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5.2 分式的运算
题型一 分式乘法
1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算 的结果是（ ）
A． B． C．2 D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（25-26八年级上·河北张家口·月考）计算 ．
3．（25-26八年级上·天津·月考）计算： ．（在分式有意义的条件下）
4．（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算：
(1)
(2)
5．（25-26八年级上·福建莆田·月考）计算：
题型二 分式除法
1．（25-26八年级上·全国·期末）若 的运算结果为整式，则“ ”中的式子可能是 （
）
A． B． C．b D．
2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若 运算的结果是整式，则“■”代表的式子可能是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （ ）
A．1 B．a C． D．
4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算： ．
5．（25-26八年级上·云南昭通·月考）计算： = ．
6．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ．
7．（25-26八年级上·河北唐山·月考）计算
(1)
(2)
题型三 分式乘除混合运算
1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）化简： ＝ ．
2．（25-26八年级上·山东威海·期中）计算： = ．
3．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ．
4．（25-26八年级上·山东德州·月考）计算：
(1)
(2)
5．（24-25八年级上·吉林·期末）计算： ．
6．（25-26八年级上·北京·期中）化简： ．
题型四 分式乘方
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）计算：
（1） ；（2） ；
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学科网（北京）股份有限公司（3） ；（4） ．
3．（25-26七年级上·上海·月考）计算： （结果不含负指数幂）．
4．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期末）计算：（1） ；（2） ；（3）
．
5．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算 ．
6．（25-26八年级上·广西崇左·月考）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) （n为正整数）．
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学科网（北京）股份有限公司8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型五 含乘方的分式乘除混合运算
1．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： ．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ．
3．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ．
4．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
5．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算：
(1)
(2)
6．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算
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(2)
题型六 同分母分式加减法
1．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）若 ，则□中的数是（ ）
A． B． C． D．任意实数
2．（25-26八年级上·全国·期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．2
3．（20-21八年级下·甘肃天水·期末）计算 ．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ．
5．（25-26八年级上·广西桂林·月考）计算： ．
6．（24-25七年级上·上海·期末）计算： ．
7．（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： ．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： ．
9．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算： ．
10．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算： ．
题型七 最简公分母
1．（25-26八年级上·云南昭通·月考）分式 和 的最简公分母是（ ）．
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）分式 ， ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·青海海东·期末）分式 与 的最简公分母是 ．
4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分式 ， 的最简公分母是 ．
5．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）分式 和 的最简公分母为 ．
6．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）分式 的最简公分母是 ．
7．（25-26七年级上·上海宝山·月考）分式 ， 的最简公分母是 ．
8．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）分式 、 、 的最简公分母是 ．
9．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）分式： 的最简公分母是
题型一 通分
1．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若将分式 与 通分，则分式 的分子应变为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）把 ， ， 通分后，各分式的分子之和为
．
3．（25-26八年级上·北京房山·期中）小亮和小茵两位同学对异分母分式加减法运算和解分式方程进行了
对比学习：
小亮同学的做法：
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学科网（北京）股份有限公司…第一步
…第二步
…第三步
小茵同学的做法：
…第一步
…第二步
…第三步
…第四步
（1）小亮同学第一步的运算是通分，其依据是 ；
（2）小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是 ．
4．（25-26八年级上·河北邢台·月考）将分式 通分时，需要把 的分子、分母同时乘以
．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分：
(1) 与 ；
(2) 与 ；
(3) ， ， ．
6．（25-26八年级上·山东·课后作业）通分：
(1) ， ；
(2) ， ， ．
7．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）求下列各式的最简公分母，并通分．
， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司题型二 异分母分式加减法
1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·上海金山·月考）计算 ．
3．（25-26八年级上·北京·月考）计算 的结果是 ．
4．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算： ．
5．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算： ．
6．（25-26七年级上·上海·月考）计算：
7．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）计算： ．
题型三 整式与分式相加减
1．（2025·河南平顶山·三模）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西·一模）化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）计算 的结果是 ．
4．（2025·浙江·模拟预测）计算： 的结果是 ．
5．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）计算：
(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）化简：
(1)
(2)
7．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知 ，其中 ．
(1)判断A与B的大小关系，并说明理由．
(2)若a为整数时，设 ，求整数y的值．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．（25-26八年级上·全国·期末）在八年级上册数学课本第148页，探讨了 ，根据公式
若有 ，则 的值为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（25-26八年级上·山东德州·月考）A，B为常数，如果 ，则 ．
3．（25-26七年级上·上海·月考）若 ，且A，B均为常数，则 ．
4．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）若 ，则 ．
5．（25-26八年级上·山东威海·期中）已知 ，则 的值为 ．
6．（25-26七年级上·上海宝山·月考）已知 ，求 的值．
题型五 分式加减混合运算
1．（24-25八年级下·重庆·期中）化简：
2．（25-26八年级上·重庆·期末）计算：
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(2)
3．（25-26八年级上·山东淄博·月考）计算：
(1) ；
(2) ．
4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ．
(2) ．
