文档内容
专题 14 立体几何常见压轴小题全面总结与归纳解析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：球与截面面积问题................................................................................................................2
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题........................................................................4
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题........................................................................7
题型四：立体几何中的交线问题......................................................................................................12
题型五：空间线段以及线段之和最值问题......................................................................................15
题型六：空间角问题..........................................................................................................................18
题型七：轨迹问题..............................................................................................................................21
题型八：翻折问题..............................................................................................................................24
重难点突破：以立体几何为载体的情境题......................................................................................27
02 重难创新练....................................................................................................................................30题型一：球与截面面积问题
1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆锥
的高之比为 ，它们的体积之和为 ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
记该截面和球的半径分别为 ，由于两个圆锥的高之比为 ，
故球心到该截面的距离为 ，从而 ， .
而两个圆锥的高分别是 ，故体积之和 .
从而 ，故 ， .
该球的表面积 .
故选：B.
2．已知正四面体 内接于球O，E为底面三角形ABC中边BC的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为 的截面圆，则此四面体的棱长的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，在正四面体 中，设顶点 在底面的射影为 ，
则球心 在 上， 在 上，且 ,连接 ､ ，
设正四面体的棱长为 ，则 ，
则正四面体的高 ，
设外接球半径为 ，
在 中， ，即 ，解得 ，
∴在 中， ，
过 点作外接球 的截面，只有当 截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为 ，
最大截面圆为过球心的大圆，半径为 ，
由题设存在半径为 的截面圆，∴ ，解得 ，
故选:C.3．（2024·陕西榆林·一模）已知 是球 的直径 上一点， ， 平面 ， 为垂足，
截球 所得截面的面积为 ， 为 上的一点，且 ，过点 作球 的截面，则所得的截面面
积最小的圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设截得的截面圆的半径为 ，球 的半径为 ，
因为 ，
所以 .由勾股定理，得 ，由题意得 ，
所以 ，解得 ，
此时过点 作球 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.
设球心 到所求截面的距离为 ，所求截面的半径为 ，则 ，
所以只需球心 到所求截面的距离 最大即可，
而当且仅当 与所求截面垂直时，球心 到所求截面的距离 最大，
即 ，所以 .
故选：C题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
4．（多选题）如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下
列结论中错误的是（ ）
A． B． 平面ABCD
C．三棱锥 的体积为定值 D． 的面积与 的面积相等
【答案】AD
【解析】对A，不妨取点 与点 重合，
因为 平面 ， 在平面 内，且不过点 ，
所以 异面，即此时 异面，A错误；
A B C D
1 1 1 1
对B，因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ，B正确，不符合题意；
对C，易知，点 到平面 的距离为定值，又 ，
所以三棱锥 的体积为定值，C正确；
对D，记 的中点分别为 ，连接 ，
易知 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 是平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 ，
所以 ，D错误.
故选：AD
5．（多选题）在正八面体 中，所有棱长均为1，点 为正方形 的中心，点 为正八
面体内切球球面上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．正八面体内切球的表面积
B．正八面体的体积为
C． 的范围是
D．若 , ，二面角 的平面角为 ，则 为定值
【答案】ACD
【解析】A.由题意得，可以只分析正四棱锥 ，易得正四棱锥的高为 ，
侧面正三角形的高为 ，因此由等面积法可得 ，解得 ，
所以表面积为 ，故A正确；B．正四面体的体积为两个正四棱锥的体积之和，
因此 ，故B错误；
C．取 中点 ，
，
而点 到 的距离为 ，
因此 的最小值为 ，最大值为 ， ，
代入数据可得 的范围是 ，故C正确；
D．过点 作 ，交 于点 ， 交 于点 ,
因此 , 即为二面角 的平面角 ，
在三角形 中， ，
在三角形 中， ，所以 ，
化简可知
因此 ，因此D正确.
