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5.2 二元一次方程组的解法
题型一 代入消元法解二元一次方程组
1.把方程 改写成用 表示 的式子是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程，先把含 的项移动到方程的右边，再把 的系数化为 即可．
【详解】解：，
故答案为： ．
2．已知二元一次方程 ，用含x的代数式表示y，则 ．
【答案】 /
【分析】本题考查的是在二元一次方程中，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数．将x看作已知数，
即可求解．
【详解】解：已知二元一次方程 ，用含x的代数式表示y，则 ，
故答案为： ．
3．已知 ，则用含 的式子表示 为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解题关键是熟练掌握根据二元一次方程，用一个未知数表示另
一个未知数．
根据 ，把 用 表示出来，然后再把 代入 进行化简即可．
【详解】 ，
将①变形为 ③，
将③代入②中，
即 ，
所以 ，
故答案为： ．
4．已知方程 ，用含有 的代数式表示 的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是方程的变形，用一个未知数表示另一个未知数．解题关键是通过移项等操作，将单独放在等式的一边，从而用含有 的代数式表示 ．通过移项，系数化为 ，将 单独放在等式的一边即
可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ．
5．已知二元一次方程 ，用含 的代数式表示 为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的变形求解，熟练掌握等式的基本性质以及移项、合并同类项等运
算规则是解题的关键．
将方程中的 看作已知数，通过移项、去分母、合并同类项等操作，将方程变形为用含 的代数式表示
的形式．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
6．用代入法解方程组：（1） ； （2） ； （3） ； （4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1）解：
代入消元：将①代入②得：
去括号得：
合并同类项得：
移项得：
系数化为 得： ．
将 代入①式，得 ．
∴方程组的解为 ．
解：
将 代入 得：
，
解得： ，
将 代入 ，得：
，
故原方程组的解是
（3）解：① ②得 ，解得 ，
将 代入①得 ，
∴方程组的解为 ；
（4）由①，得 ．③
把③代入②，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，所以原方程组的解为
故答案为：
题型二 加减消元法解二元一次方程组
7．方程 和 的公共解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题
的关键．
【详解】解：联立方程得： ，
得： ，
将 代入 得： ，
解得： ，
∴方程组的解为： ，
故选：C．8．若x，y是二元一次方程组 的解，那么 的值是（ ）
A．15 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了解二元一次方程组.
直接计算 即可.
【详解】解： ，
得： ，
故选：A．
9．用加减消元法解方程组 下列解法正确的是（ ）
A． ，消去 B． ，消去
C． ，消去 D． ，消去
【答案】B
【分析】本题考查了消元法解方程，熟练掌握加减消元法的原理是解题的关键.
【详解】解：A、 得到的式子为： 即： ， 未消去，
不符合题意；
B、 得到的式子为： ，即 ， 消去，符合题意；
C、 得到的式子为： ，即 ， 未消去，不符合题意；
D、 得到的式子为： ，即 ， 未消去，不符合
题意；
故选：B ．
10．加减消元法解下列方程组：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
【详解】解：
（1）① ② ，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，
所以原方程组的解为
故答案为： .
