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第 03 讲 中考热点分式与二次根式【挑战中考满分模拟练】
一．分式有意义的条件（共2小题）
1．（2022•南京一模）若式子 有意义，则x的取值范围是 x ≠ 3 ．
【分析】直接利用分式有意义即分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵式子 有意义，
∴x的取值范围是：x﹣3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
2．（2022•建邺区二模）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【解答】解：∵分式 在实数范围内有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题主要考查的是分式的有意义的条件，掌握分式的有意义的条件是解题的关键．
二．分式的值为零的条件（共1小题）
3．（2022•昆明一模）若分式 的值为0，则x＝ 1 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据
此可以解答本题．
【解答】解：分式 的值为0，得
x2﹣1＝0且x+1≠0．解得x＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．三．分式的值（共1小题）
4．（2022•禅城区二模）若ab≠0，且2b＝3a，则 的值是 ．
【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：由2b＝3a，得到a＝ b，
则原式＝ ＝ ，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四．分式的基本性质（共1小题）
5．（2022•武安市一模）只把分式 中的m，n同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时
a的值可以是下列中的（ ）
A．2 B．mn C． D．m2
【分析】利用特殊值法，对每个选项进行分析即可得出答案．
【解答】解：∵将a＝2代入 中，
当m＝1，n＝1时， ＝ ，
当m＝3，n＝3时， ＝ ，
∴选项A不符合题意；
∵将a＝mn代入 中，
当m＝1，n＝1时， ＝ ，
当m＝3，n＝3时， ＝ ，
∴选项B不符合题意；
∵将a＝ 代入 中，当m＝1，n＝1时， ＝ ，
当m＝3，n＝3时， ＝ ，
∴选项C符合题意；
∵将a＝m2代入 中，
当m＝1，n＝1时， ＝ ，
当m＝3，n＝3时， ＝ ，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，利用特殊值进行计算是解题的关键．
五．分式的加减法（共5小题）
6．（2022•汉阳区模拟）计算： ﹣ ＝ ．
【分析】先通分，化成同分母分式再运算．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，将异分母分式化成同分母分式是解题的关键．
7．（2022•大庆模拟）已知 ＝ + ，则A为 1 ．
【分析】计算出 + ＝ ，根据 ＝ + 可得A+1＝2，据此可得．
【解答】解： + ＝ +＝ ，
∵ ＝ + ，
∴A+1＝2，
则A＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则，并根据题意得出关于
A的方程．
8．（2022•清苑区一模）已知分式：（a+ ）（■﹣ ）的某一项被污染，但化简的结果等于
a+2，被污染的项应为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【分析】设被污染的项应为A，利用分式的加减的运算法则进行化简运算，根据化简的结果等于a+2，得
到关于A的等式，利用对应项的系数相等即可得出结论．
【解答】解：设被污染的项应为A，
原式＝
＝
＝
＝ ，
∵化简的结果等于a+2，
∴Aa﹣2A﹣1＝a﹣3，
∴A＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减法与分式的约分，设被污染的项应为 A，利用对应项的系数相等求得
结论是解题的关键．
9．（2022•两江新区模拟）阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次
数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，
此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行．
如： ＝ ＝a+ ＝a﹣1+ ，这样，分式就拆分成一个分式 与
一个整式a﹣1的和的形式，下列说法正确的有（ ）个．
①若x为整数， 为负整数，则x＝﹣3；
②6＜ ≤9；
③若分式 拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+
（整式部分对应等于5m﹣11，真分式部分对应等于 ），则m2+n2+mn的最小值为27．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】（1）利用题干中的方法将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，利用整数或整
式的性质对没结论进行判断即可．
【解答】解：∵ 为负整数，
∴ ＜0，
∴ 或 ，
解第一个不等式组得：﹣4＜x＜﹣2，
解第二个不等式组得：无解，
∴﹣4＜x＜﹣2，
∵x为整数，
∴x＝﹣3，
故①的结论正确；
∵ ＝6+ ，又x2≥0，
∴ ＞0，且x2+2有最小值2，
∴ 由最大值3，
∴6＜6+ ≤9，
∴②的结论正确；
∵ ＝ ＝5（x+2）﹣11﹣ ，
∴m＝x+2，n﹣6＝﹣（x+2），
