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5.2 分式的运算
题型一 分式乘法
1．【答案】A
2．【答案】 /0.5
3．【答案】
4．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的加法、分式的乘法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的加法法则计算即可；
（2）根据分式的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
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5．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
根据分式乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
题型二 分式除法
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】
5．【答案】
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）两个分式相乘，直接进行约分即可；
（2）首先对分子、分母分别进行因式分解，运用分式的除法法则把除法变为乘法，然后继续约分即可．
【详解】（1）解：原式
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（2）解：原式
．
7．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查分式的运算；
（1）同分母分式相加，分母不变，分子相加即可；
（2）将分式除法转化为分式乘法来计算，对分子、分母进行因式分解，先约分，再计算即可．
【详解】（1）解： ．
（2）解： ．
题型三 分式乘除混合运算
1．【答案】
2．【答案】
3．
【答案】
【分析】本题考查分式乘除混合运算．
对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可．
3 / 53
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
4．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查完全平方公式及分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4 / 53
学科网（北京）股份有限公司5．
【答案】
【分析】本题考查分式的乘除法，利用分式的乘除法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
6．
【答案】1
【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
先化除为乘，然后再运用分式乘法运算法则计算即可．
【详解】解：
．
题型四 分式乘方
1．【答案】B
2．【答案】 1 / /
3．【答案】
4．【答案】 1
5．【答案】
6．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键．
（1）根据分式的乘方运算法则求解即可；
（2）根据分式的乘方运算法则求解即可；
（3）根据分式的乘方运算法则求解即可；
（4）根据分式的乘方运算法则求解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
7．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的乘方的计算和分式乘方法则，对分子、分母分别进行乘方，即可得到结果．
（1）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案；
（2）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案；
（3）根据有理数的乘方计算和分式乘方法则，对分子、分母分别乘方即可求出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
（3）解： ．
8．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查分式的乘方运算，解题时利用 “分式乘方要把分子、分母分别乘方” 的法
则，结合幂的乘方、积的乘方性质计算，关键是正确处理分子分母的乘方及符号，易错点是
漏乘方或符号错误；
（1）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简；
（2）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简；
（3）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简；
（4）对每个分式的分子、分母分别进行乘方运算，再结合幂的运算性质化简．
【详解】（1）解：
；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
题型五 含乘方的分式乘除混合运算
1．
【答案】
【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，掌握好分式运算的法则是关键．
根据含乘方的分式乘除混合运算的法则进行计算即可．
【详解】解： ．
2．
8 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式
乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
3．
【答案】
【分析】本题考查的是含乘方的分式的乘除混合运算，先计算乘方，再计算乘除即可．
【详解】解：
．
4．
【答案】(1)
(2)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，再算乘法即可解答；
（2）先计算除法，再算减法即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算．
（1）根据分式的乘除运算法则计算即可．
（2）先计算乘方，再计算乘除即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
10 / 53
学科网（北京）股份有限公司．
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除法运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的
计算方法．
（1）先计算乘方，再算乘除法即可；
（2）根据平方差公式、完全平方公式和分式的除法的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
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题型六 同分母分式加减法
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】 /
7．【答案】
8．【答案】
9．
【答案】 ．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减
法法则计算即可．
【详解】解：原式
．
10．
【答案】 ．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先变形，然后根据分式的加减
法法则计算即可．
12 / 53
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：原式
．
题型七 最简公分母
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】 /
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】
7．【答案】
8．【答案】
9．【答案】
题型一 通分
1．【答案】A
2．【答案】
3．【答案】 分式的基本性质 等式的性质
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学科网（北京）股份有限公司4．【答案】
5．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) ， ，
【分析】本题考查了分式的通分．
（1）找出最简公分母，进而通分即可；
（2）找出最简公分母，进而通分即可；
（3）找出最简公分母，进而通分即可．
【详解】（1）解：最简公分母是 ， ， ；
（2）解：最简公分母是 ， ， ；
（3）解：最简公分母是 ， ， ，
．
6．
【答案】(1) ，
(2) ， ，
【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键
（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；
（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：最简公分母是 ，
，
；
（2）解：最简公分母是 ，
，
，
．
7．
【答案】 ， ，
【分析】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键．
根据确定最简公分母的方法即可判断．
【详解】解： ， ， 的最简公分母是 ，
通分后为 ， ， ．
题型二 异分母分式加减法
1．【答案】B
2．【答案】
3．【答案】
4．
15 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】 ．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法
法则计算即可．
【详解】解：原式
.