故选：ACD
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
6．（多选题）在正方体 中，点 满足 ，其中 ， ，则
（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时， 的面积为定值
D．当 时，直线 与 所成角的范围为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，如下图，当 时， 点在面对角线 上运动，
又 平面 ，所以 平面 ，
在正方体 中， 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理可证 平面 ，
，所以，平面 平面 ，平面 ，所以， 平面 ，A正确；
对于B选项，当 时，如下图， 点在棱 上运动，
三棱锥 的体积 为定值，B正确；
对于C选项，当 时，如图， 点在棱 上运动，过 作 于 点，
则 ，其大小随着 的变化而变化，C错误；
对于D选项，如图所示，当 时， ， ， 三点共线，
因为 且 ,所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 或其补角是直线 与 所成角，
在正 中， 的取值范围为 ，D正确.
故选：ABD.
7．（多选题）（2024·湖南常德·一模）已知正方形 边长为4，将 沿 向上翻折，使点 与
点 重合，设点 为翻折过程中点 的位置（不包含在点 处的位置），则下列说法正确的有（ ）
A．无论点 在何位置，总有
B．直线 与平面 所成角的最大值为
C．三棱锥 体积的范围为
D．当平面 平面 时，三棱锥 的内切球的半径为
【答案】ACD
【解析】
对于A，设 是正方形 的中心，则 .
过 在正方形 上方作直线 ，使得 平面 ， ，再在平面 内以 为圆心， 为半径作圆 ，
则 的轨迹为圆 位于正方形 上方的部分（不含点 ）.
由于 平面 ， 在平面 内，故 .
而 ， 和 在平面 内交于点 ，所以 平面 .
又因为 在平面 内，所以 ，A正确；
对于B，由于 平面 ，平面 的两直线 和 相交，
故直线 与平面 所成角即为 ，
而当 在圆 的上半部分（不含点 ）运动时， 的范围是 ，B错误；
对于C，由于 到平面 的距离 的取值范围是 ，即 ，
而三棱锥 的体积 ，故其取值范围是 ，C正确；
对于D，若平面 平面 ，由于 平面 ， 在平面 内，
故 .
而平面 平面 ， 在平面 内， ，平面 和平面 的交线是 ，
故 平面 .
而 平面 ，故 位于同一直线上，而 ，且 均在正方形 上方，故
点 和点 重合.
设三棱锥 的内切球半径为 .
由于 ，故 .
而 ， ，且由C选项的计算可知
.故 ，得 ，D正确.
故选：ACD.
8．（多选题）（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，点E，F分别
是 和 的中点，则（ ）
A．
B．
C．点F到平面EAC的距离为
D．过E作平面 与平面ACE垂直，当 与正方体所成截面为三角形时，其截面面积的范围为
【答案】BCD
【解析】在棱长为2的正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
对于A， ，显然 与 不共线，即 与 不平行，A错误；
对于B， ， ，因此 ，B正确；
对于C， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，而 ，
点F到平面 的距离为 ，C正确；
A B C D
1 1 1 1
对于D，过点 垂直于平面 的直线与平面 相交，令交点为 ，
则 ，点 ，由 ，得 ，即 ，
A B C D
1 1 1 1
当平面 经过直线 并绕着直线 旋转时，平面 与平面 的交线绕着点 旋转，
当交线与线段 ， 都相交时， 与正方体所成截面为三角形，
A B C D
令平面 与平面 1 1 1 1的交线交 于点G，交 于点H，设 ， ，
， ，由 ，
得 ， ， 斜边 上的高 ，
则截面 边 上的高 ，
截面 的面积
，当 时， ， ，
所以 ，D正确.
故选：BCD
题型四：立体几何中的交线问题
9．（2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，
则以 为球心， 为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 中点 ，连接 、 ，则有 ， ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，
又 平面 ，故 ，又 ，
， 、 平面 ，故 平面 ，
又 、 平面 ，故 ， ，
由正三棱锥的性质可得 、 、 两两垂直，
故 ，即以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为：
，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为 .
故选：C.10．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱 中， ， 为棱 的中点，
则以 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为球 的半径为2，所以球 不与侧而 及侧面 相交，
连接 ．由题得 ， ．所以 ，
所以球 与侧面 交于点 ， ，与侧面 交于点 ， ．
在正六边形 中，易得 ，因为 平面 ， 平面 ．
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 ，且 ，又 ， ．
所以球 与侧面 的交线为以 为直径的半圆，同理可得球 与侧面 的交线为以 为直径
的半圆．
由题易得 ，则球 与上底面 及下底面 的交线均为 个半径为 的圆．
所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为 ．
故选：D．11．（多选题）已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ， 和 上，
且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别为 ， ，则（ ）
A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
【答案】AD
【解析】如图所示，
连接 并延长交 的延长线于 ，连接 并延长交 于点 ，
交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，
则 即为 ， 即为 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
由 ，得 ，则 ，所以 ，故C错误，D项正确；
由 ，得 ，
又易知 ，得 ，所以 ，
所以 ，故A项正确，B项错，
故选：AD.
