文档内容
专题 15 立体几何解答题全归类
目 录
01 非常规空间几何体为载体................................................................................................................1
02 立体几何探索性问题.......................................................................................................................8
03 立体几何折叠问题.........................................................................................................................18
04 立体几何作图问题.........................................................................................................................25
05 立体几何建系繁琐问题.................................................................................................................33
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题.......................................................................................43
07 利用传统方法找几何关系建系......................................................................................................49
08 空间中的点不好求.........................................................................................................................57
09 创新定义........................................................................................................................................69
01 非常规空间几何体为载体
1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥 中， 为圆锥的顶点， 为底面圆圆心， 是圆
的直径， 为底面圆周上一点，四边形 是矩形．(1)若点 是 的中点，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【解析】（1） 分别是 中点，连接 ，则 ，
平面 平面 ，则 平面 ，
四边形 是矩形， ，同理有 平面 ，
又 ， 平面 ，故平面 平面 ，
又 平面 ，故 平面 .
（2）解法一：
在圆锥 中， 平面 ， 平面
则平面 平面 ，平面 平面 ，作 于点 ，连接 ，
则 面 是 在平面 上的射影， 是直线 与平面 所成的角，
在直角三角形 中， ，则 ，
平面 ，则 平面 ，
在直角三角形 中， ， ，则 ，在直角三角形 中， ，
故 ，即直线 与平面 所成角的余弦为 .
解法二：在圆锥 中， 平面 ，
在直角三角形 中， ，则 ， ，
在直角三角形 中， ，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
.2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥 中， ， ， ，
为 中点．
（1）证明 ；
（2）点 满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】证明：（1）连接 ， ，
， 为 中点．
，
又 ， ，
与 均为等边三角形，
，
， ，
平面 ，
平面 ，
．
（2）设 ，
，
， ，
，
，
又 ， ，
平面 ，
以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，， ， ， ，0， ，
，
，
， ， ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
，令 ，解得 ， ，
故 ，1， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，
则 ，
故 ，
所以二面角 的正弦值为 ．
3．（2023·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）如图，四棱台 中，上、下底面均是正方形，
且侧面是全等的等腰梯形， ，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为 ．
(1)求点A到平面 的距离；
(2)求二面角 的余弦值．
【解析】（1）取 的中点 ， 的中点K，连接 ．
因为 平面 ，线面垂直的性质知 ， ， ．
易得 ，且 ，即四边形MNKI为矩形．
所以 ，易得 为 与侧面所成的一个角．
因为MN与侧面所成角的正切值为 ，所以 ．
以点M为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ．
设平面MHG的法向量为 ，则 ，令 ，则平面MHG的一个法向量为 ，而 ，
所以点A到平面MHG的距离 ．
（2）因为 ，设面MEH的法向量为 ，则 ，
令 ，则面MEH的一个法向量为 ．
所以 ，易知二面角 的平面角为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
4．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台 中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等
的等腰梯形， ， 分别为 的中点，上下底面中心的连线 垂直于上下底面，且
与侧棱所在直线所成的角为 .
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由
【解析】（1）证明：因为 平面 ，以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线 所成的角为 ，则
， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，
所以 ∥平面 ；
（2）由（1）知， ，
所以点 到平面 的距离为 ；
（3）假设边 上存在点 满足条件， ，
则 ，设直线 与平面 所成角为 ，
由题意可得 ，
化简得 ，则 或 （舍去），
即存在点 符合题意，此时 .
