化为一元问题，体现了数学中 “化未知为已知” 的化归思想。
教材通过复习导入，先回顾代入消元法及 “消元” 基本思想，再以系数具有特殊关系（某一未知数
系数互为相反数或相等）的方程组为例，引导学生发现加减消元的思路，随后逐步过渡到系数不具备特殊
关系的方程组，需要通过变形使某一未知数系数变为相同或相反，最终总结出加减消元法的一般步骤，并
对比代入消元法，让学生学会根据方程组系数特点选择恰当解法。这一内容的学习，不仅能帮助学生掌握
新的解题技能，更能进一步培养其观察、分析、推理能力，深化对化归思想的理解。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解加减消元法的概念和 “消元” 思想；掌握加减消元
法解二元一次方程组的一般步骤，能运用该方法解各类二元一次方程组（包括需变形的情况）.
1.教学目标
（1）学生能准确理解加减消元法的概念，知道通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知
数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解的方法即为加减消元法.
（2）学生在探索加减消元法的过程中，经历 “观察方程组特点 — 提出消元思路 — 尝试求解 —
总结方法” 的过程，培养观察能力、分析推理能力和逻辑思维能力．
（3）学生通过体会 “消元” 思想和 “化归” 思想，感受数学的逻辑性与简洁性，激发对数学学科
的兴趣．
2.目标解析
（1）旨在让学生掌握具体的知识与技能。理解概念是前提，只有明确加减消元法的本质，才能正确运用；熟练运用则需要分层次达成，先解决简单情况（系数特殊），再突破复杂情况（系数需变形），逐
步提升能力；选择恰当解法是技能的升华，体现对两种消元法的综合理解与灵活运用.
（2）注重学生学习过程的体验。通过自主探索，让学生亲身经历知识的形成过程，而不是被动接受，
有助于加深对知识的理解；对比两种方法能帮助学生构建知识体系，避免孤立看待知识；合作学习则能培
养学生的社交能力与表达能力，符合初中学生的学习特点.
（3）关注学生的情感体验与素养培养。数学学习不仅是知识的积累，更是情感态度与习惯的养成。
成功的体验能激发学习动力，思想的感悟能提升数学素养，严谨的态度则是学好数学的重要保障，三者共
同促进学生全面发展.
（一）已有知识与掌握情况
知识基础：学生已学习了一元一次方程的解法，能熟练求解一元一次方程；此前已学习二元一次方程
组的概念，理解方程组的解的含义；掌握了代入消元法解二元一次方程组，明确解二元一次方程组的核心
思想是 “消元”，即把二元问题转化为一元问题。
能力基础：初中八年级学生已具备一定的观察能力和逻辑推理能力，能对简单的数学现象进行分析并
提出初步思路；在之前的学习中，已经历过 “转化” 思想的应用（如代入消元法），对 “化未知为已
知” 的思路有一定的认知。
学习习惯：部分学生已养成自主思考、独立解题的习惯，但仍有学生依赖教师讲解，主动探索能力较
弱；多数学生能完成基础题目的求解，但在复杂问题（如需要变形的方程组）和方法选择上存在困难。
（二）预估教学中遇到的困难
困难一：难以准确判断何时用加法消元、何时用减法消元。学生可能对 “系数互为相反数用加法”
“系数相等用减法” 的规律理解不深刻，在实际解题中容易混淆，导致消元时符号出错。
困难二：不会确定给方程乘的数，将某一未知数的系数化为相同或相反。
困难三：在加减消元过程中，符号处理出错。例如，当用方程①减方程②时，学生可能忽略方程②中
各项的符号变化，导致计算结果错误。
困难四：解完方程组后忘记检验，或检验方法不正确。部分学生认为 “解出结果即可”，忽视检验的
重要性，导致因计算错误得出错误答案而未察觉。
（三）解决困难的办法
针对困难一：通过具体例子对比分析，如展示系数互为相反数的方程组，引导学生观察 “相加或相减
后未知数系数是否为 0”，总结 “相反数相加得 0，相等数相减得 0” 的规律，并用口诀（“系数相反
用加法，系数相同用减法”）帮助记忆。针对困难二：结合最小公倍数知识，讲解 “找两个系数的最小公倍数，确定每个方程需乘的数”。例
如，对于 x 的系数 2 和 3，最小公倍数是 6，因此给第一个方程乘 3（2×3=6），第二个方程乘 2
（3×2=6）；同时强调 “方程两边所有项都要乘，包括常数项”，通过板书分步展示变形过程，让学生清
晰看到每一步的操作，再让学生通过模仿练习巩固。
针对困难三：在教学中强调 “减法消元时，相当于用第一个方程加上第二个方程的相反数”，再与方
程①相加；同时设计针对性练习，让学生重点训练符号处理，教师巡视指导，及时纠正错误。
针对困难四：在讲解例题时，明确将 “检验” 作为解题的必要步骤，板书检验过程（将解代入原方
程组两个方程，验证左右两边是否相等），强调 “检验能发现计算错误，保证答案正确”；在课堂练习和
作业中，要求学生必须写出检验过程，教师对未检验的学生进行提醒和指导。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能根据方程组中未知数系数的特点，通过给方程两边同乘
适当的数，将某一未知数的系数化为相同或相反，再进行加减消元；准确处理加减消元过程中的符号问题，
避免计算错误.
