文档内容
4.4 一次函数的应用
第2课时 一次函数图象的应用
1.能借助单个一次函数图象，准确提取信息并解决实际问题；
2. 理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用这种关系求解一元一次方程的解.
学习重点：借助单个一次函数图象提取信息，解决实际问题；
学习难点：理解一次函数与一元一次方程的关系，能利用这种关系求解一元一次方程的解.
第一环节 自主学习
温故知新：
1.“确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？”
“正比例函数需 1 个条件（非原点的点或一组对应值），一次函数需 2 个条件（两个点或两组对应
值）” .
2.“我们常用什么方法求一次函数的解析式？”此方法的步骤是什么？
“待定系数法” ， 待定系数法的步骤（设解析式→代入已知点→解方程组→写解析式） .
3.看图思考：从一次函数图象可获得哪些信息?
一次函数
（1）由一次函数的图象： 可确定 k 和 b 的符号 ；
（2）可直接观察出： x 与 y 的对应值 ；
（3）由一次函数的图象：可估计函数的变化趋势；
（4）由一次函数的图象与y 轴的交点的坐标 可确定 b 值 ，待定系数法可确定一次函数的图象的表达式.
新知自研：自研课本P96-P97页的内容，思考：
【学法指导】
●探究一：利用一次函数图象解决实际问题
某种摩托车油箱加满油后，剩余油量 y（L）与行驶路程 x（km）的关系如图所示，回答下列问题：问题（1）：油箱最多可储油多少升？
当 x = 0 时， y = 10 . 因此，油箱最多可储油 1 0 L .
问题（2）：一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
当 y = 0 时， x = 50 0 ，因此一箱汽油可供摩托车行驶 50 0 km .
问题（3）：摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油？
x 从 10 0 增加到 20 0 时， y 从 8 减少到 6 ，减少了 2 ，因此摩托车每行驶
100 千米消耗 2 升汽油 .
问题（4）：剩余油量小于 1 升时自动报警，行驶多少千米后报警？
当 y = 1 时， x = 45 0 ，因此行驶了 45 0 千米后，摩托车将自动报警 .
●探究二：一元一次方程与一次函数的联系
◆1.水库蓄水量 V（万 m³）与干旱持续时间 t（天）的关系如图所示，回答下列问题：
问题（1）：干旱开始时蓄水量是多少？
∵当 t= 0 时 ， V=120 0 ，
∴ 干旱开始时蓄水量是 120 0 万 m ³ .
问题（2）：干旱 10 天、23 天的蓄水量是多少？
用待定系数法代入 (0,1200) 和 (40,400)，得V = -20 t + 120 0 .
当t=10 时，V= -20×1 0 + 120 0 =100 0；
当t=23 时，V= -20×2 3 + 120 0 =740 .
问题（3）：蓄水量小于 400 万 m³ 时报警，干旱多少天后报警？水库干涸时持续多少天？
根据图象，当 t ＞ 4 0 时， V ＜ 40 0 ，∴干旱持续 4 0 天后将发出报警 .
问题（4）：按照例2呈现的规律，预计干旱持续多少天水库将干涸?你是怎么做的?
∵当 V = 0 时， -2 0 t + 120 0 .=0 , 解得： t =60 .
∴ 预计干旱持续 6 0 天水库将干 涸 .
◆2.归纳总结：
一元一次方程与一次函数的联系：
从 “数” 的角度，函数值为 0 时 自变量 的值就是方程的解；
从 “形” 的角度，函数图象与 x 轴交点的横坐标就是方程的解，并用表格清晰呈现.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1 ：工厂每千度电产生利润 y（元 / 千度）与电价 x（元 / 千度）的函数图象
如图所示，求电价为 600 元 / 千度时的利润.
【分析】由图象知点（0，300）， （ 500,200 ） 满足解析式y = kx + b，代入计算
可求得
k和b的值，从而求得函数解析式，再当 x =600 时，求出y的值即可解答.【解答】设工厂每千度电产生利润 y与电价 x解析式为：y = kx + b.
