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4.4 一次函数的应用
题型一 根据描述求一次函数解析式
1.如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25 长的建筑材料围成，为
方便进出，在边 上留一个1 宽的门．若设 的长为y ， 的长为x ，则y与x之间的函数解析
式为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得 ，从而得到答案．
【详解】解：根据题意得 ，
∴ ，即 ，
故选：C．
2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过
千克收费 元，超过 千克的部分每千克收费 元，设快递物品的重量为 千克 ，那么从大连发快递
到北京的快递费 （元）与物品重量 （千克）的函数表达式为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得 ，从而可以判断得解．解题时要能读懂题
意，列出关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（2025·湖北·模拟预测）摩托车油箱中有 升油，行驶时每小时耗油 升，在不加油的情况下，剩余油
量 （升）与行驶时间 （小时）之间的函数关系式为 ，自变量 的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求自变量的取值范围、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用， 根据行驶时每小时耗油 升，则行驶 小时耗油 ，剩余油量为
，据此列出函数解析式写出自变量取值范围即可，根据题意列出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，在不加油的情况下，剩余油量 （升）与行驶时间 （小时）之间的函数关系式
为： ，自变量取值范围为： ．
故答案为： ； ．题型二 根据图象求一次函数解析式
4．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数 （ 、 为常数， ）的图象，则关于x的
方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为
0时，求相应的自变量的值．
观察图象找到当 时 的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点 ，
即当 时 ，
所以关于 的方程 的解为 ，
故选：A．
5．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）已知一次函数 的图象如图所示，则方程 的解为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用图象法解一元一次方程【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数 的图象经过点
， 即当 时，自变量 的值就是对应的一元一次方程 的解，掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】解：根据图象可得，一次函数 的图象经过点 ，
∴方程 的解是 ，
故选： ．
6.如图，在空中，自地面算起，每升高 千米，气温下降若干度（ ）， 某地空中气温 （ ）与高度
（千米）间的函数的图像如图所示，那么当高度 千米时，气温低于0（ ）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，再分析气温低于 时的
高度范围．
先设出气温 与高度 的一次函数关系式，利用图像上的点求出关系式，再令 求出对应的 ，从而确定
气温低于 时 的范围．
【详解】解：设气温 与高度 的函数关系式为 （ 、 为常数），
由图像可知，当 时， ，即 ；当 时， ，
把 代入 中，可得 ，解得 ，
所以函数关系式为 ，
当 时，即 ，移项可得 ，
解得： ．
故答案为： ．
题型三 根据表格求一次函数解析式
7．（2025·山西长治·一模）物理课上，于老师让同学们做如下实验：在水盆中放入质地均匀的木块 ，在
其上方放置不同质量的铁块 ．已知木块 全程保持漂浮状态，通过测量木块B露出水面的高度 （单位：）与铁块 的质量 （单位： ），发现它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块 的质量为
时，木块 露出水面的高度 为 ．
实验次数 一 二 三
铁块 的质量 25 50 75
高度 44 38 32
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，采用待定系数法求出高度 与铁块 的质量 的关系式是解
此题的关键．
设 ，利用待定系数法求出 ，当 时，求出 的值即可得到答案．
【详解】解：设 ，
将 代入解析式得： ，
解得： ，
∴高度 与铁块 的质量 的关系式为： ，
当 时， ，
∴当铁块 质量为 时，木块 露出水面上的高度 为 ，
故答案为： ．
题型四 根据题意求变量的值解决问题
8.已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度 （单位： ）与滑行时间 （单位： ）之间满足一次
函数关系 ．而滑行距离 ，则飞机在着陆后滑行 停下．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
先求出速度降为0时所用时间，再把此时求出的时间代入 ，即可求解．
【详解】解：当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型五 行程问题的图象信息问题
9.甲、乙二人沿相同的路线由 到 匀速行进， ， 两地间的路程为 ．他们行进的路程 与乙
出发后的时间 之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度是 B．乙的速度是
C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到 地
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质．
根据图像信息分析结论即可．
【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了 ，故甲的速度是 ，选项不符合题意．
B．由图像可判断，乙4小时走了 ，故乙的速度是 ,选项符合题意．
C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意．
