文档内容
4.4 一次函数的应用
第3课时 两个一次函数图象的应用
1.能从两个一次函数图象中获取关键数据，准确说出交点的实际意义，并解决盈利亏损、追及相遇等简单
实际问题.
2.通过分析一次函数中k与b的实际含义，进一步理解函数表达式与图象的联系，提升数形结合意识和几
何直观能力.
学习重点：通过函数图象获取信息，能说出两个一次函数图象交点的实际意义，解决简单的实际问题.
学习难点：通过比较不同的一次函数中k与b的意义，进步培养数形结合意识，发展几何直观.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P98-P100页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
前面，我们学习了利用单个一次函数图象解决问题的方法，但有时我们会遇到一些比较复杂的问题，出
现两个或多个一次函数的图象，我们如何利用两个一次函数图象来解决问题呢？
●探究一：一元一次不等式的概念
◆1.如图，l 反映了某公司产品的销售收入与销售量之间的关系，l 反映了该公司产品的销售成本与销售量
1 2
之间的关系，如果将两函数图象合在同一直角坐标系中，结果会怎么样？（提示：观察两个图象，它们有什么共同之处？）
根据图象填空：
(1)当销售量为2t时，销售收入=2000 元，销售成本=3000 元；
(2)当销售量为6t时，销售收入=6000 元，销售成本=5000 元；
(3)当销售量为4t 时，销售收入等于销售成本；（引导：图中什么地方表示销售收入=销售成本？）
◆结论:两直线交点的意义：
①几何意义：两直线交点是它们的公共点；
②代数意义：两直线交点的坐标同时满足两个解析式.
(4)当销售量 大于 4 t 时，该公司盈利（收入大于成本）；
当销售量 小于 4 t 时，该公司亏损（收入小于成本）；
（思考：如何利用图象比较函数值的大小？）
◆总结归纳：利用图象比较函数值的方法:
①先找交点坐标，交点处y=y；
1 2
②再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函数值较大.
(5)当销售量等于6 时，该公司盈利（收入减成本）1 000元（即纵坐标的差值等于1000时）
(6) l 对应的函数表达式是y=1000x；l 对应的函数表达式是y=500x+2000.
1 1 2 2
◆2.思考与交流
如图，设 l 对应的一次函数 y＝kx＋b 中，k 和 b 的实际意义各是什么？设 l 对应的一次函数 y＝
1 1 1 1 1 2
kx＋b 中，k 和 b 的实际意义各是什么？
2 2 2 2
k 的意义： 每销售 1 t 产品的销售收入 . b 的意义：未销售时， 销售收入为 0.
1 1
k 的意义： 每销售 1 t 产品的销售成本 . b 的意义：未销售时， 为销售所花的成本为 2 00 0.
2 2
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例题：图1 是某景区游览路线示意图。甲在观景台 1 联系乙，发现乙在观景台 2 ,于是沿着游览路线追赶乙。图2中 l1,l2 分别表示甲、乙两人到观景台 1 的路程 s(单位：m)与追赶时间 t(单位：min)之间的关
系。
假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系?（提示：甲到观景台1的距离是多少？图中
有体现吗？）
解：当 t＝0 时，甲到观景台1的路程为 0 m,即 s＝0,
故 l 表示甲到观景台 1 的路程与追赶时间之间的关系.
1
（2）甲和乙哪个人的速度快?（速度的快慢，在图象上如何直观的看出？）
解： t 从 0 增加到 20 时，l 上点的纵坐标增加了 1000,l 上点的纵坐标增加了 600,即 20 min 内，甲
1 2
行走了 1 00 0 m,乙行走了 600 m,所以甲的速度快.
（3）30 min内甲能否追上乙? （提示：图中什么位置表示追上？）
解：如图,延长 l ,l，
1 2
可以看出，当 t ＝ 3 0 时， l 上的对应点在 l 上对应点的下方，这表明， 30 min 时甲尚未追上乙.
1 2
（4）到达观景台 3 后道路分岔，甲能否在到达观景台 3 前追上乙?（提示：甲到达观景台3共走了多少
米？）
解：在图中，l 与l 交点 P 的纵坐标小于（800+1300=2 100 ),这说明，甲能在到达观景台 3 前追上乙.
1 2
（5）设 l 与 l 对应的两个一次函数分别为 s＝kt＋b 与 s＝kt＋b , k , k 的实际意义各是什么?
1 2 1 1 2 2 1 2
甲、乙两人的速度各是多少?
解：k 表示甲的速度，k 表示乙的速度.
1 2
甲的速度是 5 0 m/mi n,乙的速度是 3 0 m/mi n.
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何从两个一次函数图象中获取关键数据以及交点的实际意义；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小
明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S
（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（ D ）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
2. A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距
离s（km）与时间t（h）之间的关系．根据图象填空：
（1）乙先出发1 后，甲才出发；
（2）大约在乙出发1.5h后，两人相遇，这时他们离开A地20km；
40
（3）甲的速度是40km/h;乙的速度是 km/h.