找已知点：图象过 (0,300) 和 (500,200).
求系数：代入得b = 300，500k + 300 = 200，解得k = ﹣ 0. 2，解析式为： y = ﹣ 0.2x + 300 .
计算利润：当x=600 时，y = ﹣ 0.2×60 0 + 30 0 =180
∴电价为 600 元 / 千度时的利润为180 千元.
例2 ：A 公司无纺布价格 y（万元）与质量 x（吨）的函数图象过 (0,0.8) 和 (10,20.3)；B 公司不超过
30 吨时每吨 2 万元，超过 30 吨时超过部分每吨 1.9 万元.购买 40 吨时，选哪家公司费用少？
【分析】先用待定系数法求出A公式价格y与质量x的函数解析式，然后表示出B公司的费用，再当购买
吨数为40 吨时，分别求出每家公司所需的费用,最后进行比较即可.
【解答】求 A 公司解析式：
设y = kx + b，代入得b = 0.8， 10 k + 0.8 = 20.3，
解得：k = 1.9 5，
∴解析式为： y = 1.95 x + 0.8 .
计算 A 公司费用：x=40 时，y = 1.95×4 0 + 0. 8 = 78.8 万元；
计算 B 公司费用：30 吨以内费用 30×2 = 60 万元，超过 30 吨的 10 吨费用： 10×1.9 = 19 万元，总费
用 60 + 19 = 79 万元.
比较选择：∵78.8＜79，
∴选 A 公司费用少.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何利用一次函数图象解决实际问题，并总结一元一次方程与一次函数的联系；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1. 一次函数y = kx + b的图象如图所示，方程kx + b = 0的解为（ C ）A. x=2 B. y=2 C. x=-1 D. y=-1
2. 某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知, 营
销人员没有销售量时的收入(最低工资)是 ( B )
A. 3100 元 B. 3000 元 C. 2900 元 D. 2800 元
3.如图，从A地向B地打长途电话，设通话时间x(分)需付话费y(元)，请根据图象反映的y随x的变化规
律，找出通话2分钟要付___2___元，通话5分钟要付___6___元．
4．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝
0的解为_ x ＝－ 1_ ．
5．近几年来,由于经济和社会发展迅速,用电量越来越多.为缓解用电紧张,某电力公司特制定了新的用电收
费标准,每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图所示.
6．（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当 0≤x≤50 和x>50时，y
与x的函数表达式；
解：当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，其经过（50，25），代入得25=50k1，故k1=0.5，y=0.5x；
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，
其经过（50,25）（100,70），得k2=0.9,b=-20,则y=0.9x-20.
（2）当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过
50度时，收费标准是多少？
解：根据上题可知，不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算.
题型一 利用一次函数解一元一次方程
1．如图，已知直线y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），则关于x的方程kx+b＝1的解是x＝（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．﹣2
【分析】根据题意知，当y＝1时，x＝﹣4，据此求得关于x的方程kx+b＝1的解．
【解答】解：∵点（﹣4，1）在直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）上，
∴当y＝1时，x＝﹣4．
∴关于x的方程kx+b＝1的解x＝﹣4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用已知条件“点（﹣4，1）在
直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）上”解答．
2．如图，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA＝2，OB＝1，则关
于x的方程kx+b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣2 D．x＝2
【分析】利用函数图象，x＝﹣2函数值为0，则于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．【解答】解：∵OA＝2，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交
点的横坐标是解题的关键．
3．关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx+b的图象一定过点（ ）
A．（3，0） B．（7，0） C．（3，7） D．（7，3）
【分析】关于x的方程kx+b＝3的解其实就是求当函数值为3时x的值，据此可以直接得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，
∴x＝7时，y＝kx+b＝3，
∴直线y＝kx+b的图象一定过点（7，3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解关于x的方程kx+b＝3的解为x＝7，即x
＝7时，y＝kx+b＝3是解题的关键．
4．根据一次函数y＝kx+b的图象，写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解是 ；
（2）关于x的方程kx+b＝﹣3的解是 ；
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出y＝﹣3时对应的自变量的值即可
【解答】解：（1）由图象可得，
当y＝0时，x＝2，
即kx+b＝0时，x＝2，
故答案为：x＝2；
（2）由图象可得，当y＝﹣3时，x＝﹣1，
即kx+b＝﹣3时，x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1；
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
5．根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可
（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0，
