文档内容
4．4．1 一次函数的应用（第 1 课时） 教学设计
1.教学内容
本节课是北师大版2024八年级上册第四章《一次函数》的4.4.1一次函数的应用（确定一次函数的解
析式），核心内容包括：回顾正比例函数与一次函数的解析式和图象特征，通过实际情境（物体斜坡下滑、
弹簧长度与物体质量关系）和图象，学习用待定系数法确定正比例函数、一次函数的表达式，并运用表达
式解决简单实际问题。
2.内容解析
本节课是一次函数知识的关键应用环节，承接之前对一次函数图象和性质的学习，转向“由形求数”
“由实际情境求表达式”的逆向问题。其核心是待定系数法，该方法是求函数表达式的基本方法，也是后
续学习二次函数、反比例函数表达式的基础。通过本节课，学生能进一步体会数形结合思想，建立“已知
条件→设表达式→列方程→求解→应用”的逻辑链条，为解决更复杂的函数实际问题奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 明确确定正比例函数、一次函数表达式所需的条件（正
比例函数需1个条件，一次函数需2个条件）； 掌握用待定系数法求一次函数表达式的“设、列、解、
代”四步流程。
1.教学目标
（1）能根据图象或实际情境确定正比例函数、一次函数的表达式，明确确定两种函数表达式所需的
条件。
（2）掌握用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤，并能运用表达式解决简单实际问题（如求特
定自变量对应的函数值、特定函数值对应的自变量）。
（3）进一步体会数形结合思想，发展数学应用意识和逻辑推理能力。
2.目标解析
（1）达成“确定表达式”目标：学生能识别正比例函数（过原点）、一次函数的图象特征，从图象
中提取关键点坐标（如（2,5）、（0,14.5）），或从实际情境中获取自变量与函数的对应值，进而代入函
数解析式求出未知系数。
（2）达成“掌握待定系数法”目标：学生能完整叙述“设→列→解→代”四步流程，针对具体问题
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1（如已知两点求一次函数），独立完成设表达式、列方程组、解方程组、写最终表达式的过程。
（3） 达成“思想与能力”目标：学生在解决“由图象求表达式”“由表达式求图象上的点”问题
时，能主动关联“数”（表达式）与“形”（图象）；在解决弹簧长度、物体速度等实际问题时，能将实
际问题转化为数学问题，提升应用能力。
学生已有知识与掌握情况
1. 知识基础：学生已学习正比例函数和一次函数的定义、解析式，知道正比例函数图象是过原点的
直线，一次函数图象是直线，掌握了“两点法”画一次函数图象。
2. 能力基础：学生具备基础的图象观察能力，能从简单图象中读取点的坐标（如（0,2）、
（1,3）），但对“图象特征与函数性质的关联”理解不够深入；具备初步的数学应用意识，但将实际情境
转化为数学模型的能力较弱。
预估教学困难
1. 逆向思维障碍：习惯“已知表达式画图象”，对“已知图象/情境求表达式”的逆向问题无从下手，
想不到“设表达式→代入求系数”的思路。
2. 条件提取不精准：从图象中读取坐标时（如例3中直线过（-2,0）和（0,3）），易因坐标轴刻度理
解错误导致坐标读错；从实际情境中（如弹簧问题），易遗漏“不挂物体时长度=14.5cm”（即 时 ）
的隐含条件。
3. 待定系数法步骤不完整：易跳过“设表达式时注明 ”“解方程组后代回验证”等细节，或解方程
组时计算出错（如求 时算错结果）。
解决办法
1. 从学生熟悉的“两点法画直线”切入，通过“逆向提问”（“两点确定一条直线，那已知直线上两
点，能求表达式吗？”）引导思考； 先从正比例函数（仅需1个条件）入手，降低难度，再过渡到一次函
数（需2个条件），逐步突破逆向思维。
2. 展示图象时，用彩色笔标注关键点，明确坐标轴的横纵轴含义（如“横轴是时间 ，纵轴是速
度 ”），引导学生按“先横轴后纵轴”的顺序读坐标； 2. 分析实际情境时，用“圈画关键词”的方式
（如圈出“不挂物体时长14.5cm”“挂3kg时长16cm”），帮助学生提取显性条件，同时提问“不挂物
体时，物体质量 是多少？”，引导发现隐含条件。
3. 板书待定系数法步骤时，用“红笔标注注意事项”，强调“ 是一次函数的关键”；
基于以上分析，确定本节课的教学难点为： 从图象或实际情境中准确提取条件（如关键点坐标、自
变量与函数的对应值）；运用一次函数表达式解决简单实际问题（如求特定自变量的函数值、判断点是否