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
12．在正方体 中， 为棱 的中点， 分别为 上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】将正方体的侧面 与 展开到同一平面
在同一平面内可知 的最小值就是点 到 的距离，
正方体 中， 为棱 的中点，所以 ， ，
是正方形，所以
故答案为：13．（2024·安徽·模拟预测）已知正方体 的体积为8，且 ，则当
取得最小值时，三棱锥 的外接球体积为 .
【答案】 /
【解析】由题意得， ，将平面 展成与平面 同一平面，
当点 共线时，此时 最小，
在展开图中作 ，垂足为N，
因为 为等腰直角三角形，所以 ， ，
由 得， ，解得 ，
在正方体 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ，
如图，以D为原点， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，且 ，
所以 平面 ，因为 ，
所以三棱锥 外接球的球心在 上，
设球心为 ，设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，即 ，所以外接球 ，
所以三棱锥 外接球的体积 ，
故答案为： .
14．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为线段
的中点， 分别为线段 和线段 上任意一点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 平面 ， 面 ，所以 ，
又因为 ， ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
在 中，可得 ，在 中， ，
故 ，
则 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， 为 的中点，此时当 时， 为 的中点，
综上所述， 的最小值是 .
故答案为：
题型六：空间角问题
15．正三棱锥 和正三棱锥 共底面 ，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，
点 和点 在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 所成的角分别为 ，则当 最
大时，
【答案】【解析】如图：设 在平面 的射影为 ，根据正三棱锥和球的对称性知：球心O在线段PQ上.
取 中点 ，连接 ，则 ，又 平面 ，
所以 , 分别为两个正三棱锥的侧面与底面 所成的角，
记 ，
不妨设 ， ，
所以
则
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
由于 ，
故当 最大时， .
故答案为：
16．（2024·山东青岛·三模）已知长方体 中， ，点 为矩形A B C D
1 1 1 1
内一动点，记二面角 的平面角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，
则三棱锥 体积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，作 平面 ，垂足为 ，再作 ，垂足为 ，
连接 ，则 ， ，由 ，则 ，
又 、 平面 ，故 ， ，则 ，
由抛物线定义可知， 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分，
所以 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分，
当点 到线段 距离最短时，三角形 面积最小，即三棱锥 体积最小，
取 中点 为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则 ， ， ，
则直线 的方程为： ，即 ，
抛物线的方程为 ，则 ，
由题意，令 ，得 ，代入 ，得 ，
所以点 的坐标为 ，所以 到直线 的最短距离为：
，因为 ，
所以 ，
所以三棱锥 体积的最小值为 .
故答案为： .17．（2024·河南周口·模拟预测）已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且 平面 ，
， ， ，点M在 上，当直线 与平面 所成的角最大时， ．
【答案】
【解析】
设 的外接圆的圆心为 ，半径为 ，设 的中点为 ，
外接球的球心为 ，连接 ，则 平面 ， ，
因为 平面 ，故 ，故 四点共面，
而 平面 ，故 ，故 ，
故四边形 为矩形.
而 ，故 ，故 .
