文档内容
4.4.3 一次函数的应用（第 3 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版2024八年级上册第四章“一次函数”的4.4.3节，是在学生掌握单个一次函数图
象与性质的基础上，进一步学习两个一次函数图象的综合应用。教材以“销售收入与销售成本”“追赶问
题”为典型情境，通过图象分析数据、解读交点意义、比较函数值大小，最终实现从“数”（函数表达
式）到“形”（图象）再到“实际问题”的转化。
2.内容解析
其核心是让学生理解两个一次函数图象交点的双重意义（几何上为公共点，代数上坐标满足两个解析
式），并能利用图象或函数表达式解决实际中的比较、决策类问题。这既是对一次函数知识的深化，也是
后续学习二次函数、反比例函数综合应用的重要铺垫，更是培养学生数形结合思想和几何直观能力的关键
内容。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过函数图象获取信息，能说出两个一次函数图象交点的
实际意义，解决简单的实际问题（重点）.
1.教学目标
(1) 能从两个一次函数图象中获取关键数据，准确说出交点的实际意义，并解决盈利亏损、追及相遇
等简单实际问题。
(2) 通过分析一次函数中k与b的实际含义，进一步理解函数表达式与图象的联系，提升数形结合意
识和几何直观能力。
(3) 在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，培养分析问题、解决问题的逻辑思维能力。
2.目标解析
(1) 达成“获取数据与解读交点意义”目标的标志：学生能独立完成“销售收入与销售成本”情境中
“读取特定销售量对应的收入/成本”“找到收支平衡的销售量”等问题，且能解释“交点横坐标为何是收
支平衡点”。
(2) 达成“理解k与b含义”目标的标志：学生能结合具体情境（如追赶问题中“路程-时间”函数），
说出k表示速度、b表示初始路程，且能通过k的大小比较速度快慢。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)达成“培养思维与联系生活”目标的标志：学生能在变式训练（如印刷厂收费决策）中，自主选择
图象或表达式两种方法解决“哪家更省钱”的问题，并清晰阐述理由。
（一）已有知识与掌握情况
学生已学习一次函数的概念、表达式（y=kx+b）及单个函数图象的应用，能从单个函数图象中读取自
变量与函数值，也能根据已知条件求函数表达式，具备初步的“数”“形”转化意识。但对于“两个函数
图象叠加”的场景，学生此前未接触过，缺乏对“交点意义”“函数值比较”的系统认知。
（二）预估教学困难与解决办法
1. 困难1：难以理解“两个函数图象交点的实际意义”，容易混淆“交点横坐标”“纵坐标”分别
对应现实中的哪个量。
解决办法：以“销售收入与销售成本”图象为例，先让学生观察“销售量为4t时，收入和成本都为
4000元”，再引导学生对比“交点处x相同、y也相同”，通过“具体数据→图象特征→实际意义”的递
进，让学生自主归纳交点意义。
困难2：不会利用图象比较两个函数值的大小，尤其在“交点两侧哪个函数值更大”的判断上容易
出错。
解决办法：结合“盈利亏损”问题，先明确“收入函数l₁在成本函数l₂上方时盈利”，再让学生在图
象上标记“x<4t”“x>4t”的区域，观察l₁与l₂的上下位置关系，总结“先找交点，再看两侧”的比较方法，
随后通过“口头提问+快速判断”巩固（如“销售量为3t时，盈利还是亏损？”）。
3. 困难3：无法将“k与b”与实际情境结合，如混淆“路程-时间”函数中k是速度还是初始路程。
解决办法：用“甲从观景台1出发（初始路程b₁=0），乙在观景台2（初始路程b₂=800m）”的具体
场景，对比l₁（s=50t）和l₂（s=30t+800），让学生计算“t=1min时，甲走了50m，乙走了830m”，进而发
现“k是单位时间内路程的增加量（速度）”，b是“t=0时的初始路程”。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为： 通过比较不同的一次函数中k与b的意义，进一步培养
数形结合意识，发展几何直观.