D．由图像可判断，乙比甲晚到 地 ，选项不符合题意．
故选：B．
10.在劳动节期间，甲、乙两人相约一起去爬山，爬山过程中，甲先爬了100米后，乙才开始追赶甲，乙爬
了2分后，速度变成甲爬山速度的3倍，甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙爬山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息有下列说法：①甲的爬山速度为10米/分；② ；③当乙爬了
分后，甲、乙相遇；④甲、乙相遇后，甲再经过1分与乙相距20米，其中正确的有（ ）
A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式．
①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出甲爬山的速度；②当 时，根据高度 初始高度 速
度 时间，即可得出 关于 的函数关系，令 可求出相应 的值，即可得到 的值；③先求出甲、乙
距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；④求出两个解析式后，分别根据时间计
算出相应的函数值，作差即可求解．
【详解】解：①甲的爬山高度是 米，用时 20 分钟，故速度是 米／分，故①
正确；
②当 时， ，
当 时， ，故 ，故②正确；
③乙提速后距地面的高度 （米）与登山时间 （分）之间的函数关系式为：
，
甲爬山全程中，距地面的高度 （米）与登山时间 （分）之间的函数关系式为：
，
当 时，
解得： ；故③正确；
④令 ，
，
甲乙相遇后，甲再经过 1 分钟与乙相距 20 米，故④正确；综上，①②③④均正确，
故选：D．
题型一 根据实际情境列一次函数解析式
1．（23-24七年级上·全国·期末）甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为 米/秒和
米/秒，开始时甲先跑 米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离
（米）与甲跑步所用时间 （秒）之间的函数关系式为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式
是解题的关键．
先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关
系式并确定时间范围．
【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为 秒，得乙跑步所用时间为 秒，
则甲跑的路程为 米，乙跑的路程为 米．
由题意可得 ．
当乙追上甲时， ，即 ，
解得 ；
当乙刚要出发时，
，所以 的取值范围是 ．
所以甲、乙两人之间的距离 （米）与甲跑步所用时间 （秒）之间的函数关系式为 （
），
故选：C．
2．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购
买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y
与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】梯度计价问题
【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键．
分 和 两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可．
【详解】解：当 时由题意得： ，
当 时由题意得： ，
综上，y与x之间的函数关系式为 ．
故答案为： ．
题型二 一次函数的图象信息题
3.甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，
如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（ ）
A．甲车从A地到B地时间为 分钟
B．甲车速度是乙车速度的 倍
C．甲车行驶路程是乙车的2倍
D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为 分钟
【答案】B
【难度】0.65【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合
函数图象逐一判断即可．
【详解】解：甲车从 地到 地时间为 （分钟），
故A选项不符合题意；
甲车从 地到 地时间为 分钟，乙车从 地到 地时间为 分钟，
行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为 ，
甲、乙两车的速度之比为 ，
甲车速度是乙车速度的3倍，
故B选项符合题意；
甲车行驶路程是乙车的2倍，
故C选项不符合题意；
设乙车的速度为 千米 分钟，则甲车的速度为 千米 分钟， 、 两地之间的路程为 千米，
设甲、乙两车第一次相遇的时间为 分钟，则
解得 ，
设甲、乙两车第二次相遇的时间为 分钟，则 ，
解得 ，
（分钟），
甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为 分钟，
故D选项不符合题意．
故选：B．
4.某市出租车计费方法如图所示， 表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：
(1)出租车的起步价是 元；(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离．
【答案】(1)8
(2)这位乘客乘车的距离是
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、梯度计价问题
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由函数值求自变量的值．
（1）根据函数图象可以得出出租车的起步价．
（2）设 时，y与x的函数关系式为 ，运用待定系数法求解解析式；将 解析式即可求
出x的值．
【详解】（1）解：由图象得：出租车的起步价是8元．
（2）解：设当 时，y与x的函数关系式为 ，
由函数图象，得
，
解得： ，
故y与x的函数关系式为： ，
当 时， ，
∴ ，
答：这位乘客乘车的距离是 ．
5.某收费自习室策划了A，B两种收费方式如下表：
收费方式 月使用费/元 包时自习室时间/h 超时费/（元/h）
A 12 40 0.5
B m n 0.6
设每月使用自习室的时间为xh，方案A，B的收费金额分别为 元．下图所示的是 与x之间函数关
系的图象．(1)请根据图象填空： _______， _______．
(2) 与 之间的函数关系式为_______．
