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4.4 一次函数的应用
课堂知识梳理
先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为
待定系数法．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．
在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以
设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式
解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是
一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要
的结果．
一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.
从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1.一条公路旁依次有 、 、 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从 村、 村同时出发前往 村，甲乙
之间的距离 与骑行时间 之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（ ）A．甲每小时比乙多骑行 B．出发 后两人相遇
C． ， 两村相距 D．相遇后，乙又骑了 或 时两人相距
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s=0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐
点情况解答即可．
【详解】
解：A、根据题意得：甲每小时比乙多骑行 km，故本选项正确，不符合题意；
B、观察图象得在 时，两人相距0km，即出发 后两人相遇，故本选项正确，不符合题意；
C、观察图象得 ， 两村相距 ，故本选项正确，不符合题意；
D、当 时，图象过点（1.25，0），（2，6），
设该图象解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴该函数解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∵1.5-1.25=0.25h，
即乙又骑了 ，两人相距 ；
当 时，图象过点（2.5，0），（2，6），
同理得：该函数解析式为 ，当 时， ，
解得： ，
∵ ，
即乙又骑了 ，两人相距 ；
∴相遇后，乙又骑了 或 时两人相距 ，故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是读懂图象，根据图象的数据进行解题
是解题的关键．
2.物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，
通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（ ）
拉力/N 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0
A．24cm B．25cm C．25.5cm D．26cm
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm，弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系，
利用待定系数解答，即可求解．【详解】
解：根据题意得：拉力每增加1N， 弹簧的长度增加2cm，
设弹簧的长度为y，受到的拉力为x，
则 ，
当 时， ，
即拉力为7.5N，则弹簧长度为25cm．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得到弹簧的长度与受到的拉力之间是一次函数的关系是解题的
关键．
3.嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图像，如图所示，若一次
性购买6千克橙子，则所付金额为（ ）
A．24元 B．28元 C．30元 D．32元
【答案】B
【解析】
【分析】
由图像可知购买6千克橙子所付金额即为 时，y所对应的值，即求出解析式带值求解即可．
【详解】
解：当 时，设解析式为 ，将（4，20），（10，44）代入，
得 ，解得 ，
∴解析式为 ，
当 时， ，故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，理清题意，找准数据的实际含义是解题的关键．
4．小苏现已存款180元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额 （元）与时
间 （月）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据存款总数=已存款180元+x个月的存款数，可以写出存款总金额y（元）与时间x（月）之间的函数关
系式，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得， ．
故选：D．
【点睛】
本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出其中的函数关系式．
5．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并
画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（ ）
①该植物开始的高度为6厘米；
②直线AC的函数表达式为 ；
③第40天，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为15厘米；
⑤该植物的高度随时间的增加而增高．A．①②③ B．②④ C．②③⑤ D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据开始观察时，植物的高度为6厘米即可判断①设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系
