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第 03 讲 中考热点分式与二次根式【中考过关真题练】
一．分式的定义（共1小题）
1．（2022•怀化）代数式 x， ， ，x2﹣ ， ， 中，属于分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式 叫做分式判
断即可．
【解答】解：分式有： ， ， ，
整式有： x， ，x2﹣ ，
分式有3个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果 A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式是解题的关键，注意 是数字．
二．分式有意义的条件（共1小题π）
2．（2022•凉山州）分式 有意义的条件是（ ）
A．x＝﹣3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≠0
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，可得3+x≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
3+x≠0，
∴x≠﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
三．分式的值为零的条件（共1小题）
3．（2022•广西）当x＝ 0 时，分式 的值为零．
【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，可得2x＝0且x+2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：
2x＝0且x+2≠0，
∴x＝0且x≠﹣2，
∴当x＝0时，分式 的值为零，
故答案为：0．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
四．分式的值（共1小题）
4．（2022•湖州）当a＝1时，分式 的值是 2 ．
【分析】把a＝1代入分式计算即可求出值．
【解答】解：当a＝1时，
原式＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五．分式的基本性质（共1小题）
5．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵a≠b，
∴ ，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确；故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0的整式，分式的值不
变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
六．约分（共1小题）
6．（2020•湖州）化简： ＝ ．
【分析】直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
七．最简分式（共1小题）
7．（2016•滨州）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、原式为最简分式，符合题意；
B、原式＝ ＝ ，不合题意；
C、原式＝ ＝ ，不合题意；
D、原式＝ ＝ ，不合题意，故选：A．
【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．
八．最简公分母（共1小题）
8．（2020•呼和浩特）分式 与 的最简公分母是 x （ x ﹣ 2 ） ，方程 ﹣ ＝1的解是
x ＝﹣ 4 ．
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），
∴分式 与 的最简公分母是x（x﹣2），
方程 ，
去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），
去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，
移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或﹣4，
∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝2是增根，
∴方程的解为：x＝﹣4．
故答案为：x（x﹣2），x＝﹣4．
【点评】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
九．分式的加减法（共1小题）
9．（2022•山西）化简 ﹣ 的结果是（ ）
A． B．a﹣3 C．a+3 D．
【分析】根据异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
【解答】解： ﹣＝ ﹣
＝
＝
＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法法则是解题的关键．
一十．分式的混合运算（共2小题）
10．（2022•威海）试卷上一个正确的式子（ + ）÷★＝ 被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁
遮住部分的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知分式得出被墨水遮住部分的代数式是（ + ）÷ ，再根据分式的运算法则进行
计算即可；
【解答】解：（ + ）÷★＝ ，
∴被墨水遮住部分的代数式是（ + ）÷
＝ •
＝ •
＝ ；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的化简，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
11．（2022•沈阳）化简：（1﹣ ）• ＝ x ﹣ 1 ．
【分析】先算括号内的式子，然后计算括号外的乘法即可．【解答】解：（1﹣ ）•
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
一十一．分式的化简求值（共2小题）
12．（2022•玉林）若x是非负整数，则表示 ﹣ 的值的对应点落在如图数轴上的范围是（
）
A．① B．② C．③ D．①或②
【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝
＝
＝
＝1，
则表示 ﹣ 的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
