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5.2 二元一次方程组的解法
第 1 课时 代入消元法
1.理解代入消元法的概念，能熟练运用代入消元法解简单的二元一次方程组；掌握代入消元法的基本步骤，
能准确求出方程组的解并进行检验.
2.通过参与“绿植栽种问题”的探究过程，经历 “观察—思考—转化—求解” 的数学活动，体会消元思
想和化归思想的形成过程；通过典例分析和变式训练，提升分析问题、解决问题的能力，培养逻辑推理能
力.
学习重点：掌握代入消元法的定义及核心步骤（变形表示未知数、代入消元求解、代回求另一未知数）；
能运用代入消元法正确解出二元一次方程组（含直接代入、先变形再代入两种类型）.
学习难点：理解 “消元思想”和“化归思想” 的本质，明确代入消元法中 “二元化一元” 的方法.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程是二元一次方程.
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
2.二元一次方程组的解是指什么？如何验证一组值是否为方程组的解？
二元一次方程的解是使方程左右两边相等的一组未知数的值.
用代入检验的方法判断是否是方程组的解.
3.七年级时我们学过解 “一元一次方程”，核心步骤有哪些？
去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 .
新知自研：自研课本P115-P116页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
“上节课知道，小明和小颖栽种绿植的问题，列出方程组，其中 x 表示小明栽种的株数，y 表示小颖
栽种的株数，那么如何求出 x和y的值呢？这节课我们就一起来学习如何解二元一次方程组.●探究一：用代入消元法解二元一次方程
◆1.由“小明和小颖栽种绿植的问题”中得到的方程组中{ x−y=2 ，两个方程的未知数x有什么
x+1=2(y−1)
关系？y 呢？
两个方程中的 x 表示同一个量（小明的株数）， y 也表示同一个量（小颖的株数） , 即 x 、 y 的值在两个方
程中是相同的 .
◆2.你能用其中一个未知数表示另一个未知数吗?
从第一个方程 x - y = 2 ，移项得 x = y + 2 , 或 y = x - 2 .
◆3.如何把这个二元一次方程组转化为一元一次方程?
从第一个方程得 x = y + 2 （变形），将 x = y + 2 代入第二个方程 中 得到（ y + 2 ） +1= 2 ( y -1 ) ，
此时方程只有 y 一个未知数，转化为一元一次方程（二元转一元） .
◆4.尝试解这个二元一次方程组{ x−y=2① .
x+1=2(y−1)②
【解答】解：由①得： x = y +2 ③
把③代入②中得： （ y + 2 ） +1= 2 ( y -1 )
解得： y = 5
把 y = 5 代入③中得： x =7 .
{ x=7
所以原方程组的解为：
y=5
◆5.总结归纳：
代入消元法：主要步骤是,将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代
入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入
消元法.简称代入法.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
{3x+2y=14①
例 1：解方程组
x= y+3②
【分析】（1）思考：这个方程组有什么特点？
第二个方程已用 y 表示 x ，无需额外变形；
（2）如何代入？直接 将第二个方程代入第一个方程 即可 .
【解答】第一步：代入消元.
将方程②代入方程①中，得 3(y + 3) + 2y = 1 4 ；
第二步：求解一元一次方程.
去括号得3y + 9 + 2y = 14，
合并同类项得5y + 9 = 14，
移项得5y = 5，
系数化为1得：y = 1；
第三步：回代求x.
将y = 1 代入方程②中，得 x = 4 ；
{x=4
所以方程组的解是： .
y=1
第四步：检验写解（口头检验，说明 “后续解题可在草稿纸检验，无需写出”）.
◆方法总结：当方程组中已有一个方程用一个未知数表示另一个未知数时，直接代入另一个方程即可.
{2x+3 y=16
例 2：解方程组
x+4 y=13
【分析】（1）这个方程组和例1 有什么不同？
没有方程直接用一个未知数表示另一个未知数，需要先变形；
（2）选择哪个方程、哪个未知数变形更简单？
方程②中 x 的系数为 1 ，变形为 x = 13 - 4 y 更简单，无需除以系数 .