02 立体几何探索性问题
5．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱 中， ， ．点 ， ， ， 分
别在棱 ， ， ， 上， ， ， ．
（1）证明： ；
（2）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：
，2， ， ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ，
，又 ， ， ， 四点不共线，；
（2）在（1）的坐标系下，可设 ，2， ， ， ，
又由（1）知 ，0， ， ，2， ， ，0， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
根据题意可得 ， ，
，
，又 ， ，
解得 或 ，
为 的中点或 的中点，
．6．（2023·北京·高三北京八中校考期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体
ABCDEF，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，其中 ， ，
， ，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF．再从条件①，条件②，
条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF能够确定，然后解答下列各题：
(1)求证： 平面CDE；
(2)求二面角 的余弦值．
(3)在线段AE上是否存在点Q，使得MQ与平面ABE所成的角的正弦值为 ，若存在，求出 的值，
若不存在，请说明理由．
条件①：平面 平面ABCD；
条件②：平面 平面ABCD；
条件③： ．
【解析】（1）等腰梯形ABCD，M是AD中点， ，又 ，
故四边形BCDM为平行四边形，故 ，
平面CDE， 平面CDE，故 平面CDE．（2）选①：连接 ， ，作 于 ，则 ， ， ，
同理可得 ， ，故 ，
平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ，
，故 ，此时 ，故 ，
如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 得到 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 得到 ；
，
所以二面角 的余弦值为 ．
选②：取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN
平面 平面ABCD，故平面 平面 ，
， 平面ADEF，故 平面ABCD， ，
如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，， ， ， ， ， ， ，
， ，
设平面BAE的一个法向量 ， ， ，
令 ，则 ， ，则
易知 是平面AEF的一个法向量，
，根据图像知二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
选③：取MD中点 ，连接 和 ，易知 ， ，
， ， ， ，故 ，
故二面角 ，故平面 平面ABCD，
取BC中点为N，EF中点为P，连接MP和MN
平面 平面ABCD，平面 平面 ， ，
平面ADEF，故 平面ABCD，故 ，
如图所示：以 为 轴建立空间直角坐标系，后续同②；
（3）若选择①：
设 ， ， ，
，
，
解得 ，均不满足题意，故不存在点Q．
若选②或者③：
设 ， ， ， ，
，解得 ，
均不满足题意，故不存在点Q．
7．（2021•甲卷）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， ， 分别为
和 的中点， 为棱 上的点， ．
（1）证明： ；
（2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小？【解析】（1）证明：连接 ，
， 分别为直三棱柱 的棱 和 的中点，且 ，
， ，
， ，
， ，
，即 ，
故以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ，
设 ，则 ，0， ，
，2， ， ，1， ，
，即 ．
（2） 平面 ， 平面 的一个法向量为 ，0， ，
由（1）知， ，1， ， ，1， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，则 ，即 ，令 ，则 ， ， ， ， ，
， ，
当 时，面 与面 所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当 时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小．
8．（2021•北京）如图，在正方体 ， 为 的中点， 交平面 交于点 ．
（Ⅰ）求证： 为 的中点；
（Ⅱ）若点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【解析】（Ⅰ）证明：连结 ，
在正方体 中， ， 平面 ， 平面 ，
则 平面 ，因为平面 平面 ，
所以 ，则 ，故 ，又因为 ，
所以四边形 为平行四边形，四边形 为平行四边形，
所以 ， ，
而点 为 的中点，所以 ，
故 ，则点 为 的中点．
另取 的中点 ，则 与 平行且相等，
进而与 平行且相等，
， ， ， 四点共面，
平面 ，
从而 与 重合， 点 为 的中点．
（Ⅱ）以点 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，设点 ，0， ，
因为二面角 的余弦值为 ，则 ，所以 ，
则 ，2， ， ，1， ， ，1， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
所以 ， ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
所以 ， ，故 ，
因为二面角 的余弦值为 ，
则 ，
解得 ，又 ，
所以 ，
故 ．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知
．(1)求证： ；
(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面 平面BCEF？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由．
【解析】（1） 平面 平面 ，平面 平面 ，
又 ， 平面 ，
面 ， 平面 ，
，
过 作 于 ，则
，
又 ， 面 ，
面 ，又 面 ，
；
（2）由（1）知 两两垂直，分别以 方向为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
，
则 ，
假设在线段BE上存在一点P，使得平面 平面BCEF
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 得
，取 得 ，
设平面BCEF的一个法向量为 ，，
，得
，取 得 ，
平面 平面BCEF
，解得 ，
，即
在线段BE上存在一点P，使得平面 平面BCEF，且 .
03 立体几何折叠问题
10．（2023·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知图①中四边形 是圆 的
内接四边形，沿 将 所在圆面翻折至如图②所示的位置，使得 .(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，求二面角 余弦值的最小值.
【解析】（1）因为四边形 是圆 的内接四边形，且 为圆的直径，所以 ，又在
中， ，所以 ，则 ，取 中点 ，连接
，又因为 ，则 ，因为 ，所以 ，因为 ，且
平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）
设 ，因为 ，所以 ，
，所以 ，由（1）可知此时 ， ， ，所以 平面
，因为 平面 ，所以平面 平面 ，以 为原点， 为 轴正半轴，建立如
图所示空间直角坐标系 ，则 ，设 ， ，则
， ， ，设平面 和平面 的法向量分别为
和 ，则 ，令 ，则 ，
，所以 ，同理可得 ，令 ，则， ，所以 ，设二面角 大小为 ，则 ，
所以
，因为 ，所以 ，
所以二面角 余弦值的最小值为 .
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， ，
， 与 交于点 ，将 沿 翻折至 ，使点 到达点 的位置.
(1)证明： ；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为 ，求三棱锥 的体积.
