5.2分式的乘除法（解析版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_05习题试卷_1课时练习_同步练习（第1套）

课堂知识梳理 5.2 分式的乘除法 1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式 的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. A C AC A C A D A⋅D ⋅ = ÷ = ⋅ = 即: B D BD , B D B C B⋅C 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方. (A) n An = (n为正整数) B Bn 即: An (A) n (A) n An = = Bn B B Bn 逆向运用 ,当n为整数时,仍然有 成立. 课后培优练 培优第一阶——基础过关练 x2 x 1．化简： ÷ =（ ） x2−4 x−2 x x A．1 B．x C． D． x−2 x+2 【答案】D x2 x 【详解】解： ÷ x2−4 x−2 x2 x−2 = ⋅ (x+2)(x−2) x x = ， x+2 故选：D． ( b) 3 1 2．计算 − ÷ 的结果为（ ） a a2 b3 b3 b3 b3 A．− B． C．− D． a a a5 a5 【答案】A 1( b) 3 1 【详解】解： − ÷ a a2 b3 1 =− ÷ a3 a2 b3 =− ⋅a2 a3 b3 =− ． a 故选：A． 3．下列运算结果为x−1的是（ ） x2−1 x2−1 x x+1 1 x2+2x+1 A． B． ⋅ C． ÷ D． x−1 x x+1 x x−1 x+1 【答案】B (x+1)(x−1) 【详解】解：A．原式= =x+1，故此选项不符合题意； x−1 (x+1)(x−1) x B．原式= ⋅ =x−1，故此选项符合题意； x x+1 x+1 x2−1 C．原式= ⋅(x−1)= ，故此选项不符合题意； x x (x+1) 2 D．原式= =x+1，故此选项不符合题意． x+1 故选：B． 4x y 4．计算： ⋅ = _____． 3 y 2x2 2 【答案】 3x 4x y 4xy 2 【详解】解： ⋅ = = ． 3 y 2x2 6x2y 3x 2 故答案为： ． 3x 3ab 2x2 5．计算 ⋅ =_________． x 9ab2 2x 【答案】 3b 3ab 2x2 2x 【详解】解： ⋅ = ． x 9ab2 3b 2x 故答案为： 3b 21 1 6．墨迹覆盖了“计算 ÷ =■”中的右边计算结果，则覆盖的部分是_______． 25−a2 5−a 1 1 【答案】 / 5+a a+5 1 1 1 1 【详解】 ÷ = ⋅(5−a)= 25−a2 5−a (5−a)(5+a) 5+a 1 故答案为： ． 5+a 3x x2y 7．计算：8x2y4 ⋅(− )÷(− )． 4 y3 2 【答案】12x 3x x2y 【详解】8x2y4 ⋅(− )÷(− ) 4 y3 2 3x 2 =8x2y4 ⋅ ⋅ 4 y3 x2y =12x． x2−4x+4 x2−2x 1 8．先化简，再求值： ÷ ，其中x= ． x2−4 x+2 2 【答案】2. x2−4x+4 x2−2x 【详解】解： ÷ x2−4 x+2 (x−2) 2 x+2 = • (x+2)(x−2) x(x−2) 1 = x 1 1 当x= , 上式=1÷ =2. 2 2 培优第二阶——拓展培优练 9．下列分式运算，结果正确的是（ ） a c ad (b3 ) n bn+3 ( 2a ) 2 4a2 m4 n4 m A． ⋅ = B． = C． = D． ⋅ = b d bc a an a−b a2−b2 n5 m3 n 【答案】D a c ac 【详解】解：A. ⋅ = ，故A错误，不符合题意； b d bd (b3 ) n b3n B. = ，故B错误，不符合题意； a an 3( 2a ) 2 4a2 C. = ，故C错误，不符合题意； a−b a2−2ab+b2 m4 n4 m D. ⋅ = ，正确，故D符合题意 n5 m3 n 故选：D． m+1 1+m 10．计算 ÷ 的结果为（ ） m2 (−m) 3 1 (m+1) 2 A．−m B．m C．− D． m m2 【答案】A m+1 1+m 【详解】解： ÷ ， m2 (−m) 3 m+1 1+m = ÷ ， m2 −m3 m+1 −m3 = × ， m2 m+1 =−m， 故选：A． a2−2ab ( a2 2ab ) 11．化简 ÷ ÷ 的结果为（ ） −ab+b2 a−b 2b−a a b A．1 B． C． D．2 b a 【答案】D a(a−2b) ( a2 2b−a) 【详解】解：原式= ÷ × −b(a−b) a−b 2ab a(a−2b) a(2b−a) = ÷ −b(a−b) 2b(a−b) a(a−2b) 2b(a−b) = × =2． −b(a−b) a(2b−a) 故选：D． 12．某商店有A、B两箱水果，A箱水果重量为(a+1) 2千克，B箱水果重量为(a2−1)千克 （其中a>1），两箱水果均卖了120元，那么A箱水果的单价是B箱水果单价的（ ） a+1 1 1 a−1 A． B． C． D． a−1 a+1 a−1 a+1 【答案】D 4120 120 120 (a−1)(a+1) a−1 【详解】解： ÷ = × = ， (a+1) 2 (a2−1) (a+1) 2 120 a+1 故选：D． 