5．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关
键是通分，通分的关键是找最简公分母．
先将原式通分后化成同分母的分式再进行加减运算，最后约分化简成最简分式．
【详解】解：
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6．
【答案】
【分析】本题考查了异分母分式的减法．
先将分式通分，再按同分母分式的加减法法则计算，然后约分化简即可．
【详解】解：原式
7．
【答案】 ．
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的减法法则是解决此题的关键．先通分，然后根据分式的减法
法则计算即可．
【详解】解：原式
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题型三 整式与分式相加减
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】2
4．【答案】
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）先通分，再运算分式的减法，即可作答；
（2）先通分，再运算分式的加法，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
6．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本运算法则和运算顺序．
（1）先通分，然后加减约分化为最简分式即可；
（2）先通分化为同分母的分式加减解题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
7．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键
（1）利用作差法比较 与 的大小关系即可；
（2）先根据分式的加减运算法则计算，得出 ，再根据 为大于0的整数， 为整数，即可确定
的值，从而求出整数 的值．
【详解】（1）解： ，
19 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
，
；
（2） ，
为大于0的整数， 为整数，
20 / 53
学科网（北京）股份有限公司或 ，
或 或 或 ，
，
，
．
题型四 已知分式恒等式，确定分子或分母
1．【答案】B
2．【答案】2
3．【答案】
4．【答案】
5．【答案】2
6．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将右边通分后比较分子系数，得
到关于 和 的方程组，解方程组求出 和 ，再计算 的值．
【详解】解：
,
，
，
，
，
21 / 53
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
．
题型五 分式加减混合运算
1．【答案】
2．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键：
（1）利用单项式乘以多项式和完全平方公式进行计算即可；
（2）先计算括号内，再通分进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
3．
22 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的乘除、加减运算法则以及因式分解．
（1）先将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，再进行乘法运算化简．
（2）先对分母因式分解，通分后将分子相减，再化简分子得出结果．
【详解】（1）解：
（2）
．
4．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ，
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的
运算法则．
（1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可；
（5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
25 / 53
学科网（北京）股份有限公司（4）解：
；
（5）解：
将 代入上式得，
原式 ．
6．
【答案】(1)
(2)
(3)
26 / 53
学科网（北京）股份有限公司(4)
【分析】本题考查了分式加减法的混合运算，理解通分的运算法则，分式的加减法运算法则是解答关键．
（1）先通分，再利用分式加减法运算法则求解；
（2）先通分，再利用分式加减法运算法则求解；
（3）先通分，再利用分式减法运算法则求解；
（4）先变号，再通分，再利用分式减法运算法则求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
27 / 53
学科网（北京）股份有限公司．
7．
【答案】(1) ；
(2)2；
(3) ．
【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
（1）原式先通分，再化简即可；
（2）先利用平方差公式，再化简即可；
（3）先对前两项进行计算，再对最后一项约分，接下来通分，再化简即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
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学科网（北京）股份有限公司．
题型六 分式加减乘除混合运算
1．【答案】
2．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算．
（1）先计算同底数幂的乘法，再计算积的乘方，最后合并同类项即可．
（2）先计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可．
（3）先计算分式乘法，再计算分式加减法即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
29 / 53
学科网（北京）股份有限公司（3）解：
3．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把对应分式的分子和分母分解因式，再计算分式乘法，接着
通分并化简即可得到答案．
【详解】解：
．
4．
30 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则、去括号法则
和合并同类项法则，几种常见的分解因式的方法．
（1）根据多项式乘多项式法则、去括号法则和合并同类项法则进行计算即可；
（2）先把能够分解因式的分子和分母分解因式，再把除法化成乘法，然后先算乘法，再算减法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
5．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的计算，熟练掌握分式的计算顺序和法则，是解题的关键．先算括号内减法，再
算除法．
【详解】解：
．
6．
31 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【详解】解：原式
．