（2）
解： 得 ，
② ③得 ，解得 ，
将 代入①得 ，解得 ，
∴方程组的解为 ．
（3）解： ，
将 ，得 ，
即 ，
解得 ③；
将③代入①得 ，
解得 ，
故原方程组的解是 ．（4） 整理得到：
，
得， ，
解得： ，
把 代入①得， ，
解得 ，
∴方程组的解为 ．
（5）解： ，
把① ② 得， ，
解得： ，
把 代入①，得 ，
，
原方程组的解为 ．
题型三 选择合适的方法消元解方程组
11．解方程组 错误的解法是（ ）
A．先将①变形为 ，再代入② B．先将②变形为 ，再代入①
C．将②-①，消去 D．将① ②，消去
【答案】A
【分析】本题考查解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的正确运用，通过变形方程进
行消元求解是解题的关键．根据解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法的思路，对每个选项进行分析，判断其解法是否正确．
【详解】解：A、由 ，应变形为 ，而不是 ，所以该解法错误，符合题意；
B、由 ，变形为 ，代入 ，是正确的代入消元法，不符合题意；
C、用 ，可得 ，即 ，消去了 ，是正确的加减消元法，不符合题意；
D、 得 ，再减 ，可得 ，即 ，消去了 ，是
正确的加减消元法，不符合题意．
故选：A．
12．解方程组 时，较为简单的方法是（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．试值法 D．无法确定
【答案】A
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：解方程组 时，直接将①代入②得到 的值，进而得到 的值． 因此较为简单
的方法是代入法．
故选：A．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．甲、乙两人同求方程 的整数解，甲正确的求出一个解为 ，乙把 看成
，求得一个解为 ，则 、 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得 ，然后进行求解即可．
【详解】解：把甲的解 代入方程 可得： ，
把乙的解 代入方程 可得： ，
联立可得： ，
解得： ；
故选C．
14．已知关于 的方程组 无论 取何值， 的值都是一个定值，则这个定值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键．
， ,得 ,即得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ,得 ．
∴无论 取何值， 的值都是一个定值，则这个定值为11．
故答案为：11．
15．解方程组：
（1） ；（2） ； （3） ； （4）（5） ； （6） ； （7）
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7)
【详解】（1）解： ，
将②代入①得， ，
解得： ，
将 代入②得， ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ；
（2）解：原方程组可变形为 ，
得： ，
解得 ，
将 代入 得 ，
则该方程组的解为 ．
（3）解： ，
可得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
所以该方程组的解为： ．（4）解：
把①代入②，得 ，
解得 ．
把 代入①，得 ，
∴原方程组的解为
（5）解：整理方程组，得
②+①，得 ，解得 ．
②-①，得 ，解得 ，
∴原方程组的解为
（6）解：方程组 可化为 ，
可得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
所以该方程组的解为： ．
（7）解：整理方程组，得
② ①，得 ，解得 ．
把 代入①，得 ，解得 ，∴原方程组的解为
题型四 错解问题
16．两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出 ，乙同学因把c抄错了解得 则
a，b，c正确的值应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结
果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．
【详解】解：把 代入方程组得
把 代入 得： ，
联立得 解得： ，
由 ，得到 ，
故选： ．
17．甲、乙两人同求方程 的整数解，甲正确的求出一个解为 ，乙把 看成
，求得一个解为 ，则 ， 的值分别为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】把 代入 中得一个方程，把 代入 中的一个方程，联立解方程组即
可．
本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：把 代入 中，得 ，
把 代入 中，得 ，
根据题意，得 ；
解得 ，
故选：B．
18．甲、乙两人共同解方程组 由于甲看错了方程 中的 ，得到方程组的解为 ，乙
看错了方程②中的 ，得到方程组的解为 ，则 的值 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将 代入方程 中可求得 ，
将 代入方程 中可求得 ，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：将 代入方程 中可得， ，解得： ，
将 代入方程 中可得，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
19．在解方程组 时，小军由于粗心看错了方程组中的n，解得 ；小红由于看错了方程组
中的m，解得 ．
(1)则m，n的值分别是多少？
(2)原方程组正确的解应该是怎样的？
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键在于把已知的值代入方程组.
（1）将第一对解代入方程组的第一个方程求出m的值，将第二对解代入方程组的第二个方程求出n的值
即可；
（2）确定出正确的方程组，求出解即可解答.
