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5.2 求解二元一次方程组
课堂知识梳理
代入消元法：
①解方程的基本思路是“消元”——把“二元”变为“一元”；
②主要步骤是：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并
代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程
组的方法称为代入消元法，简称代入法．
加减消元法：
通过两式相加(减)消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做“加减消元法”，
简称“加减法”．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．我们在解二元一次方程组 时，可将第二个方程代入第一个方程消去x得 ，从而求
解，这种解法体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．函数思想
【答案】A
【解析】
【分析】
通过代入消元法消去未知数x，将二元一次方程组转化为一元一次方程．
【详解】
解：在解二元一次方程组 时，可将第二个方程代入第一个方程消去x得一元一次方程，
，从而求解，
这种解法体现的数学思想是转化思想．故选：A．
【点睛】
本题主要考查了解二元一次方程组，理解消元法（加减消元和代入消元）解二元一次方程组的方法是解答
本题的关键．
2．下列二元一次方程组，不能直接用加减法消元的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据加减消元法的定义进行判断即可．
【详解】
A.两个方程直接相加可以消去y，能直接用加减法消元，故A不符合题意；
B.两个方程直接相减可以消去b，能直接用加减法消元，故B不符合题意；
C.两个方程直接相加可以消去y，能直接用加减法消元，故C不符合题意；
D.两个方程直接相加或相减都不能消去未知数，因此不能直接用加减法消元，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了加减消元法的定义，掌握加减消元的方法，是解题的关键．
3．用代入消元法解方程组 使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【答案】D
【解析】
【分析】
用代入消元法解方程组的第一步，尽量用其中一个未知数表示系数较简便的另一个未知数，据此判断即可．
【详解】
代入消元时，选择未知数系数为1或-1的进行变形代入较简单，②式中y的系数为-1，变形后方程右边不含分母，代入时较简便，可得 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组的代入消元法，熟知在用其中一个未知数表示另一个未知数时，尽量避免出现
分数．
4．解以下两个方程组① ；② 较为简便的方法是（ ）
A．①用加减法、 ②用代入法 B．①用代入法、②用加减法
C．都用代入法 D．都用加减法
【答案】B
【解析】
【分析】
观察两个方程的特点确定出相应的解法即可．
【详解】
解：解下面的两个方程组：① ；② ，
在上列提供的两题解法中，较为简便的是①用代入法，②用加减法．
故选：B．
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．已知方程组 ，下列消元过程不正确的是（ ）
A．代入法消去a，由②得 代入①
B．代入法消去b，由①得 代入②
C．加减法消去a，
D．加减法消去b，
【答案】C
【解析】【分析】
利用代入法和加减法步骤判断即可．
【详解】
解：A、代入法消去a，由②得 代入①，正确，不符合题意；
B、代入法消去b，由①得 代入②，正确，不符合题意；
C、加减法消去a， ，故不正确，符合题意；
D、加证法消去b， ，正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了利用代入法和加减消元法解二元一次方程组的解法，正确掌握解法是解题的关键．
6．已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
C．m＝ ，n＝﹣ D．m＝﹣ ，n＝
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【详解】
解：∵x2m-n-2+ym+n+1＝6是关于x、y二元一次方程，
∴ ，
解得： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键．
7．已知关于 的方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
把两个方程相加，得x+y=2k+1，结合x+y=5，即可求解．
【详解】
解： ，
①+②，得 ，
∴ ，
∵x+y=5，
∴2k+1=5，
解得：k=2，故B正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
8．在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．
下面是甲、乙两个同学解方程组 的解题思路：
甲同学：①+②，得 ③．③ ①得到一元一次方程再求解．
乙同学：②-① ，得 ③．由③，得 ．再代入原方程组中的任意一个方程中，转化为一元
一次方程求解．
通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的思路正确 B．只有乙同学的思路正确
C．甲、乙两同学的思路都不正确 D．甲、乙两同学的思路都正确
【答案】D
【解析】【分析】
根据解二元一次方程组的方法和步骤进行判断即可．
【详解】
解：在解二元一次方程组时，甲同学运用了加减消元法，乙同学运用了代入消元法，解方程思路都正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
9．方程组 的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用加减消元法解二元一次方程组即可得．
【详解】
解： ，
由① ②得： ，
解得 ，
将 代入②得： ，
解得 ，
则方程组的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
10．已知 和 关于x轴对称，则 的值为__________．
【答案】-1【解析】
【分析】
利用关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，列二元一次方程则，解方程组求出m、n，然后
代入代数式计算可得答案．
【详解】
解：∵ 和 关于x轴对称，
∴ ，，
解得 ，
∴ ．
故答案为-1．
【点睛】
此题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，解题关键在于掌握轴对称的性质，