7．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算．先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可．
【详解】解：
8．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式、分式的混合运算．
（1）根据平方差、完全平方公式化简，再合并同类项即可；
（2）先把分式的分子、分母因式分解，再根据分式除法法则计算即可得答案．
32 / 53
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
9．
【答案】
【分析】本题考查分式运算的综合化简，涉及分式的乘法、除法以及因式分解与约分技巧．首先应将原式
中的除法转化为乘法，统一为乘法运算，然后对各个分式进行因式分解，寻找可以约去的公因式，最后化
简得到最简形式．
【详解】解：
．
10．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，再算乘法即可解答；
（2）先计算除法，再算减法即可．
33 / 53
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
11．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是
解决此题的关键．
（1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解；
（2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
34 / 53
学科网（北京）股份有限公司．
题型七 分式化简求值
1．
【答案】（1） ；（2） ，8
【分析】本题主要考查了因式分解，分式的混合运算及化简求值．熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据提公因式法和公式法分解因式即可；
（2）先化简分式，然后代入计算即可
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
35 / 53
学科网（北京）股份有限公司2．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解、分式的乘除运算法则是解题的关键．先对
各分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式完成化简，最后代入 计算求值．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
3．
【答案】 ； ．
【分析】本题考查了分式的化简求值．
先计算减法，再计算除法，最后将 代入化简结果计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式
36 / 53
学科网（北京）股份有限公司．
4．
【答案】 ；
【分析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键．
先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最
后把 代入进行计算即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
5．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，首先计算括号里面的加法，再把除法化成乘法，约分得出化简结果，
再代入x的值计算即可．
【详解】解：
37 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，
原式 ．
6．
【答案】 ；2
【分析】本题考查了分式的加法及乘除法运算，分式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题关键；
先利用通分计算括号里的分式加法运算，再计算分式的乘除法，最后将 的值代入求解即可；
【详解】解：
；
把 代入 得： ；
7．
【答案】 ，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的加法运算，再计算分式的除法
运算，再把 代入计算即可．
【详解】解：
38 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，原式 ．
8．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
先将括号内通分后相减，括号外因式分解，然后除法转化为乘法，然后约分化简到最简，最后将m的值代
入即可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
9．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
39 / 53
学科网（北京）股份有限公司，
当 时，原式 ．
题型八 分式加减的实际应用
1．【答案】甲
2．
【答案】数据计算： ， ；实验结论：二；推广证明：方案 更好，计算见解析
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的 分别计算即可：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的 分别计算，然后比较即可．
【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，
故答案为： ， ；
实验结论： ，
∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少，
∴方案二的漂洗效果最好．
故答案为：二；
40 / 53
学科网（北京）股份有限公司推广证明：方案A结果：
方案B结果：
方案 更好
3．
【答案】(1) ，
(2) 时，两人同时到； 时，乙先到．
【分析】本题主要考查分式的性质以及化简，熟练掌握分式的性质及化简，利用作差法比较大小是解决本
题的关键．
（1）根据题意，甲利用时间等于路程除以速度，分别计算两段路程所需的时间再相加，乙先求出平均速
度，再计算时间即可；
（2）将两人所需的时间作差，化简后讨论差的正负即可判断．
【详解】（1）解：由题意得：
甲所需的时间为：
41 / 53
学科网（北京）股份有限公司乙所需的时间为：
（2）解：∵
∵
∴当 时， ，两人同时到；
当 时， ， ，即 ，则乙先到．
答： 时，两人同时到； 时，乙先到．
4．
【答案】正确
【分析】本题主要考查了分式的加减运算及作差法比较大小，熟练掌握作差法比较分式大小的方法是解题
的关键．
通过计算增加面积前后窗户与地面面积的比值之差，判断差值的正负，从而确定采光是否变好．
【详解】解：设原来窗户面积与地面面积的比值为 ，
增加面积后，新比值为 ．
∵
又 ∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴把该房间窗户与地面的面积都增加a，采光更好，小明的说法正确．
5．
42 / 53
学科网（北京）股份有限公司【答案】 小时
【分析】本题考查分式加减的应用，先求出顺流速度，再求出逆流速度，根据时间=路程÷速度，分别求出
逆流航行时间，顺流航行时间，相减即可得出顺流航行比逆流航行少用时间．
【详解】
解：依题意有 小时.