13．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式分简，规则是：每人只能看到前一人给 的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 接力中，自己负责的一步没有出现错误的是（ ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．乙和丁 【答案】B x2−2x x2 x2−2x 1−x 【详解】解： ÷ = × ，即甲正确； x−1 1−x x−1 x2 x2−2x 1−x x2−2x x−1 ⋅ ≠ ⋅ ，即乙错误； x−1 x2 x−1 x2 x2−2x x−1 x(x−2) 1−x ⋅ = ⋅ ，即丙正确． x−1 x2 x−1 x2 故选B． n2 4m2 14．（1）− ⋅ =________； 2m 5n3 a2 5 b2 6 1 7 （2）( ) ⋅( ) ⋅( ) =________； −b −a ab 3b2c 3 （3）(−3ab3c2 ) 2÷(− ) =________； a y 2 3x 3 3x 2 （4）(− ) ⋅(− ) ÷(− ) =________； 2x 2y 2ay c3 2 c4 2 a 4 （5）( ) ÷( ) ÷( ) =________． a2b a3b c 2m 1 a5c 3 ya2 c2 【答案】 − − − − 5n a3 3 8x a2 n2 4m2 2m 【详解】解：（1）− ⋅ =− 2m 5n3 5n a2 5 b2 6 1 7 a10 b12 1 1 （2）( ) ⋅( ) ⋅( ) =− ⋅ ⋅ =− ； −b −a ab b5 a6 a7b7 a3 527b6c3 a3 a5c （3）原式=9a2b6c4÷(− )=9a2b6c4·(− )=− ； a3 27b6c3 3 y2 27x3 9x2 y2 27x3 4a2y2 3 ya2 （4）原式= ⋅(− )÷ = ⋅(− )⋅ =− ； 4x2 8y3 4a2y2 4x2 8y3 9x2 8x c3 2 c4 2 a 4 c6 c8 a4 c6 a6b2 c4 c2 （5）( ) ÷( ) ÷( ) = ÷ ÷ = · · = ； a2b a3b c a4b2 a6b2 c4 a4b2 c8 a4 a2 2m 1 a5c 3 ya2 c2 故答案为：− ，− ，− ，− ， 5n a3 3 8x a2 ab+b2 ⋅ a2−b2 15．（1） ⋅ =________； a2+2ab+b2 a2−ab x2−x−6 x−3 （2） ÷ =________． x−3 x2−5x+6 b 【答案】 x2−4 a b(a+b) (a−b)(a+b) 【详解】解：（1）原式= ⋅ (a+b) 2 a(a−b) b = ； a (x−3)(x+2) (x−3)(x−2) （2）原式= ⋅ x−3 x−3 =(x+2)(x−2) =x2−4， b 故答案为： ；x2−4． a x2−x x 16．当x=5时， ÷ 的值是_________． x+1 x+1 【答案】4 x2−x x+1 x(x−1) x+1 【详解】解：原式= × = × =x−1． x+1 x x+1 x 把x=5代入， 得原式=5−1=4． 故答案为：4． x2−1 x+3 x2−6x+9 17．计算： ⋅ ⋅ =___________． x2−9 x2−2x+1 x+1 x−3 【答案】 x−1 6x2−1 x+3 x2−6x+9 (x+1)(x−1) x+3 (x−3) 2 x−3 【详解】 ⋅ = ⋅ ⋅ = ． x2−9 x2−2x+1 x+1 (x+3)(x−3) (x−1) 2 x+1 x−1 1 1 18．已知x+ =3，则x2+ = ________． x x2 【答案】7 1 【详解】解：∵x+ =3， x ∴ ( x+ 1) 2 =32 ， x 1 ∴x2+2+ =9， x2 1 ∴x2+ =7． x2 故答案为：7． a a+3b+c 19．已知a=3b，c= ，则 的值为______． 2 a+2b−c 15 【答案】 7 a 【详解】解：∵a=3b，c= ， 2 a a ∴b= ，c= ， 3 2 a+3b+c ∴ a+2b−c a a a+3× + 3 2 = a a a+2× − 3 2 a a+a+ 2 = 2a a a+ − 3 2 a 2a+ 2 = 6a 4a 3a + − 6 6 6 4 a a+ 2 2 = 6a 4a 3a + − 6 6 6 75 a 2 = 7a 6 15 = ． 7 15 故答案是： ． 7 a b c (a+b)(b+c)(a+c) 20．任意两个和不为零的数a、b、c满足 = = ，求 的值 b+c a+c a+b abc ______． 【答案】8或−1 a b c 1 【详解】解：设 = = = ， b+c a+c a+b k 则a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk， ∴a+b+b+c+a+c=k(a+b+c)， ∴2(a+b+c)=k(a+b+c)， 当a+b+c≠0时，k=2， (a+b)(b+c)(a+c) 2c×2a×2b = =8， abc abc 当a+b+c=0时， (a+b)(b+c)(a+c) (0−c)(0−a)(0−b) = =−1． abc abc 故答案为：8或−1． 