数法求出直线AC的解析式，即可判断②；把x=40代入②的结论进行计算即可判断③；把x=50代入②的
结论进行计算，再根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高即可判断④⑤．
【详解】
解：①由函数图象可知，开始观察时，该植物的高度为6厘米，故①正确；
②由题意得点A的坐标为（0，6），点B的坐标为（30，12），设直线AC的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AC的函数表达式为 ，故②正确；
③当 时， ，即第40天，该植物的高度为14厘米，故③正确；
④当 时， ，即第50天，该植物的高度为16厘米，由直线CD平行于x轴可知，第
50天后植物的高度不发生变化，即植物的最高为16厘米，故④错误；⑤在AC段植物的高度随时间增加而增加，在CD段植物的高度不发生变化，故⑤错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察
图象，准确获取信息是解题的关键．
6. ， 两地相距120km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图， ， 分别表示两人离
地的距离 （km）与时间 （h）之间的关系，则当甲到达 地时，乙距离 地（ ）
A．56km B．60km C．80km D．40km
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出直线 的解析式，从而求出当 时， ，由此即可求出直线 的解析式，进而求出甲到达目
的地的时间，由此即可得到答案．
【详解】
解：由题意可知，甲，乙的函数图象分别为 ， ．
∵ 经过点 和 ，
∴ ： ，当 时， ，
∴由 ， 得 ： ，
令 ，解得 ，将 代入 ，得 ．
∴当甲到达 地时，乙距离 地60km．
故选B．【点睛】
本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
7.一台饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.5升水，饮水机中剩余水量y（升）与打开阀门时间x
（分）之间的关系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意列出函数关系式即可求解．
【详解】
解：∵一台饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.5升水，
∴饮水机中剩余水量y（升）与打开阀门时间x（分）之间的关系是：
故答案为：
【点睛】
本题考查了列函数表达式，理解题意是解题的关键．
8．直线 过点 ，则 值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线 过点 ，可得到 ，然后将 化为 ，代入数
据计算即可．
【详解】
解：∵直线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，运用了整体代入的数学思想．熟知一次函数图像上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
9.已知一次函数 的图象经过点 ，与x轴的交点为B，若 ，则这个一次函数的
解析式为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
由 可知： 点坐标为 或 ，然后分两种情况利用待定系数法求一次函数的解析式．
【详解】
解：由题意： ，
∴ 点坐标为 或 ．
①当一次函数 的图象经过 和 时，
由题意得 ，
解得： ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
②当一次函数 的图象经过 和 时，
由题意得 ，
解得： ，∴这个一次函数的解析式为 ．
综上所述，这个一次函数的解析式为 或 ．
故答案为 或 ．
【点睛】
本题主要考查的是待定系数法求一次函数的解析式，尤其注意根据线段 的长度， 点坐标有两种情况，
熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
10．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段 为苹果日销售量 （千克）与苹果售价 （元）的
函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销
售苹果的盈利是_____元．
【答案】6600
【解析】
【分析】
根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可．
【详解】
解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得
，解得 ，
∴y=-600x+7000，
当x=8时，y= ，
∴这天销售苹果的盈利是 =6600（元），
故答案为：6600．
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键．
11．若一次函数y＝kx+2的图象，y随x的增大而增大，并与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，则k＝
_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
如图，根据题意可求出OA．根据一次函数y＝kx+2的图象，y随x增大而增大，即可利用k表示出OB的长，
再根据三角形面积公式，即可求出k的值．
【详解】
解：如图，
令x=0，则y=2，
∴A(0，2),
∴OA=2．
令y=0，则 ，
∴B( ，0)．
∵一次函数y＝kx+2的图象，y随x增大而增大，
∴k＞0，
∴OB= ，
∵一次函数y＝kx+2的图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴ ，即 ，
解得： ．故答案为：1．
【点睛】
本题考查一次函数的图象和性质．熟练掌握其图象和性质是解题关键．
12．小李新买了一部手机，同时想选择一种新套餐．获悉某通信公司新开发了甲、乙两种手机话费套餐，
