4.4 一次函数的应用
7大知识点（基础）+能力提升题（9道）+拓展培优练（3道）
一、方案问题
1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）A城有肥料200t，B城有肥料300t．现要把这些肥料全部运往C，
D两乡．从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为25元/t和20元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别
为24元/t和15元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t，
(1)设从A城调运x吨肥料到C乡（0≤x≤200），补充完整下列表格
A地(200t) B地(300t)
C地(240t) x ②
D地(260t) ① ③
① ② ③
(2)怎样调运，可使总运费最少？请写出具体方案及计算过程
【答案】(1)①200−x；②240−x；③60+x
(2)从A城乡运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少为
9860元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据表格结合题意求解即可；
（2）先求出运费y关于x的函数关系式，再由一次函数的性质分析求解．
【详解】（1）解：由题意得A地向D地调运(200−x)t，则C乡还需要(240−x)t，则B地调运
(240−x)t到C地，则B地剩余300−(240−x)=(60+x)t调运到D地，
故答案为：①200−x；②240−x；③60+x；
（2）解：设总运费为y元，由题意得：
y=25x+20(200−x)+24(240−x)+15(60+x)
=−4x+10660（0≤x≤200），
∵在函数y=−4x+10660中，k=−4<0，
∴y随x的增大而减小，∴x=200时，总运费y有最小值9860，
此时，200−x=0，240−x=40，60+x=260，
答：从A城乡运往C乡200吨，运往D乡0吨；从B城运往C乡40吨，运往D乡260吨，此时总运费最少，
最小值为9860元．
2．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储
存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示：
出发地
运费（元/吨） C县 D县
目的地
A县 40 45
B县 35 50
(1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D
县运往B县的化肥为 吨；
(2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案．
【答案】(1)(110−x)，(100−x)，50−(100−x)=(x−50)
(2)w=10x+5850(50≤x≤100)
(3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运
往A县
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函
数的性质求最值．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求
出自变量x的取值范围；
（3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案．
【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：(110−x)，
从D县运往A县的化肥：(100−x)，
从D县运往B县的化肥：50−(100−x)=(x−50)；
（2）解：w=40x+35(110−x)+45(100−x)+50(x−50)=10x+5850，
A县的化肥全从C县运进，则x=100，
D县的化肥全运往A县，则x=100−50=50，所以自变量x的取值范围是50≤x≤100；
（3）解：由（2）知：w=10x+5850(50≤x≤100)，
∴w与x成一次函数，k=10>0，w随x的增大而增大，
∵50≤x≤100，
∴当x=50时，w最小，
w=10×50+5850=6350（元），
从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为110−50=60吨，从D县运往A县的化肥为
100−50=50吨，D县的化肥全运往A县．
3．（22-23八年级下·湖北荆门·期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建
设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20
元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，
D乡需要水泥260吨．
(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元，这时A城运往C乡的水泥多少
吨时总运费最少？
【答案】(1)y=4x+10040(0≤x≤200)，最少总运费为10040元；
(2)A城运往C乡200吨，总运费最少．
【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；
（2）先列出A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，
分别求出最小值．
【详解】（1）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡(200−x)，
从B城运往C乡肥料(240−x)吨，则运往D乡(60+x)吨，
设总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)．
=4x+10040(0≤x≤200)，
∵k=4>0,y随x的增大而增大，
∴当x=0时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．
答：y与x的函数关系式为y=4x+10040(0≤x≤200)，
最少总运费为10040元；
（2）设减少运费后，总运费为w元，
则：w=(20−a)x+25(200−x)+15(240−x)+24(60+x)=(4−a)x+10040(0≤x≤200)
∵0<a<7，
∴分以下三种情况进行讨论：
①当0<a<4时，4−a>0，
此时w随x的增大而增大，
∴当x=0时，w =10040；．
最小
②当a=4时，w=10040，
∴不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；
③当4<a<7时，4−a<0，
此时w随x的增大而减小，
∴当x=200时，w =10840−200a；
最小
∴综上可得：
当0<a<4时，A城运往C乡0吨，总运费最少；
当a=4时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；
当4<a<7时，A城运往C乡200吨，总运费最少．
【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键．
4．（2022·河南安阳·二模）某舞蹈培训中心为扩大宣传向中小学生推出优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买会员卡，每张会员卡的费用是1200元，仅限本人一年内使用，每次培训收费60元．
方案二：不购买会员卡，每次培训收费80元．
(1)小玲为练习舞蹈经常到培训中心培训，若每年舞蹈培训x次，按方案一付费，则每年总费用为y 元，按
1
方案二付费，则每年总费用为y 元，写出y 和y 关于x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．
2 1 2
(2)如图所示的是在同一平面直角坐标系中画出（1）中的两个函数图象，记它们的交点为A，求点A的坐标，并解释点A的实际意义．
(3)根据（2）中的函数图象，请分析小玲选择哪种活动方案更合算．
【答案】(1)y1＝60x+1200， y2＝80x
(2)点A的坐标的实际意义为当培训次数为60次时，两种计费方式的总费用一样多，都为4800元
(3)当培训次数少于60时，选择方式二更省钱；当培训次数等于60时，两种方式的总费用都一样；当培训
次数大于60时，选择方式一更省钱
【分析】（1）根据题意可以写出y1，y2与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）根据（2）的结论结合图象解答即可．
【详解】（1）设培训x次时，
方案一费用为：y1＝60x+1200，
方案二的费用为：y2＝80x；
{y＝60x+1200，)
（2）由题意得，
y＝80x，
{x=60，)
解之，得
y=4800.
即点A的坐标为（60，4800）．
点A的坐标的实际意义为当培训次数为60次时，两种费用一样多，都为4800元．
（3）当培训次数少于60时，选择方式二更省钱；
当培训次数等于60时，两种方式的总费用都一样；
当培训次数大于60时，选择方式一更省钱．
【点睛】此题考查一次函数的实际运用，理解题意，根据题意得出y1和y2关于x的函数关系式是解题的
关键．
二、最大利润问题
1．（2025·陕西西安·模拟预测）近年来随着人们生活水平的提高，海鲜受到众多家庭的喜爱．某扇贝养殖
场今年采用新技术投资养殖了500万笼扇贝，并且全部被订购．已知每笼扇贝的成本是60元，售价是120
元．打捞出售过程中发现，一部分扇贝生长情况不符合要求，最后只能按照20元一笼出售，如果利润为y
万元，不符合要求的扇贝有x万笼．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当符合要求的扇贝有多少万笼时，养殖场不赔不赚？【答案】(1)y=−100x+30000
(2)当符合要求的扇贝有200万笼时，养殖场不赔不赚
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及根据实际问题列一次函数关系式．
（1）利用总利润=(120−60)×符合要求的扇贝的笼数+(20−60)×不符合要求的扇贝的笼数，即可得出y
关于x的关系式；
（2））代入y=0，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：y=(120−60)(500−x)+(20−60)x，
∴y=−100x+30000，
即y与x之间的函数关系式为y=−100x+30000；
（2）解：根据题意得：−100x+30000=0，
解得：x=300，
∴500−x=500−300=200（万笼）．
答：当符合要求的扇贝有200万笼时，养殖场不赔不赚．
2．（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）草莓属于多年生草本植物，风味独特、营养丰富，具有生产周期短、
见效快、经济效益高、适合设施栽培等特点．某经销商准备从一草莓种植基地购进甲、乙两种草莓进行销
售，设经销商购进甲种草莓x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示，购进乙种草莓的价格是每
千克30元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种草莓共100千克，其中甲种草莓不少于40千克且不超过70千克，
设经销商付款总金额为W元，求W的最小值．
【答案】(1)
y= { 40x(0≤x≤50) )
20x+1000(x>50)
(2)3300
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）分0≤x≤50和x≥50，两段，待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出W关于x的一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：当x≤50时，
设函数解析式为y=k x，
1
将点(50,2000)代入得50k =2000，
1
解得k =40，
1
∴y=40x(x≤50)；
当x>50时，设函数解析式为y=kx+b，
将点(50,2000)，(90,2800)代入得
{50k+b=2000)
，
90k+b=2800
{ k=20 )
解得 ，
b=1000
∴y=20x+1000(x>50)．
∴y与x之间的函数关系式为y= { 40x(0≤x≤50) )
．
20x+1000(x>50)
（2）解：由题意可知40≤x≤70，
当40≤x≤50时，W =40x+30(100−x)=10x+3000，
∵10>0，
∴W随x的增大而增大，当x=40时，W最小，最小值为3400，
当50<x≤70时，W =20x+1000+30(100−x)=−10x+4000，
∵−10<0，
∴W随x的增大而减小，当x=70时，W最小，最小值为3300，
∵3400>3300，
∴W的最小值为3300.
