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第六章 平行四边形
6.1 平行四边形的性质
第 1 课时 平行四边形边和角的性质
【素养目标】
1.理解平行四边形的概念．
2.经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流，掌握平行四边形边、角的性质，进一步
增强几何直观、空间观念和推理能力．
3.能利用平行四边形边、角的性质解决问题，培养学生的数学应用意识，发展分析问
题、解决实际问题的能力．
重点：理解平行四边形的概念；掌握平行四边形的边、角性质．
难点：利用平行四边形边、角的性质解决问题．
【复习导入】
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
【合作探究】
探究点1：平行四边形的相关概念
问题1：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
问题2：你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
[知识要点]
1.平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
几何语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
2.记作：□ABCD. 读作：平行四边形 ABCD.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线.
第 1 页思考：根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容?
[思考与交流]
(1) 平行四边形是中心对称图形吗 ? 如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论
吗?
(2) 你还发现平行四边形有哪些性质 ? 与同伴进行交流。
活动1 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的对角线交点处
钉一个图钉 O，将其中一个平行四边形绕 O 旋转 180°，你发现了什么?
[归纳总结]
□ ABCD 绕它的对角线交点 O 旋转 180° 后与自身重合，
故□ ABCD 是中心对称图形，
两条对角线的交点 O 是它的对称中心.
探究点2：平行四边形边和角的性质
活动2 将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你
能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
说一说： 通过拼图你可以得到什么启示？
提问：这个结论正确吗？
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AB = CD，BC = DA.
思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
第 2 页[知识要点]
定理 平行四边形的对边相等。
定理 平行四边形的对角相等。
几何语言：
对边相等 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AB = DC.
对角相等 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
平行四边形的性质
文字叙述 几 何 语 言
对边平行
边
对边相等
角 对角相等
[练一练]
1. 如图，在□ ABCD 中，
(1) 若∠A = 130°，则∠B =_____° ，∠C =_____° ， ∠D =_____°.
(2) 若∠A +∠C = 200°，则∠A =_____° ，∠B =_____°.
(3) 若∠A∶∠B = 5∶4，则∠C =____°，∠D =____°.
(4) 若 AB = 3，BC = 5，则它的周长为_____.
[典例精析]
例1 已知：□ ABCD，E，F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF，求证：BE =
DF.
[练一练]
2. 如图，在△ABC 中， AD 平分∠BAC，点 M，E，F 分别是 AB，AD， AC 上
的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM. A
F
M
E
B
D C
[生活实践]
第 3 页有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，
BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长
度和∠D 的度数吗？
A E
D
F
B
C
当堂反馈
1.已知在 ▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则 ▱ABCD的周长等于( )
A.10 cm B.6 cm
C.5 cm D.4 cm
2.如图，在 ▱ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足.若∠D＝75°，则∠BCE的度数为 .
第2题图
3.在 ▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D的度数为 .
4.已知一个等腰梯形的底角为∠B和∠C，∠B为65°，则∠A＋∠D＝ °.
草图通关
∠A ∠D.
5.如图，在 ▱ABCD中，AD＝8，AB＝6，DE平分∠ADC交BC于E，则BE＝ .
第5题图
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，P，Q是对角线BD上的两个点，且BP＝DQ.求
证：AP∥QC，AP＝QC.
第 4 页参考答案
【合作探究】
探究点1：平行四边形的相关概念
思考：边：AD 、 AB 、BC 、 CD
角：∠A 、 ∠B 、 ∠C 、 ∠D
对角线：AC、 BD
探究点2：平行四边形边和角的性质
说一说：
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AB = CD，BC = DA.
证明：如图，连接 AC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，BC∥DA.∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∵ AC = CA，∴△ABC∴ CDA(ASA).∴≌ △AB = CD，BC = DA.
由△ABC≌△CDA得，∠B =∠D.
又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，∴∠1 +∠4 =∠2 +∠3，即∠BAD =∠DCB.
思考：证明：∵ AB∥DC，∴∠B +∠C = 180°，
∵ AD∥BC，∴∠A +∠B = 180°.∴∠C =∠A.
同理，∠B =∠D.
[练一练]
1. (1) 50 130 50；(2) 100 80 ；
(3) 100 80；(4) 16.
[典例精析]
例1 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB∥CD.
∴∠BAE =∠DCF.
又∵ AE = CF，
∴△ABE≌△CDF (SAS).
∴ BE = DF.
[练一练]2. 证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形，
∴ BM = EF，AB//EF.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD =∠CAD.
∵ AB // EF，
∴ ∠BAD =∠AEF，∠CAD =∠AEF，
∴ AF=EF，AF = BM.
[生活实践]
第 5 页解：∵AE∥BC，AB∥CF，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴∠D = ∠B = 60°，AD = BC = 80 cm.
∴ ED = AD - AE = 20 cm.
答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°.
当堂反馈
1. A
2. 1 5 ° .
3. 108 ° .
4. 23 0 ＝
5. 2
6.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.
{
AB＝CD，
∴∠ABP＝∠CDQ.在△ABP和△CDQ中， ∠ABP＝∠CDQ，
BP＝DQ，
∴△ABP≌△CDQ(SAS).
∴∠APB＝∠CQD，AP＝QC.
∴180°－∠APB＝∠APQ＝180°－∠DQC＝∠CQP.
∴AP∥QC.
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