其每月通话费用与通话时间之间的关系如图所示．若平时小李每月的通话时间大约在120分钟，请你帮忙
选择一下，小李选择______种套餐合适．
【答案】乙
【解析】
【分析】
根据图象中点的含义，图象的性质进行判断即可．
【详解】
解：由图象可知，甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用与通话时间之间的关系均为一次函数，图象的
交点坐标为
由一次函数图象的性质可知 时，
∴小李每月的通话时间 大约在120分钟时，小李选择乙种套餐合适
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查了函数图象，一次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质．
13.如图1，正方形ABCD的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点
经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的△APD的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其
中MN所在的直线关系式为____________．【答案】
【解析】
【分析】
首先分析出图2中MN段对应了点P在CD上运动，然后根据题意表示出面积即可．
【详解】
解：由点P的运动可知，图2中MN段对应了点P在CD上运动，如图所示，
∴此时 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】
此题考查了动点问题的函数图像，解题的关键是正确分析图1中点P的运动与图2中的函数图像之间的关
系．
14．如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且
AB:AD=1:3，则k的值为__________．【答案】
【解析】
【分析】
先设点A（a，0），然后求得点B（a，2a），从而得到AB的长，再由AB：AD=1：3求得AD的长，进而
得到点D和点C的坐标，最后将点C的坐标代入y=kx求得k的值．
【详解】
解：设点A（a，0），
∵点B在y=2x上
∴点B（a，2a），
∴AB=2a，
∵AB：AD=1：3，
∴AD=3AB=3×2a=6a，
∴点D（7a，0），
∵四边形ABCD是长方形，
∴点C（7a，2a），
将点C（7a，2a）代入y=kx得，7ak=2a，
∴k= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知长方形的性质和一次函数图象上点的坐标特
征．
15．已知点 及在第一象限的动点 ，且 ， 的面积为 求：
(1) 关于 的函数表达式：______．
(2)直接写出 的取值范围为______；
(3)当 时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)【解析】
【分析】
根据 ，得 ，再求 的面积即可；
根据 在第一象限，得 ， ，即可求出 取值范围；
将 代入 中的函数关系式，即可求出点 坐标．
(1)
∵ ，
∴ ，
∵
，
∴ ，
故答案为： ；
(2)
在第一象限，
， ，
解得 ，
故答案为： ；
(3)
当 时，即 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了一次函数与动点的综合，熟练掌握求三角形面积的方法是解决本题的关键．
16．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，下图是试验阶段的某天
恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示
恒温系统开启后阶段，曲线部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x（ ）的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃，蔬菜会受到伤害，若图中E点的坐标为（20，10），请问这天内，恒温系统
最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？请简要说明理由．
【答案】(1)y=2x+10（0≤x≤5）；
(2)恒温系统设定恒温为20℃；
(3)恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【解析】
【分析】
（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）观察图象可得；
（3）代入临界值y=10即可．
(1)
解：设线段AB解析式为y=kx+b（k≠0），
∵线段AB过点（0，10），（2，14），
代入得 ，
解得 ，
∴线段AB的解析式为：y=2x+10（0≤x≤5）；
(2)
解：线段AB的解析式为：y=2x+10（0≤x≤5），当x=5时，y=2×5+10=20，
∴恒温系统设定恒温为20℃；
(3)
解：∵图中E点的坐标为（20，10），
∴20-10=10，
答：恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
17.一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到
达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离 与轿车行驶时间 的关系．
(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；
(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．
【答案】(1)80 km/h
(2) km/h
【解析】
【分析】
（1）用两地间距离除以轿车在返回甲地过程中所用的时间，即可求解；
（2）分别求出货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式，轿车从乙地返回甲地的函数关系式，再求出它
们的交点，即可求解．
(1)
解∶根据题意得∶ 轿车在返回甲地过程中的速度为 km/h；(2)