【详解】（1）解：将 代入 得： ，
解得： ，
把将 代入 得： ，
解得： ；
所以 ， ；（2）解：将 ， 代入原方程组得 ，
解得： ．
所以，原方程组正确的解为： ．
题型五 同解问题
20．若关于 的二元一次方程组 和 同解，则可通过解方程 组成的方
程组求得这个解．（请填写序号）
【答案】①④
【分析】本题考查了同解方程组；
根据方程组解的定义可得答案．
【详解】解：因为两方程组有相同的解，
所以方程组 的解必然满足两方程组，
故答案为：①④．
21．已知方程组 与方程组 的解相同，则 的值为
【答案】
【分析】本题考查了同解方程组，依题意得 ，解得 ，再将 代入 中解二
元一次方程组即可得出 的值，进而求得 的值．
【详解】解：依题意得： ，
解得： ，将 代入 得： ，
解得： ．
∴
故答案为： ．
22．已知方程组 和 有相同的解，则 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，
平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据题意，可联立新的方程组： ，利用加减消元法解方程组可得： ，然后再把
代入方程组 ，可得： ，解得 ，把a，b的值代入 ，最后求平方根
即可．
【详解】解：由题意，得 ，
解得 ，
把 代入方程组 ，可得 ，
解得 ，把 代入 ，得 ，
的平方根为 ，
故答案为： ．
题型六 根据方程组解的情况求参数
23．若关于x，y的方程组 的解满足 ，则k的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，先把两方程相加表示出 ，代入
计算即可求出k的值．
【详解】解：记 ，
则① ②，得 ，
整理，得 ．
代入 得 ，
解得 ．
故选：B．
24．二元一次方程组 的解 的值相等，则 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．
把 代入第一个方程可求得 、 的值，再把 、 的值代入第二个方程可求得 的值．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，
将 代入 ，得： ，
解得： ，
故选：A.
25．已知关于 的方程组 的解互为相反数，则k的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键
是掌握解二元一次方程组的特殊解法．
根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可．
【详解】解：根据题意得， ，
得， ，
∴ ，
将 代入得， ，
解得 ，
故答案为： ．
题型七 解方程组与求代数式的值
26．已知a，b两数互为相反数，将数轴上表示a的点沿着数轴向左移动 个单位长度，到达表示b
的点，求a，b两数的值．
【答案】a，b两数的值分别为
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和二次根式的加减法．根据题意列出二元一次方程组，解方程
组即可得到答案．【详解】解：由题意可得， ，
解得
即a，b两数的值分别为
27．（1）已知a所对应的点在数轴上的位置如图所示．化简： ．
（2）已知 和 互为相反数，求 的平方根．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了数轴、利用二次根式的性质进行化简、绝对值的非负性、平方根，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由数轴可得 ，从而可得 ， ，再结合绝对值的意义和二次根式的性质化简即可
得解；
（2）由相反数的定义结合非负数的性质计算得出 ， ，代入求出 的值，最后再由平方根的
定义即可得解．
【详解】解：（1）由数轴可得： ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ 和 互为相反数，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，∴ 的平方根为 ．
题型一 根据方程组解的情况求参数
1．若无论 取何值，关于 的二元一次方程组 都有解，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了方程组解的情况，先通过加减消元法消去 ，得到关于 和 的方程，再根据方程组
有解的条件确定 的值.
【详解】解：二元一次方程组 ，
②-①，得 ，
整理得 ，
即 ，
∵无论 取何值，关于 的二元一次方程组 都有解，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得 ；
故选：C ．
2．已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
【答案】C【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得 ，结合题干已知
即可列出方程 或 或 或 ，解得m，求得对应的x和y验证即可．
【详解】解： ，
得 ，即 ，
∵ 是整数，方程组有正整数解，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 （舍去），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
综上， ．
故选：C．
3．若关于 的方程组 无解，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组 ，当 时，方
程组无解．
根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可．
【详解】整理 得 ，
∵关于 的方程组 无解，
∴ ，
解得： ，故选：A
4．关于 的方程组 有正整数解，则正整数 为（ ）
A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作
答．
【详解】解：∵方程组有正整数解，
∴两式相加有 ，即 ，
∵a，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴ 时，不合题意，舍去，
时， ， ，符合题意；
时， ， ，符合题意；
时， ， ，不合题意，舍去，
∴ 或2．
故选：A．
5．二元一次方程组 的解为整数，则满足条件的所有整数 的值的和为（ ）
A． B． C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关
键．
先把a看作已知数求出 ，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．
【详解】解：对方程组 ，
②－①×2，得 ，∴ ，
∵关于x、y的方程组 的解为整数，
∴ ，即 ，
∴满足条件的所有a的值的和为 ．
故选：C．
6．已知方程组 的解满足 ，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，将 代入原方程组中的第一个方
程，求出 和 的值，再将 和 值代入第二个方程，从而求出 的值.