(3)如果每月使用自习室的时间为60h，选择哪种收费方式合算？请说明理由．
【答案】(1)10；50
(2)
(3)选择 种收费方式合算，见解析．
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、梯度计价问题
【分析】（1）根据表格和图象可以得到 、 的值，从而可以解答本题；
（2）根据表格中的数据可以求得 之间的函数关系式；
（3）将 分别代入 和 函数解析式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：由函数图象可知， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由图象知：超时费 （元/h）；
当 时， ，
故答案为： ；
（3）解：当 时， ，
∵ ，
∴如果每月上网时间 小时，选择B方式上网学习合算．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果．
题型三 与一次函数有关的方案问题
6．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底
薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图， 为方案一的函数图
像， 为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列
问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：
(1)求 对应的函数表达式．
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？
(3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？
【答案】(1)
(2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元
(3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到
的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多
【难度】0.65
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）设 对应的函数表达式为 ，由待定系数法就可以求出解析式；
（2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为 元，设 对应的函数表达式为
，利用待定系数法求得 ，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元；
（3）由 建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案．
【详解】（1）解：设 对应的函数表达式为 ．
由题图，得 ，
解得 ，
对应的函数表达式为 ．
（2）（2） 方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元，
设 对应的函数表达式为 ．
把 代入，得 ，
解得 ，
方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元．
（3）（3）由（1）知， ．由（2）知， ．
令 ，解得 ．
当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等．
由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种
方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，
解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键．
7.某班的部分同学计划去参观一个受欢迎的历史文化景点，该景点融合了传统文化和现代元素，吸引了大
批的游客．近期，这个景点推出新的门票销售方案．提供两类门票：一类是普通门票，价格为80元/张；
另一类是团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．设该班参加旅游的人
数为 人，购买门票共需要 元．请解决以下问题．
(1)如果每个学生都购买普通门票，则 与 之间的函数解析式为________；
(2)如果购买团体票，求 与 之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请根据人数 的变化，直接设计一种最省钱的购票方案．
【答案】(1) ，详见解析(2) ，详见解析
(3)当人数 时，按普通门票购票省钱；当人数 时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；
当人数 时，按团体门票购票省钱，详见解析
【难度】0.65
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的实际运用，
（1）买普通门票可根据：买票总费用＝门票单价×门票张数，列函数关系式；
（2）买团体票，需要一次购买门票10张及以上，即 ，利用打折后的票价乘人数即可；
（3）根据8张普通门票的费用 张团体门票费用，分类讨论： 、 、 三种情况讨论；
根据数字特点找出临界点是解决问题的关键．
【详解】（1）∵普通门票，价格为80元/张，该班参加旅游的人数为x人，购买门票共需要y元，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵团体门票（一次性购买门票10张及以上）每张门票价格为普通门票的8折．该班参加旅游的人数
为x人，购买门票共需要y元，
∴ ；
（3）∵ ，
当人数 时，按普通门票购票省钱；
当人数 时，按普通门票购票和按团体门票购票一样省钱；
当人数 时，按团体门票购票省钱．
题型四 最大利润与最少费用问题
8．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）某商店销售A，B两种商品， 种商品的进价为每件20元，
售价为每件30元； 种商品的进价为每件35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共
100件，且购进的 种商品不少于60件．设购进 种商品 件，销售完这100件商品的总利润为 元．
(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；(2)购进 种商品60件， 种商品40件，利润最大，最大利润为1200元