所以方程kx+b＝0的解为x＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣1，
所以代数式k+b的值为﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，
所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键．
题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标
3
6．已知方程kx+b＝0的解是x= ，则函数y＝kx+b的图象可能是（ ）
2A． B．
C． D．
【分析】根据方程的解得出函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后判断即可．
3
【解答】解：∵方程kx+b＝0的解是x= ，
2
3
∴函数y＝kx+b与x轴的交点坐标是( ，0)，
2
满足条件的只有D．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标
的关系是解题的关键．
7．关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，则直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是（ ）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元一次方程kx+b＝0的解是x＝1，
∴当x＝1时y＝kx+b＝0，
∴直线y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标为（1，0），
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
8．一次函数y＝kx+b的x与y的部分对应值如表所示，根据表中数值分析，下列结论正确的是（ ）
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 6 4 2 0 …
A．y随x的增大而增大
B．一次函数y＝kx+b的图象不经过第一象限
C．x＝2是方程kx+b＝0的解
1
D．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（ ，0）
2【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本
题．
【解答】解：由表格可得，
A．y随x的增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
B．当x＝0时，y＝4，可知b＝4，y随x的增大而减小，可知k＜0，则该函数图象经过第一、二、四象
限，故选项B错误，不符合题意；
C．x＝2时，y＝0，故x＝2是方程kx+b＝0的解，故选项C正确，符合题意；
D．∵x＝2时，y＝0，
∴一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（2，0），故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质
解答．
9．已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=﹣2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则
这个一次函数的表达式是 ．
【分析】先根据方程的解得定义得到2k+b=0，再根据一次函数图象上点的坐标特征得到b=2，于是可计
算出k=1，从而得到一次函数解析式．
【解答】解：把x=﹣2代入kx+b=0得-2k+b=0，
把（0，2）代入y=kx+b得b=2，
所以-2k+2=0，解得k=1，
所以一次函数解析式为y=x+2．
故答案为y=x+2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0 （a,b为常数，
a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从
图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象
回答下列问题：
（1）与x轴交点A的坐标是 ，与y轴交点B的坐标是 ；
（2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 ；
（3）当y＝﹣1时，求x的值．【分析】（1）令y＝0，可解得A的坐标；令x＝0，可解得B的坐标；
（2）﹣2x+4＝0，即y＝0，所以x的值就是A坐标的数值；
（3）令y＝﹣1，可解得x的值．
【解答】解：（1）令y＝0，
即﹣2x+4＝0，
解得：x＝2，
即与x轴交点A的坐标是（2，0）；
令x＝0，
此时y＝4，
即与y轴交点B的坐标是（0，4）；
（2）由（1）可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是2；
由图象可知，结合函数图象与x轴的交点为（2，0），
（3）当y＝﹣1时，
即﹣2x+4＝﹣1，
5
解得：x= ．
2
【点评】本题考查了一次函数的图象与一次函数的简单性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关
键．
题型三： 单个一次函数图象的应用
11．乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x
（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是 20元时，则当日的销售利润为（
）A．200元 B．300元 C．350元 D．500元
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量 y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然
后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是 20元时，当日的销售利
润．
【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上，
{25k+b=50)
∴ ，
35k+b=30
{k=−2)
解得 ，
b=100
即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100，
当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60，
则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元），
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
12．一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后
又每千克降价0.1元出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图