∴m＝x+2，n＝4﹣x．
∴m2+n2+mn
＝（m+n）2﹣mn
＝36﹣（﹣x2+2x+8）
＝x2﹣2x+28
＝（x﹣1）2+27，
∵（x﹣1）2≥0，
∴m2+n2+mn有最小值为27，
∴③的结论正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减法，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方
法是解题的关键．
10．（2022•九龙坡区校级模拟）已知两个分式： ， ：将这两个分式进行如下操作：
第一次操作：将这两个分式作和，结果记为M ；作差，结果记为N ；
1 1
（即M ＝ + ，N ＝ ﹣ ）
1 1
第二次操作：将M ，N 作和，结果记为M ；作差，结果记为N ；
1 1 2 2
（即M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ）
2 1 1 2 1 1第三次操作：将M ，N 作和，结果记为M ；作差，结果记为N ；
2 2 3 3
（即M ＝M +N ，N ＝M ﹣N ）…（依此类推）
3 2 2 3 2 2
将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：
①M ＝2M ；②当x＝1时，M +M +M +M ＝20；③若N •M ＝4，则x＝1；
3 1 2 4 6 8 2 4
④在第n（n为正整数）次和第n+1次操作的结果中： 为定值；
⑤在第2n（n为正整数）次操作的结果中：M ＝ ，N ＝ ．
2n 2n
以上结论正确的个数有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
∴ ，
，
……
可知 ，故选项①正确；
当x＝1时，M +M +M +M ＝ ＝2+4+8+16＝30，故选项②不正确；
2 4 6 8
∵N •M ＝4，
2 4
∴
解得x＝1，或x＝﹣2，故选项③不正确；当n＝1时， 不是定值，故选项④不正确；
∵ ，
，
，
……
∴ ，
∵ ，
，
，
……
∴
故选项⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律．
六．分式的混合运算（共5小题）
11．（2022•沂南县一模）计算： ＝（ ）
A．﹣2m﹣6 B．2m+6 C．﹣m﹣3 D．m+3
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式＝（ ﹣ ）•
＝ •＝﹣2（m+3）
＝﹣2m﹣6，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
12．（2022•槐荫区校级模拟）化简（1+ ）÷ 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．﹣
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的
乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1+ ）÷
＝（ + ）÷
＝ •
＝ •
＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
13．（2022•揭阳二模）化简 ÷（1+ ）的结果是 ．
【分析】根据分式混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ．
故答案为： ．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
14．（2022•西平县模拟）（1）化简： ；
（2）解不等式组： ．
【分析】（1）先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可；
（2）先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
【解答】解：（1）
＝
＝ •
＝ ；
（2） ，
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＞﹣7，
故原不等式组的解集是x≥﹣1．
【点评】本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法
是解答本题的关键．
15．（2022•肇源县一模）先将分式（1+ ）÷ 进行化简，然后请你给x选择一个合适的值，求原
式的值．
【分析】先算小括号里的，再把除法统一成乘法，约分化为最简，各分母的分母不为0决定x的取值．
【解答】解：原式＝ ×
＝x+1，取值时注意x≠±1，﹣2，
当x＝3时，原式＝4．
故答案为4．
【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，
再进行分式的乘除．
七．分式的化简求值（共15小题）
16．（2022•绥化二模）当x﹣2y＝0，代数式 的值为 ．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出 x
＝2y，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝ •
＝ •
＝ ，
∵x﹣2y＝0，
∴x＝2y，
当x＝2y时，
原式＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．17．（2022•锦江区校级模拟）当a＝2022时，（ ﹣1）÷ 的值为 202 3 ．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求
出答案即可．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝ •
＝ •
＝a+1，