【解答】第一步：变形表示未知数.由x + 4y = 13，得 x = 13 - 4 y （记为方程③）；
第二步：代入消元.将③代入2x + 3y = 16，得 2(13 - 4 y ) + 3 y = 1 6；
第三步：求解一元一次方程.
去括号得： 26- 8 y + 3 y =1 6，
合并同类项得： 26- 5 y =1 6，
移项得： ﹣ 5y = ﹣ 1 0，
系数化为1： 得 y = 2；
第四步：回代求x.
将 y = 2 代入③，得 x =5 ；
{x=5
第五步：写出方程组的解 .
y=2
◆总结：解二元一次方程组的基本思路：“ 消元 ” ,把二元一次方程组转化 一元一次方程 .即先消去一个未
知数，转化为一元一次方程，求解后回代求另一个未知数.第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何用代入消元法解二元一次方程组；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
{x−y=4
1. 二元一次方程组 的解是（ D ）
x+ y=2
{ x=3 {x=1 {x=7 { x=3
A． B． C． D．
y=−7 y=1 y=3 y=−1
{ x=2y
2. 用代入法解方程组 ，下列说法正确的是 ( C )
y−x=3
A．直接把①代入②，消去 y B．直接把①代入②，消去 x
C．直接把②代入①，消去 y D．直接把②代入①，消去 x
{ 2x+ y=6
3. 用代入法解方程组 较简单的方法是( A )
3x+4 y=−4
A．消 y B．消 x
C．消 x 和消 y 一样 D．无法确定
{ y=x−1
4.已知方程组 用代入法消去 y 后的方程是 ( D )
x+2y=3
A．x＋x﹣1＝3 B．x＋2x﹣1＝3
C．x＋x﹣2＝3 D．x＋2(x﹣1)＝3
{ y=x+2①
5.解方程组
4x+3 y=13②
解：把①代入②，得 4x＋3（x＋2）=13,
解得 x=1，将 x=1代入①，得y＝1＋2＝3，
{x=2
原方程组的解为 .
y=1
{2x+3 y=16①
6.解方程组
4x+ y=13②解： 由②，得x=13﹣4y ③
将③代入①，得2（13﹣4y）+3y=16
26 –8y +3y =16
﹣5y=﹣10
解得：y=2
将y=2代入③ ，得x=5.
{x=5
所以原方程组的解是 .
y=2
题型一：代入消元法
{4x+5 y=3)
1．用代入法解二元一次方程组 时，最好的变式是（ ）
3x−y=7
3−5 y 3−4x y+7
A．x= B．y= C．x= D．y＝3x﹣7
4 5 3
【分析】将方程组中第二个方程表示出y，即为最好的变式．
{4x+5 y=3①)
【解答】解： ，
3x−y=7②
由②得：y＝3x﹣7，
故选：D．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
{ y=2x−1① )
2．解方程组 时，把①代入②，得（ ）
4x−3 y=12②
A．4（2x﹣1）﹣3y＝12 B．4x﹣（2x﹣1）＝12
C．4x﹣3×2x﹣1＝12 D．4x﹣3（2x﹣1）＝12
【分析】把y＝2x﹣1代入4x﹣3y＝12得4x﹣3（2x﹣1）＝12，根据选项判断即可．
{ y=2x−1① )
【解答】解：解方程组 时，把①代入②，得4x﹣3（2x﹣1）＝12．
4x−3 y=12②
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一
个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，
求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求
得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
{ y=2x−3①)
3．在解方程组 时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（ ）
3x−2y=8②
A．3x﹣2x﹣3＝8 B．3x﹣2x﹣6＝8 C．3x﹣4x﹣3＝8 D．3x﹣4x+6＝8
【分析】利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：将方程①代入②得：3x﹣2（2x﹣3）＝8，
整理得：3x﹣4x+6＝8，
故选：D．
【点评】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
{2x+3 y=8①)
4．用代入法解方程组 有以下过程，其中错误的一步是（ ）
3x−5 y=5②
8−3 y
A．由①得x= ③
2
8−3 y
B．把③代入②得3× −5y＝5
2
C．去分母得24﹣9y﹣10y＝5
D．解得y＝1，再由③得x＝2.5
【分析】利用代入消元法求出方程组的解，即可作出判断．
{2x+3 y=8①)
【解答】解：方程组 ，
3x−5 y=5②
8−3 y
由①得：x= ③，
2
8−3 y
把③代入②得：3× −5y＝5，
2
去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
14
解得：y= ，
19
55
再由③得：x= ，
19
则错误的一步为去分母．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