【解析】（1） ， ，
，
，
，
即 ， ，
， ，又 ，平面PMC， 平面PMC，
平面PMC，
∴ ；
（2）直角 中， ，
，
，
， ， ，
则
由（1） 平面PMC，
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
设 ，其中 ，
所以 ， ， ，
设平面PBD的一个法向量为 ，
则 ，
取 ， ，设平面PBC的一个法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
，
解得 ， 或 ， .
则 或
故 或 .
12．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知 是直角梯形， ， ，
，C、D分别为BF、AE的中点， ， ，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角
的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.
(1)证明： ；
(2)若M为AE上一点，且 ，则当 为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 .
【解析】（1）∵由图1得： ， ，且 ，∴在图2中 平面 ，
是二面角 的平面角，则 ，∴ 是正三角形，且N是BC的中点，
，又 平面BCF， 平面BCF，可得 ，而 ， 平面
ABCD.∴ 平面ABCD，而 平面 ，∴ .
（2）因为 平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，设
∴ ， ， , .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ ，
设平面 的法向量为
则 ，取 ，
设直线BM与平面ADE所成角为 ，
∴ ，
∴ ，∴ 或 .
13．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形 中，点 在边 上，且满足
，将 沿 向上翻折，使点 到点 的位置，构成四棱锥 .(1)若点 在线段 上，且 平面 ，试确定点 的位置；
(2)若 ，求锐二面角 的大小.
【解析】（1）点 为线段 上靠近点 的三等分点，
证明如下：
如图，
在 取点 ，连接 ， ,使得 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 .
又 平面 ， ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，所以在 中， ，所以 ，
所以点 为线段 上靠近点 的三等分点.
（2）如图，取 的中点 ，以O为原点OE为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ，所以 ，
又 ，则 ，
由题意，点P在过点O且垂直AE的平面上，故设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨取 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
记锐二面角 的平面角为 ，所以 ，
又 ，则 ，所以锐二面角 的大小为 .
04 立体几何作图问题14．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，
， ，且 .
(1)试在平面 内过点 作直线 ，使得直线 平面 ，说明作图方法，并证明：直线 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）只需要在平面 内过点 作 的平行线 ，即可使满足题意.
理由如下： 平面 ，且 平面
平面 平面
所以
又∵在平行六面体 中 ，
∴ ，得证.
（2）连接AC交BD于O，连接 ，如图，
由题意易知 ， ，在 中， ，
同理：在 中， ，
∴ 为等腰三角形，即 ，又 ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
又∵ ，∴ 平面 ，
如图建系：以 为z轴，OC为x轴，OD为y轴.
， ， ， ， ，
∵ ，∴ ， ，
易知平面 与平面 重合，则平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ，
，∴ ，
设平面 与平面 所成角的平面角为 ，.
平面 与平面 所成角的锐二面角的余弦值为 .
15．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知四棱锥 中，底面 为正方
形，O为其中心，点E为侧棱 的中点.
(1)作出过O、P两点且与 平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简
要作图过程）；记该截面与棱 的交点为M，求出比值 （直接写出答案）；
(2)若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）连接 ， ，则O为 中点，取 中点F，连接 并延长 交 于M，
连接 并延长 交 于N，连接 .
则由 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为所求截面（如图所示），此时 .（2）不妨设四棱锥的所有棱长均为2，以O为原点，过O点且分别与 、 平行的直线为x轴、y轴，
为z轴，建立如图所示空间直角坐标系（如图）.
可得 ， ， ， ， ， .
则 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知底面为平行四边形的四棱锥 中，平面 与直
线 和直线 平行，点 为 的中点，点 在 上，且 .(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求作过 作四棱锥 的截面，使 与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：
用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【解析】（1）∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形.
（2）如图，延长 ，与 交于点 ，过点 作直线 ,则直线 为平面 和平面 的交线，延
长 ，交 于点 ，连接 ，与 交于点 ，连接 .∵点 为 的中点，点 为 的中点,∴
是 的一条中位线∴ ，又∵ 平面 , 平面 ,∴ 截面 .
故平面 即为所求截面.
17．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图多面体 中，面 面 ， 为等边三角形，
四边形 为正方形， ，且 ， ， 分别为 ， 的中点.
（1）求二面角 的余弦值；（2）作平面FHG与平面ABCD的交线，记该交线与直线AB交点为P，写出 的值（不需要说明理由，
保留作图痕迹）.