5．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算：
(1)
(2)
(3)
(4) ；
(5)先化简，再求值： ，其中 ．
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
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学科网（北京）股份有限公司(4) ．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
题型六 分式加减乘除混合运算
1．（25-26八年级上·山东淄博·月考）化简 的值为 ．
2．（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算
(1)
(2)
(3)
3．（24-25八年级上·北京·期末）计算： ．
4．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
5．（2025八年级上·北京·专题练习）计算：
6．（25-26七年级上·上海·月考）计算：
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学科网（北京）股份有限公司7．（22-23八年级上·北京丰台·期末）计算： ．
8．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算：
(1)
(2)
9．（2025八年级上·全国·专题练习）化简： ．
10．（25-26八年级上·天津和平·期末）计算：
(1) ；
(2) ．
11．（25-26八年级上·天津·月考）分式计算
(1)
(2)
题型七 分式化简求值
1．（25-26八年级上·广西柳州·月考）（1）因式分解： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
2．（北京市朝阳区2025--2026学年八年级上学期数学期末试卷）先化简，再求值：
，其中 ．
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学科网（北京）股份有限公司3．（2025八年级上·福建厦门·专题练习）化简并求值： ，其中 ．
4．（25-26八年级上·河南许昌·月考）先化简，再求值
已知 ，求 的值．
5．（25-26八年级上·河北张家口·月考）先化简再求值： ，其中 ．
6．（25-26八年级上·云南昆明·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
7．（25-26九年级上·福建厦门·月考）先化简，再求值： ，其中 ．
8．（25-26八年级上·云南昭通·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
9．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
题型八 分式加减的实际应用
1．（25-26八年级上·山东泰安·期中）有甲、乙两名采购员去同一家红富士苹果公司分别购买两次红富士
苹果，两次购买红富士苹果价格分别为 元/千克和 元/千克，且 ，两名采购员的采购方式也不同，
其中甲每次用去800元，乙每次购买100千克．请判断甲、乙的购货方式 合算．（填“甲”或
“乙”或“一样”）
2．（25-26九年级上·北京·月考）实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水．
若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用 斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂
洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
若采用两次漂洗的方式．第一次用 斤清水漂洗后，再用 斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污
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学科网（北京）股份有限公司物是原来的 ．
数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣
服中存有的污物是原来的 ；
实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）．
推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约 斤的污水．用 斤清水两次漂洗．
方案A：第一次用 斤清水，第二次用 斤清水，其中 ；
方案B：第一次和第二次都用 斤清水．
请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳．
3．（25-26八年级上·北京昌平·期末）甲、乙二人在公园健身步道起点同时进行健走运动，他们沿着一个
方向到同一个终点，甲一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走：乙一半时间以速度a行走，另
一半时间以速度b行走．起点到终点的路程为s．
(1)分别用含a，b，s的式子表示甲、乙二人到达终点所需的时间 和 ；
(2)谁先到达终点？并说明理由．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）我们知道，一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大，采光
越好．在某房间的设计图中，房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为m， ，且 ．小明提出，若
把该房间窗户与房间地面的面积都增加a，采光会更好．你认为小明的说法正确吗？
5．（2025八年级上·全国·专题练习）一条小船顺流航行 后，又立即返回原地．如果船在静水中的速
度为 ，水流的速度为 ，那么顺流航行比逆流航行少用多少小时？
6．（2025八年级上·全国·专题练习）某地有 的沙漠，原计划每年治理 ．为了尽快改善生态环
境，当地加大了治理力度，每年比原计划多治理 ．照此计算，该地实际可比原计划提前几年使全部
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学科网（北京）股份有限公司沙漠得到治理？
7．（25-26八年级上·全国·课后作业）小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字
的文稿需要bh．
(1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？
(2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？
(3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？
8．（25-26八年级上·全国·课后作业）某种商品，原来每盒的售价为p元，现在每盒的售价降低了2元．
那么同样用500元钱购买这种商品，现在可比原来多买多少盒？
9．（25-26八年级上·广东广州·期中）小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次
油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油
方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300
元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元 ．
(1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）：
小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为
元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升．
(2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由．
题型一 分式的最值
1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我
们把这样的式子称作交换对称式．
例如： ，它们都是交换对称式．已知： ，
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学科网（北京）股份有限公司①若 ，则交换对称式 ；
②若 ，则交换对称式 的最小值为 ．
2．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）阅读材料：
已知 为非负实数， ，当且仅当
“ ”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知 ，
求代数式 的最小值．
解：令 ，则由 ，得 ．
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知 ，则当 ___________时，代数式 取到最小值，最小值为___________．
(2)用篱笆围一个面积为 的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最
短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知 ，则自变量 取何值时，函数 取到最大值？最大值为多少？
(4)若 为任意实数，代数式 的值为m，则m的取值范围为___________．
3．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司，则 和 都是和谐分式
(1)将“和谐分式 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(2)应用：求分式 的最大值；
(3)应用：先化简 ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
4．（25-26八年级上·上海·月考）阅读下面内容：当 ， 时， ，
，当且仅当 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为________；当 时， 的最大值为________．
(2)当 时，求 的最小值．
(3)如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 、 的面积分别为4和9，求四边形
面积的最小值．
5．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行
了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形
式，例如： ，而且他发现这样的变形可以优化计算．
材料二：
求代数式 的最小值．
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
的最小值为 ．
解决下列问题：
(1)如果分式 可以变形为 （ ， 为实数），则 _____； _____；
(2)求代数式 的最大值．
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