文档内容
专题 17 解三角形
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、基本定理公式
（1）正余弦定理：在 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为 ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
△ △
；
公式 ；
．
（1） ， ， ； ；
常见变形
（2） ， ， ； ；
．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
二、相关应用
（1）正弦定理的应用边化角，角化边
大边对大角 大角对大边
①
②
合分比：
③（2） 内角和定理：
①同理有： ， ．
；
②
斜三角形中，
③
；
④
在 中，内角 成等差数列 ．
三、实际应用
⑤
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图
）．
①
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图 ）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
②
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图 ）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
③
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图 ，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图 ，i为坡度）．坡度又称为坡比．
④
解题方法总结
④
1、方法技巧：解三角形多解情况
在 ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
△
图形关系式
解的个
一解 两解 一解 一解 无解
数
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答
案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 ．
3、三角形中的射影定理
在 中， ； ； ．
高考中判定三角形的形状及求周长、面积等问题多用正弦、余弦定理来解决，难度中等，选择题、
填空题、解答题中均有出现。
一、利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a 2，c ，cosA .
(1)求sinC和b的值 ；
△
(2)求 的值.
答案 (1) ，1
(2)
分析 （1）由 ，代入即得解 ，利用 可得 ，再利用正弦定
理可得解 ；
（2）先求解 ，利用两角和的余弦公式展开，即得解.
解析 （1）因为 ，
且 ， ，
所以 ；因为 ，且 ，
所以
又 ，
解得 ；
（2）因为 ，
，
所以
方法归纳： 解三角形问题的技巧
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦
或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对
角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
二、正弦定理、余弦定理的简单应用
命题点1 三角形形状判断
例2 在 中，角 的对边分别是 ，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
答案 C
分析 由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
解析 由正弦定理可得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 .
故选：C.
方法归纳： 判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这
个结论．
命题点2 三角形的面积例3 已知 的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角C的大小：
(2)若 ，求 的面积．
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；
（2）由 和余弦定理可得 ，再次利用余弦定理求出a、b，结合三角形的面积公式
计算即可求解.
解析 （1） ，
由正弦定理得 ，
即 ，
得 ，
即 ，又 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
由余弦定理得 ，得 ，
所以 ，又 ，
所以 .
由（1）知， ，
由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，由 ，解得 ，
所以 ，故 .
方法归纳： 三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ absin C＝ acsin B＝ bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
命题点3 与平面几何有关的问题例4 如图所示，在梯形 中， ， ，点 是 上一点，
， 的面积为 ，则 的长为（ ）
A． B． C．8 D．
答案 A
分析 设 ，求得 ，得到方程 ，再由 的
面积为 ，得到 ，联立方程组，求得 的值，即可求解.
解析 由题意，设 ，则 ，
可得 ，整理得 ，
又由 ，即 ，
联立可得 ，联立方程组 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
方法归纳： 平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转
化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如
边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，
若研究最值，常使用函数思想．
三、解三角形的应用举例
命题点1 距离问题
例5 为了测量 、 两岛屿之间的距离，一艘测量船在 处观测， 、 分别在 处的北偏西 、北
偏东 方向．再往正东方向行驶48海里至 处，观测 在 处的正北方向， 在 处的北偏西 方
向，则 、 两岛屿之间的距离为（ ）
A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里
答案 D分析 画出图形，由题意可知 ， ， ，在 中，利用正弦定理求出
，再由 为等腰直角三角形，求出 ，再在 中利用余弦定理可求得结果.
解析 根据题意画出图形，如图所示：
由题意知 ， ， ，所以 ，
在 中，由正弦定理得： 解得 ，
又 ， ，所以 ， ，
又 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得 ，所以 、 两岛屿之间的距离为 海里．
故选：D．
命题点2 高度问题
例6 如图，为测量山高MN，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点，从 点测得 点的仰角
点的仰角 以及 ；从 点测得 .已知山高 ，
则山高 （ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 在 中计算 ，然后在 中计算 ，最后在 中计算出 即可.
解析 根据题意， ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
在 中， .故选：B
命题点3 角度问题
例7 《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远
流
长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇
形，在圆弧的两个端点 ， 处分别作切线相交于点 ，测得切线 ， ，
，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（ ）
A．0.62 B．0.56 C． D．
答案 A
分析 由图形可知 ，由余弦定理求出 ，可得 .
解析 由题意， ，所以 ，
切线 ， ，由切线长定理，不妨取 ，
又 ，由余弦定理，
有 ，
.
故选：A
四、解三角形中的最值和范围问题
例8 在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 bsin C＋ccos B＝a.
(1)若a＝2△，b＝ ，求 ABC的面积；
(2)若c＝2，求 ABC周长的取值范围．
△
△
解 (1) bsin C＋ccos B＝a，
∵
sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin A，
∴sin Bsin C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，
∴
sin Bsin C＋sin Ccos B
＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴
sin Bsin C＝sin Bcos C，
∴
sin B≠0， sin C＝cos C，
又易知cos C≠0，
∵ ∴
tan C＝ ，
0c＝2，
∴
2