【解析】（1）因为面 面 ， 为等边三角形，设 中点为 ，所以
又因为面 面 面FAB，则 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 方向为 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为 ，则
则 ， ， ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为
则 取 得 ，所以
设平面 的一个法向量为
则 取 得 ，所以所以
则二面角 的余弦值为 ；
（2） ，如图所示：
18．（2023·北京·北京市十一学校校考三模）四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，
. ,且 平面 ， ，点 分别是线段 上的中点， 在
上.且 .
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面 与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
【解析】分析：（Ⅰ）推导出 ，由此能证明 平面 ；
（Ⅱ）推导出 ， ， ，轴建立空间直角坐标系息，利用向量法能求出直线AB与
平面EFG的所成角的正弦值；（Ⅲ）法1：延长 分别交 延长线于 ，连接 ，发现刚好过点 ，,连接 ，则
四边形 为平面 与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面 与直线 的交点为 ，设 ，，利用向量法求出 ，从而 即为点 .连接
， ，则四边形 为平面 与四棱锥的表面的交线.
解析：解:（Ⅰ）在 中，因为点 分别是线段 上的中点，
所以
因为 平面 ， 平面 .
所以 平面 .
（Ⅱ）因为底面 是边长为2的菱形，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 ， ，
如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得
， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，设平面 的法向量为 ，则由 可得 ，
令 ，可得
因为 .
所以直线 与平面 的成角的正弦值为
（Ⅲ）法Ⅰ：延长 分别交 延长线于 ，连接 ，发现刚好过点 ，,连接 ，
则四边形 为平面 与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面 与直线 的交点为 ，设 ，则
由 ，可得 .
所以 即为点 .
所以连接 ， ，则四边形 为平面 与四棱锥的表面的交线.05 立体几何建系繁琐问题
19．（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，平面 平面 ，四边形 为矩形，且 为线
段 上的动点， ， ， ， .
(1)当 为线段 的中点时，
（i）求证： 平面 ；
（ii）求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)记直线 与平面 所成角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，是否存在点 使得 ?若
存在，求出 ；若不存在，说明理由.
【解析】（1）（i）由题意，四边形 为直角梯形，且 ， ，
所以 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则 且 ，且 ，
故四边形 为矩形，
则 ，且 ，所以 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ， ，则 ，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 .
（ii）取 的中点为 ， 的中点为 ，连接 、 、 ，
过 在平面 内作 垂直于 ，垂足为 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ， 为 的中点，
所以 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， 平面 ，
得 平面 ，因为 ， ， ，
所以 ，
由等面积法可得 ，
延长 与 交于点 ，则 为 的中点， 为直线 与平面 的交点，设点 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，所以 ，
由 ，所以， ；
（2）假设存在点 ，使得 ，延长 与 交于点 ，连接 ，
则平面 平面 ，
设 平面 ，垂足为 ，连接 ， 是直线 与平面 所成的角，
因为 且 ，所以，点 为 的中点，则 ，
过点 作 垂直于 ，垂足为 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ，
是二面角 的平面角，
所以 ， ，
由 ，得 ，所以 、 重合，由 ，得 ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理可得 ，
即 ，整理可得 ，
解得 或 （舍），
所以存在点 ，当 ，有 成立.20．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）如图，在梯形 中， ，
， ，四边形 为矩形， 平面 平面 ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值；
(3)若点 在线段 上运动，设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，试求 的范
围.
【解析】（1）证明：在梯形 中， ， ， ， ，
，
， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平
面 ， 平面 .
（2）取 中点 ，连接 ， ，
， ， ，
， ， 为二面角的平面角.
， ， ， ，
.（3）由（2）知：
①当 与 重合时， ；
②当 与 重合时，过 作 ，且使 ，连接 ， ，则平面 平面 ，
， ， 平面ABC， 平面ABC， ， 平面 ，
平面 ， ， ， ；
③当 与 ， 都不重合时，令 ， ，延长 交 的延长线于 ，连接 ， 在
平面 与平面 的交线上， 在平面 与平面 的交线上， 平面 平面 ，
过 作 交 于 ，连接 ，
由（1）知， ，又 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ， .
又 ， 平面ACH， ， 平面 ， ， .
在 中， ，从而在 中， ，
， ， . ，.
综上所述， ， .
21．（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为
的等边三角形，球心O到底面的距离为1．
(1)求球O的表面积；
(2)求二面角 的余弦值．
【解析】（1）底面 外接圆的半径 ，
又球心O到底面的距离为1．所以球的半径 ，
所以球O的表面积为 .
（2）因为 为球的直径，所以 ， ，
取 的中点 ，连 ，则 ，则 ,因为 ， ，所以 ，
在等腰三角形 中，过 作 ，交 于 ，连 ，
则 是二面角 的平面角， ，
在 中， ， ，
， ， ，
在 中， ,
在 中， ，
在 中， .