3．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古
城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x
套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元．
汉服款式 甲系列 乙系列
进价（元/套） 60 80
售价（元/套） 100 150
(1)求y与x的函数关系式．(2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则
汉服店可获得的最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−30x+21000
(2)至少要购进甲系列汉服200套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是
15000元
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键．
（1）若购进甲系列汉服x套，则购进乙系列汉服(300−x)套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的
利润，据此进一步列出关系式化简即可；
（2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为60x元，购进乙系列汉服的费用为80(300−x)元，据
此进一步列出不等式，求出x的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一
步求出最大利润即可．
【详解】（1）解：∵购进甲系列汉服x套，
∴购进乙系列汉服(300−x)套，
根据题意得，y=(100−60)x+(150−80)(300−x)，
化简得：y=−30x+21000，
即y与x的函数关系式为：y=−30x+21000；
（2）解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为60x元，购进乙系列汉服的费用为80(300−x)元，
∴60x+80(300−x)≤20000，
解得：x≥200，
∴至少要购进甲系列汉服200套．
又∵y=−30x+21000，其中−30<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=200时，y有最大值，此时最大值为：−30×200+21000=15000，
∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是15000元，
答：至少要购进甲系列汉服200套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是
15000元．
4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价
如表所示：
A B
进价（万元/套） 3 2.4售价（万元/套） 3.3 2.8
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两
种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套(10≤m≤20)，设将购进的两
种多媒体全部售出的利润为w，请求出w与m之间的函数关系式，并求出利润的最大值．
【答案】(1)该教育科技公司计划购进A种多媒体20套，则购进B种多媒体30套；
(2)w=−0.1m+20，利润的最大值为19万元．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用．
(1)设该教育科技公司计划购进A种多媒体x套，则购进B种多媒体(50−x)套，根据共需资金132万元，可
列一元一次方程求解；
(2)根据表中每种型号的多媒体的利润可以得到w与m之间的函数关系式，根据函数关系式和m的取值范围
求出利润最大值．
【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进A种多媒体x套，则购进B种多媒体(50−x)套，
根据题意可得：3x+2.4(50−x)=132，
解方程得：x=20，
则50−x=50−20=30(套)，
答：该教育科技公司计划购进A种多媒体20套，则购进B种多媒体30套；
（2）解：根据题意可得：w=m(3.3−3)+(50−m)×(2.8−2.4)，
整理得：w=−0.1m+20，
∵−0.1<0，
∴w随着m的增大而减小，
又∵10≤m≤20，
∴当m=10时，利润有最大值，
最大值为w=−0.1×10+20=19，
答：利润的最大值为19万元．
5．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）某蔬菜经营户每天从蔬菜批发市场批发黄瓜和茄子共50千克到
菜市场去卖，其中黄瓜和茄子每天的进价与售价如表所示：
黄瓜 茄子
进价/（元/千克） 6 7
售价/（元/千克） 10 12(1)某天该蔬菜经营户花了310元批发这两种蔬菜，求黄瓜和茄子各批发了多少千克？
(2)如果该蔬菜经营户每天批发黄瓜m千克，黄瓜和茄子全部售完共获得利润为w元，请求出w与m之间的
函数关系式．
【答案】(1)黄瓜批发了40千克，则茄子批发了10千克
(2)w与m之间的函数关系式为w=−m+250
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）设黄瓜批发了x千克，则茄子批发了(50−x)千克，根据题意列方程即可求解；
（2）根据利润=每千克的利润×数量，分别求出黄瓜和茄子的利润，再相加即可．
【详解】（1）解：设黄瓜批发了x千克，则茄子批发了(50−x)千克，
根据题意得：6x+7(50−x)=310，
解得：x=40，
∴茄子批发：50−40=10（千克），
答：黄瓜批发了40千克，则茄子批发了10千克；
（2）根据题意得：w=(10−6)m+(12−7)(50−m)=−m+250，
∴ w与m之间的函数关系式为w=−m+250．
三、行程问题
1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）小华8：00从家出发沿直线匀速前往图书馆．几分钟后，爸爸发现
小华未携带图书馆出入卡，随即离家沿相同路径匀速追赶小华，追上小华后在原地休息交谈片刻，并以原
速度沿原路返家．小华获得出入卡后以原速度的1.2倍继续前行，在8：20到达图书馆．如图反映了小华和
爸爸之间的距离y(m)与小华离家的时间t(min)之间的对应关系，则下列结论正确的是( )
A．爸爸往返用时16min B．爸爸追上小华后，交谈了3min
C．爸爸的速度为200m/min D．图书馆离小华家1760m
【答案】C
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解
题的关键．A．根据爸爸返回到家所用时间计算即可；B．根据图象计算即可；C．求出爸爸的速度与小华提速前的速度之比，设小华提速前的速度为v,将爸爸的速度和小华提速后的速度分别用含v的代数式表示
出来，根据12min～16min二人相距1184m列关于v的一元一次方程并求解，从而求出爸爸的速度即可；
D．利用路程=速度×时间，根据小华提速前后路程之和为图书馆离小华家的距离列式计算即可．
【详解】解：爸爸用时16−12=4(min)返回到家，
则爸爸往返用时4×2+(12−10)=10(min)，
∴A不正确，不符合题意；
爸爸追上小华后，交谈了12−10=2(min)，
∴B不正确，不符合题意；
小华用时10min从家到相遇地点，
10
∴爸爸的速度与小华提速前的速度之比为 =2.5，
4
设小华提速前的速度为v，则爸爸的速度为2.5v，小华提速后的速度为1.2v，
根据图象，得(16−12)(1.2v+2.5v)=1184，
解得v=80，
2.5×80=200(m/min)，
∴爸爸的速度为200m/min，
∴C正确，符合题意；
图书馆离小华家80×10+1.2×80×(20−12)=1568(m)，
∴D不正确，不符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，某超市的送货员小强和小明从超市门口出发，准备沿相同路
线给相距600m的同一客人送货，小强比小明先出发，且速度保持不变，小明出发一段时间后将速度提高
到原来的1.5倍．设小强行走的时间为x（分钟），他们离开超市的距离为y（米）．
(1)求m和n的值；
(2)两人在送货过程中能否相遇？若能，求出此时小强行走的时间，若不能，请说明理由．
(3)若小明送货过程中恰好与小强相距100米，直接写出此时小强行走的时间是多少分钟．【答案】(1)m和n的值分别为16，20
(2)能相遇，12分钟
26 46
(3) 或
3 3
【分析】本题考查了一次函数的应用、函数的图象、求函数解析式，从函数图象中获取信息是解题的关键．
（1）利用函数图象求出小明原来的速度，再乘以1.5得到后来的速度，即可求出m的值，利用函数图象求
出小强的速度，得出n的值，；
（2）先设小强路程与时间函数y=ax，代入已知点(16,480)求出a=30，得小强函数y=30x 。再分析小
明运动阶段，分5≤x≤8和x>8 阶段，得出小明路程函数y=40(x−5) (5≤x≤8)和y=60x−360
(x>8)，因x≤8时两人距离渐大不相遇，联立x>8 时小强与小明的路程函数，即可解答。
（3）先求出小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=30x，再分x≤8和x>8两种情况讨论，结合小
明与小强相距100米，分别求出对应x的值即可解答．
【详解】（1）解：小明原来的速度为120÷(8−5)=40（米/分），
小明后来的速度为40×1.5=60（米/分），
∴m=(600−120)÷60+8=16，
∴m的值为16．
∴小强的速度为480÷16=30（米/分），
∴n=600÷30=20（分），
（2）解：设小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=ax，
代入(16,480)得，16a=480，
解得：a=30，
∴小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=30x，
∵小明先以原速度40（米/分） 行驶，出发一段时间后速度提高到原来的1.5倍，即提速后的速度60
（米/分） ．
∴当5≤x≤8时，小明行走的时间是(x−5)分钟，
∴小明的路程函数为y=40(x−5) ；
当x>8时，小明在前8−5=3分钟走了120米，之后以60米/分的速度行驶，行驶时间是(x−8)分钟，
所以路程y=120+60(x−8)，
化简可得y=60x−360 ．
∵x≤8时，通过图象和计算可知两人距离逐渐拉大，不会相遇，
两人相遇即他们离开超市的距离y相等，联立小强和小明在x>8 阶段的路程函数：{ y=30x )
，
y=60x−360
将y=30x代入y=60x−360，得
30x=60x−360 ．
解得x=12 ．
综上，两人在送货过程中能相遇，此时小强行走的时间是12分钟．
（3）解：∵小强行驶的路程与行走时间的函数关系式为y=30x，
当x=8时，y=30×8=240，
此时小明和小强的距离为240−120=120（米），
∵120>100，
∴当x≤8时，小明和小强不能相距100米；
当x>8时，小明和小强的距离为|60x−360−30x)=|30x−360)（米），
∵小明与小强相距100米，
∴|30x−360)=100，
26 46
解得：x= 或x= ；
3 3
26 46
∴综上所述，小强行走的时间是 或 分钟．
3 3
3．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙
地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢辆车距各自出发地的路程y(km)与所
用的时间x(h)的关系如图所示．
(1)甲乙两地之间的距离为______km，快车的速度为______km/h，慢车的速度为______km/h；
(2)出发多少小时，快慢两车距各自出发地的路程相等？
【答案】(1)420，140，70
14
(2) 小时
3
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；
（2）根据题意和函数图象中的数据，得到快车返程时，两车距各自出发地的路程相等，设出发xh，快慢两车距各自出发地的路程相等，进而建立等式求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
甲乙两地之间的路程为420km；
快车的速度为420÷(4−1)=140(km/h)；
慢车的速度为420÷[4+(4−1)−1)=70(km/h)，
故答案为：420，140，70；
（2）解：由图象和（1）可得，A点坐标为(3,420)，B点坐标为(4,420)，