【难度】0.65
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键；
（1）根据总利润等于两种商品利润和即可列出函数关系式；
（2）根据函数式及一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解： ，
整理得： ，
由于购进A，B两种商品共100件，且购进的 种商品不少于60件，则 ；
∴ 与 的函数关系式为 ，自变量 的取值范围为 ；
（2）解： ，且 ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，
∴当 时，函数取得最大利润，且最大利润为 （元），
此时购进B种商品为 （件）；
答：购进 种商品60件， 种商品40件，利润最大，最大利润为1200元．
9.某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利600元，B产品每件可获利1000元．设生
产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案．
【答案】(1) ， ，且 为整数；
(2)66000元，生产A产品60件，B产品30件．
【难度】0.65
【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键．
（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品 件，依题意列出函
数关系式即可；
（2）根据题意可得出 ，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品 件，
依题意得：
，且 ， 为整数；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当 时，获利总额最大，最大总额为： （元），
∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为 元．
10.“父亲节”即将来临，父亲的爱是伟大的！某花店购进康乃馨和玫瑰两种鲜花，康乃馨，玫瑰的进货单
价分别为2元/枝、3元/枝，售价分别为8元/枝、6元/枝，某店主计划购进两种鲜花共300枝，其中康乃
馨不大于200枝．设该花店计划购进康乃馨x枝，两种鲜花全部销售后可获利润y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式．
(2)该花店如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)
(2)购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润
【难度】0.65
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）根据利润=销售康乃馨的利润+销售玫瑰的利润计算即可；
（2）根据一次函数的增减性和x的取值范围计算即可．
本题考查一次函数的应用，写出y与x之间的函数关系式、掌握一次函数的增减性是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
∴y与x之间的函数关系式 ．
（2）解： y与x之间的函数关系式 ， ，
∴y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时y值最大，（枝）．
答：购进康乃馨200枝、玫瑰100枝时才能获得最大利润．
题型五 一次函数与图形综合
11.在平面直角坐标系中，已知点 ， ，若直线 上存在点 ，使点 关于 轴的
对称点在线段 上，则 的取值范围为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题考查了一次函数的应用，点的坐标—轴对称，不等式的性质，先求出线段 的表达式为
，设 ，则点 关于 轴的对称点为 ，再结合题意得出
，求出 ，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：设线段 的表达式为 ，
将 ， 代入线段 的表达式可得 ，
解得 ，
∴线段 的表达式为 ，
∵直线 上存在点 ，
∴设 ，
∴点 关于 轴的对称点为 ，
∵点 关于 轴的对称点在线段 上，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12.如图，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ， ．若 是 轴上一点，且 的面
积为5，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何综合，先求出点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ．设点 的坐标为 ，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：因为一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
所以当 时， ；当 时， ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以点 的坐标为 或 ，
故答案为： 或 ．
13.如图，在平面直角坐标系中，直线 的解析式为 ，与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，过
点 的直线 与 轴相交于点 ，以 为斜边在 下方作等腰 ，则点 坐标为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、
等腰三角形的定义
【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形定义，过点 作 轴，
交 轴于 ，交过 点与 轴平行的直线于 ，则 ，由直线 的解析式为 ，
当 时， ，则有 ，然后证明 ，所以 ，设 ，然后通过
两点间的距离即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 轴，交 轴于 ，交过 点与 轴平行的直线于 ，则
，由直线 的解析式为 ，当 时， ，
∴ ，
∵ 为斜边在 下方作等腰 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
题型一 一次函数的实际应用1．在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从 到 这个时间段的运动路
程．某车以 的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头
