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4.4 一次函数的应用
课堂知识梳理
先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为
待定系数法．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．
在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以
设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式
解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是
一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要
的结果．
一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程kx+b=0的解.
从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1.一条公路旁依次有 、 、 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从 村、 村同时出发前往 村，甲乙
之间的距离 与骑行时间 之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（ ）A．甲每小时比乙多骑行 B．出发 后两人相遇
C． ， 两村相距 D．相遇后，乙又骑了 或 时两人相距
2.物理课上小刚在探究弹簧测力计的“弹簧的长度与受到的拉力之间的关系”时，在弹簧的弹性限度内，
通过实验获得下面的一组数据．在弹簧的弹性限度内，若拉力为7.5N，则弹簧长度为（ ）
拉力/N 0 1 2 3 4 5 6
弹簧长度/cm 10.0 12.0 14.0 16.0 18.0 20.0 22.0
A．24cm B．25cm C．25.5cm D．26cm
3.嘉嘉在超市购买橙子所付金额y（元）与一次性购买质量x（千克）之间的函数图像，如图所示，若一次
性购买6千克橙子，则所付金额为（ ）A．24元 B．28元 C．30元 D．32元
4．小苏现已存款180元．为赞助“希望工程”，她计划今后每月存款10元，则存款总金额 （元）与时
间 （月）之间的关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．某生物小组观察一植物生长，得到的植物高度y（单位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并
画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行于x轴）．下列说法正确的是（ ）
①该植物开始的高度为6厘米；
②直线AC的函数表达式为 ；
③第40天，该植物的高度为14厘米；
④该植物最高为15厘米；
⑤该植物的高度随时间的增加而增高．
A．①②③ B．②④ C．②③⑤ D．①②③④
6. ， 两地相距120km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图， ， 分别表示两人离
地的距离 （km）与时间 （h）之间的关系，则当甲到达 地时，乙距离 地（ ）A．56km B．60km C．80km D．40km
7.一台饮水机盛满20升水，打开阀门每分钟可流出0.5升水，饮水机中剩余水量y（升）与打开阀门时间x
（分）之间的关系是________．
8．直线 过点 ，则 值为______．
9.已知一次函数 的图象经过点 ，与x轴的交点为B，若 ，则这个一次函数的
解析式为______．
10．某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段 为苹果日销售量 （千克）与苹果售价 （元）的
函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销
售苹果的盈利是_____元．
11．若一次函数y＝kx+2的图象，y随x的增大而增大，并与x轴、y轴所围成的三角形的面积为2，则k＝
_____．
12．小李新买了一部手机，同时想选择一种新套餐．获悉某通信公司新开发了甲、乙两种手机话费套餐，
其每月通话费用与通话时间之间的关系如图所示．若平时小李每月的通话时间大约在120分钟，请你帮忙
选择一下，小李选择______种套餐合适．
13.如图1，正方形ABCD的边长为4，动点P从正方形边上A开始，沿A→B→C→D的路径移动，设P点
经过的路径长为x，设点A、P、D所围成的△APD的面积是y，则y与x的函数关系图象如图2所示，则其中MN所在的直线关系式为____________．
14．如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且
AB:AD=1:3，则k的值为__________．
15．已知点 及在第一象限的动点 ，且 ， 的面积为 求：
(1) 关于 的函数表达式：______．
(2)直接写出 的取值范围为______；
(3)当 时，求点 的坐标．
16．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，下图是试验阶段的某天
恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示
恒温系统开启后阶段，曲线部分CD表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y与时间x（ ）的函数关系式；
(2)求恒温系统设定的恒定温度；
(3)若大棚内的温度低于10℃，蔬菜会受到伤害，若图中E点的坐标为（20，10），请问这天内，恒温系统
最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？请简要说明理由．
17.一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货车到
达乙地后停止．如图所示的图象分别表示货车、轿车离甲地距离 与轿车行驶时间 的关系．
(1)求轿车在返回甲地过程中的速度；
(2)当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，求相遇处离甲地的距离．18．暑假期间，两位家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社．经
协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按照七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、
学生都按照八折收费．
(1)设参加旅游的学生有 人，甲、乙旅行社的总价分别为 ， 元，请列出 ， 关于 的函数关系式；
（不用写出自变量的取值范围）