当a＝2022时，原式＝2022+1＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
18．（2022•定海区校级模拟）已知 ，那么 的值等于 ．
【分析】先根据完全平方公式和 ﹣ ＝2求出x+ ＝6，再根据完全平方公式求出x2+ ＝34，求出
＝ ，再代入求出答案即可．
【解答】解：∵ ﹣ ＝2，
∴两边平方得：x+ ﹣2 • ＝4，
∴x+ ＝4+2＝6，两边平方得：x2+ +2＝36，
∴x2+ ＝34，
∵要使分式x+ 有意义，x≠0，
又∵ ＝6，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴
＝ ﹣
＝4 ﹣
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算和完全平方公式等知识点，能求出x+ ＝6是
解此题的关键．
19．（2022•庆云县模拟）先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代
入求出答案即可．
【解答】解：原式＝（x﹣1）÷
＝＝（x﹣1）•
＝ ，
当x＝﹣ +1时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
20．（2022•惠民县一模）先化简，再求值： ，其中 x 是不等式组
的整数解．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出不
等式组的解集，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件求出x不能为1，﹣1，2，取x＝3，把x
＝3代入化简后的结果，即可求出答案．
【解答】解：
＝[ ﹣ ]÷
＝（ ﹣ ）•
＝ •
＝x+1，
解不等式组 得：1≤x≤3，所以不等式组的整数解是1，2，3，
要使分式 有意义，x﹣1≠0，x+1≠0，x﹣2≠0，
即x不能为1，﹣1，2，
取x＝3，
当x＝3时，原式＝3+1＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解等知识点能正确
根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21．（2022•泰安二模）计算：
先化简，再求值： ，其中x的值是一元二次方程x2+x﹣6＝0的解．
【分析】先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出
x2+x＝6，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝ ÷
＝ •
＝ •
＝ •
＝﹣x（x+1）
＝﹣x2﹣x，
∵x2+x﹣6＝0，
∴x2+x＝6，
∴原式＝﹣x2﹣x＝﹣（x2+x）＝﹣6．
【点评】本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22．（2022•洛阳模拟）先化简，再求值： ，其中a为不等式 的整数
解．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再求出
不等式组的解集，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件得出a不能为﹣1和0，取a＝1，把a＝
1代入化简结果，再求出答案即可．
【解答】解：
＝ ÷
＝ ÷
＝ •
＝ ，
解不等式组 得：﹣1≤a＜2，
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1，
∵要使分式 有意义，a+1≠0，a≠0，
∴a不能为﹣1和0，
取a＝1，
当a＝1时，原式＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能正
确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．23．（2022•永安市模拟）先化简，再求值： ，其中x＝ ．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代
入求出答案即可．
【解答】解：
＝ ÷
＝ •
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺
序．
24．（2022•河口区二模）（1）计算： ．
（2）化简求值：先化简分式： ，再从不等式组 解集中取一个合
适的整数代入，求原分式的值．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减
即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘方，求出不等式组
的解集，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝3 ﹣2 +7﹣8+1
＝ ；
（2）原式＝ •＝ •
＝
＝
＝2（x+2）
＝2x+4，
要使分式 有意义，x﹣1≠0且x+1≠0且x≠0，
即x不能为﹣1，1，0，
解不等式组 得：﹣3＜x≤2，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝2×2+4＝8．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，实数的混合运算，解一元一次不等
式组，分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
25．（2022•杨浦区二模）先化简再计算： ，其中 ．
【分析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，最后代入求
出答案即可．
【解答】解：
＝ • +
＝ +
＝＝
＝
＝ ，
