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2022年河北省中考数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题。1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（3分）（2022•河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是
△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
3．（3分）（2022•河北）与﹣3 相等的是（ ）
A．﹣3﹣ B．3﹣ C．﹣3+ D．3+
4．（3分）（2022•河北）下列正确的是（ ）
A． ＝2+3 B． ＝2×3 C． ＝32 D． ＝0.7
5．（3分）（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的
外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（ ）
α β
A． ﹣ ＝0 B．﹣ ＜0
C．α﹣β＞0 D．α无法β 比较 与 的大小
6．（3分α）（β2022•河北）某正方形广场的边长为4×102m，其面积α用科β学记数法表示为（ ）
A．4×104m2 B．16×104m2 C．1.6×105m2 D．1.6×104m2
7．（3分）（2022•河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，
第1页（共33页）恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
8．（3分）（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）（2022•河北）若x和y互为倒数，则（x+ ）（2y﹣ ）的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相
切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则 的长是（ ）
A．11 cm B． cm C．7 cm D． cm
π π π π
11．（2分）（2022•河北）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不
在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
第2页（共33页）对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
12．（2分）（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．
若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是
（ ）
A．
B．
第3页（共33页）C．
D．
13．（2分）（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形
（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
14．（2分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来
又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
15．（2分）（2022•河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到
大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船
上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1
个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量
是x斤，则正确的是（ ）
第4页（共33页）A．依题意3×120＝x﹣120
B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
16．（2分）（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：
d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝ ，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，
19小题每空1分）
17．（3分）（2022•河北）如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，
她从1～8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 ．
第5页（共33页）18．（3分）（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形
顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）AE＝ ．
19．（3分）（2022•河北）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙
盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ ；
（2）设甲盒中都是黑子，共m（m＞2）个，乙盒中都是白子，共2m个．嘉嘉从甲盒拿出a（1
＜a＜m）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 个；接下来，
嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x（0＜x＜a）个白子，此时乙盒中有y个黑
子，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
第6页（共33页）20．（9分）（2022•河北）整式3（ ﹣m）的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
21．（9分）（2022•河北）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这
三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统
计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各
自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
22．（9分）（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶
数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
23．（10分）（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右
侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，
C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最
短路程．
第7页（共33页）24．（10分）（2022•河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线
MN∥AB．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为
7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少
米（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：tan76°取4， 取4.1）
25．（10分）（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（C，0）．
当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹
出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发
第8页（共33页）光．求此时整数m的个数．
26．（12分）（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝
3，AB＝2 ，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P
与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4 ．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻
绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4 ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕
点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出
CF的长（用含d的式子表示）．
第9页（共33页）2022年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题。1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•河北）计算a3÷a得a？，则“？”是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据同底数幂的除法法则列方程解答即可．同底数幂的除法法则：底数不变，指数
相减．
【解答】解：根据同底数幂的除法可得：a3÷a＝a2，
∴？＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法．
