文档内容
4.4 一次函数的应用
7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道）
一、方案问题
1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，
D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为25元/t和20元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别
为24元/t和15元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，
(1)设从A城调运x吨肥料到C乡（0≤x≤200），补充完整下列表格
A地(200t) B地(300t)
C地(240t) x ②
D地(260t) ① ③
① ② ③
(2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程
【答案】(1)①200−x；②240−x；③60+x
(2)从A城乡运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少为
9860元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格结合题意求解即可；
（2）先求出运费y关于x的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解．
【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运(200−x)t，则C乡还需要(240−x)t，则B地调运
(240−x)t到C地，则B地剩余300−(240−x)=(60+x)t调运到D地，
故答案为：①200−x；②240−x；③60+x；
（2）解：设总运费为y元，由题意得：
y=25x+20(200−x)+24(240−x)+15(60+x)
=−4x+10660（0≤x≤200），
∵在函数y=−4x+10660中，k=−4<0，
∴y随x的增大而减小，∴x=200时，总运费y有最小值9860，
此时，200−x=0，240−x=40，60+x=260，
答：从A城乡运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少，
最小值为9860元．
2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储
存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示：
出发地
运费（元/吨） C县 D县
目的地
A县 40 45
B县 35 50
(1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D
县运往B县的化肥为 吨；
(2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案．
【答案】(1)(110−x)，(100−x)，50−(100−x)=(x−50)
(2)w=10x+5850(50≤x≤100)
(3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运
往A县
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函
数的性质求最值．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求
出自变量x的取值范围；
（3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案．
【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：(110−x)，
从D县运往A县的化肥：(100−x)，
从D县运往B县的化肥：50−(100−x)=(x−50)；
（2）解：w=40x+35(110−x)+45(100−x)+50(x−50)=10x+5850，
A县的化肥全从C县运进，则x=100，
D县的化肥全运往A县，则x=100−50=50，所以自变量x的取值范围是50≤x≤100；
（3）解：由（2）知：w=10x+5850(50≤x≤100)，
∴w与x成一次函数，k=10>0，w随x的增大而增大，
∵50≤x≤100，
∴当x=50时，w最小，
w=10×50+5850=6350（元），
从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为110−50=60吨，从D县运往A县的化肥为
100−50=50吨，D县的化肥全运往A县．
3．（22-23八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建
设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20
元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，
D乡需要水泥260吨．
(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(00,y随x的增大而增大，
∴当x=0时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．
答：y与x的函数关系式为y=4x+10040(0≤x≤200)，
最少总运费为10040元；
（2）设减少运费后，总运费为w元，
则：w=(20−a)x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)=(4−a)x+10040(0≤x≤200)
∵00，
此时w随x的增大而增大，
∴当x=0时，w =10040；．
最小
②当a=4时，w=10040，
∴不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；
③当450)
(2)3300
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）分0≤x≤50和x≥50，两段，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出W关于x的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当x≤50时，
设函数解析式为y=k x，
1
将点(50,2000)代入得50k =2000，
1
解得k =40，
1
∴y=40x(x≤50)；
当x>50时，设函数解析式为y=kx+b，
将点(50,2000)，(90,2800)代入得
{50k+b=2000)
，
90k+b=2800
{ k=20 )
解得 ，
b=1000
∴y=20x+1000(x>50)．
∴y与x之间的函数关系式为y= { 40x(0≤x≤50) )
．
20x+1000(x>50)
（2）解：由题意可知40≤x≤70，
当40≤x≤50时，W =40x+30(100−x)=10x+3000，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，当x=40时，W最小，最小值为3400，
当503300，
∴W的最小值为3300.