1.情景引入
前面，我们学习了利用单个一次函数图象解决问题的方法，但有时我们会遇到一些比较复杂的问
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题，出现两个或多个一次函数的图象，我们如何利用两个一次函数图象来解决问题呢？
(设计意图：让学生意识到需要结合两个一次函数图象来解决更复杂的实际问题，同时自然地衔接之
前所学的单个一次函数图象应用的旧知识，为后续学习两个一次函数图象的综合应用做好铺垫，引导学生
进入新课的学习状态。)
(教学建议：在导入过程中，先让学生充分思考“如何解决”，鼓励学生自由表达自己的想法，然后
再展示两个函数叠加后的图象。这样可以更好地培养学生的问题意识和主动思考能力，而不是直接给出答
案，让学生被动接受。教师还可以进一步引导学生回忆单个函数图象读取信息的方法，为后续分析两个函
数图象的关系埋下伏笔。)
探究点1 一元一次不等式的概念
如图，l 反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l 反映了该公司产品的销售成本与销售量
1 2
之间的关系，如果将两函数图象合在同一直角坐标系中，结果会怎么样？
（引导观察：观察两个图象，它们有什么共同之处？）
根据图象填空：
(1)当销售量为2t时，销售收入=2000 元，销售成本=3000 元；
(2)当销售量为6t时，销售收入=6000 元，销售成本=5000 元；
(3)当销售量为4t 时，销售收入等于销售成本；（引导：图中什么地方表示销售收入=销售成本？）
结论:两直线交点的意义：
(1)几何意义：两直线交点是它们的公共点；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个解析式.
(4)当销售量 大于 4 t 时，该公司盈利（收入大于成本）； 当销售量 小于 4 t 时，该公司亏损（收入
小于成本）；（如何利用图象比较函数值的大小？）
结论：利用图象比较函数值的方法:
(1) 先找交点坐标，交点处y=y；
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(2) 再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函数值较大.
(5)当销售量等于6 时，该公司盈利（收入减成本）1 000元（即纵坐标的差值等于1000时）
(6) l 对应的函数表达式是y=1000x；l 对应的函数表达式是y=500x+2000.(引导:两点确实表达式)
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（设计意图：先让学生熟悉“从两个图象中读取数据”的方法，为后续探究打下基础;学生通过“观
察→归纳”掌握函数值比较方法，体现数形结合思想; 将“求表达式”与“分析k、b意义”结合，强化
“表达式与实际情境”的联系）
（教学建议：若学生读取数据较慢，可在图象上标注关键格点（如 x=2对应l 的y=2000，l 的
y=3000），降低初始难度；若学生无法关联“代数意义”，可补充提问：“如果l 的表达式是y =1000x，
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l 是y =500x+2000，当x=4时，y 和y 分别是多少？这说明什么？”；若学生求表达式有困难，可回顾
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“待定系数法”的步骤（找两点→代入列方程→解方程），适当提示图象上的关键 点（如l 过(0,0)和
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(4,4000)））.
₁
思考与交流
如图，设 l 对应的一次函数 y＝kx＋b 中，k 和 b 的实际意义各是什么？设 l 对应的一次函数
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y＝kx＋b 中，k 和 b 的实际意义各是什么？
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k 的意义：每销售 1 t 产品的销售收入. b 的意义：未销售时，销售收入为0.
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k 的意义：每销售 1 t 产品的销售成本. b 的意义：未销售时，为销售所花的成本为 2 000.