在 中， ，
故 ，故 ，故 ，
故 ，
因为 平面 ，故 为直线 与平面 所成的角，
当 长度最小时， 最大值，此时 ，故 .故答案为：
题型七：轨迹问题
18．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中，已知 与 均是边长为4的正三角形，
， 为侧棱 的中点， 为三棱锥 的外接球 表面上一动点，若异面直线 ， 始终
保持垂直，则动点 的轨迹围成图形的周长为 ．
【答案】 /
【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，
则 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ．
过 作 于 ，设动点 的轨迹所在平面为 ，则平面 经过点 且 ，
所以点 的轨迹为平面 截三棱锥 的外接球所得的截面圆．
设 ， 的中心分别为 ， ，连接 ， ， ，易知 平面 ， 平面 ，
且 ， ， ， 四点共面，
由题可得 ， ，所以 ．
又 ，则三棱锥 的外接球半径 ．
易知平面 平面 ，点 到平面 的距离 ，故平面 截外接球所得截面圆的半径 ，
所以截面圆的周长 ，即所求周长为 ．
故答案为：
19．如图，在棱长为 的正方体 中， 为面 上的动点， ，
则动点 的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】如图，连接 ，由正方体的性质可得， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ，
又 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，则 ，
因为 平面 ，则 平面 ，不妨设垂足为 ，
则 ，
又因为 ，解得 ，所以动点 的轨迹是在平面 中，
以正 的中心 为圆心， 为半径的圆弧，如图4，即动点 的轨迹为劣弧 ；
如图5，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，在 中， ，，
所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以动点 的轨迹长度为 ．
故答案为： .
20．已知菱形 的各边长为2， .如图所示，将 沿 折起，使得 到达点 的位置，
连接 ，得到三棱锥 ，此时 ， 是线段 中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，
且始终保持 ，则三棱锥 外接球半径为 ，则点 的轨迹的周长为 .
【答案】 /
【解析】取 中点 ，则 ， ， ， 平面 ,
平面 ， ，又 ，
，
作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 ， ， 的中心分别为 ， ，
易知 平面 ， 平面 ，且 ， ， ， 四点共面，
由题可得 ， ，
在 △ ，得 ，又 ，
则三棱锥 外接球半径 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 ．
故答案为： ， ．
题型八：翻折问题
21．（多选题）已知平行四边形 中， ，将 沿着 翻折使点 到达点 且 不在平
面 内，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 可能与直线 垂直
B．直线 可能与直线 垂直
C．直线 可能与直线 垂直
D．直线 不可能与直线 垂直
【答案】AB【解析】
当平面 与平面 垂直时，平面PBD 与平面BCD 相交于BD，
由 ，可得 平面 ， 平面 ，
此时 ， ，则A正确，D错误；
而 ，即直线 与直线 所成角为 ，只要 ,
此时 为等腰直角三角形. 在以 中点为圆心，半径为 的圆上，
则根据直径AP所对圆周角为直角，即 .满足题意.
所以存在点 ，使得 ，B正确；
由 可得 ，所以 为锐角，则 为锐角，所以C错误.
故选：AB.
22．（多选题）如图，等边三角形 的边长为4，E为边 的中点， 于D.将 沿 翻
折至 的位置，连接 .那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ）
A．
B．四棱锥 的体积的最大值是
C．存在某个位置，使D．在线段 上，存在点M满足 ，使 为定值
【答案】ABD
【解析】对于A：因为 ，即 ， ，
因为 ， ， 面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，故A正确；
对于B：当平面 平面 时，四棱锥 的体积最大.
由A易知 为二面角 的平面角，此时 .
即 ， ， ， ， 面 ，
此时 平面 ，即 为四棱锥底面 上的高，
由题意可得 ，
四棱锥 的体积的最大值为： ，故B正确；
对于C：假设存在某个位置，使得 ，连接 ，由正三角形性质得 ，
因为 ， ， 面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，所以 ，由A知 ，
因为 ， ， 面 ，所以 平面 ，由 平面 ，所以 ，则 ，与题设矛盾，假设不成立，故C错误；
对于D：由题设，点M在线段 上，且 ，
取 的中点N，连接NB，则 ， ，
由底面三角形 的边长为4，则 ， ， ，
因为 平面 ，所以 面 ， 面 ，所以 ，
所以 为直角三角形，且 ， ，故 为定值，故D正确.
故选：ABD.
23．（多选题）在矩形 中， ，E为线段 的中点，将 沿直线 翻折成 ．
若M为线段 的中点，则在 从起始到结束的翻折过程中，（ ）
A．存在某位置，使得
B．存在某位置，使得
C． 的长为定值
D． 与 所成角的正切值的最小值为
【答案】BCD
【解析】如图，设 的中点 ，连接 ，则 ，若 ，由 ， 平面 ，
可得 平面 ， 平面 ，则可证出 ，显然矛盾 ，故 A 错误；
因为 ，所以当 平面 ，由 平面 可得 ，由 ，
平面 ，即可得 平面 ，再由 平面 ，则有 ，故B正确；
取 中点 ， ， ， ，且 方向相同，
所以 为定值，所以 为定值，故C正确；
不妨设 ，以 分别为 轴，如图建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ，
， ，设 与 所成角为 ，
则 ，即 与 所成最小角的余弦值为 ，此时 ，故
D正确.