3
3.某单位要印制“市民文明出行,遵守交通安全”的宣传材料.甲印刷厂提出:每份材料收2元印制费,另收
1000元的制版费;乙印刷厂提出:每份材料收3元印制费,不收制版费.
(1)分别写出两个印刷厂的收费y甲(元)、y乙(元)与印制数量x(份)之间的关系式(不用写出自变量的取值范
围);
解:y =2x+1000,y =3x.
甲 乙
(2)在同一坐标系内画出y甲、y乙关于x的图象,并求出当印制多少份宣传材料时,两个印刷厂的收费相同?
此时费用为多少?
当y =y 时,可得2x+1000=3x,所以x=1000,此时y =y =3000,所以当印制1000份宣传材料时,两个印刷厂的
甲 乙 甲 乙
收费相同,此时费用为3000元.
(1) 结合图象回答:选哪家印刷厂印制宣传材料更省钱?
解:由图象可知,当印制宣传材料不足1000份时,选择乙印刷厂更省钱;当印制宣传材料为1000份时,两家费用
都一样;当印制宣传材料超过1000份时,选择甲印刷厂更省钱.题型：两个一次函数图象的应用
1．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机所在的位置距离地
面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，当无人机上升时间为
10s时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10m B．15m C．20m D．30m
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别求出甲和乙的速度，然后即可计算出当无人机上升时间为
10s时，两架无人机的高度差．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为：40÷5＝8（m/s），
乙的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s），
当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为：10×8﹣20﹣4×10＝20（m），
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A地400千米的B地，l ，l 分别表示甲、乙两车
1 2
行驶的路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（如图所示），则乙比甲从A地到B地所用时间少（ ）
时．1 1
A．2 B．1 C． D．
2 4
3
【分析】先求出乙的速度，可得甲行驶300千米时，所用的时间为3 时，从而得到甲的速度，进而得
4
到甲到达B地所用的时间，即可求解．
3 3
【解答】解：根据图象中所给的数据可得：乙速度为400÷(4 − )=100千米/时，
4 4
当y＝300时，乙用的时间为300÷100＝3时，
3
甲行驶的时间为3 时，
4
3
∴甲的速度为300÷3 =80千米/时，
4
∴甲到达B地的时间为400÷80＝5时，
∴乙比甲从A地到B地时间少5﹣4＝1时．
故选：B．
【点评】本题主要查一次函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．如图所示，l 反映了天利公司某种产品的销售收入与销售量的关系，l 反映了该种产品的销售成本与
1 2
销售量的关系．根据图象提供信息，下列说法正确的是（ ）
A．当销售量为2吨时，销售成本是2000元
B．销售成本是5000元时，该公司的该产品盈利C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利1000元
D．l 的函数表达式为y＝400x+2000
2
【分析】利用图象交点得出天利公司盈利以及天利公司亏损情况．
【解答】解：A．当销售量为2吨时，销售成本是3000元，故选项A说法错误，不符合题意；
B．销售成本是5000元时，销售利润是4500元，该公司的该产品盈利，故选项B说法正确，符合题意；
C．当销售量为5吨时，该公司的该产品盈利5000﹣4500＝500元，故选项C说法错误，不符合题意；
D．设l 的解析式为y ＝kx+b，，
2 2
把（0，2000），（4，4000）代入解析式得：
{4k+b=4000)
，
b=2000
{k=500
)
解得 ，
b=2000
故l 的解析式为：y ＝500x+2000，所以，选项D说法错误，不符合题意，
2 2
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，熟练利用数形结合得出是解题关键．
4．甲从深圳匀速骑电动车到广州，乙从广州匀速骑摩托车到深圳，两人同时出发，到达目的地后，立即
停止运动，甲、乙两人离深圳的距离y（km）与他们骑车的时间x（h）之间的函数关系如图所示，则下
列说法错误的是（ ）
A．深广两地的距离为120km
B．甲的速度为20km/h
C．乙的速度为30km/h
D．乙运动3h到达深圳
【分析】根据图象信息可判断选项A正确；根据甲行120km用时6小时，可对选项B作出判断；先求出
甲、乙多长时间相遇，即可求出乙的速度，可对选项C作出判断；根据路程和乙的速度可求出乙到深圳
需要多长时间，可对选项D作出判断．
【解答】解：由图象可知：深广两地的距离为120km，
故选项A正确，不符合题意；∵甲120km花了6h，
∴甲的速度为20km/h，
故选项B正确，不符合题意；
由图象可知：甲离深圳的距离y（km）与他们骑车的时间x（h）之间的函数关系式为：y＝20x，
当y＝40时，即40＝20x，
解得x＝2，
∴乙的速度为：（120﹣40）÷2＝40（km/h），
故选项C错误，符合题意；
乙到达深圳的时间为：120÷40＝3（h），
故选项D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，能从图象中获取有用信息是解题的关键．
5．已知A地在B地正南方3km处，甲、乙两人同时分别从A，B两地向正北方向匀速直行，他们与A地
的距离s（km）与所行时间t（h）之间的函数关系的图象如图中的OC和BD所示，当他们行走3h后，他
们之间的距离为（ ）
A．0.5km B．1km C．1.5km D．2.5km
【分析】根据图象用待定系数法求出AC，BD的解析式，再令t＝3，求出s 与s 的差即可．
CA DB
【解答】解：由图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，
设s ＝kt+b，
AC
∵AC过（0，0），（2，4）点，
{ b=0 )
∴
2k+b=4
{k=2)
解得 ，
b=0
∴s ＝2x，
AC设s ＝k't+b'，
BD
∵BD过（2，4），（0，3）点，
{2k′+b′=4)
∴
b′=3
{k′=0.5)
解得 ，
b′=3
∴s ＝0.5t+3，
BD
当t＝3时，s ﹣s ＝6﹣4.5＝1.5（km），
AC BD
故选：C．
【点评】本题主要考查的是一次函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符
合题意的解，中档题很常见的题型．
6．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快
件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30
开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量 y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线
的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y ＝k x+40，根据题意
1 1
得60k +40＝400，解得k ＝6，
1 1
∴y ＝6x+40；
1
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y ＝k x+240，根据题意得60k +240