由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等，
设出发xh，两车距各自出发地的路程相等，
70x=2×420−140（x−1），
14
解得x= ，
3
14
答：出发 h后，快慢两车距各自出发地的路程相等．
3
4．（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，两车离A地的
距离s(千米)随时间t(小时)变化的图象如图所示，乙车到达B地后以25千米/小时的速度返回．
(1)甲车出发多长时间后被乙车追上？
(2)甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？
【答案】(1)1小时
(2)40千米
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系，二元一次方程组的解法是解题的
关键．
（1）根据速度=路程÷时间求出甲车的速度，再根据时间=路程÷速度计算甲车行驶20千米所用时间即可；
（2）分别写出当0≤t≤2.5时，甲车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式及乙车返回A地过
程中离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式，二者联立建立关于x和y的二元一次方程组并求
解，其中的y值即为所求．【详解】（1）解：甲车的速度为50÷2.5=20(千米/小时)，
20÷20=1(小时)．
答：甲车出发1小时后被乙车追上．
（2）解：当0≤t≤2.5时，甲车离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式为s=20t，
乙车从A地到B地过程中的速度为20÷(1−0.6)=50(千米/小时)，
50÷50=1(小时)，
∴当t=0.6+1=1.6时，乙车到达B地，
则乙车返回A地过程中离A地的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系式为
s=50−25(t−1.6)=−25t+90，
{ s=20t )
当两车迎面相遇时，得 ，
s=−25t+90
{t=2
)
解得 ，
s=40
答：甲车与乙车在距离A地40千米处迎面相遇．
5．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来
越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速
度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以120米/分的速度骑行，两人
行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)a= ，b= ，m= ；
(2)求爸爸第二次出发至到达图书馆线段BC的函数解析式(不需要写出自变量的取值范围)；
(3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？(直接写出答案即可)
【答案】(1)10；15；200
(2)y=200x−1500
(3)17.5分钟、20分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用、数形结合是解题的关键；
（1）根据时间=路程÷速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度=路程÷时间，即可求出m的值；
（2）根据数量关系找出线段BC、函数解析式；
（3）根据图象求得OD所在直线的函数解析式，根据题意列出一元一次方程，解之即可得出x的值，即可
求解．
【详解】（1）解：a=1500÷150=10(分钟)，
b=10+5=15(分钟)，
m=(3000−1500)÷(22.5−15)=200(米/分)．
故答案为：10；15；200．
（2）解：由（1）可得b=15，速度为：200(米/分)，
∴线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200(x−15)=200x−1500；
（3）解：∵小军始终以120米/分的速度骑行，
∴线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x.
根据题意得：根据题意得：|200x−1500−120x|=100，
解得：x =17.5，x =20，
1 2
答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟和20分钟时与小军相距100米．
四、阶梯收费问题
1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”
收费标准，具体如下：
年用水量 收费标准
不超过180t部分 4.40元/t
超过180t，不超过300t部
5.95元/t
分
10.60元
超过300t部分
/t
小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．
(1)小明同学家2023年用水xt(x<180)，应交水费y元．写出y与x之间的关系式；
(2)小明家2024年交了911元水费，求2024年小明家用了多少
(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．
【答案】(1)y=4.4x(x<180)
(2)200t(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解
题的关键．
（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式，当y=911时，求出对应x的值即可；
（3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理
的建议即可．
【详解】（1）解：当x<180时，y与x之间的关系式为y=4.4x(x<180)．
（2）当180<x≤300时，y与x之间的关系式为y=4.4×180+5.95(x−180)=5.95x−279，
当x>300时，y与x之间的关系式为y=4.4×180+5.95(300−180)+10.6(x−300)=10.6x−1674，
1
当4.4x=911时，解得x=207 (舍去)，
22
当5.95x−279=911时，解得x=200，
∴2024年小明家用了200t水．
（3）建议：适当调整各阶梯的水量标准；
原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易
进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理
用水．
2．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之
一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯
价的含义：用水量不超过144m3，每立方米收费3.15元，用水量在144~240m3，前144m3按 3.15元/m3，
144~240m3之间按4.05元/m3收费，以此类推）．
价格
年用水量
供水类型 阶梯分类 （元/m3
（m3）
）
第一阶梯 0~144（含） 3.15
居民生活 144~240
第二阶梯 4.05
用水 （含）
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为x m3，请按阶梯分类求用水年费用y（元）关于年用水量x（m3）的函数解析
式．(2)若小米家2024年全年用水量为120m3，则小米家应缴2024年水费多少元？
(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
{ 3.15x(0≤x≤144) )
【答案】(1) y= 4.05x−129.6(144<x≤240)
6.75x−777.6(x>240)
(2)小米家应缴2024年水费378元
(3)小乐家2024年全年用水量为233m3
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根
据图表中的数量关系，列出算式和方程．
（1）分0≤x≤144，144<x≤240及x>240三种情况，利用含x的代数式表示出这户居民的水费y即可；
（2）由于小米家2024年全年用水量为120m3，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可；
（3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当0≤x≤144时，y=3.15x，
当144<x≤240时，y=3.15×144+(x−144)×4.05=4.05x−129.6，
当x>240时，y=3.15×144+(240−144)×4.05+(x−240)×6.75=6.75x−777.6，
{ 3.15x(0≤x≤144) )
∴ y= 4.05x−129.6(144<x≤240) ；
6.75x−777.6(x>240)
（2）解：120×3.15=378（元），
∴小米家应缴2024年水费378元；
（3）解：设小乐家2024年全年用水量为xm3，
∵ 144×3.15=453.6<814.05，453.6+4.05×(240−144)=842.4>814.05，
∴ 144<x<240，
∴ 4.05x−129.6=814.05，
解得x=233，
∴小乐家2024年全年用水量为233 m3．
3．（2025·浙江杭州·一模）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为x（吨），每月应
交水费y（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象．阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≤10 a
第二阶梯 10<x≤20 b
第三阶梯 x>20 5
根据上述信息解决以下问题：
(1)求a,b的值．
(2)当x>10时，求y关于x的函数表达式．
(3)小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低
于7月份用水量，求小红家6月份的用水量．
【答案】(1)a=2,b=3
y=
{3x−10(10<x≤20))
(2)
5x−50(x>20)
(3)小红家6月份的用水量为15吨
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析，自变量或函数值的计算方法是关键．
（1）根据函数图象求解即可；
（2）运用待定系数法求解析式即可；
（3）根据函数关系，分类讨论：当小红家6，7月份在10<x≤20吨；当小红家6月份、7月份的用水量都
在x>20吨；当小红家6月份在10<x≤20吨，7月份的用水量在x>20吨；结合函数关系求解即可．
20
【详解】（1）解：当x≤10时，a= =2，
10
50−20 30
当10<x≤20时，b= = =3；
20−10 10
（2）解：当10<x≤20时，设y关于x的函数解析式为y=kx+m(k≠0)，把点(10,20)，(20,50)代入得，
{10k+m=20)
，
20k+m=50{ k=3 )
解得， ，
m=−10
∴y=3x−10(10<x≤20)；
当x>20时，y=50+5(x−20)=5x−50(x>20)；
当x>10时，y关于x的函数表达式为 y=
{3x−10(10<x≤20))
；
5x−50(x>20)
（3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，
∴当小红家6，7月份在10<x≤20吨，则6月份水费为(3x−10)元，7月份的费用为(3x−10)元，
∴(3x−10)+(3x−10)=90，
55
解得，x= ，不符合题意；
3
当小红家6月份、7月份的用水量都在x>20吨，
∴(5x−50)+(5x−50)=90，
解得，x=19，矛盾，不符合题意；
当小红家6月份在10<x≤20吨，则6月份水费为(3x−10)元，7月份的用水量在x>20吨，
100−3x+50 3
∴7月份的费用为90−(3x−10)=100−3x（元），用水量为 =30− x（吨），
5 5
∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，
3
∴x是5的倍数，且10<x<30− x，
5
∴x=15，
∴小红家6月份的用水量为15吨．
4．（18-19八年级·全国·课后作业）《中华人民共和国个人所得税法》中规定，公民扣除专项扣除、专项
附加扣除和依法确定的其他扣除后的（下同）月综合所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的
部分为全月应纳税所得额. 即全月应纳税所得额＝当月综合所得－5000元. 个人所得税款按下表累进计算.