3+4 21．对实数a,b定义新运算a∗b=¿例如：4∗3=42−32=7,3∗4= =−7，化简 3−4 (3x−5)∗(x+3)=_____________． 2x−1 【答案】8x2−36x+16或 ． x−4 【详解】解：∵a∗b=¿， 当3x−5≥x+3时，即x≥4， (3x−5)∗(x+3)=(3x−5) 2−(x+3) 2 =(3x−5+x+3)(3x−5−x−3) =8x2−36x+16； 当3x−5b>c>d，化简求 − ÷ − × 的值． cd 17c a 1 【答案】(1) −1； x8 (2)(m+1)(m2+1)(m4+1)； 102b (3)− ，−2 5acd 【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出： (1 )( 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 −1 + + + + + + +1 = −1； x x7 x6 x5 x4 x3 x2 x x8 1 故答案为： −1； x8 11(1 )( 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 （2）解：由（1）可知 −1 + + + + + + +1 = −1， x x7 x6 x5 x4 x3 x2 x x8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + + + + + +1=( −1)÷( −1)， x7 x6 x5 x4 x3 x2 x x8 x 1 设 =m（m≠1）， x m8−1 ∴m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1= m−1 m8−1 (m−1)(m+1)(m2+1)(m4+1) ∵ = =(m+1)(m2+1)(m4+1)， m−1 m−1 ∴m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=(m+1)(m2+1)(m4+1)； （3）解：由（2）可知m7+m6+m5+m4+m3+m2+m+1=(m+1)(m2+1)(m4+1)， 当m=2时，则 27+26+25+24+23+22+2+1=(2+1)(22+1)(24+1)=3×5×17， ∵1+2+22+23+24+25+26+27=a⋅b⋅c⋅d， ∴a·b·c·d=3×5×1×17， ∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d； ∴a=17，b=5，c=3，d=1； ( b ) 2 ( 5b ) 6d ∵ − ÷ − × cd 17c a b2 17c 6d =− × × c2d2 5b a 102b =− ， 5acd 当a=17，b=5，c=3，d=1； 102×5 ∴原式=− =−2； 5×17×3×1 26．阅读下列材料： 1 1 1 关于x的方程x2−3x+1=0(x≠0)，方程两边同时乘以 得：x−3+ =0，即x+ =3， x x x ( x+ 1) 2 =x2+ 1 +2⋅x⋅ 1 =x2+ 1 +2，x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=32−2=7．根据以上材 x x2 x x2 x2 x 料，解答下列问题： 已知x2−4x+1=0(x≠0)， 1 (1)求x+ 的值； x 121 1 (2)求 x2+ ，x4+ 的值． x2 x4 【答案】(1)4； 1 1 (2)x2+ =14，x4+ =194． x2 x4 【详解】（1）解：∵x2−4x+1=0(x≠0)， 1 ∴x−4+ =0， x 1 ∴x+ =4； x 1 （2）解：∵x+ =4， x ∴ ( x+ 1) 2 =x2+ 1 +2⋅x⋅ 1 =x2+ 1 +2=16， x x2 x x2 1 ∴x2+ =14， x2 ∴ ( x2+ 1 ) 2 =x4+ 1 +2⋅x2 ⋅ 1 =x4+ 1 +2=196， x2 x4 x2 x4 1 ∴x4+ =194． x4 培优第三阶——中考沙场点兵 a+3 a2+3a 27．化简 ÷ ． 1−a a2−2a+1 1−a 【答案】 a a+3 a(a+3) 【详解】解：原式 = ÷ ， 1−a (1−a) 2 a+3 (1−a) 2 = ⋅ ， 1−a a(a+3) 1−a = ． a 2 28．已知f(x)= ，那么f(3)的值是____． x−1 【答案】1． 132 【详解】解：由题意得：f(x)= ， x−1 ∴将x=3代替表达式中的x， 2 ∴f(3)= =1． 3−1 故答案为：1． 2 1 29． ÷ 的计算结果为（ ） x2−4 x2−2x x 2x 2x 2 A． B． C． D． x+2 x+2 x−2 x(x+2) 【答案】B 2 1 【详解】 ÷ x2−4 x2−2x 2 1 = ÷ (x+2)(x−2) x(x−2) 2 = ·x(x−2) (x+2)(x−2) 2x = ． x+2 故选：B． 14