当 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
26．（2022•渠县二模）（1）计算： ；
（2）化简求值： ，m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两根．
【分析】（1）根据实数的混合运算法则，先计算算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值，再计算
加减．
（2）根据分式的混合运算法则，先计算括号内，再计算乘除，最后计算减法，进而再代入求解．
【解答】解：（1）
＝ ﹣1+2× ﹣
＝
＝0．
（2）
＝
＝
＝
＝ ．∵m、n为方程x2﹣3x+1＝0的两根，
∴m2﹣3m+1＝0，mn＝1．
∴ ．
∴原式＝ ．
【点评】本题主要考查算术平方根、零指数幂，特殊角的三角函数值、分式的混合运算、韦达定理，熟练
掌握算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、分式的混合运算法则、韦达定理是解决本题的关键．
27．（2022•德城区模拟）先化简，再求值： ÷ • ，其中x＝ ．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．
【解答】解： • •
＝ ，
当x＝ 时，原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有
括号的先算括号里面的．
28．（2022•定远县模拟）先化简，再求值：（1﹣ ） ，其中x＝2．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ •
＝ ，
当x＝2时，原式＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
29．（2022•南宁二模）先化简，再求值： ，其中x＝2．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝ ，
＝ ，
将x＝2代入得：原式＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
30．（2022•祁阳县校级模拟）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中a2+a﹣2＝0．
【分析】先把原分式进行化简，再求a2+a﹣2＝0的解，代入求值即可．
【解答】解：解a2+a﹣2＝0得a ＝1，a ＝﹣2，
1 2
∵a﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a＝﹣2，
∴原式＝ ÷
＝ •
＝ ，
∴原式＝ ＝ ＝﹣ ．
【点评】本题考查了分式的化简求值以及因式分解法求一元二次方程的解，是重点内容要熟练掌握．
八．负整数指数幂（共1小题）
31．（2022•永城市模拟）计算：（﹣ ）﹣1＝ ﹣ 3 ．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：原式＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数是解题关键．九．二次根式有意义的条件（共3小题）
32．（2022•济源校级模拟）如果二次根式 有意义，那么x应该满足的条件是 x ≤ ，且 x
．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2x+1≠0，且2﹣3x≥0，
解得x≤ ，且x ．
故答案为：x≤ ，且x ．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
33．（2022•大理市一模）使代数式 有意义的x的取值范围是 x ≥ ， x ≠ 3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求解即可．
【解答】解：∵代数式 有意义，
∴3x﹣1≥0，3﹣x≠0，
解得：x≥ ，x≠3．
故答案为：x≥ ，x≠3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义的条件：被开方数为
非负数．
34．（2022•卫辉市校级模拟）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≤ 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接解答．
【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，
可知：﹣x+1≥0，
解得x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】主要考查了二次根式的概念和性质：
概念：式子 （a≥0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．一十．二次根式的性质与化简（共6小题）
35．（2022•吴中区模拟）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简 +|a+b|结果为（ ）
A．2a﹣b B．﹣2a﹣b C．﹣b D．3b
【分析】利用二次根式的性质，绝对值的意义化简即可．
【解答】解：由题意：b＜a＜0，
∴a＜0，a+b＜0．
∴ +|a+b|
＝﹣a﹣a﹣b
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，绝对值的意义，实数与数轴，利用二次根式的性质，绝
对值的意义进行化简是解题的关键．
36．（2022•滨江区一模）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝x4 B．（﹣a2）3＝a6