3．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古
城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x
套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元．
汉服款式 甲系列 乙系列
进价（元/套） 60 80
售价（元/套） 100 150
(1)求y与x的函数关系式．(2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则
汉服店可获得的最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−30x+21000
(2)至少要购进甲系列汉服200套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是
15000元
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键．
（1）若购进甲系列汉服x套，则购进乙系列汉服(300−x)套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的
利润，据此进一步列出关系式化简即可；
（2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为60x元，购进乙系列汉服的费用为80(300−x)元，据
此进一步列出不等式，求出x的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一
步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：∵购进甲系列汉服x套，
∴购进乙系列汉服(300−x)套，
根据题意得，y=(100−60)x+(150−80)(300−x)，
化简得：y=−30x+21000，
即y与x的函数关系式为：y=−30x+21000；
（2）解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为60x元，购进乙系列汉服的费用为80(300−x)元，
∴60x+80(300−x)≤20000，
解得：x≥200，
∴至少要购进甲系列汉服200套．
又∵y=−30x+21000，其中−30<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，此时最大值为：−30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是15000元，
答：至少要购进甲系列汉服200套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是
15000元．
4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价
如表所示：
A B
进价（万元/套） 3 2.4售价（万元/套） 3.3 2.8
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两
种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套(10≤m≤20)，设将购进的两
种多媒体全部售出的利润为w，请求出w与m之间的函数关系式，并求出利润的最大值．
【答案】(1)该教育科技公司计划购进A种多媒体20套，则购进B种多媒体30套；
(2)w=−0.1m+20，利润的最大值为19万元．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用．
(1)设该教育科技公司计划购进A种多媒体x套，则购进B种多媒体(50−x)套，根据共需资金132万元，可
列一元一次方程求解；
(2)根据表中每种型号的多媒体的利润可以得到w与m之间的函数关系式，根据函数关系式和m的取值范围
求出利润最大值．
【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进A种多媒体x套，则购进B种多媒体(50−x)套，
根据题意可得：3x+2.4(50−x)=132，
解方程得：x=20，
则50−x=50−20=30(套)，
答：该教育科技公司计划购进A种多媒体20套，则购进B种多媒体30套；
（2）解：根据题意可得：w=m(3.3−3)+(50−m)×(2.8−2.4)，
整理得：w=−0.1m+20，
∵−0.1<0，
∴w随着m的增大而减小，
又∵10≤m≤20，
∴当m=10时，利润有最大值，
最大值为w=−0.1×10+20=19，
答：利润的最大值为19万元．
5．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到
菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如表所示：
黄瓜 茄子
进价/（元/千克） 6 7
售价/（元/千克） 10 12(1)某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克？
(2)如果该蔬菜经营户每天批发黄瓜m千克，黄瓜和茄子全部售完共获得利润为w元，请求出w与m之间的
函数关系式．
【答案】(1)黄瓜批发了40千克，则茄子批发了10千克
(2)w与m之间的函数关系式为w=−m+250
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设黄瓜批发了x千克，则茄子批发了(50−x)千克，根据题意列方程即可求解；
（2）根据利润=每千克的利润×数量，分别求出黄瓜和茄子的利润，再相加即可．
【详解】（1）解：设黄瓜批发了x千克，则茄子批发了(50−x)千克，
根据题意得：6x+7(50−x)=310，
解得：x=40，
∴茄子批发：50−40=10（千克），
答：黄瓜批发了40千克，则茄子批发了10千克；
（2）根据题意得：w=(10−6)m+(12−7)(50−m)=−m+250，
∴ w与m之间的函数关系式为w=−m+250．
三、行程问题
1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）小华8：00从家出发沿直线匀速前往图书馆．几分钟后，爸爸发现
小华未携带图书馆出入卡，随即离家沿相同路径匀速追赶小华，追上小华后在原地休息交谈片刻，并以原
速度沿原路返家．小华获得出入卡后以原速度的1.2倍继续前行，在8：20到达图书馆．如图反映了小华和
爸爸之间的距离y(m)与小华离家的时间t(min)之间的对应关系，则下列结论正确的是( )
A．爸爸往返用时16min B．爸爸追上小华后，交谈了3min
C．爸爸的速度为200m/min D．图书馆离小华家1760m
【答案】C
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解
题的关键．A．根据爸爸返回到家所用时间计算即可；B．根据图象计算即可；C．求出爸爸的速度与小华提速前的速度之比，设小华提速前的速度为v,将爸爸的速度和小华提速后的速度分别用含v的代数式表示
出来，根据12min～16min二人相距1184m列关于v的一元一次方程并求解，从而求出爸爸的速度即可；
D．利用路程=速度×时间，根据小华提速前后路程之和为图书馆离小华家的距离列式计算即可．
【详解】解：爸爸用时16−12=4(min)返回到家，
则爸爸往返用时4×2+(12−10)=10(min)，
∴A不正确，不符合题意；
爸爸追上小华后，交谈了12−10=2(min)，
∴B不正确，不符合题意；
小华用时10min从家到相遇地点，
10
∴爸爸的速度与小华提速前的速度之比为 =2.5，
4
设小华提速前的速度为v，则爸爸的速度为2.5v，小华提速后的速度为1.2v，
根据图象，得(16−12)(1.2v+2.5v)=1184，
解得v=80，
2.5×80=200(m/min)，
∴爸爸的速度为200m/min，
∴C正确，符合题意；
图书馆离小华家80×10+1.2×80×(20−12)=1568(m)，
∴D不正确，不符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备沿相同路
线给相距600m的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高
到原来的1.5倍．设小强行走的时间为x（分钟），他们离开超市的距离为y（米）．
(1)求m和n的值；
(2)两人在送货过程中能否相遇？若能，求出此时小强行走的时间，若不能，请说明理由．
(3)若小明送货过程中恰好与小强相距100米，直接写出此时小强行走的时间是多少分钟．【答案】(1)m和n的值分别为16，20