解：设货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为 ，
把点（3，120）代入得：
，解得： ，
∴货车离甲地距离与行驶时间的函数关系式为 ，
设轿车从乙地返回甲地，离甲地距离与行驶时间的函数关系式为 ，
把点（2，120），（3.5，0）代入得：
，解得： ，
∴轿车从乙地返回甲地的函数解析式为 ，
联立得： ，解得： ，
∴当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇处离甲地的距离为 km/h．
【点睛】
本题主要考查了函数图象的动点问题，一次函数的应用，明确题意，准确从函数图象获取信息是解题的关
键．
18．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经
协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按照七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、
学生都按照八折收费．
(1)设参加旅游的学生有 人，甲、乙旅行社的总价分别为 ， 元，请列出 ， 关于 的函数关系式；
（不用写出自变量的取值范围）
(2)他们应该选择哪家旅行社？
【答案】(1) ，
(2)当学生人数超过4人时，选择甲旅行社；当学生人数为4人时，两家旅行社都可以；当学生人数少于4
人时，选择乙旅行社【解析】
【分析】
（1）根据题意列式即可得；
（2）分情况讨论：当 时，当 时，当 时，进行计算即可得．
(1)
解： ，
；
(2)
解:当 时， ，解得 ,
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当学生人数超过4人时，选择甲旅行社；
当学生人数为4人时，两家旅行社都可以；
当学生人数少于4人时，选择乙旅行社．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的根据是理解题意，掌握一次函数的性质．
培优第二阶——拓展培优练
19．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达
B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车
之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则
（1） ___________________．
（2） ___________________．【答案】 50 ##4.3125
【解析】
【分析】
甲出发时，乙行驶了1小时，此时二人相距60km，则可求出乙的速度，甲出发1.5小时后追上乙，此时可
求出乙行驶的距离，除以甲行驶的时间即可求出甲的速度，甲行至B地时，此时是甲乙相距最远的时候，
由图可知相距80km，80除以甲乙的速度差即可求出甲追上以后行驶至B地的时间，即可求得b值，甲在B
地停留时，甲乙之间的距离在缩短，当甲返程时，甲乙之间的距离在加速缩短，此时可知c=b+0.5h（30分
钟），根据乙的速度可以求出甲停留时甲乙之间缩短的距离量，用80km减去此值即可求出a值，甲开始
返程时，甲乙相向而行，用a值除以甲乙速度之和即可求得d值．
【详解】
乙的速度：60÷1=60（km/h），
甲追上乙时，乙行走的距离为：60×(1.5+1)=150（km），
则甲的速度为：150÷1.5=100（km/h），
追上后甲行至B地的用时：80÷(100-60)=2（h），
则b=1.5+2=3.5（h），
则c=b+0.5=3.5+0.5=4（h），
30分钟内，甲乙之间缩短的距离为：60×0.5=30（km），
则a=80-30=50（km），
甲乙相向而行再次相遇所用时间：50÷(100+60)=0.3125（h），
则d=c+0.3125=4.3125= （h），
故答案为：50， ．
【点睛】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，注重数形结合是解答本题的关键．
20．如图，将正方形 置于平面直角坐标系中，其中 ， ， 边在 轴上，直线
与正方形 的边有两个交点 、 ，当 时， 的取值范围是__．
【答案】 或 且
【解析】
【分析】
设BC与y轴交于点M，根据题意可得E点不在AD边上，即 ，分两种情况进行讨论：①如果 ，
那么点E在AB边或线段BM上；②如果 ，那么点E在CD边或线段CM上；对两种情况的临界情况
进行分析即可得出结果．
【详解】
解：如图，设BC与y轴交于点M，
， ， ，
∴E点不在AD边上，
；
①如果 ，那么点E在AB边或线段BM上，
当点E在AB边且 时，由勾股定理得， ，
，
， ，
当直线 经过点 ， 时， ．
，
，
当点E在线段BM上时， ，
，符合题意；
②如果 ，那么点E在CD边或线段CM上，
当点E在CD边且 时，E与D重合；
当 时，由勾股定理得， ，
，
，此时E与C重合，
当直线 经过点 时， ．
当点E在线段CM上时， ，
且 ，符合题意；
综上，当 时， 的取值范围是 或 且 ，
故答案为： 或 且 ．
【点睛】
题目主要考查正比例函数的综合问题，包括其性质及分类讨论思想，勾股定理解三角形等，理解题意，熟
练掌握运用分类思想是解题关键．
21．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元
和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出
后获得的总利润为W万元．(1)求W与x之间的函数解析式；
(2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪
几种建房方案？
(3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户
型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案．
【答案】(1)W＝2x+800
(2)该公司有3种建房方案：①建A种户型30套，B种户型50套；②建A种户型31套，B种户型49套；三
建A种户型32套，B种户型48套