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相
同，
11．已知 、 满足方程组 ，则 ______．
【答案】 ##﹣0.5
【解析】
【分析】
方程组两方程相减得2x－2y＝﹣1，两边同除以2得出x﹣y即可．
【详解】
解：
①－②得，2x－2y＝﹣1，
两边同除以2得，x－y＝ ，故答案为：
【点睛】
此题考查了二元一次方程组，整体法的应用是求解此题的关键．
12．已知关于 ， 的方程组 ，下面结论正确的是______ 写出所有正确结论的序号
①当 时， 是该方程组的解；
②当 时，该方程组的解也是方程 的解；
③无论 取何值， ， 的值始终互为相反数；
④当 取某一数值时， ， 的值可能互为倒数．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
解方程组 ，可得该方程组的解为 ，将a＝1代入，可得结论①正确；当a＝−1时，
可得该方程组的解为 ，代入2x−y＝9a，可得结论②正确；根据相反数和倒数的定义，判断x＋y＝0
及xy＝1是否成立，可得出结论③正确，结论④错误．
【详解】
解：
，得 ，
解得 ，
将 代入 ，
得 ．
该方程组的解为 ．当 时，该方程组的解为 ，
故结论 正确；
当 时，该方程组的解为 ，方程 可化为 ，
将 代入 ，
可知等式成立，
故结论 正确；
若 ， 的值互为相反数，则 ，
，
即无论 取何值， 成立， ， 的值始终互为相反数，
故结论 正确；
假设 ， 的值互为倒数，则 ，
即 ，
得 ，此时无意义，
， 的值不可能互为倒数，
故结论 错误．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解、相反数与倒数的定义．将 看作常数，利用加减消元
法求出 ， 的值是解题的关键．
13．用代入消元法解下列方程组：
（1） （2） （3） （4）
【答案】（1） （2） （3） （4）【解析】
【分析】
各方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】
解：（1）
将①代入②得：
解得：x=4
将x=4代入①得：y=8
∴
（2）
将①代入②得：
解得：y=15
将y=15代入①得：x=5
∴
（3）
由②得：
将③代入①得：
解得：y=2
将y=2代入③得：x=9
∴（4）
由②得：
将③代入①得：
解得：解得：y=0
将y=0代入③得：x=3
∴
【点睛】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．用加减法解下列方程组：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】
直接利用加减消元法，逐一求解即可．
【详解】
解：（1） ，
①+②得：-m=22，解得：m=-22，
把m=-22代入①，得： ，解得：b=77，∴方程组的解为： ；
（2） ，
①-②得：0.4x=-1.2，解得：x=-3，
把x=-3，代入①得： ，解得：y= ，
∴方程组的解为： ；
（3） ，
①+②得：4g=12，解得：g=3，
把g=3代入①得： ，解得：f=3，
∴方程组的解为：
（4） ，
①-②得：2y=-8，解得：y=-4，
把y=-4代入①得： ，解得：x=12，
∴方程组的解为： ．
【点睛】
本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
培优第二阶——拓展培优练15．关于x，y的方程组 有以下两个结论：①当 时，方程组的解也是方程 的解；
②不论a取什么实数，代数式 的值始终不变．则（ ）
A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误
【答案】C
【解析】
【分析】
先解得二元一次方程组的解为 ，再进行判断即可．
【详解】
，
解方程组得： ，
当a=1时， ，即有x+y=0，
即x+y≠2，故①错误；
由 可得：2x+y=2a+6-2a-2=4，
即2x+y=4为定值，故②正确，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的相关知识，正确解得 是解答本题的关键．
16．已知关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m、n的二元一次方程组的解为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用整体代值的数学思想可以得到m+n与m﹣n的值，然后解关于m、n的方程组即可求解．
【详解】
解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解为 ，
∴关于m、n的二元一次方程组 中 ，
∴解这个关于m、n的方程组得： ．
故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握整体代值的数学思想，对于学生的能力要求比较
高．
17．若关于x，y的方程组 的解适合方程 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据加减消元法解二元一次方程组①+②得， ，代入 即可求解．
【详解】解： ，
②+①得 ，
，
关于x，y的方程组 的解适合方程 ，
，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，二元一次方程的解，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题
的关键．
18．解下列方程组：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先将原方程的第一个方程去括号、移项、合并同类项，第二个方程去分母，化简成 ，
再利用代入消元法解题；
（2）先将原方程的第一个方程去分母、去括号、移项、合并同类项，第二个方程去括号，化简，整理成
，再利用代入消元法解题．
【详解】解：（1）
整理得，
由①得， ③
把③代入②得，
把 代入③得
（2）
整理得，
由②得， ③
把③代入①得
把 代入③得，
．
【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
19．解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】
先去括号，整理后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】
解：原方程整理得 ，
①+②得 ，
解得 ，
将 代入①得 ，
解得 ，
原方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键．
20．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ，乙看错了方