(2)能相遇，12分钟
26 46
(3) 或
3 3
【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的图象、求函数解析式，从函数图象中获取信息是解题的关键．
（1）利用函数图象求出小明原来的速度，再乘以1.5得到后来的速度，即可求出m的值，利用函数图象求
出小强的速度，得出n的值，；
（2）先设小强路程与时间函数y=ax，代入已知点(16,480)求出a=30，得小强函数y=30x 。再分析小
明运动阶段，分5≤x≤8和x>8 阶段，得出小明路程函数y=40(x−5) (5≤x≤8)和y=60x−360
(x>8)，因x≤8时两人距离渐大不相遇，联立x>8 时小强与小明的路程函数，即可解答。
（3）先求出小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=30x，再分x≤8和x>8两种情况讨论，结合小
明与小强相距100米，分别求出对应x的值即可解答．
【详解】（1）解：小明原来的速度为120÷(8−5)=40（米/分），
小明后来的速度为40×1.5=60（米/分），
∴m=(600−120)÷60+8=16，
∴m的值为16．
∴小强的速度为480÷16=30（米/分），
∴n=600÷30=20（分），
（2）解：设小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=ax，
代入(16,480)得，16a=480，
解得：a=30，
∴小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=30x，
∵小明先以原速度40（米/分） 行驶，出发一段时间后速度提高到原来的1.5倍，即提速后的速度60
（米/分） ．
∴当5≤x≤8时，小明行走的时间是(x−5)分钟，
∴小明的路程函数为y=40(x−5) ；
当x>8时，小明在前8−5=3分钟走了120米，之后以60米/分的速度行驶，行驶时间是(x−8)分钟，
所以路程y=120+60(x−8)，
化简可得y=60x−360 ．
∵x≤8时，通过图象和计算可知两人距离逐渐拉大，不会相遇，
两人相遇即他们离开超市的距离y相等，联立小强和小明在x>8 阶段的路程函数：{ y=30x )
，
y=60x−360
将y=30x代入y=60x−360，得
30x=60x−360 ．
解得x=12 ．
综上，两人在送货过程中能相遇，此时小强行走的时间是12分钟．
（3）解：∵小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=30x，
当x=8时，y=30×8=240，
此时小明和小强的距离为240−120=120（米），
∵120>100，
∴当x≤8时，小明和小强不能相距100米；
当x>8时，小明和小强的距离为|60x−360−30x)=|30x−360)（米），
∵小明与小强相距100米，
∴|30x−360)=100，
26 46
解得：x= 或x= ；
3 3
26 46
∴综上所述，小强行走的时间是 或 分钟．
3 3
3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙
地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢辆车距各自出发地的路程y(km)与所
用的时间x(h)的关系如图所示．
(1)甲乙两地之间的距离为______km，快车的速度为______km/h，慢车的速度为______km/h；
(2)出发多少小时，快慢两车距各自出发地的路程相等？
【答案】(1)420，140，70
14
(2) 小时
3
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意和函数图象中的数据，得到快车返程时，两车距各自出发地的路程相等，设出发xh，快慢两车距各自出发地的路程相等，进而建立等式求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
甲乙两地之间的路程为420km；
快车的速度为420÷(4−1)=140(km/h)；
慢车的速度为420÷[4+(4−1)−1)=70(km/h)，
故答案为：420，140，70；
（2）解：由图象和（1）可得，A点坐标为(3,420)，B点坐标为(4,420)，
由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等，
设出发xh，两车距各自出发地的路程相等，
70x=2×420−140（x−1），
14
解得x= ，
3
14
答：出发 h后，快慢两车距各自出发地的路程相等．
3
4．（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，两车离A地的
距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象如图所示，乙车到达B地后以25千米/小时的速度返回．
(1)甲车出发多长时间后被乙车追上？
(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？
【答案】(1)1小时
(2)40千米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系，二元一次方程组的解法是解题的
关键．
（1）根据速度=路程÷时间求出甲车的速度，再根据时间=路程÷速度计算甲车行驶20千米所用时间即可；
（2）分别写出当0≤t≤2.5时，甲车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式及乙车返回A地过
程中离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式，二者联立建立关于x和y的二元一次方程组并求
解，其中的y值即为所求．【详解】（1）解：甲车的速度为50÷2.5=20(千米/小时)，
20÷20=1(小时)．
答：甲车出发1小时后被乙车追上．
（2）解：当0≤t≤2.5时，甲车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式为s=20t，
乙车从A地到B地过程中的速度为20÷(1−0.6)=50(千米/小时)，
50÷50=1(小时)，
∴当t=0.6+1=1.6时，乙车到达B地，
则乙车返回A地过程中离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式为
s=50−25(t−1.6)=−25t+90，
{ s=20t )
当两车迎面相遇时，得 ，
s=−25t+90
{t=2
)
解得 ，
s=40
答：甲车与乙车在距离A地40千米处迎面相遇．
5．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来
越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速
度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以120米/分的速度骑行，两人
行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)a= ，b= ，m= ；
(2)求爸爸第二次出发至到达图书馆线段BC的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？(直接写出答案即可)
【答案】(1)10；15；200
(2)y=200x−1500
(3)17.5分钟、20分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用、数形结合是解题的关键；
（1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度=路程÷时间，即可求出m的值；
（2）根据数量关系找出线段BC、函数解析式；
（3）根据图象求得OD所在直线的函数解析式，根据题意列出一元一次方程，解之即可得出x的值，即可
求解．
【详解】（1）解：a=1500÷150=10(分钟)，
b=10+5=15(分钟)，
m=(3000−1500)÷(22.5−15)=200(米/分)．
故答案为：10；15；200．
（2）解：由（1）可得b=15，速度为：200(米/分)，
∴线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200(x−15)=200x−1500；
（3）解：∵小军始终以120米/分的速度骑行，
∴线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x.