2．（3分）（2022•河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是
△ABC的（ ）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【分析】根据翻折的性质和图形，可以判断直线l与△ABC的关系．
【解答】解：由已知可得，
∠1＝∠2，
则l为△ABC的角平分线，
故选：D．
第10页（共33页）【点评】本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
3．（3分）（2022•河北）与﹣3 相等的是（ ）
A．﹣3﹣ B．3﹣ C．﹣3+ D．3+
【分析】利用有理数的加减法法则，逐个计算得结论．
【解答】解：A．﹣3﹣ ＝﹣3 ，选项A的计算结果是﹣3 ；
B．3﹣ ＝2 ，选项B的计算结果不是﹣3 ；
C．﹣3+ ＝﹣2 ，选项C的计算结果不是﹣3 ；
D．3+ ＝3 ，选项D的计算结果不是﹣3 ．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握有理数的加减法法则是解决本题的关键．
4．（3分）（2022•河北）下列正确的是（ ）
A． ＝2+3 B． ＝2×3 C． ＝32 D． ＝0.7
【分析】根据 ＝ 判断A选项；根据 ＝ • （a≥0，b≥0）判断B选项；根
据 ＝|a|判断C选项；根据算术平方根的定义判断D选项．
【解答】解：A、原式＝ ，故该选项不符合题意；
B、原式＝ × ＝2×3，故该选项符合题意；
C、原式＝ ＝92，故该选项不符合题意；
D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；
第11页（共33页）故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 ＝ • （a≥0，b≥0）是解题的
关键．
5．（3分）（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的
外角和的度数分别为 ， ，则正确的是（ ）
α β
A． ﹣ ＝0 B．﹣ ＜0
C．α﹣β＞0 D．α无法β 比较 与 的大小
【分α析】β利用多边形的外角和都等于360°，即可得出结论．α β
【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°，
∴ ＝ ＝360°．
∴α﹣β＝0．
故α选：βA．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，正确利用任意多边形的外角和为360°解答
是解题的关键．
6．（3分）（2022•河北）某正方形广场的边长为4×102m，其面积用科学记数法表示为（ ）
A．4×104m2 B．16×104m2 C．1.6×105m2 D．1.6×104m2
【分析】根据正方形的面积＝边长×边长列出代数式，根据积的乘方化简，结果写成科学记
数法的形式即可．
【解答】解：（4×102）2
＝42×（102）2
＝16×104
＝1.6×105（m2），
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握（ab）n＝anbn是解题的关键．
7．（3分）（2022•河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，
恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
第12页（共33页）A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成直接判断即可．
【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成，
∴①④符合要求，
故选：D．
【点评】本题主要考查立体图形的拼搭，根据组合后的几何体形状做出判断是解题的关键．
8．（3分）（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可．
【解答】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件；
B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意；
C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；
D、有一组对边平行且相等是平行四边形，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
9．（3分）（2022•河北）若x和y互为倒数，则（x+ ）（2y﹣ ）的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据x和y互为倒数可得xy＝1，再将（x+ ）（2y﹣ ）进行化简，将xy＝1代入即
可求值．
【解答】解：∵x和y互为倒数，
第13页（共33页）∴xy＝1，
∵（x+ ）（2y﹣ ）
＝2xy﹣1+2﹣
＝2×1﹣1+2﹣1
＝2﹣1+2﹣1
＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式化简．
10．（3分）（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相
切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则 的长是（ ）
A．11 cm B． cm C．7 cm D． cm
π π π π
【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．∠P
＝40°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据弧长公式计
算即可．
【解答】解：作AO⊥PA，BO⊥AB，AO和BO相交于点O，如图，
∵PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠AOB＝140°，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°，
第14页（共33页）∴优弧AMB的长是： ＝11 （cm），
π
故选：A．
【点评】本题考查弧长的计算、切线的性质，解答本题的关键是求出优弧AMB的度数．
11．（2分）（2022•河北）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不
在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】根据平行线的性质、三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：方案1，根据两直线平行，内错角相等可知，直线AB，CD所夹锐角与∠AEM相
等，
故方案1可行，
方案2，根据三角形内角和定理可知，直线AB，CD所夹锐角与180°﹣∠AEH﹣∠CFG相
等，
第15页（共33页）故方案2可行，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理，正确理解两直线夹角的概念是
解题的关键．
12．（2分）（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．
若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是
（ ）
A．
B．
C．
第16页（共33页）D．
【分析】利用已知条件得出n与m的函数关系式，利用函数关系式即可得出结论．
【解答】解：∵一个人完成需12天，
∴一人一天的工作量为 ，
∵m个人共同完成需n天，
∴一人一天的工作量为 ，
∵每人每天完成的工作量相同，
∴mn＝12．
∴n＝ ，
∴n是m的反比例函数，
∴选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是：C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，利用已知条件得出n与m的函数关系式是解题的关
键．
13．（2分）（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形
（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【分析】利用凸五边形的特征，根据两点之间线段最短求得d的取值范围，利用此范围即可
得出结论．
【解答】解：∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形，
第17页（共33页）∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d，
∴d的取值范围为：2＜d＜8，
∴则d可能是7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了组成凸五边形的条件，利用两点之间线段最短得到d的取值范围
是解题的关键．
14．（2分）（2022•河北）五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来
又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
【分析】根据中位数和众数的概念做出判断即可．
【解答】解：根据题意知，追加前5个数据的中位数是5，众数是5，
追加后5个数据的中位数是5，众数为5，
∵数据追加后平均数会变大，
∴不变的只有中位数和众数，
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、中位数和众数的知识，熟练掌握平均数、中位数和众数的基
本概念是解题的关键．
15．（2分）（2022•河北）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到
大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船
上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1