C． D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【分析】利用幂的运算性质和二次根式的性质，完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵x2+x2＝2x2，
∴A选项的结论错误；
∵（﹣a2）3＝﹣a6，
∴B选项的结论错误；
∵ ＝2，
∴C选项的结论正确；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项的结论错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简与性质，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，正确利用上述
法则与公式进行判断是解题的关键．
37．（2022•曲阜市一模）下列运算正确的是（ ）A． ＝﹣5 B．（﹣ ）﹣3＝﹣27
C．x6÷x3＝x2 D．（x3）2＝x5
【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方可进行判断．
【解答】解：A，根据二次根式的性质 可知 ，不符合题意；
B，根据 知 ，符合题意；
C，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”知x6÷x3＝x6﹣3＝x3，不符合题意；
D，根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知（x3）2＝x6，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方，关键在于熟知法则计
算．
38．（2022•红花岗区二模）已知a，b均为正数，且 ， ， 是一个三角形的
三边的长，则这个三角形的面积是（ ）
A． B．ab C． D．2ab
【分析】构造矩形ABCD，E、F分别为AD、AB的中点，设AD＝2b，AB＝2a，将所求三角形面积转化为
S△CEF ＝S矩形ABCD ﹣S△AEF ﹣S△BCF ﹣S△CDE 即可求解．
【解答】解：如图：
在矩形ABCD中，E、F分别为AD、AB的中点，
设AD＝2b，AB＝2a，
∴EF＝ ，CE＝ ，CF＝ ，
∴S△CEF ＝S矩形ABCD ﹣S△AEF ﹣S△BCF ﹣S△CDE ＝（2a）•（2b）﹣ ab﹣ ×2ba﹣ ×2ba＝ ab．
故选：A．【点评】本题考查二次根式的应用；能够通过构造矩形及直角三角形，将所求三角形的面积转化为矩形和
直角三角形的面积是解题的关键．
39．（2022•安徽模拟）[初步感知]在④的横线上直接写出计算结果：
① ＝1；
② ＝3；
③ ＝6；
④ ＝ 1 0 ．
…
[深入探究]观察下列等式：
①1+2＝ ；
②1+2+3＝ ；
③1+2+3+4＝ ；
…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ．
[拓展应用]通过以上[初步感知]与[深入探究]，计算：
（1） ；
（2）113+123+133+…+193+203．
【分析】④根据前三个式子的结果直接写出答案；根据以上等式的规律直接写出答案；
（1）根据规律直接写出答案；
（2）先把原式化为13+23+33+⋯+183+193+203﹣（13+23+33+⋯+103），根据规律写出算式，然后计算．
【解答】解：④ ＝10，
故答案为：10；
1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ，
故答案为： ；
（1）原式＝1+2+3+4+5+⋯+99+100
＝
＝5050；
（2）原式＝13+23+33+⋯+183+193+203﹣（13+23+33+⋯+103）
＝ ﹣
＝ ﹣
＝44100﹣3025
＝41075．
【点评】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律、整式的加减，掌握这三个知识点的应用，
其中探求规律是解题关键．
40．（2022•南山区模拟）已知a，b，c为正数，判断 与 的
关系是（ ）（提示：数形结合）
A．≤ B．≥ C．＝ D．＜
【分析】利用数形结合法，画出几何图形，利用勾股定理和余弦定理解答即可．
【解答】解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA＝a，BC＝b，BD＝c，连接AC，BD，AD，CD，如图，∵AB⊥BC，
∴AC＝ ＝ ．
∵BP平分∠MBN，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°．
由余弦定理得：
AD＝ ＝ ，
CD＝ ＝ ，
∵AD+CD≥AC，
∴ ≥ ．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，勾股定理，余弦定理，利用数形结合的思想，利用几何图形解
答是解题的关键．
一十一．二次根式的乘除法（共1小题）
41．（2022•青岛一模）化简： ＝ 3 ．
【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式＝ ，约去 得到原式＝（ ）2，然后根
据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：原式＝ ＝（ ）2＝3．
故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的乘除法： • ＝ （a≥0，b≥0）； ＝ （a≥0，b＞0）．也
考查了二次根式的化简与性质．
一十二．二次根式的加减法（共4小题）
42．（2022•南京一模）计算 ﹣ 的结果为 ．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解： ﹣ ＝2 ﹣ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