1. 复习导入
（1）教师提问 “解二元一次方程组的基本思想是什么？”，
引导学生回答 “消元，将二元转化为一元”；接着提问 “我们之前学习了哪种消元方法？”，学生
回答 “代入消元法”，教师进一步强调代入消元法的核心是 “用一个未知数表示另一个未知数，再代入
另一个方程”。
（2）你能用代入法解下列方程组吗？
21-3x
解由①得：y = →变形
5
21-3x
将③代入②,得2x - 5× = -11 →代入消元
5
2x-(21 3 ) = -11
2x-21+3x = -11
− 𝑥
5x =10 → 求解
将x= 2代入③，得y =3 → 回代求解
原方程组的解 x= 2 →写解
y =3
（设计意图：通过复习旧知，巩固 “消元” 思想和代入消元法，为学习加减消元法奠定基础；通过
让学生用代入法解特定方程组，感受代入法在某些情况下的繁琐，再引导学生观察系数特点，激发探索新方法的兴趣，实现 “旧知引新知” 的过渡。）
（教学建议：在学生用代入法解题时，教师要关注学生的解题速度和遇到的困难（如用 x 表示 y 时
需要分数运算），在展示解题过程时，可重点指出 “代入法在此处需要分数运算，步骤较多”，突出探索
新方法的必要性；提问时要面向全体学生，鼓励不同层次的学生发言，营造积极思考的课堂氛围。
（二）新知探究（15 分钟））
提出疑问：教师引导学生观察方程组，提问 “这个方程组中 y 的系数有什么特点？除了代入法，有
没有更简便的方法消去 y 呢？”，引发学生思考，自然过渡到新知教学。
引导：互为相反数的两个数，和为零
3x5y 21
2x5y 11
解:①+②得 3x+2x=21-11 消元
5x=10
x=2
将x＝2代入①，得 6+5y=21
y=3
∴原方程组的解是 x=2
y=3
解出方程解后，还有哪一重要环节？ 检验
(设计意图：从系数具有特殊关系的方程组入手，降低学生探索难度，通过等式性质推导消元思路，
让学生理解加减消元法的数学依据，再通过完整解题和检验，形成规范的解题意识，最后总结概念，帮助
学生建立知识框架)。
（教学建议：在推导过程中，要放慢节奏，确保学生理解 “为什么可以将两个方程相加”（依据等
式性质），避免学生死记硬背方法；检验环节要让学生主动参与，而不是教师单独完成，培养学生的严谨
态度。）
探究点1 用加减消元法解二元一次方程
例3 解方程组:
2x 5y 7 ①
②
2x 3y 1
引导思考：教师提问 “系数相等时，如何消去 x 呢？”，引导学生类比之前的思路，思考 “相等
的两个数相减得 0，因此可以用两个方程相减”，学生尝试提出 “② - ①” 或 “① - ②”。
分析：①左边-②左边=①右边-②右边
解:② - ①得 3 y- (-5 y ) =-1-7
注意符号 8y = -8 消元y= -1
将y＝-1代入①，得 2x+5=7
x =1
∴原方程组的解是 x =1
y= -1
完成解题并检验。
对比总结：教师提问 “如果用① - ②，结果会一样吗？”，让学生在练习本上尝试，验证解的一致
性，随后总结 “加减消元法（减法）：系数相等，两式相减消元，注意符号变化”。
（设计意图：在加法消元的基础上，引导学生自主探索减法消元，培养类比推理能力；重点强调符号处理，
突破教学难点；通过不同方法的尝试，让学生明白 “只要操作正确，不同方法会得到相同解”，增强对方
法的理解）
（教学建议：在学生尝试 “① - ②” 时，教师要关注学生的符号处理情况，对出现错误的学生进行个别
指导，通过对比两种方法的结果，强化 “符号正确是解题关键” 的意识）。
例4 解方程组:
提问 “这个方程组中 x 和 y 的系数都不互为相反数，也不相等，该如何用加减消元法求解呢？”，
引发学生思考。
解：①x3，得 6x+9y=36 ③
②x2，得 6x+8y=34 ④
③-④ ，得 y=2
将y=2代入① ，得 2x+6=12
x=3
∴原方程组的解是 x=3
y=2
学生尝试：让学生以小组为单位，尝试 “消去 y” 的方法解题，每组选取一名代表展示解题过程，
教师点评，强调 “变形时方程两边所有项都要乘，不能漏乘常数项”。
思考与交流：
1、上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
基本思路：消元: 二元 一元
引导学生总结加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数,这种解二元
一次方程组的方法称为加减消元法。
2、如何优先选择代入消元法或加减消元法？
(1)解二元一次方程组时，根据方程组系数的特点选择较简单的方法消元；
(2)当方程组较复杂时，通常先化简变形，再选择最佳方法消元．
（设计意图：从简单情况过渡到复杂情况，让学生经历 “发现问题 — 思考解决方案 — 尝试解决 —
总结步骤” 的过程，突破 “系数变形” 这一教学难点；通过小组合作学习，培养学生的合作能力和自
主探索能力；总结一般步骤，帮助学生形成规范的解题流程）
（教学建议：在引导学生找最小公倍数时，可复习最小公倍数的概念，帮助基础薄弱的学生理解；在学生
小组合作时，教师要巡视各小组的讨论情况，对思路不清晰的小组进行引导，确保每个学生都能参与其
中）。典例分析
例1 用加减消元法解下列方程组
3x－2y＝9，
5x＋2y＝7.