个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量
是x斤，则正确的是（ ）
第18页（共33页）A．依题意3×120＝x﹣120
B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120
C．该象的重量是5040斤
D．每块条形石的重量是260斤
【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可
得出结论．
【解答】解：由题意得出等量关系为：
20块等重的条形石的重量+3个搬运工的体重和＝21块等重的条形石的重量+1个搬运工
的体重，
∵已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，
∴20x+3×120＝（20+1）x+120，
∴A选项不正确，B选项正确；
由题意：大象的体重为20×240+360＝5160斤，
∴C选项不正确；
由题意可知：一块条形石的重量＝2个搬运工的体重，
∴每块条形石的重量是240斤，
∴D选项不正确；
综上，正确的选项为：B．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用题意正确找出等量关系是解题的关键．
16．（2分）（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：
d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝ ，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
第19页（共33页）D．三人答案合在一起才完整
【分析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解
即可．
【解答】解：由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，
①当CA⊥BA时，
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴AC＝BC•sin45°＝2× ＝ ，
即此时d＝ ，
②当CA＝BC时，
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴此时AC＝2，
即d＞2，
综上，当d＝ 或d＞2时能作出唯一一个△ABC，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三
角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分，
19小题每空1分）
17．（3分）（2022•河北）如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，
她从1～8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是 ．
【分析】根据抽到6号赛道的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
【解答】解：所有可能出现的结果数为8，抽到6号赛道的结果数为1，每种结果出现的可能
第20页（共33页）性相同，
P（抽到6号赛道）＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了概率公式，掌握抽到6号赛道的概率＝抽到6号赛道的结果数÷所有可
能出现的结果数是解题的关键．
18．（3分）（2022•河北）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形
顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？ 是 （填“是”或“否”）；
（2）AE＝ ．
【分析】（1）证明△ACM≌△CFD，得出∠CAM＝∠FCD，由∠CAM+∠CMA＝90°，得出
∠FCD+∠CMA＝90°，进而得出∠CEM＝90°，即可得出AB⊥CD；
（2）先利用勾股定理求出AB＝2 ，再证明△ACE∽△BDE，利用相似三角形的性质即可
求出AE的长度．
【解答】解：如图1，
在△ACM和△CFD中，
，
∴△ACM≌△CFD（SAS），
∴∠CAM＝∠FCD，
∵∠CAM+∠CMA＝90°，
第21页（共33页）∴∠FCD+∠CMA＝90°，
∴∠CEM＝90°，
∴AB⊥CD，
故答案为：是；
（2）如图2，
在Rt△ABH中，AB＝ ＝ ＝2 ，
∵AC∥BD，
∴∠CAE＝∠DBE，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与
性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
19．（3分）（2022•河北）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
第22页（共33页）（1）甲盒中都是黑子，共10个．乙盒中都是白子，共8个．嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙
盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝ 4 ；
（2）设甲盒中都是黑子，共m（m＞2）个，乙盒中都是白子，共2m个．嘉嘉从甲盒拿出a（1
＜a＜m）个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多 （ m + 2 a ） 个；接
下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x（0＜x＜a）个白子，此时乙盒中有
y个黑子，则 的值为 1 ．
【分析】（1）根据嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数
的2倍，列出方程计算即可求解；
（2）根据题意可得乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多的个数，根据题意可以求出y＝x，进
一步求出 的值．
【解答】解：（1）依题意有：a+8＝2（10﹣a），
解得a＝4．
故答案为：4；
（2）依题意有：2m+a﹣（m﹣a）＝（m+2a）个，
y＝a﹣（a﹣x）＝a﹣a+x＝x，
＝ ＝1．
故答案为：（m+2a），1．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先
审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量
为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、
解、答．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（9分）（2022•河北）整式3（ ﹣m）的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
第23页（共33页）【分析】（1）把m＝2代入代数式中进行计算便可；
（2）根据数轴列出m的不等式进行解答便可．
【解答】解：（1）根据题意得，P＝3（ ﹣2）＝3×（﹣ ）＝﹣5；
（2）由数轴知，P≤7，
即3（ ﹣m）≤7，
解得m≥﹣2，
∵m为负整数，
∴m＝﹣1．﹣2．
【点评】本题考查了求代数式的值，解一元一次不等式的解集，不等式的解集的应用，第
（2）题关键是根据数轴列出m的不等式．
21．（9分）（2022•河北）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这
三项进行了测试．各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统
计图，
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各
自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【分析】（1）分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
【解答】解：由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9＝23（分），
乙三项成绩之和为：8+9+5＝22（分），
∵23＞22，
∴会录用甲；
第24页（共33页）（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9× +5× +9×
＝3+2.5+1.5
＝7（分），
三项成绩之加权平均数为：8× +9× +5×
＝ +4.5+
＝8（分），
∵7＜8，
∴会改变（1）的录用结果．
【点评】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能会根据统计图获得实
际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
22．（9分）（2022•河北）发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶
数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
验证 如，（2+1）2+（2﹣1）2＝10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【分析】写出两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和，根据完全平方公式，合
并同类项法则计算即可求解．
【解答】解：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的
一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下：
（m+n）2+（m﹣n）2
＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2
＝2m2+2n2
＝2（m2+n2），
故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可