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2在函数图象上）。
函数 解析式 图象
正比例函数 y＝kx (k 是常数，k ≠0) 一条过__原__点的_直__线
一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 一条_直__线
提问引导：“我们用‘两点法’画一次函数图象，因为‘两点确定一条直线’。那反过
来，如果已知一次函数的图象经过两个点，能求出它的解析式吗？这就是我们今天要学的内
容——确定一次函数的表达式。”（板书课题）
（设计意图：通过表格快速唤醒旧知，强化“正比例函数过原点”“一次函数图象是直线”的关键特征；
用“逆向提问”自然衔接新旧知识，激发学生探究兴趣，为新知学习铺垫。）
（教学建议：若学生填空时忘记“正比例函数过原点”，可展示正比例函数图象（如 y=2x），引导观察
“图象是否经过（0,0）”，通过“形”强化“数”的特征。）
探究一 确定正比例函数的表达式
呈现情境与图象：“某物体沿斜坡下滑，速度v(m/s)与时间t(s)的关系图象是过原点的射线，且经过
点（2,5）。”（展示图象，用彩色笔标注（2,5））
问题：从图象中你能得到什么条件？
过原点的射线 正比例函数的表达式v＝kt
(1)请写出v与t的关系式；
解析：由图象可知，v 是 t 的正比例函数， 设v=kt（k≠0），直线过（2,5），
则得5=2k， 故 k=2.5 ，
v 与 t之间的关系式为 v = 2.5t
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3(2)下滑3s时物体的速度是多少？
解析：当t=3时，v=2.5×3=7.5 (m/s).
所以下滑3 s时物体的速度是7.5 m/s.
总结：（1）“确定正比例函数表达式需要几个条件？”（1个，除原点外的一组对应值或一个图象上
的点）。
（设计意图：从简单的正比例函数入手，通过具体情境和图象，让学生初步感知“代入对应值求系
数”的思路，为后续一次函数的探究降低难度，同时强化“数形结合”思想。）
(教学建议：若学生对“v=kt中k的含义”（速度随时间的变化率）有疑问，可简单解释“k=2.5表示
每经过1s，速度增加2.5m/s”，但不深入拓展，避免偏离“求表达式”的核心。
- 让学生自主完成“求下滑3s时的速度”，并找1名学生板演，重点检查“代入计算”的准确性.）
探究二 确定一次函数的表达式(待定系数法）
在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不
挂物体时长 14.5 cm；当所 挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm。
（1）请写出 y 与 x 之间的关系式，
（2）求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度。
解析：（1）设 y＝kx＋b(k≠0) 第一步：设一次函数表达式
由题意得：14.5＝b,
16＝3k＋b， 第二步：列方程
得：b＝14.5 ； k＝0.5。 第三步：解方程
所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5。第四步：代回表达式
（2）当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。
故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 16.5 cm。
思考与交流
用待定系数法确定一次函数关系式的一般步骤是什么？
（1）设：设一次函数关系式，如y=kx+b(k≠0)；
（2）列：把已知自变量与函数的两对对应值代入表达式，列出关于k、b的方程；
（3）解：解两个方程，求出k，b的值；
（4）代：将k，b值代回写出表达式。
（设计意图：通过“弹簧问题”这一贴近生活的情境，让学生感受一次函数的实际应用；通过小组讨
论和教师引导，自主梳理待定系数法步骤，突破“列方程组”“解方程组”的关键环节，强化逻辑推理能
力。）
（教学建议：若小组讨论时思路混乱，教师可提示“一次函数有两个未知系数k和b，需要几个方程
才能解出两个未知数？”（2个），引导学生寻找“两组对应值”。解方程组时，强调“代入消元法”的
应用（如将b=14.5代入3k+b=16），避免学生因方法不当导致计算错误。）
典例分析
例1：已知一次函数y=kx+b 的图象经过(0,2),(1,3)两点.