全月应纳税金额 税率（%）
不超过3000元 3%
超过3000元至12000元的部分 10%
超过12000元至25000元的部分 20%
… …
（例如：某人月综合所得为8500元，需交个人所得税为(8500−5000−3000)×10%+3000×3%=140元）.
（1）求月综合所得为6200元应交的个人所得税款；
（2）设小明的月综合所得为x元（8000<x<17000），应交的个人所得税为y元，求y与x之间的函数关
系式；
1
（3）若王教授的月综合所得不超过20000元，他每月的纳税金额超过月工资的 吗？若能，请给出王教
15
授的工资范围，若不能，请说明理由.
【答案】（1）月综合所得为6200元应交个人所得税款是36元；
（2）y=0.1x−710(8000<x<17000)；
（3）能.王教授的月综合所得范围是18075<y≤20000.
【分析】（1）根据6200元应纳税所得额应该是6200﹣5000=1200元，则税率是3%，据此即可求得个人所
得税款；
（2）月工资为x元（8000＜x＜17000），则应纳税所得额是大于3000元小于12000元，则按10%的税率
交税，则应交的个人所得税y即可求解；
1
（3）首先确定王教授工资的范围，然后根据他每月的纳税金额超过月工资的 即可列不等式求解．
15
【详解】（1）根据题意得：(6200−5000)×3%=36（元）．故月综合所得为6200元应交个人所得税款
是36元．
（2）∵8000<x<17000，∴3000<x−5000<12000．
∴y=(x−5000−3000)⋅10%+3000×3%．即y=0.1x−710(8000<x<17000)．
（3）能．设月综合所得是y元．
1
∵9000×10%+3000×3%< ×17000．
15
1
∴当0<y≤17000时，纳税金额不超过月工资的 ．
15
1
当17000<y≤20000时，9000×10%+3000×3%+(y−17000)×20%> y，解得：y>18075．
15
故王教授的月综合所得范围是18075<y≤20000．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，确定王教授的工资的范围是解答本题的关键．
五、一次函数与方程综合
1．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一次函数y=kx+b图象如图，则关于x的方程kx+b=0的解为（ ）
A．x=−3 B．x=−2
C．x=2 D．x=3
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数y=kx+b，当y=0时求得的自变量的
值就是对应的一元一次方程kx+b=0的解，一次函数图象与x轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程
kx+b=0的解，据此即可求解．
【详解】解：由图象可知：一次函数图象与x轴的交点横坐标为2，
∴关于x的方程kx+b=0的解是x=2．
故选：C．
2．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，直线y=ax+b过点(0,2)和点(4,0)，则方程ax+b−1=0的解
是（ ）
A．x=1.5 B．x=−1.5 C．x=−1 D．x=2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键．
先求出一次函数解析式，再计算y=1时方程的解即可．
【详解】解：设直线解析式为y=kx+2，代入点(4,0)得：0=4k+2，
1
解得k=− ，
2
1
∴直线解析式为y=− x+2，
2
方程ax+b−1=0转化为ax+b=1，1
当y=1时，1=− x+2，
2
解得x=2．
故选：D．
3．（24-25八年级下·湖北随州·期末）若直线y=kx−b经过点(−4,0)，则关于x的方程kx−b=0的解是
（ ）
A．4 B．−b C．−4 D．k
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数y=kx−b(k≠0)与x轴交点的横坐
标即为其所对应的一元一次方程kx−b=0的解是解题的关键．
利用一次函数与一元一次方程的关系求解即可．
【详解】解：由直线y=kx−b经过点(−4,0)，即与x轴交点坐标为(−4,0)，
则直线y=kx−b对应的一元一次方程kx−b=0的解是x=−4，
故选：C．
4．（24-25八年级下·新疆吐鲁番·期末）直线y=ax+b（a≠0与x轴交于点(2025,0)，则关于x的方程
ax+b=0的解为 ．
【答案】x=2025
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程ax+b=0与一次函数y=ax+b的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，方程ax+b=0的解可看成一次函数y=ax+b的图象与x轴交点的横坐标，
因为直线y=ax+b(a≠0)与x轴交于点(2025,0)，
所以ax+b=0的解为x=2025．
故答案为：x=2025．
5．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）如图所示，直线y=kx+b与x轴交于点(−5,0)，则关于x的方程
kx+b=0的解为 ．
【答案】x=−5
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程kx+b=0的解其实就是当y=0时一
次函数y=kx+b与x轴的交点横坐标解答．【详解】解：由图知：直线y=kx+b与x轴交于点(−5,0)，
即当x=−5时，y=kx+b=0；
因此关于x的方程kx+b=0的解为：x=−5．
故答案为：x=−5．
六、一次函数与几何综合问题
1．（24-25八年级下·湖北随州·期末）已知A(1,3)，B(3,1)，直线AB与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求△AOB的面积．
【答案】(1)直线AB的解析式为y=−x+4；
(2)△AOB的面积为4．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握一次函数的图象与性质是解题的
关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出C(4,0)，则OC=4，然后利用S =S −S 即可求解．
△OAB △OAC △OBC
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(1,3)，B(3,1)代入得∶
{k+b=3
)
，
3k+b=1
{k=−1)
解得： ，
b=4
∴直线AB的解析式为y=−x+4；
（2）解：当y=0时，x=4，
∴C(4,0)
∴OC=4，
1 1
∴S = ×4×1=2，S = ×4×3=6，
△OBC 2 △OAC 2
∴S =S −S =6−2=4．
△OAB △OAC △OBC2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，直线y=−3x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，在线段OB
上取一点C，连结AC，若△ABC的面积为3，求直线AC的解析式．
3
【答案】y=− x+3
2
【分析】此题考查了一次函数和坐标轴交点问题，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解
题的关键是掌握以上知识点．
1
首先求出OB=6，A(2,0)，OA=2，然后利用△ABC的面积为3得到 ×2BC=3，求出BC=3，得到
2
C(0,3)，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵直线y=−3x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴当x=0时，y=−3x+6=6
∴B(0,6)
∴OB=6
∴当y=0时，0=−3x+6
解得x=2
∴A(2,0)
∴OA=2
∵△ABC的面积为3
1
∴ OA⋅BC=3
2
1
∴ ×2BC=3
2
∴BC=3
∴OC=OB−BC=6−3=3
∴C(0,3)
设直线AC的解析式为y=kx+b{ b=3 )
∴
2k+b=0
{
b=3
)
∴ 3
k=−
2
3
∴直线AC的解析式为y=− x+3．
2
3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，直线AB与x轴交于点A(2,0)，与y轴交于点B(0,−3)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S =6，求点C的坐标．
△BOC
3
【答案】(1)直线AB的解析式为y= x−3；
2
(2)点C的坐标是(4,3)．
【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解
题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式．
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，把直线AB与x点A(2,0)，点B(0,−3)代入即可求解；
( 3 ) 1
（2）设点C的坐标为 x, x−3 (x>0)，由B(0,−3)，则OB=3，所以 ×3×x=6，求出x的值即可．
2 2
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵直线AB与x轴交于点A(2,0)，与y轴交于点B(0,−3)，
{2k+b=0)
∴ ，
b=−3
{ k= 3 )
解得 2 ，
b=−3
3
∴直线AB的解析式为y= x−3；
2
（2）解：∵直线AB上的点C在第一象限，( 3 )
∴设点C的坐标为 x, x−3 (x>0)，
2
∵B(0,−3)，
∴OB=3，
∵S =6，
△BOC
1
∴ ×3×x=6，
2
解得x=4，
3
∴当x=4时，y= ×4−3=3，
2
∴点C的坐标是(4,3)．
4．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，直线AB与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B(0,−2)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线AB上的点C在第二象限，且S =5，求点C的坐标．
△BOC
2
【答案】(1)y=− x−2
3
( 4)
(2) −5,
3
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟
练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式即可；