(2)他们应该选择哪家旅行社？
培优第二阶——拓展培优练
19．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地．乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达
B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车
之间的距离y（km）与甲车行驶的时间x（h）的函数关系的图象，则
（1） ___________________．
（2） ___________________．
20．如图，将正方形 置于平面直角坐标系中，其中 ， ， 边在 轴上，直线
与正方形 的边有两个交点 、 ，当 时， 的取值范围是__．21．我市某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，A种户型每套成本和售价分别为90万元
和102万元，B种户型每套成本和售价分别为60万元和70万元，设计划建A户型x套，所建户型全部售出
后获得的总利润为W万元．
(1)求W与x之间的函数解析式；
(2)该公司所建房资金不少于5700万元，且所筹资金全部用于建房，若A户型不超过32套，则该公司有哪
几种建房方案？
(3)在（2）的前提下，根据国家房地产政策，公司计划每套A户型住房的售价降低a万元（0＜a≤3），B户
型住房的售价不变，且预计所建的两种住房全部售出，求该公司获得最大利润的方案．
22．甲、乙两车分别从相距360km的富区、哈市两地出发，匀速行驶，先相向而行，乙车在甲车出发1h
后出发，到达富区后停止行驶，甲车到达哈市后，立即按原路原速返回富区（甲车调头的时间忽略不计），
甲、乙两车距哈市的路程 （单位：km）， （单位：km）与甲车出发时间x（单位：h）之间的函数图
象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)乙车的行驶速度是______， ______；乙车距哈市的路程 与甲车出发时间x之间的函数解析式是
______（不写自变量的取值范围）
(2)甲车与乙车第一次相遇时，距离富区的路程是多少千米？(3)甲车出发多少小时后两车相距为100km？请直接写出答案．
23．对于平面直角坐标系 中的图形 ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为图形 上任
意一点，如果 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 间的“距离”，记作 ．
特别的，当图形 有公共点时，记作 ．一次函数 的图像为 ， 与 轴交点为
，在 中， ．
(1)求 （点 ， ）=________；当 时，求 =_________．
(2)若 ，直接写出 的取值范围_________．
(3)函数 的图像记为 ，若 ，则 的取值范围是_________．
培优第三阶——中考沙场点兵24．（2022·山东烟台·中考真题）周末，父子二人在一段笔直的跑道上练习竞走，两人分别从跑道两端开
始往返练习．在同一直角坐标系中，父子二人离同一端的距离s（米）与时间t（秒）的关系图像如图所示．
若不计转向时间，按照这一速度练习20分钟，迎面相遇的次数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
25．（2022·四川德阳·中考真题）如图，已知点 ， ，直线 经过点 ．试探
究：直线与线段 有交点时 的变化情况，猜想 的取值范围是______．
26．（2021·山东济南·中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了
漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时
工具模型，研究中发现水位 是时间 的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个
的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当 为 时，对应的时间 为__________ ．
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …27．（2022·黑龙江·中考真题）为抗击疫情，支援B市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市．甲、
乙两辆货车从A市出发前往B市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市．甲车卸载蔬
菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市．乙车维修完毕后立
即返回A市．两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）之间的函数图象如图所示．
(1)甲车速度是_______km/h，乙车出发时速度是_______km/h；
(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（h）的函数解析式（不要求写出自变
量的取值范围）；
(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km？请直接写出答案．
28．（2022·浙江丽水·中考真题）因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一
辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 ，货车行驶时的速度是 ．两
车离甲地的路程 与时间 的函数图象如图．(1)求出a的值；
(2)求轿车离甲地的路程 与时间 的函数表达式；
(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地？
29．（2022·天津·中考真题）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓 ，超市离学生公寓 ，小
琪从学生公寓出发，匀速步行了 到阅览室；在阅览室停留 后，匀速步行了 到超市；在
超市停留 后，匀速骑行了 返回学生公寓．给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离
与离开学生公寓的时间 之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
5
离开学生公寓的时间/ 5 8 87 112
0
离学生公寓的距离/ 0.5 1.6
(2)填空：①阅览室到超市的距离为___________ ；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为___________ ；
③当小琪离学生公寓的距离为 时，他离开学生公寓的时间为___________ ．
(3)当 时，请直接写出y关于x的函数解析式．