43．（2022•呼兰区一模）计算： ﹣ ＝ ﹣ 3 ．
【分析】直接化简二次根式进而合并求出答案．
【解答】解： ﹣ ＝3 ﹣3×2 ＝﹣3 ．
故答案为：﹣3 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
44．（2022•南山区模拟）数学课上，同学们对王老师黑板上的题很感兴趣，他们答案都不同，且众说纷
纭．题目如下：
化简：
①小浩说：当a，b，c皆为正数时，化简结果为 ；
②小特说：当a，b，c皆为负数时，化简结果为 ；
③小凌说：当a＜0，b＞0，c＜0时，化简结果为 ；
④小斯说：当a＞0，b＜0，c＜0时，化简结果为 ；
（1）以上同学的说法正确的是 ①③④ （双选）；
（2）请在这四个中任选两个判断其正确性．【分析】根据二次根式的性质化简计算即可．
【解答】解：①当a，b，c皆为正数时，原式＝ + +
＝ + +
＝ ．
故①正确．
②当a，b，c皆为负数时， 0， 无意义，
∴②错误．
③当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝ + +
＝ + +
＝
＝ ．
∴③正确．
④当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝ + +
＝ +
＝
＝ ．
∴①③④正确．
故答案为：①③④．
（2）选①②判断如下：
①当a，b，c皆为正数时，原式＝ + +＝ + +
＝ ．
故①正确．
②当a，b，c皆为负数时， 0， 无意义，
∴②错误．
【点评】本题考查二次根式的性质和计算，掌握相关法则是求解本题的关键．
45．（2022•平房区二模）计算 ﹣ 的结果是 ．
【分析】根据二次根式的性质与二次根式的乘除法法则，将原式化简即可．
【解答】解： ＝
＝
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的加减和化简，而化简的关键在于分母有理化．
一十三．二次根式的混合运算（共6小题）
46．（2022•河东区模拟）计算 的结果等于 ﹣ 1 ．
【分析】先根据平方差公式进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后求出答案即可．
【解答】解：
＝（2 ）2﹣32
＝8﹣9
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此
题的关键．
47．（2022•西青区二模）计算（ ）（ ）的结果等于 4 ．【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝7﹣3
＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，再合并即可．
48．（2022•藤县一模）计算：（﹣3）×2 +sin30°﹣（ ﹣3）0．
π
【分析】先根据有理数的乘法，二次根式的乘法，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再算加减即
可．
【解答】解：（﹣3）×2 +sin30°﹣（ ﹣3）0
π
＝﹣6+6+ ﹣1
＝﹣ ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂等知识点，能正确根据零指数
幂，特殊角的三角函数值和二次根式的乘法法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
49．（2022•花溪区模拟）（1）计算：（﹣2022）0+（ ﹣1）﹣ ．
（2）下面是小星同学进行分式化简的过程：
＝ ……第一步
＝ ……第二步
＝ ……第三步
＝ ……第四步
＝ ……第五步根据上面化简过程，回答下列问题：
①以上化简步骤中，第 三 步进行分式的通分，这一步的依据是 分式的基本性质 ；
②他化简的过程是从第 四 步开始出现错误；
③请完成该分式化简的正确过程，并就分式化简过程中应注意的事项，给其他同学提一条建议．
【分析】（1）利用零指数幂的意义，二次根式的性质进行运算即可；
（2）利用异分母分式的减法法则进行解答即可．
【解答】解：（1）原式＝1+ ﹣1﹣2
＝﹣ ；
（2）①以上化简步骤中，第三步进行分式的通分，这一步的依据是分式的基本性质；
故答案为：三；分式的基本性质；
②他化简的过程是从第四步开始出现错误；
故答案为：四；
③原式＝
＝
＝
＝ ．
进行加减运算时，当括号前面是“﹣”时，去掉括号后括号内的各项都变号．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，二次根式的性质，分式的减法，正确利用上述法
则与性质进行运算是解题的关键．
50．（2022•赛罕区校级模拟）（1）计算： ．
（2）如图，点A、B在数轴上，它们对应的数分别为﹣2， ，且点A、B到原点的距离相等．求x的值．
【分析】（1）二次根式的混合运算与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减；
（2）根据点A、B到原点的距离相等，得|﹣2|＝| |，再根据绝对值相等的两个数有两种关系，分别计
算，注意要检验．【解答】解：（1）原式＝4﹣4﹣ × +2＝1；
（2）∵点A、B到原点的距离相等，
∴|﹣2|＝| |，
∴ ＝2或 ＝﹣2，
∴x＝﹣2或x＝ ，
经检验x＝﹣2或x＝ 都是原方程的解，
∴x＝﹣2或x＝ ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、实数与数轴、负整数指数幂、解分式方程、特殊角的三角函数
值，掌握这些知识点的综合应用，其中绝对值相等的两个数有两种关系是解题关键．
51．（2022•崆峒区校级模拟）计算：﹣16+ ×cos45°﹣20170+3﹣1．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简求出答案．