( 2 ) 1
（2）设C m,− m−2 ，根据三角形面积公式得到 ×2×|m|=5，解方程即可．
3 2
【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵点A(−3,0)，点B(0,−2)，
{ k=− 2 )
∴¿，解得 3 ，
b=−22
∴直线AB的解析式为y=− x−2；
3
( 2 )
（2）解：设C m,− m−2 ，
3
∵S =5，
△BOC
1
∴S OB×|m|=5，
△BOC=2
1
∴ ×2×|m|=5，
2
解得m=±5，
∵点C在第二象限，
∴m=−5，
2 2 4
∴− m−2=− ×(−5)−2= ，
3 3 3
( 4)
∴点C的坐标为 −5, ．
3
5．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，直线y =−x+1与x轴交于点A，与直线y =x+b相交于点
1 2
B(m,2)．
(1)求直线y 的解析式；
2
(2)若直线y 与x轴交于点C，求△ABC的面积．
2
【答案】(1)y =x+3
2
(2)4
【分析】（1）根据y =−x+1过点B(m,2)，确定其坐标，后代入y 的解析式，解答即可；
1 2
（2）根据解析式，确定与坐标轴的交点的坐标，根据三角形面积公式解答即可．
本题考查了图象交点，待定系数法，图象与坐标轴的交点，三角形的面积，熟练掌握函数的性质，待定系
数法是解题的关键．【详解】（1）解：∵直线y =−x+1过点B(m,2)
1
∴2=−m+1解得：m=−1
把B(−1,2)代入直线y 的解析式得：−1+b=2，
2
解得b=3
故直线y 的解析式为；y =x+3．
2 2
（2）当y =−x+1=0时，解得：x=1，
1
∴点A的坐标为(1,0)；
当y =x+3=0时，解得：x=−3，
2
∴点C的坐标为(−3,0)，
∴AC=1−(−3)=4，
1 1
∴S = AC⋅|y )= ×4×2=4．
△ABC 2 B 2
七、其他问题
1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某实践小组为了研究某种均匀材质的香烛（总长10cm）的燃烧变化
情况．点燃香烛后，每隔1分钟测量一次香烛剩余长度，获得数据如下表：
燃烧时间t（分钟） 0 1 2 3 4
剩余长度h（cm）（观察值） 10.0 9.0 8.5 7.0 6.5
在平面直角坐标系中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是可以用一次函数
近似地刻画剩余长度ℎ与燃烧时间t的关系．
(1)①利用t=0，ℎ =10；t=1，ℎ =9这两组数据，求剩余长度ℎ与燃烧时间t的函数解析式；
②经比对发现，表中部分观察值不在①中的函数图象上，存在偏差，当t=2时，根据①中的解析式可求得
ℎ
=________，此时它与t=2时观测值的偏差值若记为d，则d=________．
(2)小组决定优化一次函数解析式，减少偏差．（提示：衡量偏差的统计量记为S，当t取不同值时，所有d
的平方和为S，其中S越小，偏差越小）．①结合表格数据，利用（1）①得到的函数解析式计算S的值；
②请确定优化后经过点(0,10)的一次函数解析式，使得偏差最小．
【答案】(1)① ℎ =−t+10；②8，0.5
(2)① 0.5；② ℎ =−0.9t+10
【分析】（1）①设ℎ =kt+b，根据待定系数法解答即可；
②经比对发现，表中部分观察值不在①中的函数图象上，存在偏差，当t=2时，根据①中的解析式可求得
ℎ
=________，此时它与t=2时观测值的偏差值若记为d，则d=________．
（2）①根据ℎ =−t+10,得t=0,ℎ =10.0，t=1,ℎ =9.0，t=2,ℎ =8.0，t=3,ℎ =7.0，t=4,ℎ =6.0，
根据定义计算解答即可．
②设优化后解析式为ℎ =at+10，根据定义，计算，后配方，利用非负性，确定最小值解答即可．
本题考查了待定系数法，新定义，配方法，实数的非负性应用，熟练掌握等等洗发水，非负性，配方法是
解题的关键．
【详解】（1）①解：设ℎ =kt+b，
{k+b=9)
根据题意，得 ，
b=10
{k=−1)
解得 ，
b=10
故ℎ =−t+10；
②解：当t=2时，ℎ =−t+10=−2+10=8，此时它与t=2时观测值的偏差值记为d，
则d=8.5−8=0.5，
故答案为：8，0.5．
（2）①解：根据ℎ =−t+10,得t=0,ℎ =10.0，t=1,ℎ =9.0，t=2,ℎ =8.0，t=3,ℎ =7.0，
t=4,ℎ =6.0，
故S=(10.0−10.0) 2+(9.0−9.0) 2+(8.5−8) 2+(7.0−7.0) 2+(6.5−6.0) 2=0.5．
②设优化后的解析式为ℎ =at+m，由解析式过点(0,10)，得m=10，
故新解析式为ℎ =at+10，
根据题意，得t=0,ℎ =10.0，t=1,ℎ =a+10.0，t=2,ℎ =2a+10.0，t=3,ℎ =3a+10.0，
t=4,ℎ =4a+10.0，
故S=(10.0−10.0) 2+(a+10−9.0) 2+(2a+10−8.5) 2+(3a+10−7.0) 2+(4a+10−6.5) 2
=(a+1) 2+(2a+1.5) 2+(3a+3) 2+(4a+3.5) 2=30a2+54a+24.5
( 9 ) 2 1
=30 a+ +
10 5
( 9 ) 2
而 a+ ≥0，
10
( 9 )
故当 a+ =0时，S取得最小值，
10
9
此时a+ =0，
10
解得a=−0.9，
故优化后的解析式为ℎ =−0.9t+10．
2．（24-25七年级下·广西玉林·期末）综合与实践
【问题情境】水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．小辉同学阅读了教材中的《第十九章一次
函数》的数学活动2，决定探究水龙头关闭不严造成漏水的问题，为了调查漏水量与漏水时间的关系，进
行了以下的试验与研究．
【实践发现】如图1，在一个滴水的水龙头下放置一个能显示盛水量的容器，设该容器的盛水量为w(mL)，
滴水时间为t(min)．该容器未放置到水龙头前已盛有5mL水，每5min记录一次容器中的盛水量，得到如
下表的一组数据：
时间 2
0 5 10 15 …
t/min 0
盛水量 2 6
5 35 50 …
w/mL 0 5
【问题探究】
（1）请根据表中信息在图2的坐标系中描点、连线，画出w关于t的函数图象，根据图象发现w与t符合学习过的________函数关系（选填“正比例”或“一次”）；
（2）根据以上判断，求w关于t的函数解析式；
【问题解决】
（3）假设有10个与【实践发现】中情况相同的水龙头，一个成年人一天大约饮用1600mL水，请你估算
这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用多少天？
【答案】（1）见解析，一次；（2）w=3t+5；（3）这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成
年人饮用27天
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键．
（1）根据表格数据，描点、连线即可得到函数关系式，根据图象是一条直线，结合一次函数的图象特点
可得结论；
（2）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（3）根据（2）中解析式求得1个容器一天的盛水量，进而求得1个水龙头一天的漏水量，则可得10个水
龙头一天的漏水量，再结合已知可得结论．
【详解】解：（1）w关于t的函数图象如图所示：
根据图象及表格数据，w与t符合学习过的一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）设一次函数解析式为w=kt+b，将点(0,5)，(5,20)代入解析式得：
{ b=5 ) {k=3)
，解得 ，
5k+b=20 b=5
∴一次函数解析式为w=3t+5；
（3）∵24×60=1440(min)，
∴1个容器一天的盛水量w=3×1440+5=4325(mL)，
∴1个水龙头一天的漏水量为4325−5=4320(mL)，∴10个水龙头一天的漏水量为4320×10=43200(mL)，
43200
∴可供一个成年人饮用 =27（天），
1600
答：这10个水龙头一天（24小时）的漏水量可供一个成年人饮用27天．
3．（2025·广西来宾·模拟预测）综合与实践
【问题背景】
数学活动课上，某数学兴趣小组的同学探究在水速相同的条件下，往容器中注水时，注水时间与水面高度
之间的函数关系，同学们制作了一个特殊的容器（如图①），这个特殊的容器由上、下两个高度相同的圆
柱体组合而成，且上面的圆柱体底面圆的半径是下面圆柱体底面圆的半径的一半，已知这个特殊容器的高
为20cm．
【实验过程】
注水前，容器内的水面高度是4cm，现向容器内匀速注水，当容器恰好注满时停止，每5s记录一次水面的
高度ℎ（单位：cm），前5次数据如下表所示：
注水时间t/s 0 5 10 15 20 …
水面高度
4 5 6 7 8 …
ℎ/cm
【问题解决】
(1)请你求出水面高度ℎ关于注水时间t的函数解析式，写出自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标
系（如图②）中，画出ℎ关于t的函数图象；
(2)求当注水时间t满足25≤t≤40时，水面高度ℎ的取值范围．1
{ t+4(0≤t≤30) )
5
=
【答案】(1)ℎ ，函数图象见解析
4 ( 85)
t−14 30<t≤
5 2
(2)9≤ℎ≤18
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握圆柱体的体积计算公式是解题的关键．
（1）由表格得出下面容器中水面上升的速度并计算当下面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，根
据两圆柱体底面圆的半径的数量关系求出两圆柱体底面面积的数量关系，从而求得上面容器水面上升的速
度并计算当上面容器注满水时所用时间及对应函数关系式，最终写成分段函数的形式即可；
（2）分别计算当t=25，t=40时对应h的值，从而得到水面高度h的取值范围．
【详解】（1）解：由题意知，两个圆柱的高都为10cm，
由表知，时间每增加5s，高度增加1cm，
则当下面的圆柱注满水时，所用时间为(10−4)×5=30(s)，
1
∴当0≤t≤30时，ℎ = t+4；
5
由于上面的圆柱底面圆的半径是下面的圆柱底面圆的半径的一半，
1
∴上面的圆柱底面积是下面的圆柱底面积的 ，
4
5
∴每注水 s，上面的圆柱的水面高度增加1cm，
4
5 85
∴当该特殊容器注满水时，注水时间t=30+ ×10= (s)，
4 2
85 4 4
∴当30<t≤ 时，ℎ = (t−30)+10= t−14，
2 5 5
1
{ t+4(0≤t≤30), )
5
=
综上所述，水面高度ℎ关于注水时间t的函数解析式为ℎ
4 ( 85)
t−14 30<t≤ .