{2x+4 y=7，)
5．用代入法解方程组 时，最好是先把 变形为 ，再代入方程
x−3 y=8
，求出 的值，然后再求出 的值，最后写方程组的解．
【分析】首先，把方程组中第二个方程变形为 x＝8+3y，再代入第一个方程消去x求出y的值；然后求出
x的值，写出方程组的解即可．
{2x+4 y=7，)
【解答】解：用代入法解方程组 时，最好是先把x﹣3y＝8变形为x＝8+3y，再代入方程
x−3 y=8
2x+4y＝7，求出y的值，然后再求出x的值，最后写出方程组的解．
故答案为：x﹣3y＝8；x＝8+3y；2x+4y＝7；y；x．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入法是解本题的关键．
题型二：代入法解二元一次方程组
6．用代入法解下列方程组：
{ x=1−y )
（1）
2x=−1−3 y
（2）
{2x+3 y=4
)
1
x+ y=0
2
【分析】（1）把①代入②即可求出y的值，再把y的值代入①即可求出x的值，从而求出方程组的
解；
1
（2）由②得x=− y③，把③代入①得即可求出y的值，把y＝2代入③即可求出x的值，从而求出
2
方程组的解．
{ x=1−y① )
【解答】解：（1） ，
2x=−1−3 y②
把①代入②得，2（1﹣y）＝﹣1﹣3y，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①得，x＝4，
{ x=4 )
所以原方程组的解是 ；
y=−3（2）
{2x+3 y=4①
)，
1
x+ y=0②
2
1
由②得，x=− y③，
2
1
把③代入①得，2×(− y)+3 y=4，
2
解得y＝2，
把y＝2代入③得，x＝﹣1，
{x=−1)
所以原方程组的解是 ．
y=2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解方程组是解题的关键．
7．用代入法解下列方程组：
{2x+4 y=5①)
（1） ；
x=1−y②
{2x−3 y=3①)
（2） ．
x+2y=−2②
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：（1）把②代入①得：2﹣2y+4y＝5，
3
解得：y= ，
2
3 1
把y= 代入②得：x=− ，
2 2
1
{x=− )
则方程组的解为 2 ；
3
y=
2
（2）由②得：x＝﹣2y﹣2，
把③代入①得：﹣4y﹣4﹣3y＝3，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝0，
{ x=0 )
则方程组的解为 ．
y=−1【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元
法．
8．用代入法解下列方程组：
{4x−2y=5
)
（1） ；
3x−4 y=15
（2）{5(x+ y)−2x=0 )．
3x−10(x+ y)=2
【分析】（1）用代入消元法解方程组即可；
（2）用代入消元法解方程组即可．
{4x−2y=5①)
【解答】解：（1） ，
3x−4 y=15②
由①得：2y＝4x﹣5，
则4y＝8x﹣10③，
将③代入②得：3x﹣8x+10＝15，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①得：﹣4﹣2y＝5，
解得：y＝﹣4.5，
{ x=−1 )
故原方程组的解为 ；
y=−4.5
（2）{5(x+ y)−2x=0①)，
3x−10(x+ y)=2②
由①得：5（x+y）＝2x，
则10（x+y）＝4x③，
将③代入②得：3x﹣4x＝2，
解得：x＝﹣2，
将x＝﹣2代入①得：5（y﹣2）+4＝0，
解得：y＝1.2，
{x=−2)
故原方程组的解为 ．
y=1.2
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
9．用代入法解下列方程组：{ x−y=1 )
（1） ；
2x+3 y=−8
{3x−4 y=1)
（2） ．
2x+ y=8
【分析】利用代入消元法解各方程组即可．
{ x−y=1① )
【解答】解：（1） ，
2x+3 y=−8②
由①得：x＝y+1③，
将③代入②得：2（y+1）+3y＝﹣8，
整理得：5y+2＝﹣8，
解得：y＝﹣2，
将y＝﹣2代入③得x＝﹣2+1＝﹣1，
{x=−1)
故原方程组的解为 ；
y=−2
{3x−4 y=1①)
（2） ，
2x+ y=8②
由②得：y＝8﹣2x③，
将③代入①得：3x﹣4（8﹣2x）＝1，
整理得：11x﹣32＝1，
解得：x＝3，
将x＝3代入③得y＝8﹣6＝2，
{x=3)
故原方程组的解为 ．
y=2
【点评】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
10．用代入法解下列方程组：
{3x−2y=6①)
（1） ；
2x+3 y=17②
{4x−5 y=3①)
（2） ．
3x−2y=1②
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
{3x−2y=6①)
【解答】解：（1） ，
2x+3 y=17②
①×3+②×2得：13x＝52，解得：x＝4，
将x＝4代入①得：12﹣2y＝6，
解得：y＝3，
{x=4)
故原方程组的解为 ；
y=3
（2），
②×5﹣①×2得：7x＝﹣1，
1
解得：x=− ，