所以二面角B－AC－D的余弦值为 .
22．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中， ，
，E为边AB的中点，将 沿直线DE翻折为 ，若F为线段 的中点．在 翻
折过程中，(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 ，求 与面 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ，
为线段 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， ， 四边形 为平行四边形，则
平面 ， 平面 ，可得 平面 ，
又 ， ， 平面 ，
可得平面 平面 ， 平面 ，
则 面 .
（2）取 中点 ， 中点 ，连接 ， ， ，
由 ， ， 为边 的中点，
得 ，所以 为等边三角形，从而 ， ，
又 ， 为 的中点所以 ，又 是等边三角形，所以 ，所以 为二面角 的平面角，所以 ，
过点 作 ，过 作 交于 ，连接 ，
是等边三角形，所以可求得 ， ，所以 ， ，
， ， ， ，
所以 ， ，又 ， ， 面 ，
所以 面 ，又 ，所以 面 ，
平面 ，所以面 面 ，
由 ，在 中易求得 ，又 ，
所以 ， ，
面 面 ， 面 ，
所以 面 ，所以 为 与平面 所成的角，
在 中可求得 ，所以 ，
与面 所成角的正弦值为
23．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）四面体 中 ，
， ， ， ，E为AC中点．
(1)证明： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求a的值．
【解析】（1）过 作 面 于 ，再过 作 ，连接 ，如下图示：由题设知： ，又 面 ，则 ，
由 面 ，即 ，而 ， ， 面 ，
所以 面 ，又 面 ，故 ，同理可证： ，
综上，△ 和△ 为等腰直角三角形，即△ △ ，故 ，
所以△ △ ，故 ，则△ △ ，故 ，
所以 是 的角平分线，即 在面 上的投影为 的角平分线，
如下图，若 为 在面 上的投影且 在 上，则 平分 （即 ），连接 ，
由 面 ，则 ，
在△ 中 ， ，则 ，即 ，
又E为AC中点，故 ，故 ，
所以 ，易知： ，
因为 ， 面 ，故 面 ，
因为 面 ，所以 .
（2）若 为 的交点，由题意 ，即△ 为正三角形，
所以 为 中点，易知△ △ ，即 ，且 ，
令 到面 的距离为 ，而 ， ，
由 ，则 ，故 ；
结合（1）知： ，故 ，
所以 ，即 ，故 ， ，，则 ，
综上， ，
由 ，且 ，
所以 ，故 ，
所以△ 中 上的高 ，
因为二面角 的余弦值为 ，则正弦值为 ，即 ，
所以 ，即 ，
由 得： .
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题
24．（2023·河南·统考模拟预测）如图,在三棱锥 中, 是等边三角形, ,点
是 的中点,连接 ．
（1）证明:平面 平面 ;
（2）若 ,且二面角 为 ,求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】解:（1）证明:因为 是等边三角形, ,
所以 ,可得 ．因为点 是 的中点,则 , ,
因为 , 平面PBD, 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,
所以平面 平面 ．
（2）如图,作 ,垂足为 连接 ．
因为 ,
所以 为二面角A-BD-C的平面角．
由已知二面角 为 ,知 ．
在等腰三角形 中,由余弦定理可得 ．
因为 是等边三角形,则 ,所以 ．
在 中,有 ,得 ,
因为 ,所以 ．
又 ,所以 ．
则 , ．
以 为坐标原点,以向量 的方向分别为 轴, 轴的正方向,
以过点 垂直于平面 的直线为 轴,建立空间直角坐标系 ,
则 , ,向量 ,
平面 的一个法向量为 ,设直线 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
25．（2023·广东广州·统考一模）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
，点P是AC的中点，连接BP，DP
证明：平面 平面BDP；
若 ， ，求三棱锥 的体积．
【解析】 证明：如图所示，
因为 是等边三角形， ，
所以 ≌ ，可得 ，
又因为点P是AC的中点，则 ， ，
又 ， 平面PBD， 平面PBD，
所以平面 平面BDP；设 ，在 中， ，则 ；
在等边 中， ，
在等腰 中， ；
在 中，由 ，得 ；
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ；
所以 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
26．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， ，
面积是 面积的两倍，点 在侧棱 上.