(1)求这个一次函数的表达式；
解：由题意得 ： b=2， k+b =3，
故 k=1；
那么一次函数的表达式为 y=x+2。
(2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为A(a，0),求a的值。
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4解：(2)由题可知，点A(a,0)在一次函数y=x+2的图象上，
所以 0 = a+2，
那么得出 a=-2。
例3：如图，直线l是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象。
求：(1)直线l对应的函数表达式； (2)当y＝2时，x的值。
(1) 由图可知，直线l经过点(－2，0)和点(0，3)，
将其坐标代入一次函数表达式y＝kx＋b，得到－2k＋b＝0，b＝3.
解得k＝ 3/2 ，则直线l对应的函数表达式为y＝3/2x＋3.
(2) 当y＝2时，有2＝3/2x＋3.解得x＝－3/2 。
（设计意图：通过典例覆盖本节课核心题型（已知两点求一次函数、求函数与坐标轴交点、已知函数值求
自变量），让学生在实践中熟练待定系数法，同时强化“图象与表达式的关联”。.）
（教学建议：例1中，若学生未发现“（0,2）是y轴交点，直接得b=2”，教师可提示“当x=0时，y=b，
所以y轴交点的纵坐标就是b”，帮助学生总结简便方法。例2中，引导学生规范解方程步骤．）
1.如右图，直线l是某正比例函数的图象，点A（-4，12）、B（3，-9）是否在该函数的图象上？
解：设直线l的解析式为y=kx（k≠0），
由于直线过点（-1，3），故 3=-k，解得k=-3，
那么直线l的解析式为y=-3x．
当x=-4时，y=-3×（-4）=12；当x=3时，y=-3×3=-9；
所以点A（-4，12），B（3，-9）都在该函数的图象上．
2.如果一个正比例函数的图象经过点A（2，－1），那么这个正比例函数的解析式为（ D ）
1 1
A．y =2x B．y=－2x C．y= x D．y=− x
2 2
3.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
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(1)b= 2 , k= -2/ 3 ;(2)当x=30时，y= -1 8 ; (3)当y=30时，x= -4 2 .
4.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
解：根据题意，设 y＋2＝kx.
把 x＝5，y＝3 代入，得 3＋2＝5k，解得 k＝1.
所以 y＋2＝x，
即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x－2.
（2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？
把 x＝－1 代入 y＝x－2，得 y＝－3.
（3）当 y＝4 时，x 的值是多少？
把 y＝4 代入 y＝x－2，得 4＝x－2,解得 x＝6.
设计意图：通过基础题检验学生对知识点的掌握程度，题目1强化“正比例函数表达式
与点的关系”，题目2拓展“变式正比例函数”（y+2与x成正比例），提升学生的灵活应用
能力。
设计意图：通过学生自主梳理，构建本节课的知识框架，强化核心知识点和方法，让学生明确知识的
逻辑脉络和应用价值.
1.必做题：习题4.4 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题4.4 第7题.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 64.4.1确定一次函数的表达式
1. 正比例函数的表达式：需知道除原点（0,0）外的一个点的坐标；或自变量与函数的一对对应值.
2. 一次函数的表达式：需知道两个点的坐标；或自变量与函数的两对对应值.
待定系数法：
（1）设：设一次函数表达式(注意说明k≠0)；
（2）列：根据已知条件列出关于k、b的方程；
（3）解：解方程，求出k、b的值；
（4）写：将求出的k，b值代入关系式中.
3. 核心思想： 数形结合
4. 例题区：（学生板演区域）
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