根据题意得：根据题意得：|200x−1500−120x|=100，
解得：x =17.5，x =20，
1 2
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟和20分钟时与小军相距100米．
四、阶梯收费问题
1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”
收费标准，具体如下：
年用水量 收费标准
不超过180t部分 4.40元/t
超过180t，不超过300t部
5.95元/t
分
10.60元
超过300t部分
/t
小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．
(1)小明同学家2023年用水xt(x<180)，应交水费y元．写出y与x之间的关系式；
(2)小明家2024年交了911元水费，求2024年小明家用了多少
(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．
【答案】(1)y=4.4x(x<180)
(2)200t(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解
题的关键．
（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式，当y=911时，求出对应x的值即可；
（3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理
的建议即可．
【详解】（1）解：当x<180时，y与x之间的关系式为y=4.4x(x<180)．
（2）当180300时，y与x之间的关系式为y=4.4×180+5.95(300−180)+10.6(x−300)=10.6x−1674，
1
当4.4x=911时，解得x=207 (舍去)，
22
当5.95x−279=911时，解得x=200，
∴2024年小明家用了200t水．
（3）建议：适当调整各阶梯的水量标准；
原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易
进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理
用水．
2．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之
一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯
价的含义：用水量不超过144m3，每立方米收费3.15元，用水量在144~240m3，前144m3按 3.15元/m3，
144~240m3之间按4.05元/m3收费，以此类推）．
价格
年用水量
供水类型 阶梯分类 （元/m3
（m3）
）
第一阶梯 0~144（含） 3.15
居民生活 144~240
第二阶梯 4.05
用水 （含）
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为x m3，请按阶梯分类求用水年费用y（元）关于年用水量x（m3）的函数解析
式．(2)若小米家2024年全年用水量为120m3，则小米家应缴2024年水费多少元？
(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
{ 3.15x(0≤x≤144) )
【答案】(1) y= 4.05x−129.6(144240)
(2)小米家应缴2024年水费378元
(3)小乐家2024年全年用水量为233m3
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根
据图表中的数量关系，列出算式和方程．
（1）分0≤x≤144，144240三种情况，利用含x的代数式表示出这户居民的水费y即可；
（2）由于小米家2024年全年用水量为120m3，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可；
（3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当0≤x≤144时，y=3.15x，
当144240时，y=3.15×144+(240−144)×4.05+(x−240)×6.75=6.75x−777.6，
{ 3.15x(0≤x≤144) )
∴ y= 4.05x−129.6(144240)
（2）解：120×3.15=378（元），
∴小米家应缴2024年水费378元；
（3）解：设小乐家2024年全年用水量为xm3，
∵ 144×3.15=453.6<814.05，453.6+4.05×(240−144)=842.4>814.05，
∴ 14420 5
根据上述信息解决以下问题：
(1)求a,b的值．
(2)当x>10时，求y关于x的函数表达式．
(3)小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低
于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
【答案】(1)a=2,b=3
y=
{3x−10(1020)
(3)小红家6月份的用水量为15吨
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析，自变量或函数值的计算方法是关键．
（1）根据函数图象求解即可；
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）根据函数关系，分类讨论：当小红家6，7月份在1020吨；当小红家6月份在1020吨；结合函数关系求解即可．
20
【详解】（1）解：当x≤10时，a= =2，
10
50−20 30
当1020时，y=50+5(x−20)=5x−50(x>20)；
当x>10时，y关于x的函数表达式为 y=
{3x−10(1020)
（3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，
∴当小红家6，7月份在1020吨，
∴(5x−50)+(5x−50)=90，
解得，x=19，矛盾，不符合题意；
当小红家6月份在1020吨，
100−3x+50 3
∴7月份的费用为90−(3x−10)=100−3x（元），用水量为 =30− x（吨），
5 5
∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，
3
∴x是5的倍数，且10 y，解得：y>18075．
15
故王教授的月综合所得范围是180750)，由B(0,−3)，则OB=3，所以 ×3×x=6，求出x的值即可．
2 2
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵直线AB与x轴交于点A(2,0)，与y轴交于点B(0,−3)，
{2k+b=0)
∴ ，
b=−3
{ k= 3 )
解得 2 ，
b=−3
3
∴直线AB的解析式为y= x−3；
2