5 2
画出函数图象如答图：1 1
（2）解：将t=25代入ℎ = t+4中，得ℎ = ×25+4=9，
5 5
4 4
将t=40代入ℎ = t−14中，得ℎ = ×40−14=18，
5 5
∴当注水时间t满足25≤t≤40时，水面高度ℎ的取值范围是9≤ℎ≤18．
4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）某商场叠放的购物车如图所示，小航尝试探究整齐叠放的购物车车
身总长与购物车数量的关系．
下表是小航测得的一些数据．
购物车
1 2 3 4 5 6
数量/辆
车身总
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
长/m
根据上表回答下列问题：
(1)随着购物车数量的增加，车身总长是怎样变化的？
(2)10辆购物车的总长大约是多少？50辆购物车的总长大约是多少？你是如何估计的？请写出你估计购物
车总长的方法．
【答案】(1)购物车每增加一辆，车身总长增加0.2m
(2)10辆购物车的车身总长大约是2.8米，50辆购物车的总长大约是是10.8米．见解析
【分析】本题主要考查了列出函数关系式，求函数值，列出函数关系式是解题的关键．
（1）直接观察表格，即可求解；（2）根据（1）中的结论，可得车身总长与购物车辆数之间是一次函数的关系，即可求解．
【详解】（1）解：购物车每增加一辆，车身总长增加0.2m．
（2）解：10辆购物车的车身总长大约是2．8米，50辆购物车的总长大约是是10．8米
我的方法是：设购物车的数量是x辆，车身总长是y米．
由表格可知：y=0.2x+0.8．
当x=10时，y=0.2×10+0.8=2.8
当x=50时，y=0.2×50+0.8=10.8
所以10辆购物车的车身总长大约是2.8米，50辆购物车的总长大约是是10.8米．
1．（2025·内蒙古包头·三模）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min
回到家中，设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示，下
列说法错误的是（ ）
A．小明出发第2分钟时离家200m B．跑步过程中，小明离家的最远距离为780m
C．当2<t≤5时，s与t之间的函数表达式为s=160t−120 D．小明出发第5分钟时，开始按原路返回
【答案】D
【分析】本题考查了函数图象与行程的数量关系，理解函数图象，行程问题的数量关系是关键．
当0<t≤2时，速度为100m/min，由行程数量关系可判定A选项；根据图示，分别算出每段的路程，由
于是往返，总路程除以2即可判定B选项；根据行程中的数量关系可判定C选项；根据题意得到第5分钟
时的路程，结合此次行程最远路程判定D选项；由此即可求解．
【详解】解：当0<t≤2时，速度为100m/min，
∴小明出发第2分钟时，s=vt=100×2=200m，故A选项正确，不符合题意；
当2<t≤5时，速度为160m/min，当5<t≤16时，速度为80m/min，
∴小明离家的距离依次为：s =100×2=200m,s =vt=160×(5−2)=480m,s =80×(16−5)=880m，
1 2 3
s +s +s 200+480+880
∴ 1 2 3= =780m，故B选项正确，不符合题意；
2 2当2<t≤5时，s=100×2+160(t−2)=160t−120，故C选项正确，不符合题意；
当t=5时，小明的路程为100×2+160×(5−2)=680m<780m，此时小明未到达最远处，没有原路返回，
故D选项错误，符合题意；
故选：D ．
2．（24-25八年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向
匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（单位：
米）与乙出发的时间t（单位：秒）之间的关系如图所示．甲的速度是 米/秒；甲、乙两人相距的最大
距离是 米．
【答案】 3 88
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息、行程问题等知识点，正确从函数图象上信息成为解题的关
键．
由函数图象可知，甲出发4秒的路程为12米，则可求出甲的速度；根据观察函数图象可知，两人的距离先
缩小，而甲先出发，故乙的速度大于甲的速度，则当甲、乙两人相距的距离最大时，乙此时刚到终点，据
此求解即可．
【详解】解：由函数图象可知，甲出发4秒的路程为12米，
∴甲的速度为12÷4=3m/s；
观察函数图象可知，两人的距离先缩小，而甲先出发，故乙的速度大于甲的速度，
∴当甲、乙两人相距的距离最大时，乙此时刚到终点，
∴甲、乙两人相距的最大距离为400−3×100−12=88米．
故答案为：3，88．
3．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工A,B,C三种零件．
在该时段内，每名工人只能加工A零件2件，或B零件1件，或C零件4件．工厂要求加工A零件的总数至
少8件，B零件的总数至少11件，C零件和A零件的总数相等．若加工A零件总数不超过20件时，每件获
利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工B零件每件获利700元；加工C零件每件获利
180元．（1）当安排2名工人加工C零件时，安排加工B零件的工人人数为 ；
（2）当安排 名工人加工C零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为 元．
【答案】 74 5 56300
【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为x人，则加工A零件的工人为2x人，则加工
B零件的人数为(80−3x)人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：设加工C零件的工人为x人，则C零件总数为4x件，A零件总数也为4x件，则加工A零件
4x
的工人为 =2x人，则加工B零件的人数为(80−3x)人，
2
（1）当x=2时，80−3x=80−3×2=80−6=74人，
此时B零件总数74>11，符合条件，
∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人；
（2）利润分段计算：当4x≤20 (即x≤5)时，A零件利润为4x×360；
当x>5时，A零件利润为：20×360+(4x−20)×330；
设利润为P，则
当x≤5时，P=4x×360+(80−3x)×700+4x×180=60x+56000，
∵60>0，
∴为增函数，最大值在x=5时取得，P=56300；
当x>5时，P=20×360+(4x−20)×330+(80−3x)×700+4x×180
=−60x+56600，
∵−60<0，
∴为减函数，最大值在x=6时取得，P=56240元；
综上所述，当x=5，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元．
故答案为：74；5；56300．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到
B地，甲骑摩托车，PC、OD分别表示甲、乙两人离开A的距离s（km）与时间t（h），回答下列问题：(1)甲乙两人中， 先出发 h；
(2)甲的速度是 km/h，乙的速度是 km/h；
(3)在乙出发 h后，甲超过乙；
(4)甲到达B地时，乙还需 h到达B．
【答案】(1)乙；1；
40
(2)40； ；
3
3
(3) ；
2
(4)3.
【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题
的关键.
（1）由题意可知PC表示甲，OD表示乙，由图象可知，甲出发时，乙已经先出发了，且出发的时间易知；
（2）根据函数图象可知甲2h行驶的路程是80km，从而可以求得甲的速度，根据乙3小时行驶的路程是
40km，可以求得乙行驶的速度；
（3）根据函数图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，根据“时间=路程÷速度”即可求出甲追上乙时，
乙出发了多长时间；
（4）根据函数图象可知甲到达B地时，乙离开A地的距离，由此可得出乙离B地的距离，根据“时间=路
程÷速度”即可求出乙到达B地还需的时间.