以表示为两个正整数的平方和．
【点评】本题考查了完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式
子的规律，写出相应的结论并进行验证．
23．（10分）（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右
侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
第25页（共33页）（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，
C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最
短路程．
【分析】（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；
（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．
【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，
∴抛物线的顶点为Q（6，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，
当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，
∴x＝5或7，
∵点P在对称轴的右侧，
∴P（7，3），
∴a＝7；
（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，
∴平移后的顶点Q′（3，0），
∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），
∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝ ＝5．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶
点坐标，属于中考常考题型．
24．（10分）（2022•河北）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线
MN∥AB．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为
7°．已知爸爸的身高为1.7m．
第26页（共33页）（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少
米（结果保留小数点后一位）．
（参考数据：tan76°取4， 取4.1）
【分析】（1）由∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，得∠C＝76°，根据tanC＝ ，BC＝1.7m，可得
AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），
（2）过O作AB的垂线交MN于D，交圆于H，即可画出线段DH，表示最大水深，根据OA
＝OM，∠BAM＝7°，AB∥MN，可得∠MOD＝76°，在Rt△MOD中，即知MD＝4OD，设
OD＝xm，则MD＝4xm，有x2+（4x）2＝3.42，解得OD＝0.82m，从而DH＝OH﹣OD＝OA﹣
OD＝2.58≈2.6（m）．
【解答】解：（1）∵嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，
∴∠CAB＝14°，∠CBA＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝76°，
∵tanC＝ ，BC＝1.7m，
∴tan76°＝ ，
∴AB＝1.7×tan76°＝6.8（m），
答：∠C＝76°，AB的长为6.8m；
（2）图中画出线段DH如图：
第27页（共33页）∵OA＝OM，∠BAM＝7°，
∴∠OMA＝∠OAM＝7°，
∵AB∥MN，
∴∠AMD＝∠BAM＝7°，
∴∠OMD＝14°，
∴∠MOD＝76°，
在Rt△MOD中，
tan∠MOD＝ ，
∴tan76°＝ ，
∴MD＝4OD，
设OD＝xm，则MD＝4xm，
在Rt△MOD中，OM＝OA＝ AB＝3.4m，
∴x2+（4x）2＝3.42，
∵x＞0，
∴x＝ ≈0.82，
∴OD＝0.82m，
∴DH＝OH﹣OD＝OA﹣OD＝3.4﹣0.82＝2.58≈2.6（m），
答：最大水深约为2.6米．
【点评】本题考查解直角三角形及应用，涉及勾股定理及应用，解题的关键是熟练掌握锐
第28页（共33页）角三角函数定义、勾股定理并能应用．
25．（10分）（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（C，0）．
当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹
出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发
光．求此时整数m的个数．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，转化为方程组求解；
（2）①把（2，0）代入函数解析式，可得结论；
②寻找特殊点，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+11；
第29页（共33页）（2）①由题意直线y＝mx+n经过点（2，0），
∴2m+n＝0；
②∵线段AB上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，
15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），
（6，5）．
当射线CD经过（2，0），（﹣7，18）时，y＝﹣2x+4，此时m＝﹣2，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（﹣1，12）时，y＝﹣4x+8，此时m＝﹣4，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（1，10）时，y＝﹣10x+20，此时m＝﹣10，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（3，8）时，y＝8x﹣16，此时m＝8，符合题意，
当射线CD经过（2，0），（5，6）时，y＝2x﹣4，此时m＝2，符合题意，
其它点，都不符合题意．
综上所述，符合题意的m的值有5个
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（12分）（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝
3，AB＝2 ，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P
与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4 ．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻
绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4 ．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕
第30页（共33页）点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出
CF的长（用含d的式子表示）．
【分析】（1）解直角三角形求出QM，再根据AAS证明三角形全等即可；
（2）①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积；
②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，求出∠KDH＝15°，可得结论；
③利用勾股定理求出DE2，再利用相似三角形的性质求出EF，可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DH＝2 ，∠DHB＝∠DHC＝90°，
在Rt△AQM中，∠Q＝90，∠QAM＝30°，AM＝4 ，
∴QM＝ AM＝2 ，
∴QM＝DH，
∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°，
在△PQM和△CHD中，
，
∴△PQM≌△CHD（AAS）；
（2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面
积．
设QQ′交AM于点T．
∵AQ＝ QB＝6，QT⊥AM，
∴AT＝AQ•cos30°＝3 ，
第31页（共33页）∴PQ扫过的面积＝3×3 + ＝9 +5 ；
π
②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时，
∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4 ，
∴KH＝3﹣（9﹣4 ）＝4 ﹣6，
∴tan∠KDH＝ ＝ ＝2﹣ ，
∴∠KDH＝15°，
∵∠QDM＝30°﹣15°＝15°，
∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长 + ＝（4 ﹣3）s；
③如图3中，
在Rt△CDH中，DH＝2 ，∠C＝30°，
∴CH＝ DH＝6，
∵BH＝3，BE＝d，
第32页（共33页）∴EH＝3﹣d，
∵DH＝2 ，∠DHE＝90°，
∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2 ）2，
∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°，
∴△DEF∽△CED，
∴DE2＝EF•EC，
∴（3﹣d）2+12＝EF•（9﹣d），
∴EF＝ ，
∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d﹣ ＝ ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属
于中考压轴题．
第33页（共33页）