（2）解：∵直线AB上的点C在第一象限，( 3 )
∴设点C的坐标为 x, x−3 (x>0)，
2
∵B(0,−3)，
∴OB=3，
∵S =6，
△BOC
1
∴ ×3×x=6，
2
解得x=4，
3
∴当x=4时，y= ×4−3=3，
2
∴点C的坐标是(4,3)．
4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，直线AB与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B(0,−2)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线AB上的点C在第二象限，且S =5，求点C的坐标．
△BOC
2
【答案】(1)y=− x−2
3
( 4)
(2) −5,
3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟
练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式即可；
( 2 ) 1
（2）设C m,− m−2 ，根据三角形面积公式得到 ×2×|m|=5，解方程即可．
3 2
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵点A(−3,0)，点B(0,−2)，
{ k=− 2 )
∴¿，解得 3 ，
b=−22
∴直线AB的解析式为y=− x−2；
3
( 2 )
（2）解：设C m,− m−2 ，
3
∵S =5，
△BOC
1
∴S OB×|m|=5，
△BOC=2
1
∴ ×2×|m|=5，
2
解得m=±5，
∵点C在第二象限，
∴m=−5，
2 2 4
∴− m−2=− ×(−5)−2= ，
3 3 3
( 4)
∴点C的坐标为 −5, ．
3
5．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，直线y =−x+1与x轴交于点A，与直线y =x+b相交于点
1 2
B(m,2)．
(1)求直线y 的解析式；
2
(2)若直线y 与x轴交于点C，求△ABC的面积．
2
【答案】(1)y =x+3
2
(2)4
【分析】（1）根据y =−x+1过点B(m,2)，确定其坐标，后代入y 的解析式，解答即可；
1 2
（2）根据解析式，确定与坐标轴的交点的坐标，根据三角形面积公式解答即可．
本题考查了图象交点，待定系数法，图象与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握函数的性质，待定系
数法是解题的关键．【详解】（1）解：∵直线y =−x+1过点B(m,2)
1
∴2=−m+1解得：m=−1
把B(−1,2)代入直线y 的解析式得：−1+b=2，
2
解得b=3
故直线y 的解析式为；y =x+3．
2 2
（2）当y =−x+1=0时，解得：x=1，
1
∴点A的坐标为(1,0)；
当y =x+3=0时，解得：x=−3，
2
∴点C的坐标为(−3,0)，
∴AC=1−(−3)=4，
1 1
∴S = AC⋅|y )= ×4×2=4．
△ABC 2 B 2
七、其他问题
1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长10cm）的燃烧变化
情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表：
燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4
剩余长度h（cm）（观察值） 10.0 9.0 8.5 7.0 6.5
在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数
近似地刻画剩余长度ℎ与燃烧时间t的关系．
(1)①利用t=0，ℎ =10；t=1，ℎ =9这两组数据，求剩余长度ℎ与燃烧时间t的函数解析式；
②经比对发现，表中部分观察值不在①中的函数图象上，存在偏差，当t=2时，根据①中的解析式可求得
ℎ
=________，此时它与t=2时观测值的偏差值若记为d，则d=________．
(2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为S，当t取不同值时，所有d
的平方和为S，其中S越小，偏差越小）．①结合表格数据，利用（1）①得到的函数解析式计算S的值；
②请确定优化后经过点(0,10)的一次函数解析式，使得偏差最小．
【答案】(1)① ℎ =−t+10；②8，0.5
(2)① 0.5；② ℎ =−0.9t+10
【分析】（1）①设ℎ =kt+b，根据待定系数法解答即可；
②经比对发现，表中部分观察值不在①中的函数图象上，存在偏差，当t=2时，根据①中的解析式可求得
ℎ
=________，此时它与t=2时观测值的偏差值若记为d，则d=________．
（2）①根据ℎ =−t+10,得t=0,ℎ =10.0，t=1,ℎ =9.0，t=2,ℎ =8.0，t=3,ℎ =7.0，t=4,ℎ =6.0，
根据定义计算解答即可．
②设优化后解析式为ℎ =at+10，根据定义，计算，后配方，利用非负性，确定最小值解答即可．
本题考查了待定系数法，新定义，配方法，实数的非负性应用，熟练掌握等等洗发水，非负性，配方法是
解题的关键．
【详解】（1）①解：设ℎ =kt+b，
{k+b=9)
根据题意，得 ，
b=10
{k=−1)
解得 ，
b=10
故ℎ =−t+10；
②解：当t=2时，ℎ =−t+10=−2+10=8，此时它与t=2时观测值的偏差值记为d，
则d=8.5−8=0.5，
故答案为：8，0.5．
（2）①解：根据ℎ =−t+10,得t=0,ℎ =10.0，t=1,ℎ =9.0，t=2,ℎ =8.0，t=3,ℎ =7.0，
t=4,ℎ =6.0，
故S=(10.0−10.0) 2+(9.0−9.0) 2+(8.5−8) 2+(7.0−7.0) 2+(6.5−6.0) 2=0.5．
②设优化后的解析式为ℎ =at+m，由解析式过点(0,10)，得m=10，
故新解析式为ℎ =at+10，
根据题意，得t=0,ℎ =10.0，t=1,ℎ =a+10.0，t=2,ℎ =2a+10.0，t=3,ℎ =3a+10.0，
t=4,ℎ =4a+10.0，
故S=(10.0−10.0) 2+(a+10−9.0) 2+(2a+10−8.5) 2+(3a+10−7.0) 2+(4a+10−6.5) 2
=(a+1) 2+(2a+1.5) 2+(3a+3) 2+(4a+3.5) 2=30a2+54a+24.5
( 9 ) 2 1
=30 a+ +
10 5
( 9 ) 2
而 a+ ≥0，
10
( 9 )
故当 a+ =0时，S取得最小值，
10
9
此时a+ =0，
10
解得a=−0.9，
故优化后的解析式为ℎ =−0.9t+10．
2．（24-25七年级下·广西玉林·期末）综合与实践
【问题情境】水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．小辉同学阅读了教材中的《第十九章一次