(3)当0＜a≤2时，按（2）中第三种方案；当a＝2时，按（2）中三种方案均可；当2＜a≤3时，按（2）中
第一种方案
【解析】
【分析】
（1）根据A种户型x套，则B种户型（80﹣x）套，根据一套的利润×总的套数＝总利润，列出一次函数可
得出答案；
（2）根据该公司所建房资金不少于5700万元且A户型不超过32套，得出该公司建房方案；
（3）在（2）的前提下，根据函数的性质求最值即可．
(1)
∵A、B两种户型的住房共80套，A户型x套，则B户型有（80﹣x）套，
根据题意得，W＝（102﹣90）x+（70﹣60）（80﹣x）＝12x+10（80﹣x）＝2x+800，
∴W与x之间的函数解析式为W＝2x+800；
(2)
由题意得：90x+60（80﹣x）≥5700，
解得：x≥30，
∵x≤32，
∴30≤x≤32（x为正整数），
∴x取30，31，32，
∴该公司有3种建房方案：
第一种：建A种户型30套，B种户型50套；
第二种：建A种户型31套，B种户型49套；
第三种：建A种户型32套，B种户型48套；
(3)由题意得：W＝（12﹣a）x+10（80﹣x）＝（2﹣a）x+800，
当0＜a≤2时，W随x的增大而增大，
∴x＝32时，W最大，
此时按（2）中第三种方案；
当a＝2时，W＝800，
此时按（2）中三种方案均可；
当2＜a≤3时，W随x的增大而减小，
∴当x＝30时，W最大，
此时按（2）中第一种方案．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的应用和一次函数的应用，读懂题意，找出它们之间的数量关系，列出不等式
或一次函数，掌握函数的增减性是解题的关键．
22．甲、乙两车分别从相距360km的富区、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发1h
后出发，到达富区后停止行驶，甲车到达哈市后，立即按原路原速返回富区（甲车调头的时间忽略不计），
甲、乙两车距哈市的路程 （单位：km）， （单位：km）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图
象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙车的行驶速度是______， ______；乙车距哈市的路程 与甲车出发时间x之间的函数解析式是
______（不写自变量的取值范围）
(2)甲车与乙车第一次相遇时，距离富区的路程是多少千米？
(3)甲车出发多少小时后两车相距为100km？请直接写出答案．
【答案】(1)60km/h，240，(2)280km
(3) 或 或
【解析】
【分析】
（1）根据“速度＝路程÷时间”可求出乙车的速度，再根据“路程＝速度×时间”可求出a值；根据图象
确定点D、F的坐标，利用待定系数法求DF段函数解析式即可；
（2）先计算甲车的速度以及甲车到达哈市的时间，确定点A、B、E的坐标，在利用待定系数法解得AB、
BC段的函数解析式，结合（1），当 时，可求出甲车与乙车第一次相遇时的时间及距离富区的路
程；
（3）设甲车出发t小时后，两车相距100km．分三种情况讨论，按照第一次相遇前、第一次相遇后、第二
次相遇前三种情况分别列方程，求解即可得到答案．
(1)
解：根据题意，乙车的速度为 km/h，
∴ ，
由题意可知，点D（1，0）、F（7，360），
设乙车距哈市的路程 与甲车出发时间x之间的函数解析式为 ，
将点D（1，0）、F（7，360）代入，
得 ，解得 ，
则乙车距哈市的路程 与甲车出发时间x之间的函数解析式为 ．
故答案为：60千米/时，240， ；
(2)
根据题意，甲车的速度为 km/h，
故甲车到达哈市用时 h，
∴点A（0，360）、B（3，0）、E（5，240），设AB段的解析式为 ，将点A（0，360）、B（3，0）代入，
得 ，
解得 ，
∴AB段的解析式为 （ ）；
设BC段的解析式为 ，将点B（3，0）、E（5，240）代入，
得 ，
解得 ，
∴BC段的解析式为 （ ）；
当 时，即 ，解得 ，
此时 ，
∴ km．
答：甲车与乙车第一次相遇时，距离富区的路程是280千米．
(3)
设甲车出发t小时后，两车相距100km时，由题意可得：
①第一次相遇前，有 ，解得 ；
②第一次相遇后，有 ，解得 ；
③第二次相遇前，有 ，解得 ．
综上所述：甲车出发 、 或 小时后两车相距为100km．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．
23．对于平面直角坐标系 中的图形 ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形 上任
意一点，如果 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 间的“距离”，记作 ．
特别的，当图形 有公共点时，记作 ．一次函数 的图像为 ， 与 轴交点为
，在 中， ．
(1)求 （点 ， ）=________；当 时，求 =_________．
(2)若 ，直接写出 的取值范围_________．
(3)函数 的图像记为 ，若 ，则 的取值范围是_________．
【答案】(1)1， ．
(2)k≥2或k≤−2
(3)−1−2 ≤b≤1＋2
【解析】【分析】
（1）将x＝0代入直线解析式求出点D坐标，然后结合图像求解．
（2）分别求出直线经过点B，C时k的值，结合图像求解．
（3）由y＝x＋b与AB平行，结合图像分别求出d（W， ABC）＝2时b的值，进而求解．
(1) △
将x＝0代入y＝kx＋2得y＝2，
∴D（0，2），
∴d（点D， ABC）＝点D（0，2）到点A（0，1）的距离，
即AD＝2−1＝△1，
当k＝1时，y＝x＋2，直线L与AB平行，
如图，作AE⊥直线y＝x＋2，
∵三角形ADE为等腰直角三角形，AD＝1，
∴ ，
故答案为：1， ．
(2)
若d（L， ABC）＝0，则直线L与三角形ABC有交点，
当直线L经△过点B时，如图甲所示，将（−1，0）代入y＝kx＋2得0＝−k＋2，
解得k＝2，
∴k≥2满足题意，
当直线L经过点C时，如图乙所示，将（1，0）代入y＝kx＋2得0＝k＋2，
解得k＝−2，∴k≤−2满足题意，
故答案为：k≥2或k≤−2．
图甲 图乙
(3)
将x＝0代入y＝x＋b得y＝b，
∴直线y＝x＋b与y轴交点为（0，b），