【详解】解： 的解满足
将 代入 得：
，
解得： ，
把 代入 ，解得 ，
把 ， 代入 得：
，
解得： ．
故答案为：3 ．
7．已知方程组 有非负整数解，则正整数m的值有 个．
【答案】2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整
数解的应用是解题的关键．
首先解含参方程组，得到 ， 的表达式，再根据 ， 是非负整数找出正整数 的所有可能取值即可．【详解】解：解方程组 得 ，
∵方程组的解是非负整数
∴
即 ，
∵方程组的解是非负整数，且 为正整数，
∴ 和 为非负整数，
由 为非负整数可知， 为8的正约数，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ 可取2，4，8，
解得 可取1，3，7，
当 时， ，符合题意；当 时， ，符合题意；当 时，
，不符合题意；
综上，正整数 的值有1和3，共2个
故答案为：2．
8．已知关于 的二元一次方程组 无解，则 的值是 ．
【答案】-6
【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键．
对于二元一次方程组 ，当 时，原方程组无解．
【详解】解：二元一次方程组 无解，．
故答案为： ．
题型二 错解问题
9．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组 ，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，
解得 ，乙看错了方程②中的n，解得 ，则原方程组的解为
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将 代入②得， ，求得
；将 代入①得， ，求得 ，构造新方程组是 ，再解方程组
即可．
【详解】解：由题意知：将 代入②得， ，
，
将 代入①得， ，
方程组是 ，
得， ，
，将 代入 得， ，
，
原方程组的解是 ．
故答案为：
10.在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法： ，甲由于抄错了第一个多项式中的
符号，得到的结果为 ；乙由于漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为 ．
(1)试求出式子中a，b的值；
(2)请你计算出这道整式乘法的正确结果．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了多项式乘多项式、二元一次方程组的应用等知识点，根据多项式乘多项式的运算法则
分别进行计算，求出与的值是解题的关键．
（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方
程，再求出与的值；
（2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可．
【详解】（1）解：由题意，得 ，
，
所以 ①； ②
由②得 ，代入①得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2）解：由（1）得 ．
11．甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，根据以上内容试求出a，b的值，并计算
的值.
【答案】 ， 的值为0
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，有理数的混合运算．正确理解题意是
解题的关键．将 代入方程②求出b的值，将 代入方程①求得a的值，再将a，b的值代入代
数式中即可得出结论．
【详解】解：∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，
∴ 是方程②的解．
．
．
∵乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，
∴ 是方程①的解．
．
．
∴原式 ．题型三 同解问题
12．若关于x，y的方程组 与 有相同的解．
(1)求 的值．
(2)阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ．例如
，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，有理数的混合运算，正确理解新定义是解
题的关键．
（1）关于x，y的方程组 与 有相同的解，得到 ，利用加减消元法求出
，再代入含有 的方程求出 ，即可求解 ；
（2）将 ， 代入 ，根据新定义计算即可．
【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组 与 有相同的解，
∴ ，
解该方程组得： ，
∴ ，
解得：
∴（2）解：将 ， 代入 ，
∴ ．
13．已知方程组 与 的解相同，求 的值．
【答案】9
【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出
x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入
计算即可
【详解】解：∵方程组 与 的解相同
∴
解得：
将 代入 得
解得：
∴ .