故选：B．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．（2022•东营）（1）计算：（ +2）（ ﹣2）+ ÷ ﹣（﹣ ）0+（﹣2sin30°）2022；
（2）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝3，y＝2．
【分析】（1）根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（ ）2﹣22+ ﹣1+（﹣2× ）2022
＝3﹣4+4﹣1+1
＝3；
（2）原式＝[ ﹣ ]•
＝ •
＝ ，
当x＝3，y＝2时，原式＝ ＝5．
【点评】本题考查的是实数的混合运算、分式的化简求值，掌握平方差公式、零指数幂、二次根式的除法
法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
一十二．负整数指数幂（共3小题）
14．（2022•衢州）计算结果等于2的是（ ）
A．|﹣2| B．﹣|2| C．2﹣1 D．（﹣2）0
【分析】根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂解决此题．
【解答】解：A．根据绝对值的定义，|﹣2|＝2，那么A符合题意．
B．根据绝对值的定义，﹣|2|＝﹣2，那么B不符合题意．
C．根据负整数指数幂， ，那么C不符合题意．
D．根据零指数幂，（﹣2）0＝1，那么D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握绝对值、负整数指数幂、零指数幂是解决本题的关键．
15．（2022•长沙）计算：|﹣4|+（ ）﹣1﹣（ ）2+20350．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣4|+（ ）﹣1﹣（ ）2+20350
＝4+3﹣2+1
＝6．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
16．（2022•雅安）（1）计算：（ ）2+|﹣4|﹣（ ）﹣1；
（2）化简：（1+ ）÷ ，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值，负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简
结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝3+4﹣2
＝5；
（2）原式＝ •
＝ •
＝ ，
当a＝﹣2或2时，原式没有意义；
当a＝0时，原式＝ ＝1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，绝对值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解
本题的关键．
一十三．列代数式（分式）（共1小题）
17．（2021•台州）将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（ ）A．20% B． ×100%
C． ×100% D． ×100%
【分析】根据x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，可知含糖的质量为10%x+30%y，要求混合
后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以100%即可．
【解答】解：由题意可得，
混合后的糖水含糖： ×100%＝ ×100%，
故选：D．
【点评】本题考查列代数式（分式），解答本题的关键是明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和，
糖水前后总质量相等．
一十四．二次根式的定义（共1小题）
18．（2013•曲靖）若整数x满足|x|≤3，则使 为整数的x的值是 ﹣ 2 或 3 （只需填一个）．
【分析】先求出x的取值范围，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵|x|≤3，
∴﹣3≤x≤3，
∴当x＝﹣2时， ＝ ＝3，
x＝3时， ＝ ＝2．
故，使 为整数的x的值是﹣2或3（填写一个即可）．
故答案为：﹣2或3．
【点评】本题考查了二次根式的定义，熟记常见的平方数是解题的关键．
一十五．二次根式有意义的条件（共1小题）
19．（2022•湘西州）要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：∵3x﹣6≥0，
∴x≥2，
故选：D．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关
键．
一十六．二次根式的性质与化简（共2小题）
20．（2022•武汉）计算 的结果是 2 ．
【分析】利用二次根式的性质计算即可．
【解答】解：法一、
＝|﹣2|
＝2；
法二、
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“ ＝|a|”是解决本题的关键．
21．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣ + ＝ 2 ．
【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所
求式子化简．
【解答】解：由数轴可得，
﹣1＜a＜0，1＜b＜2，
∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴|a+1|﹣ +
＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）
＝a+1﹣b+1+b﹣a
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．一十七．最简二次根式（共1小题）
22．（2022•杭州）计算： ＝ 2 ；（﹣2）2＝ 4 ．
【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．
【解答】解： ＝2，（﹣2）2＝4，
故答案为：2，4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．
一十八．二次根式的乘除法（共1小题）
23．（2022•随州）已知m为正整数，若 是整数，则根据 ＝ ＝3 可
知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若 是大于1的整数，则n的最小值为 3 ，最大值为
75 ．