（1）若 ，证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，且 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
所以 ．
取BC中点O，连结DO,AO，所以DO⊥BC，AO⊥BC，
因为 ，所以BC⊥平面AOD，所以BC⊥AD，
又因为BM⊥AD， ，所以AD⊥平面BCM，所以平面ACD⊥平面BCM．
（2）由（1）知， 是二面角D-BC-A的平面角，
所以 ，
过 作 交 延长线于G，因为BC⊥平面AOD， 平面AOD，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ．
如图，以O为原点，以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
设 是平面DCA的法向量，则 即
取 ，
因为点 是线段 的中点 ，所以 ，
所以 ，
设直线BM与平面DCA所成角的大小为 ，则
，
所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为 ．
27．（2023·浙江宁波·高三统考期末）如图所示，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角
形， 是 的中点，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）如图所示，因为 为等边三角形，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
即 为等腰直角三角形，从而 为直角，
又 为底边 中点，所以 .
令 ，则 ，易得 ，
所以 ，从而 ，
又 为平面 内两相交直线，
所以 平面 .
（2）由题意可知 ，即 到平面 的距离相等，
所以点 为 的中点，
以 为坐标原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向，建立空间直角坐标系.
设 ，则 ，
易得 .设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，则
，取 ； ，取 ，
设二面角 的大小为 ，易知 为锐角，
则 ，
所以二面角 的余弦值为 .
07 利用传统方法找几何关系建系
28．（2023·江苏徐州·高三统考期中）如图，在三棱锥 中，侧面 是锐角三角形， ，
平面 平面 .
(1)求证： ；
(2)设 ，点 在棱 （异于端点）上，当三棱锥 体积最大时，若二面角
大于 ，求线段 长的取值范围.
【解析】（1）证明：过点 作 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，且 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ，且 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）设 ，
因为 ，可得 ，即 ，所以 ，所以 ，
又由 ，
所以 ，
令 ，可得 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 时，即 时，三棱锥 的体积最大，
以 为原点， 所在的直线分别为 轴，以过点 垂直于平面 的直线为 轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，
设 ，可得 ，
则 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 ，
由 ，令 ，可得 ，所以 ，
又由 ，令 ，可得 ，所以 ，
设二面角 的平面角的大小为 ，
所以 ，解得 ，所以 的长的取值范围为 .
29．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知三棱柱 ， ，
， 为线段 上的点，且满足 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： ；
(3)设平面 平面 ，已知二面角 的正弦值为 ，求 的值．
【解析】（1）过 分别作 交 于点 交 于点 ，
，
且 ，
，
∴四边形 为平行四边形， ，平面 ． 平面 ．
平面 ．
（2） ，
，
， ， ．
（3）取 中点 ，连接
为等边三角形且 ，则 ．
在 中， ，
由 ，
在 中， 为 中点， ， ，
.
如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系．
．即 ，
，设 ，
则 ，即 ，
故 ，
又 ，同理可得 ，
，
设平面 的一个法向量 ，
而平面 的一个法向量 ，
设二面角 的的平面角为 ，则 ，
则 ，
化简得 ，
解得 或 .
30．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）在正三棱台 中，侧棱长为1，且 为
的中点， 为 上的点，且 .(1)证明： 平面 ，并求出 的长；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）如图所示：
由三棱台可知：延长 交于点 ，
连接 ，延长交 于 ，并连接 ，
易得三棱锥 为正四面体，
所以 ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ，
又因为 ，
且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
在 中， ，
则 ，
所以 .
（2）如图，以底面 中心 为坐标原点，以与 平行的方向为 轴，以 方向为 轴，以 方向
为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则
即为
令 ，得 ，取平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
31．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 为正
三角形，且 分别为 的中点， 在线段 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)当 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【解析】（1）如图所示：
取 中点 ，连接 ，
分别为 的中点，且底面 为矩形，
所以 ，且 ，
又因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，
所以由面面平行的性质可知 平面（2）如图所示：
注意到侧面 为正三角形以及 为 的中点，所以由等边三角形三线合一得 ，
又因为 ，且 面 ， 面 ， ，
所以 面 ，又因为 面 ，所以 ，
又因为底面 为矩形，所以 ，
因为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，因为 面 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又由三线合一 ，又 ，
所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为 ，
所以 ，
又因为 为 的中点， ，
所以 ，
所以 ， ， ，
不妨设平面 与平面 的法向量分别为 ，
所以有 以及 ，
即分别有 以及 ，分别令 ，并解得 ，
不妨设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ；
综上所述：平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
08 空间中的点不好求
32．（2023·云南临沧·高二校考期中）已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的
点，过 的平面分别交 于点 ，且 ∥平面 ．
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点， 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成
的锐二面角的余弦值．
【解析】（1）设 ，则 为 的中点，连接 ，
因为 为菱形，则 ，
又因为 ，且 为 的中点，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，则 ，
又因为 ∥平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
可得 ∥ ，所以 .