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（设计意图：通过结合一次函数 y = kx + b 中k（斜率，反映变化率）和b（截距， x = 0时的函数
值）的几何意义，联系“销售收入、销售成本与销售量”的实际情境，引导学生分析两个一次函数 l 、
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l 中 k 、 b 与 k 、 b 的实际意义，帮助学生深入理解一次函数表达式与实际问题的联系，强
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化数形结合思想，为后续利用两个一次函数图象解决盈利亏损、收支平衡等实际问题奠定基础）。
（教学建议： 引导回顾基础：先带领学生回顾一次函数 y = kx + b 中 k （变化率）和 b （初始
值）的几何意义，让学生在已有知识基础上开展分析；小组讨论交流：组织学生分组讨论，分享对 k 、
b 实际意义的理解，教师巡视并适时点拨，最后请小组代表发言，师生共同总结，加深学生的认知。
典例分析
例 图1 是某景区游览路线示意图。甲在观景台 1 联系乙，发现乙在观景台 2 ,于是沿着游览路线追赶乙。
图2中 l1,l2 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s(单位：m)与追赶时间 t(单位：min)之间的关系。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
(1)哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系?（引导：甲到观景台1的距离是多少？图
中有体现吗？）
解：当 t＝0 时，甲到观景台 1 的路程为 0 m,即 s＝0,故 l 表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间
1
的关系。
（2）甲和乙哪个人的速度快?（速度的快慢，在图象上如何直观的看出？）
解： t 从 0 增加到 20 时，l 上点的纵坐标增加了 1000,l 上点的纵坐标增加了 600,即 20 min 内，甲
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行走了 1 000 m,乙行走了 600 m,所以甲的速度快。
（3）30 min内甲能否追上乙? （引导：图中什么位置表示追上？）
解：如图,延长 l ,l，
1 2
可以看出，当 t＝30时， l 上的对应点在 l 上对应点的下方，这表明，30 min 时甲尚未追上乙。
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（4）到达观景台 3 后道路分岔，甲能否在到达观景台 3 前追上乙?（引导：甲到达观景台3共走了多少
米？）
解：在图中，l 与 l 交点 P 的纵坐标小于（800+1300=） 2 100 ,这说明，甲能在到达观景台 3 前追上
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乙。
（5）设 l 与 l 对应的两个一次函数分别为 s＝kt＋b 与 s＝kt＋b , k , k 的实际意义各是什么?甲、
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乙两人的速度各是多少?
解：k 表示甲的速度，k 表示乙的速度.
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甲的速度是 50 m/min,乙的速度是 30 m/min.
（设计意图：综合运用“交点意义”“函数值计算”解决追及问题，提升实际应用能力。.）
（教学建议：可结合延长后的图象，让学生直观看到“30min时l 在l 下方”“交点P在2100m下方”，
强化数形结合的应用。）
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1.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小
明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S
（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（ D ）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
2. A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距
离s（km）与时间t（h）之间的关系．根据图象填空：
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）乙先出发1 后，甲才出发；
（2）大约在乙出发1.5h后，两人相遇，这时他们离开A地20km；
（3）甲的速度是40km/h;乙的速度是40/3km/h.
3.某单位要印制“市民文明出行,遵守交通安全”的宣传材料.甲印刷厂 提
出:每份材料收2元印制费,另收1000元的制版费;乙印刷厂提出:每份材料收3元印制费,不收制版费.
(1)分别写出两个印刷厂的收费y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份)之间的关系式(不用写出自变量的取
值范围);
解:y甲=2x+1000,y乙=3x.
(2)在同一坐标系内画出y甲、y乙关于x的图象,并求出当印制多少份宣传材料时,两个印刷厂的收费相
同?此时费用为多少?
当y =y 时,可得2x+1000=3x,所以x=1000,此时y =y =3000,所以当印制1000份宣传材料时,两个印
甲 乙 甲 乙
刷厂的收费相同,此时费用为3000元.
(3) 结合图象回答:选哪家印刷厂印制宣传材料更省钱?
解:由图象可知,当印制宣传材料不足1000份时,选择乙印刷厂更省钱;当印制宣传材料为1000份时,
两家费用都一样;当印制宣传材料超过1000份时,选择甲印刷厂更省钱.
设计意图：过“收费决策”这一生活场景，让学生灵活运用“交点意义”“函数值比较”解决问题，
体现数学的实用性, 若时间充裕，可补充“若该单位需印制1500份，需花费多少元？”的计算，进一步巩
固表达式的应用。
设计意图：让学生自主梳理知识，形成知识体系，培养归纳能力,小结时避免教师“一言堂”，多让学
生发言，若学生遗漏关键点（如k与b的意义），再适当提示。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1.必做题：基础训练基础题.
2.探究性作业：2. 选做题：结合生活实际，设计一个“两个一次函数图象应用”的问题（如“打车
费用比较”），并尝试画出图象、解决问题。
4.4.3两个一次函数的应用
1．两个一次函数交点的意义：几何意义、代数意义
2．利用图象比较函数值的大小
3．利用关系式比较函数值的大小
4. 核心思想：数形结合：图象→数据→实际问题；表达式→计算→实际决策
5. 例题区：（学生板演区域）
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