程组中的b，而得解为 ，根据上面的信息解答：
(1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？
(2)求出正确的a，b的值；
(3)求出原方程组的正确解，并代入代数式 求值．
【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3(2)5
(3)-64
【解析】
【分析】
（1）根据题意把 代入①求出a，然后把 代入②求出b，进而问题得解；
（2）根据题意把 代入②求出b，然后把 代入①求出a，进而问题得解；
（3）由（2）可求出方程组的解，然后代值求解即可．
(1)
解：把 代入①，得 ，解得 ；
把 代入②，得 ，解得 ．
∴甲把a看成了1，乙把b看成了3．
(2)
解：把 代入①，得 ，解得： ；
把 代入②，得 ，解得： ．
(3)
解：由（2）可得原方程组为 ，
解得原方程组的正确解为： ．
∴ ．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的解法及代数式的值，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．21．阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组 ，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______；
(2)如何解方程组 呢，我们可以把 ， 分别看成一个整体，设 ，
，很快可以求出原方程组的解为______；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于 ， 的方程组 与 有相同的解，求 ， 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）由（1）可得 ，求解即可；
（3）由题意可得 和 有相同的解，先求出am＝6，bn＝7，再求a、b的值即可．
(1)
，，得 ，
解得 ，
将 代入 得， ，
方程组的解为 ，
故答案为： ；
(2)
由 可得 ，
，
故答案为： ；
(3)
由题意可得 和 有相同的解，
，
，得 ，
将 代入 可得， ，
，
解得 ，，
解得 ，
， ，
解得 ， ．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并用整体思想
解题是关键．
22．仔细阅读下面解方程组得方法，然后解决有关问题．
解方程组 时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．
解：①－②，得 ，即 ③，
③×16，得 ④，
②－④，得： ，
将 代入③得： ，
∴方程组的解为： ．
(1)问题解决，请你采用上述方法解方程组
(2)延伸探究：请你采用上述方法填空： ，则 ＝ ．
【答案】(1)
(2)1
【解析】
【分析】
（1）先把两式相减得出x+y的值，再把x+y的值与2011相乘，再用加减消元法求出x的值，再代入方程求
出y的值即可；（2）先把两式相减得出（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b的值，由a－b≠0，得到x＋y＝1，再用加减消元法求
出y的值，再代入方程求出x的值即可．
(1)
解： ，
①−②，得：2x＋2y＝2，即x＋y＝1③，
③×2011，得：2011x＋2011y＝2011④，．
②−④，得：x＝−1，．
将x＝−1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为： ；
(2)
解： ，
①－②，得：（a－b）x＋（a－b）y＝a－b，
∵ a≠b，
∴a－b≠0，
∴x＋y＝1③，
③×（b＋2），得：（b＋2）x＋（b＋2）y＝b＋2④，
④－②，得：y＝2，
把y＝2代入③得：x＋2＝1，
解得：x＝﹣1，
∴方程组的解为： ，
∴x＋y＝1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵23．（2022·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去 可以得到
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】
解：将①式代入②式得，
，
故选B．
【点睛】
本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
24．（2022·贵州黔东南·中考真题）若 ，则 的值是________．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据非负数之和为0，每一项都为0，分别算出x，y的值，即可
【详解】
∵
∴解得：
故答案为：9
【点睛】
本题考查非负数之和为零，解二元一次方程组；根据非负数之和为零，每一项都为0，算出x，y的值是解
题关键
25．（2022·湖北随州·中考真题）已知二元一次方程组 ，则 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
直接由②-①即可得出答案．
【详解】
原方程组为 ，
由②-①得 ．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解．
26．（2022·山东潍坊·中考真题）方程组 的解为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
用①×2+②×3，可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入②求出y即可．
【详解】解： ，
①×2+②×3，得13x=26，
解得：x=2，
把x=2代入②，得6-2y=0，
解得y=3，
故方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是
解题的关键．
27．（2022·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】
利用加减消元法可解答．
【详解】
解：
①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
∴原方程组的解为： ．【点睛】
本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
28．（2022·广西柳州·中考真题）解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】
用加减消元法解方程组即可．
【详解】
解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程组的解为： ．
【点睛】
本题考查解方程组，解二元一次方程组的常用方法：代入消元法和加减消元法，选择合适的方法是解题的
关键．