【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两人中，乙先出发1小时，
故答案为：乙；1；
（2）由图象可知，甲2小时行驶的路程是80km，故甲的速度为：80÷2=40(km/h)，
40
乙3小时行驶的路程是40km，故乙的速度为：40÷3= (km/h)，
3
40
故答案为：40； ；
3
40 3
（3）由图象可知，在离A地20km处，甲追上乙，20÷ = (h)，
3 2
3
所以在乙出发 (h)后，甲超过乙，
2
3
故答案为： ；
2
（4）由图象可知，甲到达B地时，乙离开A地40km， 则乙距离B点80−40=40(km)，40
所以还需的时间为40÷ =3(h).
3
故答案为：3.
5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部
分是租用比赛塝地所需的固定不变的费用800元、另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当
x=10时，y=1200．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？
(3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入100x元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）．
若40≤x≤60，求W的最大值．
【答案】(1)y=40x+800
(2)40名
(3)2800元
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）依题意，把x=10，y=1200代入y=kx+800，得k=40，即可作答；
（2）直接把y=2400代入y=40x+800，解得x=40，即可作答；
（3）先理解题意得W =100x−y=60x−800，结合一次函数的性质得W随之x的增大而增大，因为
40≤x≤60，把x=60代入W =60x−800，W =60×60−800=2800，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设y=kx+800(k≠0)，
把x=10，y=1200代入y=kx+800，
得1200=10k+800，
解得k=40，
∴y=40x+800；
（2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得y=40x+800，
得把y=2400代入y=40x+800，得2400=40x+800，
解得x=40，
即该次比赛的费用为2400元，有40名运动员参加了比赛；
（3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入100x元，设利润为W元（利润=收入-比赛的
费用）．
∴W =100x−y=100x−(40x+800)=60x−800，∵60>0，
∴W随之x的增大而增大，
∵40≤x≤60，
∴把x=60代入W =60x−800，
得W =60×60−800=3600−800=2800，
∴W的最大值为2800．
6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一家大型商场内甲商品和乙商品销售火爆，已知甲商品每套600元，
乙商品每套40元，某公司计划采购甲商品50套，乙商品若干套．商场给出下列两种优惠方案，并规定只
能选择其中一种．
方案一（“买一送一”）：购买一套甲商品，赠送一套乙商品；
方案二（“打折”）：每套乙商品按原价打八折，但甲商品不打折．
设该公司购买乙商品x(x>50)套，选择方案一的总费用为y 元，选择方案二的总费用为y 元
1 2
(1)分别写出y ，y 与x之间的函数关系式；
1 2
(2)该公司选择哪种方案更划算？说明理由．
【答案】(1)y =40x+28000，y =32x+30000；
1 2
(2)当x>250时，选择方案二；当x=250时，两个方案都可以；当50<x<250时，选择方案一．
【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用；
（1）根据两种方案的付费方式列函数关系式即可；
（2）分三种情况讨论：当y >y 时， 当y = y 时， 当y <y 时，再进一步求解即可．
1 2 1 2 1 2
【详解】（1）解：根据题意，得y =600×50+40(x−50)=40x+28000，
1
y =600×50+40×80%x=32x+30000．
2
（2）解：当y >y 时，40x+28000>32x+30000，
1 2
解得：x>250，
当y = y 时，40x+28000=32x+30000，
1 2
解得：x=250，
当y <y 时，40x+28000<32x+30000，
1 2
解得：x<250，
∴50<x<250，
∴当x>250时，选择方案二；当x=250时，两个方案都可以；当50<x<250时，选择方案一．
7．（24-25八年级下·广西钦州·期末）“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了
A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表：收费套餐 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/h）
A 5 20 0.6
B m n 0.6
设每月上网学习时间为x小时，套餐A、B对应的收费金额分别为y 元，y 元．
A B
(1)如图是y 与x之间函数关系的图象，结合表格信息与图象特征，填空：m=________，n=________；
B
(2)求出y 与x之间的函数关系式，并在图中画出函数图象，再结合图象分析选择哪种套餐上网学习更节省
A
费用．
【答案】(1)8，40
(2) y A = { 5(0≤x≤20) ) ；见解析，①当0<x<25时，选择A套餐上网学习省钱；②当x=25时，选择
0.6x−7(x>20)
两种套餐上网学习同样省钱；③当x>25时，选择B套餐上网学习省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意数形结合思想
的应用．
（1）根据函数图象解答即可；
（2）根据已知条件即可求得y 与x之间的函数关系式；进而画出函数图象，观察图象，分段求出哪种方
A
式上网学习合算即可．
【详解】（1）解：由图象可得，m=8，n=40；
故答案为：8；40
（2）解：根据题意，得
套餐A的月使用费为5元，包时上网时间为20h，
∴当0≤x≤20时，，y =5．
A
当x>20时，y =5+0.6(x−20)=0.6x−7．
A综上所述，y
A
与x之间的函数关系式为 y
A
= {
0.6
5(
x
0
−
≤
7
x
(
≤
x
2
>
0
2
)
0)
)
在图中画出函数图象如图所示：
∵y =8 0.6x−7=8
A
时， ，
解得x=25．
①当0<x<25时，选择A套餐上网学习省钱；
②当x=25时，选择两种套餐上网学习同样省钱；
③当x>25时，选择B套餐上网学习省钱．
8．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）为了吸引顾客，某游乐园推出了以下两种游玩活动方案．
方案一：不购买会员卡，每小时收费a元．
方案二：购买会员卡，卡费为200元/张，另外每小时收费5元．
设游玩时间为x小时，按照方案一所需费用为y 元，其关系图象经过点(2,60)，如图所示；按照方案二所需
1
费用为y 元，x与y 的部分对应值如表所示．
2 2
x … 0 b 8 …
y … 200 210 c …
2
(1)请直接写出表中b，c的值，并在图中画出y 的函数图象；
2(2)分别求出y ，y 与x之间的函数表达式；
1 2
(3)若从费用的角度出发，针对不同的游玩时长，你会怎样向朋友推荐这两个方案？
【答案】(1)b=2，c=240，图见解析；
(2)y =30x，y =5x+200
1 2
(3)若游玩时间不足8小时，选择方案一更省钱；若游玩时间正好为8小时，两个方案费用相同，任选一个即
可；若游玩时间超过8小时，选择方案二更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用，根据方案分别写出y ，y 与x之间的函数表达式是解题的关键．
1 2
（1）根据方案二计算并描点作图即可；
（2）将坐标(2，60)代入y =ax，求出a的值，从而求出y 与x之间的函数表达式，根据方案二求出y 与x
1 1 2
之间的函数表达式即可；
（3）求出两图象交点的横坐标，根据图象，比较y ，y 的值即可．
1 2
【详解】（1）200+5b=210，解得b=2，
200+5×8=240(元)，
∴c=240，
y 的函数图象如图所示：
2
（2）y =ax，
1
将坐标(2，60)代入y =ax，
1
得2a=60，
解得a=30，
∴y 与x之间的函数表达式y =30x，
1 1
y 与x之间的函数表达式为y =5x+200．
2 2
（3）当y = y 时，得30x=5x+200，
1 2解得x=8，
根据图象，若游玩时间不足8小时，选择方案一更省钱；若游玩时间正好为8小时，两个方案费用相同，任
选一个即可；若游玩时间超过8小时，选择方案二更省钱．
9．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1200吨，现要把这些物资
全部运往A，B两地，A地需要物资1300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙库把物资运往A，B两地的运
费单价如下表：
A地（元/吨） B地（元/吨）
甲仓库 12 15
乙仓库 10 18
(1)设甲仓库运往A地x吨物资，直接写出总运费y（元）关于x（吨）的函数解析式（不需要写出自变量的
取值范围）；
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【答案】(1)y=5x+23200
(2)甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最省，最省的总运费是23700元
【分析】本题考查一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
（1）设甲仓库运往A地物资x吨，则甲仓库运往B地物资(800−x)吨，乙仓库运往A地物资(1300−x)吨，
乙仓库运往B地物资700−(800−x)=(x−100)吨，故
y=12x+15(800−x)+10(1300−x)+18(x−100)=5x+23200；