象，若降价后他将剩余土豆售完时手中的钱（含备用零钱）是26元，则他一共带了（ ）千克土豆．
A．15 B．32.4 C．40 D．45
【分析】根据图象先求出农民自带零钱和降价前的销售量，再求出降价前每千克的售价，从而得出降价后每千克的售价，从而得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，农民自带零钱为5元，降价前售出土豆30千克，
20−5
降价前每千克售价为 =0.5（元），
30
∴降价后每千克售价为0.4元，
26−20
∴降价后销售的土豆为 =15（千克），
0.4
∴这个农民一共带了土豆30+15＝45（千克），
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，根据图象获取信息是解题关键．
13．有一个附有进出水管的容器，每单位时间内进水量都是一定的．设从某时刻开始的4分钟内只进水、
不出水，在随后的8分钟内既进水、又出水，得到时间x（分）与水量y（升）关系如图所示，则进水量
比出水量每分钟多 升．
【分析】根据函数图象中的数据，可以计算出进水管和出水管的速度，然后作差即可．
【解答】解：由图象可得，
进水管的速度为20÷4＝5（升/分钟），
则出水管的速度为：5﹣（30﹣20）÷（12﹣4）＝3.75（升/分钟），
5﹣3.75＝1.25（升），
即水量比出水量每分钟多1.25升，
故答案为：1.25．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图．
（1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？
（2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？
（3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间．【分析】（1）根据图象中数据，可以写出水泵抽水前，该蓄水池内有多少水，抽完这些水需要多长时
间；
（2）根据图象中数据，可以写出水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量；
（3）根据图象中的数据，先计算出抽水速度，然后即可计算出当蓄水池的剩水量是 100m3时，水泵的抽
水时间．
【解答】解：（1）由图象可得，
水泵抽水前，该蓄水池内有600m3的水；抽完这些水需要12h；
（2）由图象可得，
水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是200m3；
（3）由图象可得，
抽水的速度为：（600﹣200）÷8＝50（m3/h），
当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为：（600﹣100）÷50＝10（h），
即当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为10h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为 480m3，该游泳池有甲、乙两个进水
口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y
（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙
两个进水口的注水速度；
（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间
4
是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍．求单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时？
3【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数
关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满
游泳池需多少小时．
【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，
{ b=100 )
，
2k+b=380
{k=140)
解得， ，
b=100
即y与t的函数关系式是y＝140t+100，
同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；
4
（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的 倍．
3
3
∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的 ，
4
∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，
3 3
∴甲进水口的进水速度为：140÷（ +1）× =60（m3/h），
4 4
480÷60＝8（h），
即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思
想解答．
16．李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的
地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩
余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为0.1升/千米．
（1）工厂离目的地的路程为 千米；
（2）求s与t之间的函数表达式；（3）求货车行驶多长时间后会显示加油提醒．
【分析】（1）根据图象中的数据，可以写出工厂离目的地的路程；
（2）根据图象中的数据，可以计算出s与t之间的函数表达式；
（3）根据题意和题目中的数据，可以计算出货车行驶多长时间后会显示加油提醒．
【解答】解：（1）由图可得，
工厂离目的地的路程为880千米，
故答案为：880；
（2）设s与t之间的函数表达式为s＝kt+b，
∵点（0，880），（4，560）在该函数图象上，
{ b=880 )
∴ ，
4k+b=560
{k=−80)
解得 ，
b=880
即s与t之间的函数表达式为s＝﹣80t+880；
（3）（60﹣10）÷0.1
＝50÷0.1
＝500（千米），
令s＝880﹣500＝380，
则380＝﹣80t+880，
解得t＝6.25，
答：货车行驶6.25小时后会显示加油提醒．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．▲1．一次函数与一元一次方程的关系（数形结合）：
（1）一次函数 y = kx + b 的函数值为 0 时，相应的 自变量 x 的值；
（2）一次函数 y = kx + b 的图象与 x 轴的交点的横坐标.
▲2．一次函数图像与关系式的实际问题应用：
（1）从x轴或y轴的实际意义去理解函数图象，再看交点的实际意义；
（2）图象上找到已知信息对应的点，由点的坐标轴的值读出要求的值;
（3）求出一次函数表达式，再根据变量的实际意义解决问题.