7
1 4
将x=− 代入①得：− −5y＝3，
7 7
5
解得：y=− ，
7
1
{x=− )
故原方程组的解为 7 ．
5
y=−
7
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．
题型三 用整体代入法解二元一次方程组
{2x+5 y=3，①)
11．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换“的解法：
4x+11y=5②
解：将方程②变形，得4x+10y+y＝5，
即2（2x+5y）+y＝5．③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1．
把y＝﹣1代入①，得x＝4．
{ x=4，)
∴原方程组的解为
y=−1．
{3x−2y=3，①)
请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组
9x−4 y=19②
【分析】仿照材料中的解题思路进行计算即可解答．
{3x−2y=3①)
【解答】解： ，
9x−4 y=19②将方程②变形，得：
6x﹣4y+3x＝19，
即2（3x﹣2y）+3x＝19，③
把方程①代入③，得：
2×3+3x＝19，
13
∴x= ．
3
13
把x= 代入①，得：
3
13﹣2y＝3，
∴y＝5，
∴原方程组的解为 { x= 13 ) ．
3
y=5
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解材料中的解题思路是解题的关键．
{2x+5 y=3①)
12．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代入”的解法如下：
4x+11y=5②
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③；
把方程①代入③，得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1；
{ x=4 )
把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为 ；
y=−1
{
3x+2y−2=0
)
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组 ．
3x+2y+1 2
−x=−
5 5
3x+2y+1 2
【分析】由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．然后整体代入 −x=− ，从而求得x，进而解决此
5 5
题．
【解答】解：由3x+2y﹣2＝0得3x+2y＝2①．
3x+2y+1 2 2+1 2
把①代入 −x=− ，得 −x=− ．
5 5 5 5
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+2y＝2．1
∴y=− ．
2
{x=1，
)
∴方程组的解为 ．
1
y=−
2
【点评】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
{2x+5 y=3①)
13．阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
4x+11y=5②
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5，③
把方程①代入③，得2×3+y＝5，∴y＝﹣1，把y＝﹣1代入①，得x＝4，
{ x=4 )
∴方程组的解为 ．
y=−1
请你根据以上方法解决下列问题：
{3x−2y=5①)
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 ；
9x−4 y=19②
（2）已知x，y满足方程组{4x2−2xy=7①)，求xy的值．
2x2+xy=6②
【分析】（1）模仿小军的解法求出方程组的解即可；
（2）利用“整体代换”的思想求出xy的值即可．
{3x−2y=5①)
【解答】解：（1） ，
9x−4 y=19②
由②得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，
把①代入③得：15+2y＝19，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：3x﹣4＝5，
解得：x＝3，
{x=3)
则方程组的解为 ；
y=2
（2）{4x2−2xy=7①)，
2x2+xy=6②
由①得：2（2x2+xy）﹣4xy＝7③，
把②代入③得：12﹣4xy＝7，5
解得：xy= ．
4
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体思想及消元思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
▲1．解二元一次方程组的基本思路：“ 消元 ” ,把二元一次方程组转化 一元一次方程 .
▲2．代入消元法：主要步骤是,将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，
并代入另一个方程中,从而消去一个未知数,化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为
代入消元法.简称代入法.