函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题，为了调查漏水量与漏水时间的关系，进
行了以下的试验与研究．
【实践发现】如图1，在一个滴水的水龙头下放置一个能显示盛水量的容器，设该容器的盛水量为w(mL)，
滴水时间为t(min)．该容器未放置到水龙头前已盛有5mL水，每5min记录一次容器中的盛水量，得到如
下表的一组数据：
时间 2
0 5 10 15 …
t/min 0
盛水量 2 6
5 35 50 …
w/mL 0 5
【问题探究】
（1）请根据表中信息在图2的坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现w与t符合学习过的________函数关系（选填“正比例”或“一次”）；
（2）根据以上判断，求w关于t的函数解析式；
【问题解决】
（3）假设有10个与【实践发现】中情况相同的水龙头，一个成年人一天大约饮用1600mL水，请你估算
这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用多少天？
【答案】（1）见解析，一次；（2）w=3t+5；（3）这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成
年人饮用27天
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）根据表格数据，描点、连线即可得到函数关系式，根据图象是一条直线，结合一次函数的图象特点
可得结论；
（2）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）根据（2）中解析式求得1个容器一天的盛水量，进而求得1个水龙头一天的漏水量，则可得10个水
龙头一天的漏水量，再结合已知可得结论．
【详解】解：（1）w关于t的函数图象如图所示：
根据图象及表格数据，w与t符合学习过的一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）设一次函数解析式为w=kt+b，将点(0,5)，(5,20)代入解析式得：
{ b=5 ) {k=3)
，解得 ，
5k+b=20 b=5
∴一次函数解析式为w=3t+5；
（3）∵24×60=1440(min)，
∴1个容器一天的盛水量w=3×1440+5=4325(mL)，
∴1个水龙头一天的漏水量为4325−5=4320(mL)，∴10个水龙头一天的漏水量为4320×10=43200(mL)，
43200
∴可供一个成年人饮用 =27（天），
1600
答：这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用27天．
3．（2025·广西来宾·模拟预测）综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度
之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆
柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高
为20cm．
【实验过程】
注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的
高度ℎ（单位：cm），前5次数据如下表所示：
注水时间t/s 0 5 10 15 20 …
水面高度
4 5 6 7 8 …
ℎ/cm
【问题解决】
(1)请你求出水面高度ℎ关于注水时间t的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标
系（如图②）中，画出ℎ关于t的函数图象；
(2)求当注水时间t满足25≤t≤40时，水面高度ℎ的取值范围．1
{ t+4(0≤t≤30) )
5
=
【答案】(1)ℎ ，函数图象见解析
4 ( 85)
t−14 3011，符合条件，
∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人；
（2）利润分段计算：当4x≤20 (即x≤5)时，A零件利润为4x×360；
当x>5时，A零件利润为：20×360+(4x−20)×330；
设利润为P，则
当x≤5时，P=4x×360+(80−3x)×700+4x×180=60x+56000，
∵60>0，
∴为增函数，最大值在x=5时取得，P=56300；
当x>5时，P=20×360+(4x−20)×330+(80−3x)×700+4x×180
=−60x+56600，
∵−60<0，
∴为减函数，最大值在x=6时取得，P=56240元；
综上所述，当x=5，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元．
故答案为：74；5；56300．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到
B地，甲骑摩托车，PC、OD分别表示甲、乙两人离开A的距离s（km）与时间t（h），回答下列问题：(1)甲乙两人中， 先出发 h；
(2)甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
(3)在乙出发 h后，甲超过乙；
(4)甲到达B地时，乙还需 h到达B．
【答案】(1)乙；1；
40
(2)40； ；
3
3
(3) ；
2
(4)3.
【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题
的关键.
（1）由题意可知PC表示甲，OD表示乙，由图象可知，甲出发时，乙已经先出发了，且出发的时间易知；
（2）根据函数图象可知甲2h行驶的路程是80km，从而可以求得甲的速度，根据乙3小时行驶的路程是
40km，可以求得乙行驶的速度；
（3）根据函数图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，根据“时间=路程÷速度”即可求出甲追上乙时，
乙出发了多长时间；
（4）根据函数图象可知甲到达B地时，乙离开A地的距离，由此可得出乙离B地的距离，根据“时间=路
程÷速度”即可求出乙到达B地还需的时间.
【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两人中，乙先出发1小时，
故答案为：乙；1；
（2）由图象可知，甲2小时行驶的路程是80km，故甲的速度为：80÷2=40(km/h)，
40
乙3小时行驶的路程是40km，故乙的速度为：40÷3= (km/h)，
3
40
故答案为：40； ；
3
40 3
（3）由图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，20÷ = (h)，
3 2
3
所以在乙出发 (h)后，甲超过乙，
2
3
故答案为： ；
2
（4）由图象可知，甲到达B地时，乙离开A地40km， 则乙距离B点80−40=40(km)，40
所以还需的时间为40÷ =3(h).
3
故答案为：3.