进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示， 和 是两次雷达测速的时刻，已知第一次
雷达测速仪闪光时，车速已经降到了 ，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了 ，则下列
说法不正确的是（ ）
A．该车进入隧道时的速度为
B．
C．
D． 到 时间段内该车的平均速度为
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯
形的面积判断出当 时对应的速度，即可判断出 选项是否正确；然后求出 与 之间的函数关系式，
取 和22求得对应的时间，即可判断 和 是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项 是
否正确．
【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线 所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从 到 这
个时间段的运动路程，某车以 的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，
图中函数图象与横轴、纵轴、直线 围成的梯形的面积为500．
设 时对应的车速为 ，
． 解得： ．∴该车进入隧道时的速度为 . 故A选项正确，不符合题意；
设v与t的函数关系式为： ．
解得： ．
．
当 时， ． 解得： ． 即 ． 故B错误，符合题意；
当 时， ． 解得： 即 ． 故C正确，不符合题意；
到 时间段内该车的平均速度为： . 故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线
所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从 到 时间段的运动路程．
2.甲、乙两车从 地出发，匀速驶往 地．乙车出发 后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达
地并停留 分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车
之间的距离 与甲车行驶的时间 的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车速度是 B．A、 两地的距离是
C．乙车出发 时甲车到达 地 D．甲车出发 最终与乙车相遇
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查从函数图象中获得信息，相遇问题．分析两车之间的距离 与甲车行驶的时间 的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解．
【详解】解：点 中可知，乙1小时行驶了 ，
∴乙的速度 ，
点 中可知， 后，甲追上乙，
∴甲的速度为 ，
由点 可知，甲到 地，且甲乙相差 ，则：
，
点 可知，休息 分钟，
∴ ， ；
点 可知，甲乙再次相遇， ；
A．甲车的速度是 ，故A错误，不符合题意；
B．由以上分析已知甲出发 后到达B地，且甲速度为 ，所以A，B两地为 ，
故B错误，不符合题意；
C．甲车 到达B地，乙车比甲车早出发 ，所以乙车出发 时甲车到达 地，故C正确，符合题意；
D．从上中 和 可知，甲出发 和 与乙车相遇，故D错误，不符合题意．
故选：C．
题型二 一次函数与图形综合
3.如图，在 中， ， 是 边上的中线， 是 边上的一点，且
， 与 交于点 ，则 ．【答案】 /
【难度】0.4
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、一次函数的应用、两点间的距离公式等知识点，根据题意建立
直角坐标系成为解题的关键．
以B为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，易得
， ，运用待定系数法可得直线 的解析式为 、直线 的解析
式为 ，设 ，易得 ；再求得直线 的解析式为 ，易得
，最后根据两点间距离公式求解即可．
【详解】解：以B为原点， 所在直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
∵ ，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，即D是 的中点，
∴ ，设直线 的解析式为 则：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 则：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，解得： （已舍弃负值），
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
4.如图①，已知 的顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，且 ．点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ．
(1)求点C的坐标；
(2)如图②，过点C作直线 轴交 于点D，交y轴于点E．
①求线段 的长；
②在坐标平面内，是否存在点M（除点B外），使得以点M、C、D为顶点的三角形与 全等？若存
在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②存在， 或 或
【难度】0.4
【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等的性质与判定等，解题关键是熟
悉相关定理，要注意分类求解，避免遗漏．
（1）先证明 ，则 ， 即可求解；
（2）①由（1）知 ， 轴交 于点D，则点D的纵坐标为1，将 代入 ，得
，即可求解；②存在，理由: 点M、C、D为顶点的三角形与 全等，则M与B对应，有三种
情况，分情况讨论即可．
【详解】（1）由题知 ， ，
，
过 作 轴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又 在第二象限，
所以点C的坐标为 ．
（2）①由（1）知 ，
轴交 于点D，
点D的纵坐标为1，将 代入 ，得 ，
，
；
②存在，点M、C、D为顶点的三角形与 全等，则M与B对应，有如下三种情况：当 时，
则点 和点B关于直线 对称，
则M的坐标为 ；
当 时，
则点 和点B关于 的中垂线对称，
故 的坐标为 ；
当 时，
则点 和点 关于 对称，
故 的坐标为 ；
综上所述，点M的坐标为 或 或 ．