如图丙所示，当b＞0时，设直线y＝x＋b与y轴交点为M，与x轴交点为N，作AG⊥MN于点G，
∵直线MN∥AB，
∴当AG＝2时，AM＝ AG＝2 ，
∴点M坐标为（0，1＋2 ），
∴b＝1＋2 ，
当b＜0时，如图丁所示，设直线y＝x＋b与y轴交点为Q，与x轴交点为P，作CH⊥PQ于点H，
同理，当CH＝2时，CP＝ CH＝2 ，
∴OQ＝OP＝OC＋CP＝1＋2 ，
∴b＝−1−2 ，
∴−1−2 ≤b≤1＋2 时符合题意．
故答案为：−1−2 ≤b≤1＋2 ．图丙 图丁
【点睛】
本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握一次函数的性质，掌握一次函数与方程的关系，
通过数形结合求解．
培优第三阶——中考沙场点兵
24．（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开
始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．
若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】先求出二人速度，即可得20分钟二人所跑路程之和，再总结出第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和
（400n﹣200）米，列方程求出n的值，即可得答案．
【详解】
解：由图可知，父子速度分别为：200×2÷120 （米/秒）和200÷100＝2（米/秒），
∴20分钟父子所走路程和为 （米），
父子二人第一次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200米，
父子二人第二次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200×2+200＝600（米），
父子二人第三次迎面相遇时，两人所跑路程之和为400×2+200＝1000（米），
父子二人第四次迎面相遇时，两人所跑路程之和为600×2+200＝1400（米），
…
父子二人第n次迎面相遇时，两人所跑路程之和为200（n﹣1）×2+200＝（400n﹣200）米，
令400n﹣200＝6400，
解得n＝16.5，
∴父子二人迎面相遇的次数为16．
故选：B．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出父子二人第 次迎面相遇时，两人所跑路程之和
米．
25．（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点 ， ，直线 经过点 ．试探
究：直线与线段 有交点时 的变化情况，猜想 的取值范围是______．
【答案】 或 ## 或【解析】
【分析】
根据题意，画出图象，可得当x=2时，y≥1，当x=-2时，y≥3，即可求解．
【详解】
解：如图，
观察图象得：当x=2时，y≥1，
即 ，解得： ，
当x=-2时，y≥3，
即 ，解得： ，
∴ 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
26．（2021·山东济南·中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了
漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时
工具模型，研究中发现水位 是时间 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个
的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当 为 时，对应的时间 为__________ ．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …【答案】15
【解析】
【分析】
由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位 与时间 的函数解析式
为 ，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】
解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升
0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位 与时间 的函数解析式为 ，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得： ，
∴水位 与时间 的函数解析式为 ，
∴当 =8时，则有 ，解得： ，
故答案为15．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．
27．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、
乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬
菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变
量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
【答案】(1)100 60
(2)
(3)3，6.3，9.1
【解析】
【分析】
（1）根据图象分别得出甲车5h的路程为500km，乙车5h的路程为300km，即可确定各自的速度；
（2）设 ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，利用待定系数法即可确定函数解
析式；
（3）乙出发的时间为t时，相距120km，根据图象分多个时间段进行分析，利用速度与路程、时间的关系
求解即可．
(1)
解：根据图象可得，甲车5h的路程为500km，
∴甲的速度为：500÷5=100km/h；
乙车5h的路程为300km，
∴乙的速度为：300÷5=60km/h；
故答案为：100；60；(2)
设 ，由图象可得经过点（9，300），（12，0）点，
代入得 ，
解得
∴y与x的函数解析式为 ；
(3)
解：设乙出发的时间为t时，相距120km，
根据图象可得，
当0