5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部
分是租用比赛塝地所需的固定不变的费用800元、另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当
x=10时，y=1200．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？
(3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入100x元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）．
若40≤x≤60，求W的最大值．
【答案】(1)y=40x+800
(2)40名
(3)2800元
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）依题意，把x=10，y=1200代入y=kx+800，得k=40，即可作答；
（2）直接把y=2400代入y=40x+800，解得x=40，即可作答；
（3）先理解题意得W =100x−y=60x−800，结合一次函数的性质得W随之x的增大而增大，因为
40≤x≤60，把x=60代入W =60x−800，W =60×60−800=2800，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设y=kx+800(k≠0)，
把x=10，y=1200代入y=kx+800，
得1200=10k+800，
解得k=40，
∴y=40x+800；
（2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得y=40x+800，
得把y=2400代入y=40x+800，得2400=40x+800，
解得x=40，
即该次比赛的费用为2400元，有40名运动员参加了比赛；
（3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入100x元，设利润为W元（利润=收入-比赛的
费用）．
∴W =100x−y=100x−(40x+800)=60x−800，∵60>0，
∴W随之x的增大而增大，
∵40≤x≤60，
∴把x=60代入W =60x−800，
得W =60×60−800=3600−800=2800，
∴W的最大值为2800．
6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一家大型商场内甲商品和乙商品销售火爆，已知甲商品每套600元，
乙商品每套40元，某公司计划采购甲商品50套，乙商品若干套．商场给出下列两种优惠方案，并规定只
能选择其中一种．
方案一（“买一送一”）：购买一套甲商品，赠送一套乙商品；
方案二（“打折”）：每套乙商品按原价打八折，但甲商品不打折．
设该公司购买乙商品x(x>50)套，选择方案一的总费用为y 元，选择方案二的总费用为y 元
1 2
(1)分别写出y ，y 与x之间的函数关系式；
1 2
(2)该公司选择哪种方案更划算？说明理由．
【答案】(1)y =40x+28000，y =32x+30000；
1 2
(2)当x>250时，选择方案二；当x=250时，两个方案都可以；当50y 时， 当y = y 时， 当y y 时，40x+28000>32x+30000，
1 2
解得：x>250，
当y = y 时，40x+28000=32x+30000，
1 2
解得：x=250，
当y 250时，选择方案二；当x=250时，两个方案都可以；当5020)
两种套餐上网学习同样省钱；③当x>25时，选择B套餐上网学习省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意数形结合思想
的应用．
（1）根据函数图象解答即可；
（2）根据已知条件即可求得y 与x之间的函数关系式；进而画出函数图象，观察图象，分段求出哪种方
A
式上网学习合算即可．
【详解】（1）解：由图象可得，m=8，n=40；
故答案为：8；40
（2）解：根据题意，得
套餐A的月使用费为5元，包时上网时间为20h，
∴当0≤x≤20时，，y =5．
A
当x>20时，y =5+0.6(x−20)=0.6x−7．
A综上所述，y
A
与x之间的函数关系式为 y
A
= {
0.6
5(
x
0
−
≤
7
x
(
≤
x
2
>
0
2
)
0)
)
在图中画出函数图象如图所示：
∵y =8 0.6x−7=8
A
时， ，
解得x=25．
①当025时，选择B套餐上网学习省钱．
8．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）为了吸引顾客，某游乐园推出了以下两种游玩活动方案．
方案一：不购买会员卡，每小时收费a元．
方案二：购买会员卡，卡费为200元/张，另外每小时收费5元．
设游玩时间为x小时，按照方案一所需费用为y 元，其关系图象经过点(2,60)，如图所示；按照方案二所需
1
费用为y 元，x与y 的部分对应值如表所示．
2 2
x … 0 b 8 …
y … 200 210 c …
2
(1)请直接写出表中b，c的值，并在图中画出y 的函数图象；
2(2)分别求出y ，y 与x之间的函数表达式；
1 2
(3)若从费用的角度出发，针对不同的游玩时长，你会怎样向朋友推荐这两个方案？
【答案】(1)b=2，c=240，图见解析；
(2)y =30x，y =5x+200
1 2
(3)若游玩时间不足8小时，选择方案一更省钱；若游玩时间正好为8小时，两个方案费用相同，任选一个即
可；若游玩时间超过8小时，选择方案二更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用，根据方案分别写出y ，y 与x之间的函数表达式是解题的关键．
1 2
（1）根据方案二计算并描点作图即可；
（2）将坐标(2，60)代入y =ax，求出a的值，从而求出y 与x之间的函数表达式，根据方案二求出y 与x
1 1 2
之间的函数表达式即可；
（3）求出两图象交点的横坐标，根据图象，比较y ，y 的值即可．
1 2
【详解】（1）200+5b=210，解得b=2，
200+5×8=240(元)，
∴c=240，
y 的函数图象如图所示：
2
（2）y =ax，
1
将坐标(2，60)代入y =ax，
1
得2a=60，
解得a=30，
∴y 与x之间的函数表达式y =30x，
1 1
y 与x之间的函数表达式为y =5x+200．
2 2
（3）当y = y 时，得30x=5x+200，
1 2解得x=8，
根据图象，若游玩时间不足8小时，选择方案一更省钱；若游玩时间正好为8小时，两个方案费用相同，任
选一个即可；若游玩时间超过8小时，选择方案二更省钱．
9．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资
全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙库把物资运往A，B两地的运
费单价如下表：
A地（元/吨） B地（元/吨）
甲仓库 12 15
乙仓库 10 18
(1)设甲仓库运往A地x吨物资，直接写出总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式（不需要写出自变量的
取值范围）；