【解答】解：﹣16 ×cos45°﹣20170+3﹣1
＝﹣1+2 × ﹣1+
＝ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是
解题关键．
一十四．二次根式的化简求值（共1小题）
52．（2022•雄县一模）已知 ， ．则
（1）x2+y2＝ 1 4 ．
（2）（x﹣y）2﹣xy＝ 1 1 ．
【分析】（1）先分母有理化求出x，再去求x﹣y和xy的值，根据完全平方公式进行变形，最后代入求出
答案即可；
（2）把x﹣y＝﹣2 ，xy＝1代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x＝ ＝ ＝2﹣ ，y＝2+ ，
∴x﹣y＝（2﹣ ）﹣（2+ ）＝﹣2 ，xy＝（2﹣ ）×（2+ ）＝4﹣3＝1，
∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（﹣2 ）2+2×1＝12+2＝14，
故答案为：14；
（2）由（1）知：x﹣y＝﹣2 ，xy＝1，
所以（x﹣y）2﹣xy＝（﹣2 ）2﹣1＝12﹣1＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化和完全平方公式等知识点，能求出x﹣y和xy的值
是解此题的关键，注意：（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2．
一十五．二次根式的应用（共4小题）
53．（2022•高青县一模）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为9cm2和8cm2的两张正方形纸片，
则图中空白部分的面积为（ ）cm2．
A．2 +1 B．1 C．8 ﹣6 D．6 ﹣8
【分析】根据S空白部分 ＝S矩形HLFG +S矩形MCEF ，需求HC以及LM．由题意得 （cm2），
，故HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝ ，进而解决此题．
【解答】解：如图．由题意知： （cm2）， ．
∴HC＝3（cm），LM＝LF＝MF＝ ．
∴S空白部分 ＝S矩形HLFG +S矩形MCDE
＝HL•LF+MC•ME
＝HL•LF+MC•LF
＝（HL+MC）•LF
＝（HC﹣LM）•LF
＝（3﹣ ）×
＝ （cm2）．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．
54．（2022•青岛一模）如图，以边长为6 cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm
长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减
掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边形的无盖柱形盒子，则它的容积为 （ 309 6 ﹣ 172 8 ） cm3．
【分析】如图，连接AC．解直角三角形分别求出BC，DE，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC．由题意，AB＝AD＝EF＝4cm，AF＝6 cm，
∴DE＝6 ﹣4﹣4＝（6 ﹣8）（cm），
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，
∴Rt△ACB≌Rt△ACD（HL），
∴CB＝CD，∠CAB＝∠CAD＝60°，
∴BC＝DC•tan60°＝4 （cm），
∴盒子的容积＝底面积×高＝[6× ×（6 ﹣8）2]×4 ＝（3096﹣1728 ）（cm3）．
故答案为：（3096﹣1728 ）．
【点评】本题考查二次根式的应用，正多边形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
55．（2022•湖口县二模）俊俊和霞霞共同合作将一张长为 ，宽为1的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三
次），裁剪出来的图形刚好是4个等腰三角形（无纸张剩余）．霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是
1”；俊俊说：“有一个等腰三角形的腰长是 ﹣1”；那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 1 或
或 2 ﹣ ．
【分析】根据题意画出图形，根据图形可得答案．
【解答】解：如图1方式裁剪，另两个等腰三角形腰长是 或 ；
如图2方式裁剪，另两个等腰三角形腰长都是1．故答案为：1或 或2﹣ ．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，运用三角形的三边关系进行计算是解题关键．
56．（2022•南宁模拟）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古
希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 a，b，c，记p＝ ，则其面积S＝
．这个公式也被称为海伦﹣泰九韶公式．若p＝3，c＝2，则此三角形面积的最
大值是 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，通过变形，可以求得此三角形面积的最大值．
【解答】解：∵p＝3，c＝2，
∴S＝
＝
＝
＝ ，
∵p＝ ，p＝3，c＝2，
∴ ＝3，
∴a+b＝4，
∵（ ）2≥0，
∴a﹣2 +b≥0，
∴4﹣2 ≥0，解得 ≤2，
∴ab≤4，
∴ ≤ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查二次根式的应用、数学常识，解答本题的关键是明确题意，求出ab的最大值．