故选：BCD
重难点突破：以立体几何为载体的情境题
24．连接三角形三边中点所得的三角形称为该三角形的“中点三角形”，定义一个多面体的序列
； 是体积为1的正四面体， 是以 的每一个面上的中点三角形为一个面再向外作正
四面体所构成的新多面体.则 的体积为 .
【答案】【解析】如图，画出了 ，因为 有4个面，则 有24个面，归纳可知 有 个面，
这个数即是 到 时增加的小正四面体的个数，
由于新增加的每一个小正四面体的体积是前一个小正四面体体积的 ，
归纳得 到 时增加的每个小正四面体的体积为 ，
所以 比 的体积增加了 ，
所以 的体积为 .
故答案为： .
25．在空间直角坐标系中，定义点 和点 两点之间的“直角距离”
．若 和 两点之间的距离是 ，则 和 两点之间的“直角距离”的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以设 ，
其中 ，因此，
因为 ，所以 ，因此 ，
设 ，
于是有
，
因为 ，所以 ，
因此当 且 时，即当 且 时，
有最大值 ，
当 且 或 时， 有最小值，
此时 ， 或 ，
所以 的最小值 ，
综上， 和 两点之间的“直角距离”的取值范围是 .
故答案为：
26．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为：
，其中 为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ， ，平面 和平面 遍历多面体M的所有以点P为
A B C D
1 1 1 1
公共点的面，在长方体 中， ， ，点S为底面 的中心，记三
棱锥 在点A处的离散曲率为 ，四棱锥 在点S处的离散曲率为n，则 ．
【答案】
【解析】在长方体 中, ,
故三棱锥 在点A处的离散曲率 ；
设 交于O,连接 , ， ，四边形 为正方形，
则 , ,故 ,同理 ,
四棱锥 为正四棱锥，而 ,则四棱锥 每个侧面都为正三角形，
所以 ,
故四棱锥 在点S处的离散曲率
，
故 ，故答案为：
1．（2025·广东佛山·一模）已知直线 与平面 所成的角为 ，若直线 ，直线 ，设 与 的
夹角为 ， 与 的夹角为 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】如图，设斜线 为直线 ，平面 为平面 ，且 ，
由图可知 ，当 恰为 时，此时 与 的夹角为 ；
当 为 时， ，
由于 ，知 ，
故由 在 上单调递减得 ，知 .综上可知 ；
由于 ，故 是二面角 所成角，即 ，，
由于 ，则 ，
故由 在 上单调递增得 ，即 ，可知 .
故选：A
2．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱，上下底面外心连线段中点 是其外接球球心，
，其外接球半径为 ．
若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱，
上下底面对角线交点连线段中点为 ， ， ， ，因此所得球半径为
．故该球体的体积的最小值为 ．
故选：C．
3．（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
设正四棱锥的高为 ，球的体积为 ，所以球的半径 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，则 ，解得 ，
所以正四棱锥的体积 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，故当 时，正四棱锥的体积 取得最大值，最大值为 .
故选：C
4．（2024·河南·模拟预测）已知长方体 的表面积与体积在数值上相等，若 ，则
该长方体的体积的最小值为（ ）
A． B．81 C． D．243
【答案】D
【解析】设 ， ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，且 ，（当 时，不存在 ），
，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时取得极小值，也为最小值，此时 ，
故选：D.
5．（2024·江西新余·模拟预测）已知一圆锥的底面半径为 ， 为其高， 是其底面 的两条
相互垂直的直径， 为 中点，那么平面 与该圆锥的截面是一条抛物线 .设 的侧面⊙积与底面积
的比值为 ， 的焦点到其准线的距离为 ，则 的值为：（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，设 ， ，设以点 为顶点，直线 为对称轴的抛物线标准方程为 ，
由点 在此抛物线上，得 ，因此 ，
圆锥侧面积 ，底面积 ，因此 ，
所以 .