【分析】先将 化简为10 ，可得n最小为3，由 是大于1的整数可得 越小， 越小，
则n越大，当 ＝2时，即可求解．
【解答】解：∵ ＝ ＝10 ，且为整数，
∴n最小为3，
∵ 是大于1的整数，
∴ 越小， 越小，则n越大，
当 ＝2时，
＝4，
∴n＝75，
故答案为：3；75．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大
于”，“整数”进行求解．
一十九．分母有理化（共3小题）（多选）24．（2021•潍坊）下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣ ）2＝a2﹣a+ B．（﹣a﹣1）2＝
C． ＝ D． ＝2
【分析】根据完全平方公式判断A，根据负整数指数幂判断B，根据分式的基本性质判断C，根据二次根
式的除法判断D．
【解答】解：A选项，原式＝a2﹣a+ ，故该选项正确；
B选项，原式＝（a﹣1）2＝（ ）2＝ ，故该选项正确；
C选项，根据分式的基本性质，分子，分母都乘或除以一个不为0的数，分式的值不变，不能分子，分母
都加3，故该选项错误；
D选项，原式＝ ，故该选项错误；
故选：AB．
【点评】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，分式的基本性质，二次根式的除法，考核学生的计算
能力，注意 ＝ （a≥0，b＞0）．
25．（2021•娄底）计算：（ ﹣ ）0+ +（ ）﹣1﹣2cos45°．
【分析】根据零指数幂，分母有理化，π负整数指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝1+ +2﹣2×
＝1+ ﹣1+2﹣
＝2．
【点评】本题考查了零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，考核学生的计算能力，
正确进行分母有理化是解题的关键．26．（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ＝ ＝
7+4 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
﹣ ，设x＝ ﹣ ，易知 ＞ ，故x＞0，由x2＝（ ﹣
）2＝3+ +3﹣ ﹣2 ＝2，解得x＝ ，即 ﹣ ＝ ．根据以上方
法，化简 + ﹣ 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5﹣ D．5﹣3
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：设x＝ ﹣ ，且 ＞ ，
∴x＜0，
∴x2＝6﹣3 ﹣2 +6+3 ，
∴x2＝12﹣2×3＝6，
∴x＝ ，
∵ ＝5﹣2 ，
∴原式＝5﹣2 ﹣
＝5﹣3 ，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型．
二十．同类二次根式（共1小题）
27．（2021•泰州）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式
叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．
【解答】解：A、 ＝2 和 不是同类二次根式，本选项不合题意；
B、 ＝2 与 不是同类二次根式，本选项不合题意；
C、 与 不是同类二次根式，本选项不合题意；
D、 ＝5 ， ＝3 是同类二次根式，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
二十一．二次根式的加减法（共2小题）
28．（2022•宁夏）下列运算正确的是（ ）
A．﹣2﹣2＝0 B． ﹣ ＝ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣x3）2＝x6
【分析】直接利用二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A．﹣2﹣2＝﹣4，故此选项不合题意；
B． ﹣ ＝ ，故此选项不合题意；
C．x3+x3＝2x3，故此选项不合题意；
D．（﹣x3）2＝x6，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确掌握相关运算法则是
解题关键．
29．（2022•鞍山）下列运算正确的是（ ）
A． + ＝ B．a3•a4＝a12
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6
【分析】利用二次根式的加法的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进
行运算即可．【解答】解：A、 ，故A不符合题意；
B、a3•a4＝a7，故B不符合题意；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，积的乘方，同底数幂的乘法，完全平方公式，解答的关键是对
相应的运算法则的掌握．
二十二．二次根式的混合运算（共2小题）
30．（2022•安顺）估计（ + ）× 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：原式＝2+ ，
∵3＜ ＜4，
∴5＜2+ ＜6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
31．（2022•青岛）计算（ ﹣ ）× 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
【解答】解：（ ﹣ ）×
＝ ﹣
＝ ﹣
＝3﹣2
＝1，
故选：B．【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
二十三．二次根式的化简求值（共2小题）
32．（2021•荆州）已知：a＝（ ）﹣1+（﹣ ）0，b＝（ + ）（ ﹣ ），则 ＝ 2 ．
【分析】先计算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．
【解答】解：∵a＝（ ）﹣1+（﹣ ）0＝2+1＝3，b＝（ + ）（ ﹣ ）＝3﹣2＝1，
∴
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确
它们各自的计算方法．
33．（2021•岳阳）已知x﹣ ＝ ，则代数式x﹣ ﹣ ＝ 0 ．
【分析】把x﹣ 的值代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣ ＝ ，
∴x﹣ ﹣ ＝ ﹣ ＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键．