题型四 运用整体思想求方程组的解
14．（1）观察发现：材料：解方程组 ．将①整体代入②，得 ，解得 ，把 代入①，得 ，所以 ，这种解法称为
“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组 的解为______；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ；
（3）拓展运用：若关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，请直接写出满足条
件的 的所有正整数值______．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1，2，3
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法
解二元一次方程组．
（1）根据方程①，求出 ，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x
即可；
（2）根据方程①，求出 ，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可；
（3）解方程组求出 ，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可．
【详解】解：（1） ，
由 得 ，
把 代入 得 ，
解得： ，
把 代入 得： ，
方程组的解为 ；（2） ，
由 得 ，
把 代入 得 ，
把 代入 ，得 ，
方程组的解为 ；
（3） ，
得 ，
∴ ，
关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
，
，
满足条件的 的所有正整数值为 ， ， ．
15．已知关于 ， 的方程组 的解是 ，则方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先通过对所求方程组进行变形，利用整体代换，结合已知方程
组的解来求解即可．
【详解】解： 可化为：
方程组 的解是 ，中
解得：
方程组 的解是
故答案为： ．
16．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，理解二元一次方程的解的计算是关键．
根据题意，将原方程组变形得 ，结合原方程组的解得到 ，由此即可求解．
【详解】解： ，
将方程组变形得， ，
∵ 的解是 ，
∴ ，
解得， ，
故答案为： ．17．已知关于 的方程组 的解是 则关于 的方程组 的
解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了方程组的换元法求解，解题的关键是通过换元将新方程组转化为已知解的方程组形式．
通过设 ， ，把关于m、n的方程组转化为已知解的关于x、y 的方程组，再解关于m、n
的方程组得到答案．
【详解】解：令 ， ，
则关于m、n 的方程组可转化为 ，
已知原方程组 的解是 ，
∴可得 ，解得 ．
故答案为： ．
18．已知关于x，y的方程组 的解是 ，则关于m，n方程组 的解是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，根据已知条件可得出方程组 的解满足关系式 ，进而求解可得出答案．
∶
【详解】解： 关于x，y的方程组 的解是 ，
∵
方程组 的解满足关系式 ，
∴ ∶
解得： ，
故答案为：
题型五 根据新定义列方程组解决问题
19．当实数 ， 满足 时，称点 为和谐点，若以关于 ， 的方程组 的解为
坐标的点 为和谐点，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的
值．
【详解】解：∵ ，
解得 ．
∴ ．
点 为和谐点，∴ ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ，
故答案选：C．
20．定义：数对 经过运算 可以得到数对 ，记作 ，其中 （ 为
常数）．如当 时， ．
(1)当 时， ．
(2)若 ，则 ． ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方
程是解题的关键．
（1）当 时，分别求出 和 即可得出答案；
（2）根据条件列出方程组即可求出 的值．
【详解】（1）解：当 时，
，
，
故答案为： ；
（2）根据题意得：
解得：故 ．
21．运算能力规定：形如关于 的两个方程 与 互为“共轭二元一次方程”，其中 ．
由这两个方程组成的方程组 叫作“共轭方程组”， 称之为“共轭系数”．若关于 的二元
一次方程组 为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”及其解．
【答案】共轭系数为-3，-6，
【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
根据题中共辄二元一次方程的定义得到关于 的方程组，求出 值即可求出共轭系数；得到共轭方
程组后，通过加减消元法即可求出方程组的解．
【详解】解：由题意，得
整理，得