2 2 2
＝0，解得k ＝﹣4，
2
∴y ＝﹣4x+240，
2
{ y=6x+40 )
联立 ，
y=−4x+240
{ x=20 )
解得 ，
y=160∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该
类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
7．现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与
注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为
时．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；联立两个函数解析式，解方程组求出x即
可．
【解答】解：设y 为甲池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y ＝k x+b ，
1 1 1 1
∴{ b
1
=4 )，
k +b =0
1 1
解得{k
1
=−4
)，
b =4
1
即y ＝﹣4x+4 （ 0≤x≤1），
1
设y 乙池中的水深度与注水时间x之间的函数表达式是y ＝k x+b ，
2 2 2 2
∴{ b
2
=2 )，
k +b =8
2 2
解得{k
2
=6
)，
b =2
2
即y ＝6x+2 （0≤x≤1）；
2
令y ＝y ，则﹣4x+4＝6x+2，
1 21
解得：x= ，
5
1
∴当甲、乙两池中水的深度相同时，则注水时间为 小时．
5
1
故答案为： ．
5
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的交点问题等内容；
解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．
8．工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙
组的工作效率是原来的2.5倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所
示．
（1）甲组的工作效率是 件/时；
（2）求出图中a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．
（3）当x为何值时，两组一共生产570件．
【分析】（1）利用图象中的数据即可求解；
（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可计算出a的值并列出乙组更换设备
后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式；
（3）由题意得出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式，根据两组一共生产570件列方程，
求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵甲组加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象经过点（6，420），
∴420÷6＝70（件/时），
故答案为：70；
（2）乙3小时加工120件，
∴乙的加工速度是：每小时40件，∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．
∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工40×2.5＝100（件），
a＝120+100×（6﹣4）＝320；
乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式为：y＝120+100（x﹣4）＝100x﹣280；
（3）乙组更换设备后加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y＝100x﹣280，
∵甲组的工作效率是70件/时，
∴甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式为y＝70x，
由题意得：70x+100x﹣280＝570，
解得x＝5，
答：当x＝5时，两组一共生产570件．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．
9．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费
用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中
信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设y甲 ＝k
1
x，
根据题意得4k ＝80，解得k ＝20，
1 1
∴y甲 ＝20x；设y乙 ＝k
2
x+80，
根据题意得：12k +80＝200，
2
解得k ＝10，
2
∴y乙 ＝10x+80；
{ y=20x )
（2）解方程组
y=10x+80
{ x=8 )
解得： ，
y=160
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当y＝240时，y甲 ＝20x＝240，
∴x＝12；
当y＝240时，y乙 ＝10x+80＝240，
解得x＝16；
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得
出正确信息是解题关键．
10．甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为x（h），甲、
乙两人距出发点的路程S甲 、S乙 关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函
数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
（2）对比图①、图②可知：a＝ ，b＝ ；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；
（2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到a、b的值；
（3）由图象可知甲乙相距7.5km有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．【解答】解：（1）由图可得，
甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25（km/h），乙的速度为：25÷2.5＝10（km/h），
故答案为：25，10；
（2）由图可得，
a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10，
b＝1.5，
故答案为：10；1.5；
（3）由题意可得，
前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5，
则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，
设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km，
25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，
4
解得，x= ，
3
7
25﹣10x＝7.5，得x= ；
4
4 7
即乙出发 ℎ或 ℎ时，甲、乙两人路程差为7.5km．
3 4
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思
想解答．
▲1．两个一次函数交点的意义：几何意义、代数意义
▲2．利用图象比较函数值的大小
▲3．利用关系式比较函数值的大小
▲4. 核心思想：数形结合：图象→数据→实际问题；表达式→计算→实际决策