（2）因为 ，且 为 的中点，则 ，且 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
可知 与平面 所成的角为 ，即 为等边三角形，
设 ，则 ，且 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ， 平面 ，
且平面 平面 ，所以 ，即 交于一点 ，
因为 为 的中点，则 为 的重心，
且 ∥ ，则 ，
设 ，则 ，
如图，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
可得 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 .33．（2023·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台 中，底面 是边
长为2的菱形， ，平面 平面 ，点 分别为 的中点，
均为锐角.
(1)求证： ；
(2)若异面直线 与 所成角正弦值为 ，四棱锥 的体积为1，求二面角 的平面
角的余弦值.
【解析】（1） 底面 是菱形，
，
又 平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
.
（2）解法一：由（1）知 面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
作 交线 ，垂足为 ，
因为平面 平面 = ， 平面 ，则 面 ，
又 平面 ，所以 .
再作 ，垂足为 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ，又面
则 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为 平面 ，所以 到底面 的距离也为 .
作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ＝ ，
平面 ，所以 平面 ，所以 ，
又 为锐角，
所以又 ，所以 为等边三角形，故 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
所以二面角 的平面角的余弦值为 .
解法二：由（1）知 面 ，又 平面 ，
平面 平面 ，
作 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ＝ ，
平面 ，所以 平面 ，
如图，建立直角坐标系： 为原点， 为 轴方向， 轴 .
因为 平面 ，所以 到底面 的距离也为 .
所以 ，又 为锐角，所以
又 ，所以 为等边三角形，故 ，
在空间直角坐标系中： ，设 ，则则 ，
设平面 的法向量为 ，
，取
设平面 的法向量为 ，
，取
所以 ，
由题知二面角为锐角，故二面角 的平面角的余弦值为 .
34．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）如图，已知四棱锥 中，底面 是矩
形， ， ， .（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
因为 ， ，
所以， ， ，
又 ，
所以， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）解法一：设 到平面 的距离为 ，
因为 ， ，
所以 ，
由（1） ， ，又 ，所以 ，
平面 ，
所以 平面 ，因为 ，所以 点到平面 的距离为 ，
所以 ，
所以 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
解法二：建系法
如图，建立空间坐标系，则 ， ， ， ，
设 ，由 ， 得
即 ，设平面 的法向量为 ，
因为 ， ，
所以 ，令 ，可得 ，
于是 .
35．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）如图，在几何体 中，底面 为以 为斜边的
等腰直角三角形.已知平面 平面 ，平面 平面 平面 .(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，设 为棱 的中点，求当几何体 的体积取最大值时 与 所成角的正切
值.
【解析】（1）过点 作 交 与点 ，
平面 平面 ，且两平面的交线为
平面 又 平面
又 且 平面
（2）过点 作 交 与点 ,连接
平面 平面 ，且两平面的交线为
平面 又 平面 到平面 的距离相等
且 ， 平面
又
，令
则 ， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，当且仅当 时取得最大值.
如图所示，以点 为原点建立空间直角坐标系 ，则 ，
所以 .
设 与 所成角为 ，则 ，则 ，即当几何体 体积最大时，
与 所成角的正切值为6.
36．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四边形 为正方形， 为正方形对角线的交点，平面
平面 ， ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 所成角的余弦值的最小值．
【解析】（1）证明：在正方形 中， ， 平面 ，
所以 平面 ．
又因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ．因为点 为 的中点，所以 为 的中位线，
所以 ，所以 四点共面，
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
又因为 平面 ，故平面 平面 ，
所以平面 平面 ．
（2）以点 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
过点 垂直于平面 的直线为 轴建立空间直角坐标系，如上图，
则 ．
由（1）得平面 平面 ，则 的投影在直线 上，
设 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，则 ,
即 ，取 ，得 .