答：顺流航行比逆流航行少用 小时．
【点睛】
6．
【答案】
【分析】本题考查分式加减的实际应用，先分别求出原计划治理沙漠所需的时间和实际治理沙漠所需的时
间，再通过作差得到实际比原计划提前的时间．
【详解】解：原计划治理沙漠所需的时间为 年，
实际治理沙漠所需的时间为 年，
则提前的时间为： ，
答：该地实际可比原计划提前 年使全部沙漠得到治理．
7．
【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打 千字；小华在计算机上平均每小时打 千字
(2) 千字
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学科网（北京）股份有限公司(3) 千字
【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键；
（1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度；
（2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可；
（3）将（1）所求的相减即可．
【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打 千字，小华在计算机上平均每小时打 千字；
答：小明和小华在计算机上平均每小时各打 千字和 千字；
（2）解： 千字，
答：两人共打文稿 千字；
（3）解： 千字，
答：小明比小华平均每小时多打 千字．
8．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式减法的应用，通过计算原来和现在用500元能购买的盒数之差，得到多买的
盒数．利用分式的通分和化简求解．
【详解】解：原来每盒售价p元，500元可购买 盒；
现在每盒售价 元，500元可购买 盒．
现在比原来多买 （盒）
答：现在可比原来多买 盒．
9．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
， ， ，
(2)
小慧的爸爸的加油方式比较合算．
【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题
的关键；
（1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可；
（2）根据题意利用作差法进行分析比较即可．
【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费 元，夜间加油花费 ，
∴小军爸爸一天加2次油共花费 元，
小慧爸爸一天加2次油共花费 元，
小军的爸爸在这天加油的平均单价是： （元/升），
小慧的爸爸在这天加油的平均单价是： （元/升）．
故答案为： ， ， ， ．
（2）解： ，
而 ， ， ，所以
从而 ，即 ．
因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算．
题型一 分式的最值
1．【答案】
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学科网（北京）股份有限公司2．
【答案】(1) ，
(2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
(3)当 时，函数取到最大值，最大值为
(4)
【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理
解题意；
（1）根据题中所给方法进行求解即可；
（2）设这个矩形的长为x米，则宽为 米，（ ），由题意得：所用篱笆的长度为 米，
然后根据题中所给方法进行求解即可；
（3）由题意易得 ，然后根据题中所给方法可知代数式 的最小值为
，然后问题可求解；
（4）由题意可分：当 时，当 时，当 时，然后根据题中所给方法可分类进行求解．
【详解】（1）解：由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为 ；
故答案为： ， ．
（2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为 米，（ ），由题意得：
所用篱笆的长度为 米，
由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为20；
∴宽为 米，所用篱笆的长度为 米，
答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米
（3）解：∵ ，
∴由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为6，
∴代数式 的最小值为 ，
∴函数 的最大值为 ；
∴当 时，函数取到最大值，最大值为 ；
（4）解：由题意可分：当 时，则 ；
当 时，则 ，
由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时，代数式取到最小值，最小值为 ，
∴ 的最大值为 ，
当 时，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，代数式取到最大值，最大值为 ，
∴ 的最小值为 ，
综上所述：m的取值范围为 ．
3．
【答案】(1)
(2)最大值是5
(3) ，当 时，分式运算的结果是整数
【分析】此题考查分式的化简求值，正确理解题意，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据同分母分式加法将各分式变形即可；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答；
（3）将分式变形结果为 ，根据分式的性质得到x的值．
【详解】（1）解：
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学科网（北京）股份有限公司；
（2）解： ，
∵ ，
∴ 的最小值为1，
∴ 的最大值为3，
∴ 的最大值为5，
∴分式 的最大值是5，
（3）解：
，
当 时， 是整数；
即当 时， 是整数；
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学科网（北京）股份有限公司∵分式有意义，
∴ ，
故只有当 时，分式的值为整数．
∴当 时，分式运算的结果是整数
4．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查分式的值、三角形的高与面积的关系及完全平方公式，熟练掌握分式的求值及完全
平方公式是解题的关键；
（1）根据题中所给公式可直接进行求解；
（2）由题意可把所求分式进行变形，然后再利用公式进行求解最值即可；
（3）设 ，由题意易得 ，则有 ，然后根据题中所给公式可进
行求解．
【详解】（1）解：当 时， ；
∴当且仅当 时，即当 时， 有最小值2；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即 ．
∴当且仅当 时，即当 时， 有最大值 ；
故答案为：2， ；
（2）解：当 时，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴当 时，当且仅当 时，即当 时，y的最小值为11；
（3）解：设 ，
∵ ，
∴由等高三角形可得： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为： ，当且仅当 ，即 时取等号，
即四边形 面积的最小值为25．
5．
【答案】(1)
， ；
(2)
．
【分析】本题主要考查了分式的基本性质、完全平方公式的应用、类比思想的运用，正确理解题意是解题
的关键．
仿照阅读材料中的解题思路，可得：原式 ，类比可得： ， ；
类比 中的解题思路，可得：原式 ，把分母进行配方可得：
，根据平方的非负性可知 的最小值是 ，所以 的最
大值是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：
，
， ，
故答案为： ， ；
（2）解：
可得： ，
，
，
的最小值是 ，
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学科网（北京）股份有限公司的最大值是 ，
的最大值是 ，
的最大值为 ．
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