故选：A
6．若在长方体 中， ．则四面体 与四面体 公共部分的
体积为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图：
取 与 的交点为 ，取 中点 ，连接 ，交 于点 ，
则三棱锥 即为四面体 与四面体 的公共部分.因为 .
又 ，所以 ，所以 .
过 作 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 ， 平面 ，所以 平面 .
所以 为 到平面 的距离，其值为 ，
点 为 的中点，所以点 到平面 的距离为： .
所以 .
故选：C
7．（2024·重庆·模拟预测）正三棱台 三侧棱的延长线交于点 ，如果 ，三棱台
的体积为 ， 的面积为 ，那么侧棱 与底面所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过 作 面 于 ，交面 于 ，连接 ，
正三棱台 三侧棱的延长线交于点 ，所以三棱锥 为正三棱锥，
又因为 ，则 ，所以 ，又 的面积为 ，所以 ，则 ，
解得 ，所以 ，设 的边长为 ，则 ，解得 ，
又三棱锥 为正三棱锥，所以 是 的中心，
又易知 边上的高线长为 ，所以 ，
又 面 ，所以 为侧棱 与底面所成的角，则 ，
故选：D.
8．（2022·贵州毕节·三模）在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为4，点 是底面 内
一动点，且 ，则当 ， 两点间距离最小时，直线 与直线 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意作图如图所示，连接 ， 交于点 ，连接 ，
因为四棱锥 为正四棱锥，可得 底面 ．由底面边长为 ，可得 ，所以 ，
在 中， ， ，可得 ，
又由 ，在 中，可得 ，
即点 在以 为圆心，1为半径的圆上，
所以当点 为圆与 的交点时， ， 两点间距离最小，最小值为 ．
以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
则 ， ，可得 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 ，故A正确.
故选：A.
9．（多选题）（2025·广西柳州·模拟预测）如图.直四棱柱 的底面是梯形，
， 是棱 的中点， 是棱 上一动点（不包含端点），则
（ ）
A． 与平面 有可能平行
B． 与平面 有可能平行
C．三角形 周长的最小值为D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ACD
【解析】对于A，连接 ，当Q为 的中点时， ，
因为 ， ∥ ， ∥ ， ，
所以 ， ∥ ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 与 互相平分，设 与 交于点 ，连接 ，
因为P是棱 的中点，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面BPQ，故A正确；
对于B， ，又 平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，
所以 与平面BPQ只能相交，故B错；
对于C， ，把 沿 展开与 在同一平面（如图），
则当B，P，Q共线时， 有最小值，
在直角梯形 中， ， ， ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，
所以三角形BPQ周长的最小值为 ，故C正确；
对于D， ，因 为定值，因为 ∥ ， ∥ ，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面ABP，故Q到平面ABP的距离也为定值，所以 为定值．所以D正确，
故选：ACD．
10．（多选题）（2024·安徽淮南·一模）如图，在正方体 中， 是对应棱的中点，
则（ ）
A．直线 ∥平面 B．直线 平面
C．直线 与 的夹角为 D．平面 与平面 的交线平行于【答案】BCD
【解析】以点 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正
方体的棱长为2，
则由题意可得， ，
，
对于A，设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，因为 ，
1 1 1 1
所以 ，令 ，解得 ，
所以平面 的法向量可以为 ，
注意到 ，
而 ，
从而直线 与平面 不平行，故A错误；
对于B，注意到 ， ，所以 ，
所以 ，这表明 也是平面 的法向量，
故直线 平面 ，故B正确；对于C， ，
所以直线 与 的夹角的余弦值为 ，
所以直线 与 的夹角为 ，故C正确；
对于D，设平面 与平面 的交线为 ，
A B C D
因为平面 平面 1 1 1 1，平面 平面 ，平面 平面 直线 ，
所以直线 直线 ，即平面 与平面 的交线平行于 ，故D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，M，N分
别是AB，AD的中点，P为线段 上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B．当点P为 中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
C．不存在点P使得