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【答案】(1)y=5x+23200
(2)甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最省，最省的总运费是23700元
【分析】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）设甲仓库运往A地物资x吨，则甲仓库运往B地物资(800−x)吨，乙仓库运往A地物资(1300−x)吨，
乙仓库运往B地物资700−(800−x)=(x−100)吨，故
y=12x+15(800−x)+10(1300−x)+18(x−100)=5x+23200；
（2）由题意知求出100≤x≤800，再结合（1）由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设甲仓库运往A地物资x吨，则甲仓库运往B地物资(800−x)吨，乙仓库运往A地物资
(1300−x)吨，乙仓库运往B地物资700−(800−x)=(x−100)吨，
∴y=12x+15(800−x)+10(1300−x)+18(x−100)=5x+23200，
∴总运费y关于x的函数表达式为y=5x+23200；
x≥0
{ )
800−x≥0
（2）解：由题意知， ，
1300−x≥0
x−100≥0
解得：100≤x≤800，
∵在y=5x+23200中，5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=100时，y取最小值，最小值为5×100+23200=23700(元)，答：甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最省，最省的总运费是23700元．
1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的
容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标
记刻度，以便通过刻度直接读取时间．
为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔
10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30
流水时间t/min 0 10 20 30
水面高度ℎ/cm（观察值） 30 29 28.1 27
其中“t=0，ℎ =30”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差．
任务1利用“t=0，ℎ =30；t=10，ℎ =29”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为15cm时是几点钟？
经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，
减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与
对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小．
【答案】任务1：ℎ =−0.1t+30；任务2：10:30；任务3：ℎ =−0.1t+30
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键；
任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可；
任务2：把ℎ =15代入函数关系式求出t，再进一步求解即可；
任务3：设经过(0,30)的函数解析式为ℎ =at+30，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解．
【详解】解：任务1：由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm，
所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设ℎ =kt+b，
把t=0，ℎ =30；t=10，ℎ =29代入，得
{ b=30 ) {k=−0.1)
，解得 ，
10k+b=29 b=30
∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是ℎ =−0.1t+30；
任务2：当水面高度为15cm时，即ℎ =15，15=−0.1t+30，
解得t=150，
150分钟=2.5小时，
∴当甲容器中的水面高度为15cm时是8+2.5=10.5小时，即10:30；
任务3：
设经过(0,30)的函数解析式为ℎ =at+30，
则w=|30−30)+|10a+30−29)+|20a+30−28.1)+|30a+30−27)
=|10a+1)+|20a+1.9)+|30a+3)
=4|10a+1)+|20a+1.9)
当a<−0.1时，w=−40a−4−20a−1.9=−60a−5.9>0.1，
当−0.1≤a≤−0.095时，w=40a+4−20a−1.9=20a+2.1，
则当a=−0.1时，w =0.1，
最小
当a>−0.095时，w=40a+4+20a+1.9=60a+5.9>0.2，
综上，当a=−0.1时，w最小，此时函数的解析式是ℎ =−0.1t+30．
2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)的“友好点”的坐标定义如下：
当x≥0时，Q点坐标为(x,−y)；当x<0时，Q点坐标为(x,y+2)．
(1)点A(1,2)的“友好点”坐标是________，点B(−2,1)的“友好点”坐标是________．
(2)已知点C(m,4)的“友好点”在一次函数y=−2x+3的图象上，求m的值．
1
(3)已知点P在直线y= x+b上，且点P的“友好点”为点Q．
2
①当b=−1时，设点P的横坐标为n，当−2≤n≤3时，求点Q纵坐标的最大值与最小值．
②已知点E(−2,2)，F(4,2)，G(4,−2)，H(−2,−2)，以这四个点为顶点构造矩形EFGH，设所有的点
P的“友好点”点Q组成一个新的图形，记作图形G．当图形G与矩形EFGH有两个公共点时，直接写出
b的取值范围．
【答案】(1)(1,−2)；(−2,3)7 3
(2)m= 或m=−
2 2
1
(3)①点Q纵坐标的最小值是− ，最大值是1；②−2100时，方案二的日工资y(元)关于生产数量x(个)的函数表达式；
(2)甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
(3)乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
【答案】(1)y=4x−300
(2)40100时两种情况，列出方程求解即可．
【详解】（1）设函数表达式为y=kx+b，k≠0
∵每超过一个加计4元，
∴k=4
把(100，100)代入y=4x+b
解得b=−300
函数表达式为y=4x−300
（2）方案一的日工资y(元)关于生产数量x(个)的函数表达式为y=2x+20
令100=2x+20，解得x=40
又令4x−300=2x+20，解得x=160
由图象可得40100时，依题意得：4x−300−20=2x+20，
解得x=170
综上所述：这位员工生产了30或170个零件