设平面 的法向量为 ，则则 ,取 ，得 ，
所以
将 代入，得 ，
而 ，
令 ，因为 ，所以 ，故 ，
则 ，当 ，即 时，取得最大值 ，
故 的最小值为 ，
所以 ， 时取等号，
结合原图可知平面 与平面 所成角为锐角，
故平面 与平面 所成角的余弦值的最小值为 ．
37．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲是由梯形 ， 组成的一个平面图形，其
中 ， ， ， ， ．如图乙，将其沿 ， 折起使得
与 重合，连接 ，直线 与平面 所成角为60°．
(1)证明： ；
(2)求图乙中二面角 的正弦值．【解析】（1）证明：由图甲， ，可得图乙中 ，
又 ， ，EB,EF含于面BEF,所以 平面
则直线 与平面 所成角为 ，
所以在 中， ， ，
故有 ， ．
在甲中作 ，则 ， ，
故 ， ， ，则有 ，即 ．
（2）在乙中作 于O，由（1）知， 平面 ， 平面 ，故 ，
又因为 ，故 平面 ，
且由（1）知 ，
过点 作 ，易判断 ,
则可以O为坐标原点， ， , 的方向分别为 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
因为 平面 ，所以平面 法向量可以记为 ，
设平面 的法向量为 ，则有
可取 ，记二面角 的平面角为 ，则 ，
故 ．09 创新定义
38．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过
顶点S的平面α相交，记交线为C，圆锥S的轴线l与平面α所成角θ是圆锥S顶角（圆S轴截面上两条母
线所成角θ的一半，为探究曲线C的形状，我们构建球T，使球T与圆锥S和平面α都相切，记球T与平面
α的切点为F，直线l与平面α交点为A，直线AF与圆锥S交点为O，圆锥S的母线OS与球T的切点为
M， ， ．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b， 关系式；
(2)求证：曲线C是抛物线．
【解析】（1）∵平面AOS截球T的截面圆与直线AO相切于F，
∴ ，
记P是平面 内不在直线OA上的点，平面TFP截球T的截面圆与直线FP相切于点F，
∴ ，
∵平面 内直线AO，FP相交于点F，
∴TF⊥平面 ，∵直线TF 平面AOS，
∴平面AOS⊥平面 ，
∴ ．连TO，TM，
∴ ， ，
∴球T的半径 且 ，
∴ .
（2）在平面AOS内圆锥的另一条母线与球T的切点记为N点
∵ ，
∴
以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过O与TF平行的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图.
∵OM，OF与球T相切，
∴ ，
∴ ， ，
设交线C上任意点 ，记圆锥S的母线SP与球T相切于E．
∵PF与球T相切于点F，
∴ ， ，
∴ ，
即 （1），两边平方整理得： （2），
两边平方整理得： （3），
易知：（3） （2） （1），
∴交线C在坐标平面xOy中方程为 ，
∴交线C是以F为焦点，O为顶点的抛物线.
39．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结
构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将
， ， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开
口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶
点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多
面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体
在各顶点的曲率为 .
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.
【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，
根据定义其度量值等于 减去三个菱形的内角和 ，
再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和 ，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为 .（2）（i）如图所示，连接AC，SH，则 ，设点 在平面 的射影为O，
则 ，则 ，
菱形SAHC的面积为 ，
侧面积 ，
所以蜂房的表面积为 .
（ii） ，
令 得到 ，
所以 在 递增；在 递增.
所以 在 处取得极小值，也即是最小值.
此时 ，在 中，令 ，由余弦定理得 ，
又顶点 的曲率为 ，
.40．（2023·全国·高三校联考专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率
为 ，其中Q（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M的所
i
有与点P相邻的顶点，且平面QPQ，平面QPQ，…，平面Q PQ 和平面QPQ 遍历多面体M的所有
1 2 2 3 k﹣1 k k 1
以P为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体ABC D﹣ABCD，AB＝BC＝1， ，点P为底面ABC D 内的一个动点，
1 1 1 1 1 1 1 1
则求四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值；
（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然
后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的
是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）【解析】（1）计∠QPQ+∠QPQ+…+∠QnPQ ＝θ，则离散曲率为1﹣ ，θ越大离散曲率越小．
1 2 2 3 1
P在底面ABCD的投影记为H，通过直观想象，当H点在平面ABCD中逐渐远离正方形ABCD的中心，以
至于到无穷远时，θ逐渐减小以至于趋近于0．所以当H点正好位于正方形ABCD的中心时，θ最大，离散
曲率最小．此时HA＝HB＝ ＝PH，所以PA＝PB＝1＝AB，所以∠APB＝60°，θ＝ ，
离散曲率为1﹣ × ＝ ，所以四棱锥P﹣ABCD在点P处的离散曲率的最小值为 ；
（2）区域β比区域α更加平坦，所以θ更大，离散曲率更小．
所以区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是区域β．
41．（2023·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正
六棱柱截去三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ，
， 分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），
如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的
曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面
体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值．
【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于
减去三个菱形的内角和 ，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和 ，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为 .
（2）设底面正六边形的边长为1，
如图所示，连接AC，SH，则 ，设点 在上底面ABCDEF的射影为O，则 ,
令 ，则 ，
菱形SAHC的面积 ，
的面积为 ，
令正六棱柱的侧面积为定值 时，
蜂房的表面积为 ，
，令 得到 ，
经研究函数 的单调性，
得到函数 在 处取得极小值，
此时 ，
在 中，令 ，
由余弦定理得 ,
顶点 的曲率为 ，
其余弦值为 .