（2）由题意知求出100≤x≤800，再结合（1）由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设甲仓库运往A地物资x吨，则甲仓库运往B地物资(800−x)吨，乙仓库运往A地物资
(1300−x)吨，乙仓库运往B地物资700−(800−x)=(x−100)吨，
∴y=12x+15(800−x)+10(1300−x)+18(x−100)=5x+23200，
∴总运费y关于x的函数表达式为y=5x+23200；
x≥0
{ )
800−x≥0
（2）解：由题意知， ，
1300−x≥0
x−100≥0
解得：100≤x≤800，
∵在y=5x+23200中，5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=100时，y取最小值，最小值为5×100+23200=23700(元)，答：甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最省，最省的总运费是23700元．
1．（24-25八年级下·福建厦门·期末）综合实践小组模拟“刻漏”原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的
容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了简易计时装置如图所示，现需要在甲容器外壁标
记刻度，以便通过刻度直接读取时间．
为此，综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔
10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
记录时间 8:00 8:10 8:20 8:30
流水时间t/min 0 10 20 30
水面高度ℎ/cm（观察值） 30 29 28.1 27
其中“t=0，ℎ =30”是初始状态下的准确数据，后续数据测量可能存在误差．
任务1利用“t=0，ℎ =30；t=10，ℎ =29”这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
任务2利用任务1所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为15cm时是几点钟？
经检验，发现有一组表中观察值不满足原任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，
减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与
对应h的观察值之差的绝对值之和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3确定经过(0,30)的一次函数解析式，使得w的值最小．
【答案】任务1：ℎ =−0.1t+30；任务2：10:30；任务3：ℎ =−0.1t+30
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键；
任务1：先判断是一次函数，再利用待定系数法求解即可；
任务2：把ℎ =15代入函数关系式求出t，再进一步求解即可；
任务3：设经过(0,30)的函数解析式为ℎ =at+30，根据题意得到w关于a的绝对值式子，再分类讨论求解．
【详解】解：任务1：由表中数据可得：约过10分钟，水面高度h减少约1cm，
所以水面高度h是流水时间t的一次函数，设ℎ =kt+b，
把t=0，ℎ =30；t=10，ℎ =29代入，得
{ b=30 ) {k=−0.1)
，解得 ，
10k+b=29 b=30
∴水面高度h与流水时间t的函数关系式是ℎ =−0.1t+30；
任务2：当水面高度为15cm时，即ℎ =15，15=−0.1t+30，
解得t=150，
150分钟=2.5小时，
∴当甲容器中的水面高度为15cm时是8+2.5=10.5小时，即10:30；
任务3：
设经过(0,30)的函数解析式为ℎ =at+30，
则w=|30−30)+|10a+30−29)+|20a+30−28.1)+|30a+30−27)
=|10a+1)+|20a+1.9)+|30a+3)
=4|10a+1)+|20a+1.9)
当a<−0.1时，w=−40a−4−20a−1.9=−60a−5.9>0.1，
当−0.1≤a≤−0.095时，w=40a+4−20a−1.9=20a+2.1，
则当a=−0.1时，w =0.1，
最小
当a>−0.095时，w=40a+4+20a+1.9=60a+5.9>0.2，
综上，当a=−0.1时，w最小，此时函数的解析式是ℎ =−0.1t+30．
2．（24-25八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系xOy中，点P(x,y)的“友好点”的坐标定义如下：
当x≥0时，Q点坐标为(x,−y)；当x<0时，Q点坐标为(x,y+2)．
(1)点A(1,2)的“友好点”坐标是________，点B(−2,1)的“友好点”坐标是________．
(2)已知点C(m,4)的“友好点”在一次函数y=−2x+3的图象上，求m的值．
1
(3)已知点P在直线y= x+b上，且点P的“友好点”为点Q．
2
①当b=−1时，设点P的横坐标为n，当−2≤n≤3时，求点Q纵坐标的最大值与最小值．
②已知点E(−2,2)，F(4,2)，G(4,−2)，H(−2,−2)，以这四个点为顶点构造矩形EFGH，设所有的点
P的“友好点”点Q组成一个新的图形，记作图形G．当图形G与矩形EFGH有两个公共点时，直接写出
b的取值范围．
【答案】(1)(1,−2)；(−2,3)7 3
(2)m= 或m=−
2 2
1
(3)①点Q纵坐标的最小值是− ，最大值是1；②−2<b≤0或b=1
2
【分析】（1）根据友好点的坐标定义进行求解即可；
（2）分两种情况：当m≥0时，当m<0时，结合定义进行求解即可；
( 1 )
（3）①根据点P的横坐标为n，求出点P的坐标为： n, n−1 ，分两种情况：当−2≤n<0时，当
2
0≤n≤3时，分别求出点Q纵坐标的取值范围，然后找出最大值和最小值即可；
1 1
②先求出点Q在点Q在直线y=− x−b(x≥0)上或点Q在直线y= x+b+2(x<0)上，然后画出图形，
2 2
根据图象写出b的取值范围即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：点A(1,2)的“友好点”坐标是(1,−2)，点B(−2,1)的“友好点”坐标
是(−2,3)；
（2）解：当m≥0时，点C(m,4)的“友好点”为(m,−4)，
∵点C(m,4)的“友好点”在一次函数y=−2x+3的图象上，
∴−2m+3=−4，
7
解得：m= ；
2
当m<0时，点C(m,4)的“友好点”为(m,6)，
∵点C(m,4)的“友好点”在一次函数y=−2x+3的图象上，
∴−2m+3=6，
3
解得：m=− ；
2
7 3
综上分析可知：m= 或m=− ；
2 2
1
（3）解：①当b=−1时，一次函数解析式为y= x−1，
2
∵点P的横坐标为：n，
( 1 )
∴点P的坐标为： n, n−1 ，
2
∵点P的“友好点”为点Q，
( 1 )
∴当−2≤n<0时，点Q的坐标为 n, n+1 ，
21
此时点Q纵坐标的取值范围是0≤ n+1<1；
2
( 1 )
当0≤n≤3时，点Q的坐标为 n,− n+1 ，
2
1 1
此时点Q纵坐标的取值范围是− ≤− n+1≤1；
2 2
1
综上分析可知：点Q纵坐标的最小值为− ，最大值为1；
2
( 1 )
②设点P的坐标为 x, x+b ，
2
( 1 )
当x≥0时，Q x,− x−b ，
2
1
∴此时点Q在直线y=− x−b(x≥0)上；
2
( 1 )
当x<0时，Q x, x+b+2 ，
2
1
∴此时点Q在直线y= x+b+2(x<0)上；
2
1 1
把F(4,2)代入y=− x−b得：2=− ×4−b，解得：b=−4，
2 2
1
把(0,2)代入y=− x−b得：b=−2，
2
1
把(0,−2)代入y=− x−b得：b=2，
2
1
∴当−2<b≤2时，直线y=− x−b(x≥0)与矩形EFGH有一个交点，当−4<b≤−2时，直线
2
1
y=− x−b(x≥0)与矩形EFGH有两个交点；
2
1 1
把E(−2,2)代入y= x+b+2得：2= ×(−2)+b，
2 2
解得：b=1，
1
把(0,2)代入y= x+b+2得：b=0，
2
1
把(0,−2)代入y= x+b+2得：b=−4，
21
∴当−4<b≤0或b=1时，直线y= x+b+2(x<0)与矩形EFGH有一个交点，当0<b<1时，直线
2
1
y= x+b+2(x<0)与矩形EFGH有两个交点；
2
综上分析可知：当−2<b≤0或b=1时，图形G与矩形EFGH有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，一次函数的图形和性质，坐标与图形，解题的关键是数形结合，注
意进行分类讨论．
3．（2025·浙江金华·三模）某工厂员工生产一款零件，员工的日工资结算方案如下：
方案一：基本工资每天20元，每生产一个零件加计2元．
方案二：当生产数量不超过100个时，发基本工资每天100元，每超过一个加计4元．如图所示是日工资y
(元)关于生产数量x(个)的函数图象，
(1)求x>100时，方案二的日工资y(元)关于生产数量x(个)的函数表达式；
(2)甲员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，求甲员工生产的零件个数的范围；
(3)乙员工发现他选择方案一所得的工资比选择方案二所得的工资少20元，则乙员工生产了多少个零件？
【答案】(1)y=4x−300
(2)40<x<160
(3)这位员工生产了30或170个零件
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用等知识，根据题意求出函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；（2）根据图象先求出工资一致的两个生产数量的值，再根据图象可知当生产数量介于这两个数值之间时，
方案一所得的工资比选择方案二所得的工资高，从而得解；
（3）分当0<x≤100时，当x>100时两种情况，列出方程求解即可．
【详解】（1）设函数表达式为y=kx+b，k≠0
∵每超过一个加计4元，
∴k=4
把(100，100)代入y=4x+b
解得b=−300
函数表达式为y=4x−300
（2）方案一的日工资y(元)关于生产数量x(个)的函数表达式为y=2x+20
令100=2x+20，解得x=40
又令4x−300=2x+20，解得x=160
由图象可得40<x<160时，方案一的工资比选择方案二的工资多
（3）当0<x≤100时，依题意得：100−20=2x+20，
解得x=30
当x>100时，依题意得：4x−300−20=2x+20，
解得x=170
综上所述：这位员工生产了30或170个零件