D．异面直线BC与MP所成的最大角为45°
【答案】AB
【解析】对于A，点 到平面 的距离为 为定值，
又 ，所以 ，即三棱锥 的体积为定值，故A正确；
对于D，设 中点为 ，连接 ，则 ，
则 即为异面直线 与 所成的角，
在 中，
，
所以异面直线 与 所成的最小角为45°，故D不正确；
对于C，若 为 中点，则 平面 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故C不正确；
对于B，分别取 的中点 ，连接 ，
则过 、 、 三点的平面截正方体所得截面为正六边形，
面积为 ，故B正确．
故选：AB．12．（多选题）（2024·江苏苏州·一模）如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别在线
段 上运动，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥 体积最大值为
C． 的最小值为6
D．存在点 ，使得
【答案】ABD
【解析】选项A，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，A正确；
选项B， ，
又 ，当且仅当 时， ，
所以 ，B正确；
选项C，取 中点 ，连接 ，
则 ，
， ，当且仅当 三点共线时等号成立，
所以 的最小值为 ，C错；选项D，若 ，由选项A， ，而 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，反过来，由 也能证得 ，
设 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，从而 ，即 ，
设 ， ， ，
所以 在 上有解，即存在 ，使得 ，D正确．
故选：ABD．
13．（2024·重庆·一模）已知正四棱台的上､下底面边长分别为 ，且 ，侧面与下底面所
成的二面角大小为 ，若四棱台的体积 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】设正四棱台为 ，
A B C D
1 1 1 1
如下图，延长棱台母线交于点 ，过 作 平面 于G，交平面 于O，连接S，G与AB中
点F， 交 于P因为侧面与下底面所成的二面角大小为 ，所以 .
过 作 于 ，则 ，所以 ，
，
又因为
所以 ，所以 ，则 的最大值为2.
故答案为： .
14．（2024·福建·模拟预测）如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中点，将
沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点， 在平面
的射影为 ，则在翻折过程中，点 的轨迹的长度为 ，三棱锥 体积最大
值为 .
√3 1
【答案】 / √3
3 3
【解析】取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：由 为 的中点，可得 ，且 ；
又 为边 的中点，所以 ，且 ，
则 ，故 点的轨迹与 点轨迹相同，
因为菱形 中， ， ， 为边 的中点，
所以 ，则 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
在翻折过程中， 点由 的中点翻折到 的中点过程中，
的轨迹是以 为圆心， 为半径的半圆，
则 点的轨迹是以 的中点为圆心， 为半径的半圆，
所以 点的轨迹是半径为 的半圆，
则 在平面 的射影为 的轨迹应为圆的直径，
所以点 的轨迹的长度为1；
当 时，由于 平面 ，
所以 平面 ，即又因为 是定值，
故此时三棱锥 体积最大，
在 中，易得 ， ，
所以 ，故三棱锥 体积最大值为 .
故答案为：1； .
15．（2024·江西新余·模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点均位于一个半径为 的球 的球面上，
， ， ，平面 经过点 ，则当 的体积取最大值时，直线 与平面
所成角的正弦值为： .
【答案】 /
【解析】由条件： 在一个圆周上运动，由平面 与平面 固定，所以 到平面 的距离为定值，
由 ，要使得 最大，只需要 最大，
由 经过球心 ，所以 的外接圆就是球的大圆，半径为 ，
由于 ，所以当 时， 最大，此时 到 的距离为：
，即最大面积为 ;
取 为 中点，连接 ，由于 ，所以由勾股定理可知：
，即 为 的外心，由球的性质可知： 平面 ，
再取 为 中点，因为 ，所以 ，且 经过点 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
在平面 内，过 作 ，因为平面 平面 ，
所以 平面 ，即 ，则△ ∽△ ， ， ，
又 ，所以 ，可算得 ，
连 ， ，故： ，
所以 .
故答案为： .
16．（2025·上海·模拟预测）已知P是一个圆锥的顶点， 是母线， ，该圆锥的底面半径是1．
B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线 与 所成角的最小值为 ．
【答案】
【解析】
如图，过 作 交底面圆锥于 点，连接 ，
因为 ，则 为异面直线 与 所成角，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
因为 ，函数 在 上单调递减，所以 ，
故异面直线 与 所成角的最小值为 .
故答案为： .