①
教师提问：“这②个方程组适合用代入法还是加减法？为什么？”，引导学生分析：“方程②中 y 的系数
是 - 1，可用代入法（用 x 表示 y）；也可将②×2，使 y 的系数变为 - 2，与①中 y 的系数 2 互为相
反数，用加减法”。
让学生分别用两种方法解题，对比两种方法的解题步骤，讨论 “哪种方法更简便”，教师总结：“当某
一未知数系数为 1 或 - 1 时，代入法和加减法均可，可根据个人习惯选择，但加减法在后续计算中可能
更简便”。
强调：无论选择哪种方法，都要注意符号和计算的准确性，解完后需检验。
解：①＋②，得8x＝16，
解得x＝2，
把x＝2代入②，
解得y＝－，
∴原方程组的解是
注：基本思想： 消元
将两个等式变成有相同或相反的系数，然后相减或相加。
例 2：解方程组：
解法一：②x2，得 4x-2y=-10 ③
① -③ ，得 5y=15
y=3
将y=3代入②得 x=-1
∴原方程组的解是 x=-1
y=3
解法二：②x3，得 6x-3y=-15 ③
①+③ ，得 10x=-10
x=-1
将x=-1代入② ，得 -2-y=-5
y=3
∴原方程组的解是 x=-1
y=3
师引导：还有其它解法吗？你认为哪种方法最简便？
（设计意图：通过典例分析，让学生巩固加减消元法的运用，同时对比代入消元法，学会根据方程组特点选择恰当解法；典例 1 侧重基础应用，典例 2 侧重方法选择，层层递进，帮助学生提升解题能力.）
（教学建议：在学生用两种方法解题时，教师要关注学生的解题速度和正确率，对方法选择不当导致
解题繁琐的学生进行指导；讨论 “哪种方法更简便” 时，要鼓励学生发表不同意见，尊重学生的个性化
选择，同时引导学生发现 “方法的简便性取决于方程组的特点”．）
D
1．用加减消元法解二元一次方程组 ¿ 时，下列方法中，能消元的是( ）
2．已知方程组¿，则x+ y的值是（ A ）
A．2 B．0 C．-1 D．-2
3．若¿，则x与y的关系式是 ．
4．解方程组¿时，既可用 ① - ② 消去未知数x，也可用 ① + ② 消去未知数y，方程组的解
是 ．
5．解方程组：¿
解：¿
②-①×2得：3 y+ y=12-4，
解得y=2，
把y=2代入②得：x=3，
∴方程的解为¿．
6．在解方程组¿时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到方程组的解为¿，乙看错了方程组中的
b，而得到方程组的解为¿．
(1)求出a和b的值；
（1）解：¿ 把¿代入②得2+6b=14，
解得b=2；
把¿代入①得 -2a+5=7，
解得：a=-1；
(2)求出原方程组的正确解．解：（2）把a=-1，b=2代入¿ 得 ¿
③+④得，y=21
把y=21代入③得x=-28
∴原解方程组的解为¿．
设计意图：基础巩固题针对教学重点，帮助学生熟练掌握加减消元法的不同情况；能力提升题则将知
识拓展，与 “方程组的解” 结合，培养学生的知识迁移能力和综合运用能力；通过分层训练，满足不同
层次学生的学习需求，让基础薄弱的学生巩固基础，让学有余力的学生得到提升.
教学建议：在基础巩固题点评时，要重点关注学生的易错点，如符号、漏乘、检验等，通过典型错误
分析，帮助学生避免类似问题；能力提升题对部分学生有难度，教师要给予适当提示，引导学生找到解题
思路，增强学生的解题信心。
设计意图：通过知识梳理，帮助学生构建清晰的知识体系，巩固所学内容；通过方法对比，让学生深
化对两种消元法的理解，学会灵活选择方法；通过思想感悟，提升学生的数学素养；通过自我评价，让学
生反思学习过程，明确自身优势与不足，促进自我提升.
1.必做题：随堂练习 第1题，习题5.2 第2题
2.探究性作业：习题5.2 第3、4、5题.
5.2.2二元一次方程组的解法
1.基本思想：消元
2．概念：通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解的方法。
3. 解法步骤：
（1）变形（若需）：使某一未知数系数相同或相反（2）加减：消去一个未知数，得一元一次方程
（3）求解：解一元一次方程
（4）回代：代入原方程求另一未知数
（5）写解：写出方程组的解
3. 核心思想：消元思想、化归思想、转化思想
4. 例题区：（学生板演区域）