由①-②×2，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ，
所以 ，
所以“共轭方程组”的“共轭系数”为 ，
所以此“共轭方程组”为
由③×3+④，得 ，解得 ．
把 代入③，得 ，
所以此“共轭方程组”的解为题型一 根据解的情况判断信息
1．关于x，y的二元一次方程组 ，甲、乙两人的判断如下．甲：当这个方程组的解x，y的值
互为相反数时， ；乙：无论a取何值， 的值始终不变，则（ ）
A．甲的判断正确，乙的判断不正确
B．甲、乙的判断都不正确
C．甲、乙的判断都正确
D．甲的判断不正确，乙的判断正确
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问
题的关键．将方程组的两个方程相加，得出 ，当 的值互为相反数时，即可得出 ，得
出甲判断不正确；用 表示出 ，代入 可得 ，得出乙判断正确；即可得出答案．
【详解】解： ，
得： ，
，
当 的值互为相反数时， ，
，故甲判断不正确；
解方程组得： ，
，故乙判断正确．
故选：D．题型二 运用整体思想求方程组的解
2．若关于x，y的方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是
．
【答案】
【分析】首先将 变形得 ，然后由已知条件即可得出
，从而得出答案．
【详解】解：原式变形可得 ，
令 ，
则化简为： ，
方程 和 为系数完全相同的二元一次方程组，即同解，
∴∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出
答案．
3．已知关于x，y的二元一次方程 的解如表：
x … 0 1 …
y … 4 2 …
关于x，y的二元一次方程 的解如表：
x … 0 1 …
y … 4 1 …
则关于x，y的二元一次方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】此题考查了含有字母参数的二元一次方程组的同解问题，解题的关键是能通过两个表格将关于
x，y的二元一次方程组 变为 ，解方程组即可得出答案．
【详解】解：∵从第一个表格中可知，当 时， ， 时， ，
∴ ，解得： ，
把 代入 得：
，
整理得： ，
∵从第二个表格中可知，当 时， ， 时， ，
∴ ，
解得： ，
把 代入 得：
，
整理得： ，
①和②组成方程组 ，
解得：
故答案为： ．题型三 根据几何性质列方程组解决问题
4．如图所示，已知 面积为1，点D、E、F分别在 上，且 ， ，
， 两两相交于P、Q、R，求 的面积．
【答案】
【分析】本题主要考查了面积与等积变换．连接 ，设 的面积为a， 的面积为b，利用
， ，列出方程组求出a的值，同理可求出 ，利
用 求解即可得出答案．
【详解】解：连接 ，设 的面积为a， 的面积为b，
∵ ， ，
∴ 的面积为 ， 的面积为 ，
∵已知 面积为1，
∴ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ 的面积为 ，
同理可得 ，
．
题型三 根据新定义列方程组解决问题
5．定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”．
如： ， ，则0和1都是“树人数”．
(1)判断2，3是否为“树人数”？说明理由．
(2)下列说法正确的序号有______．
任何一个奇数都是“树人数”；
任何一个偶数都是“树人数”；
任何一个被4整除的数是“树人数”；
任何一个被4除余2的数是“树人数”．
(3)已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”．
【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查整数的平方差的表示形式 即“树人数”的定义 ，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点
（1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是， ，因此可得出3
是“树人数”；
（2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件；
（3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式．
【详解】（1）解： 不是“树人数”，3是“树人数”，
理由：假设存在整数a，b，使得 ，则： ，
因数分解可能为 或 ，
或 ，解得： 或 非整数，矛盾，
不是“树人数”，
，
是“树人数”；
（2）①设奇数 ，令 ， ，则： ，故①正确，
②由（1）中2不是“树人数”得出②错误，
③设被4整除的数是4k，令 ， ，则：则： ，故③正确，
④设被4除余2的数是 ，若存在a，b使得 ，
∴若a，b同奇偶，则 为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则 为奇数，矛盾，故④
错误，
故答案为：①③；
（3）证明： ，b是“树人数”．
设 ， 是整数或
，n，p，q是整数．
， ， ， 都是整数．
能写成两个整数的平方差的形式．
是“树人数”．
